2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第32講、解三角形（教師版）

第32講解三角形

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外

接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2b2c22bccosA；

abc

公式==2Rb2c2a22accosB；

sinAsinBsinC

c2a2b22abcosC．

b2c2a2

cosA；

（1）a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；2bc

abcc2a2b2

常見變形（2）sinA，sinB，sinC；cosB；

2R2R2R2ac

a2b2c2

cosC．

2ab

（2）面積公式：

111

SABCabsinCbcsinAacsinB

222

abc1

SABC(abc)r（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r．）

4R2

知識(shí)點(diǎn)二：相關(guān)應(yīng)用

（1）正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊a:b:csinA:sinB:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

abABsinAsinBcosAcosB

③合分比：

abcabbcacabc

2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinCsinAsinBsinC

（2）△ABC內(nèi)角和定理：ABC

①sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinBcacosBbcosA

同理有：abcosCccosB，bccosAacosC．

②cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB；

③斜三角形中，

tanAtanB

tanCtan(AB)tanAtanBtanCtanAtanBtanC

1tanAtanB

ABCABC

④sin()cos；cos()sin

2222

2

⑤在ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列B,AC．

33

知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)際應(yīng)用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角

（如圖①）．

（2）方位角

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）．

（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．

（1）北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）．

（2）北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．

（3）南偏西等其他方向角類似．

（4）坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．

【解題方法總結(jié)】

1、方法技巧：解三角形多解情況

在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

圖形

bsinAabab

關(guān)系式absinAabab

解的個(gè)

一解兩解一解一解無(wú)解

數(shù)

2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有a,b,c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到ABC．

3、三角形中的射影定理

在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB．

必考題型全歸納

題型一：正弦定理的應(yīng)用

例1．（2024·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，

π5π

若a4,A,C，則b（）

412

A．23B．25C．26D．6

【答案】C

π5ππ

【解析】因?yàn)锳,C，所以BπAC，

4123

π3

4sin4

abasinB

因?yàn)?，所以b3226．

π

sinAsinBsinAsin2

42

故選：C.

abc

例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在ABC中，設(shè)命題p：，命題q：

sinCsinAsinB

ABC是等邊三角形，那么命題p是命題q的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

abcabc

【解析】由正弦定理可知，若t，

sinAsinBsinCsinCsinAsinB

abc

則t，

cab

即a＝tc，b＝ta，c＝bt，

即abc＝t3abc，即t＝1，

則a＝b＝c，即ABC是等邊三角形，

abc

若ABC是等邊三角形，則A＝B＝C，則1成立，

3sinCsinAsinB

即命題p是命題q的充要條件，

故選：C.

例3．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，

πca

c，若sinAsinBcosC且c23，A，則（）

6sinCsinA

A．83B．43C．8D．4

【答案】D

【解析】在ABC中，由sinAsinBcosC可得sinBCsinBcosC，

即sinBcosC+cosBsinCsinBcosC

所以cosBsinC0，因?yàn)锽,C0,π，

所以sinC0，且cosB0，

πππ

所以B，又A，可得C，

263

cac23

4

由正弦定理可得sinCsinAsinC3．

2

故選：D.

變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若

acosBbcosAc，且C，則B（）

5

32

A．B．C．D．

105105

【答案】C

【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC，

即sinAcosBsinBcosAsinABsinAcosBsinBcosA，

整理可得sinBcosA0，由于B0,π，故sinB0，

π

據(jù)此可得cosA0,A，

2

ππ3π

則BπACπ.

2510

故選：C.

變式2．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）a，b，c分別為ABC內(nèi)

角A，B，C的對(duì)邊．已知a4，absinAsinCcsinB，則ABC外接圓的面積為（）

A．16B．64πC．128D．256

【答案】B

1

【解析】因?yàn)閍bsinAsinCcsinB，由正弦定理得4bcsinAbc，可得sinA．

4

a

設(shè)ABC外接圓的半徑為r，則2r=16，即r8，

sinA

故ABC外接圓的面積為64π．

故選：B.

變式3．（2024·甘肅蘭州·高三蘭州五十一中?？计谥校〢BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)

b

的邊分別為a，b，c，若asinAsinBbcos2A3a，則△（）

a

A．2B．3C．22D．23

【答案】B

【解析】由正弦定理得asinBbsinA，化簡(jiǎn)得bsin2Abcos2Ab3a，

b

則3，

a

故選：B

變式4．（2024·寧夏·高三六盤山高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰贏BC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的

2sin2Bsin2A

邊分別是a，b，c．若a2b，則的值為（）

sin2A

111

A．B．C．1D．

242

【答案】A

b1

【解析】依題意，

a2

22

2sin2Bsin2A2b2a2b11

由正弦定理得2121.

sin2Aa2a22

故選：A

變式5．（2024·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)

邊分別為a，b，c，已知bcosAa3cosB，a2，則c＝（）

A．4B．6C．22D．23

【答案】D

【解析】因?yàn)閎cosAa3cosB，根據(jù)正弦定理得

sinBcosA3sinAsinAcosB，

移項(xiàng)得sinAcosAsinAcosB3sinA，

即sinAB3sinA，即sinC3sinA，

則根據(jù)正弦定理有c3a23．

故選：D.

【解題方法總結(jié)】

（1）已知兩角及一邊求解三角形；

（2）已知兩邊一對(duì)角；．

大角求小角一解（銳）

兩解－sinA（1一銳角、一鈍角）

小角求大角－一解－sinA1（直角）

無(wú)解－sinA1

（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊．

題型二：余弦定理的應(yīng)用

例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c滿足

b

b2c2a2bc且a3，則（）

sinB

A．2B．3

C．4D．23

【答案】A

b2c2a2bc1

【解析】由題b2c2a2bc，cosA,

2bc2bc2

ba3

2

又0A，A，sinBsinA3，

3

2

故選：A.

例5．（2024·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若

sinBsinC

tanA，則A（）

sin2Bsin2Csin2A

52

A．B．C．或D．或

346633

【答案】C

bc

【解析】由正弦定理，得tanA，

b2c2a2

sinAbc

又b2c2a22bccosA，所以，

cosA2bccosA

15

所以sinA，因?yàn)锳(0,)，所以A或，

266

故選：C.

例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，

若sinAsinB，且c22a21sinC，則△C（）

ππ3

A．B．C．D．

6434

【答案】D

【解析】因?yàn)閟inAsinB，由正弦定理有ab，

根據(jù)余弦定理有c2a2b22abcosC2a22a2cosC，

且c22a21sinC，故有sinCcosC，即tanC1，

3π

又C0,π，所以C.

4

故選：D.

變式6．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）在ABC中，角A，B，C的

222111△

對(duì)邊分別為a，b，c，ab3c，則（）

tanAtanBtanC

1

A．0B．1C．2D．

2

【答案】A

【解析】由余弦定理以及a2b23c2可得：

cosCsinC

2abcosC2c2sinAsinBcosCsin2C，

sinCsinAsinB

又在三角形中有sinABsinC，即sinABsinAcosBcosAsinB，

cosCsinAcosBcosAsinBcosBcosA

所以

sinCsinAsinBsinBsinA

111

故0.

tanAtanBtanC

故選：A．

變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且

cosBcosCsinA

，則b的值為（）

bcsinC

3

A．1B．3C．D．2

2

【答案】A

cosBcosCsinA

【解析】因?yàn)椋?/p>

bcsinC

a2c2b2a2b2c2a

所以，由正弦定理與余弦定理得，化簡(jiǎn)得b1.

2abc2abcc

故選：A

【解題方法總結(jié)】

（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊．

（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，

0,則ABC為銳角三角形

若余弦值0,則ABC為直角三角形.

0,則ABC為鈍角三角形

題型三：判斷三角形的形狀

例7．（2024·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若

a2sinAcosB

，則ABC的形狀為（）

b2sinBcosA

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】由正弦定理，余弦定理及a2cosAsinBb2cosBsinA得，

b2c2a2a2c2b2

a2bb2a,

2bc2ac

a2b2c2a2b2a2c2b2，即a4b4c2b2a20，

則a2b2a2b2c2b2a20，即a2b2a2b2c20,

ab或a2b2c2,ABC為等腰三角形或直角三角形．

故選：D.

例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，

且cbcosA0，則ABC形狀為（）

A．銳角三角形B．直角三角形

C．鈍角三角形D．等腰直角三角形

【答案】C

【解析】cbcosA0，

所以由正弦定理可得2RsinC2RsinBcosA0

所以sinCsinBcosA0，

所以sin(AB)sinBcosA0，

所以sinAcosBcosAsinBsinBcosA0，

所以sinAcosB0，

在三角形中sinA0，

所以cosB0，

所以B為鈍角，

故選：C.

bcosC1cos2B

例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在ABC中，若，則ABC的形狀

ccosB1cos2C

為（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

bcosCsinBcosC1cos2B2sin2B

【解析】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,

ccosBsinCcosB1cos2C2sin2C

cosCsinB

即，整理為sinBcosBsinCcosC，

cosBsinC

11

即sin2Bsin2C，得2B2C，或2B2C180BC90,

22

所以ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形.

故選：D

變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，

若b2c2a2ca，且sinA2sinC，則ABC的形狀為（）

A．銳角三角形B．直角三角形

C．鈍角三角形D．等腰三角形

【答案】B

【解析】因?yàn)閎2c2a2cac2a22cacosB，

1

所以cosB，

2

π

又B0,π，所以B，

3

因?yàn)閟inA2sinC，由正弦定理得a2c，

則b2c2a2cac24c22c23c2，

則b2c2a2，

π

所以ABC為有一個(gè)角為的直角三角形.

3

故選：B.

變式9．（2024·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分

別為a,b,c．若sin2AcsinAsinAsinBbsinC，則該三角形的形狀一定是（）

A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．銳角三角形

【答案】C

【解析】因?yàn)閟in2AcsinAsinAsinBbsinC，

abc

由正弦定理2R（2R為ABC外接圓的直徑），

sinAsinBsinC

aabc

可得sinAcsinAb，

2R2R2R2R

所以a(sinAc)b(sinAc)．

又因?yàn)閟inAc0，所以ab．即ABC為等腰三角形.

故選：C

變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，

若a2cosAsinBb2sinAcosB,則ABC的形狀為（）

A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形D．銳角三角形

【答案】B

【解析】由a2cosAsinBb2sinAcosB得

a2bcosAab2cosBacosAbcosBsinAcosAsinBcosB,

由二倍角公式可得sin2Asin2B2A2B2kπ或2A2B=π+2kπ,kZ，

π

由于在ABC，A0,π,B0,π,所以AB或AB,故ABC為等腰三角形或直角三

2

角形

故選：B

變式11．（2024·北京·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊

分別為a，b，c，若a2cosAsinBb2sinAcosB，則ABC的形狀為（）

A．等腰直角三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等邊三角形

【答案】C

【解析】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：ba2cosAab2cosB，

整理得：acosAbcosB，即sinAcosAsinBcosB，

2sinAcosA2sinBcosB，即sin2Asin2B，

sin[(AB)(AB)]sin[(AB)(AB)]，

sin(AB)cos(AB)cos(AB)sin(AB)sin(AB)cos(AB)cos(AB)sin(AB)

cos(AB)sin(AB)0，

0ABπ，πABπ，

π

則AB或AB，即ABC為等腰三角形或直角三角形．

2

故選：C．

【解題方法總結(jié)】

（1）求最大角的余弦，判斷ABC是銳角、直角還是鈍角三角形．

（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是

直角三角形．

題型四：正、余弦定理與的綜合

例10．（2024·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）銳角ABC是單位圓的內(nèi)接三角形，角A,B,C的對(duì)邊

分別為a,b,c，且a2b2c24a2cosA2accosB，則a等于（）

A．2B．22C．3D．1

【答案】C

【解析】由a2b2c24a2cosA2accosB，

a2b2c2

得b2acosAccosB，

2ab

由余弦定理，可得bcosC2acosAccosB，

又由正弦定理，可得sinBcosC2sinAcosAsinCcosB，

所以sinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA2sinAcosA，

1ππ3

得cosA，又A0,，所以A，所以sinA.

2232

abc

又2r2，所以a3，

sinAsinBsinC

故選：C

例11．（2024·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在ABC中，角A，B，C所

absinAabsinB

對(duì)的邊分別為a，b，c，a2b2c2.

2sinB2sinA

π

(1)求證：0C；

3

111

(2)若，求cosA.

tanBtanAtanC

absinAabsinB

【解析】（1）在ABC中，因?yàn)閍2b2c2，

2sinB2sinA

a2bab2a2b2

由正弦定理可得a2b2c2，化簡(jiǎn)可得c2，

2b2a2

22

22ab

222ab22

由余弦定理可得abcab2ab1，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)

cosC2

2ab2ab4ab4ab2

1

取等號(hào)，所以cosC，因?yàn)榻荂是ABC的內(nèi)角，所以0Cπ，

2

π

所以0C.

3

111cosAcosCsinCcosAcosCsinA

（2）由

tanBtanAtanCsinAsinCsinAsinC

sin(CA)sinBcosBsin2Bb2

，則cosB，

sinAsinCsinAsinCsinBsinAsinCac

a2c2b2b2a2b2

即，所以a2c23b2，又c2，

2acac2

35

所以bc,ac，在ABC中，由余弦定理可得，

22

32252

222ccc

bca443

cosA.

2bc36

2cc

2

例12．（2024·重慶·統(tǒng)考三模）已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，

sin(AB)tanCsinAsinB．

a2c2

(1)求；

b2

2

(2)若cosB，求sinA．

3

【解析】（1）因?yàn)閟in(AB)tanCsinAsinB，

sinC

所以sin(AB)sinAsinB，所以sin(AB)sinCsinAsinBcosC，

cosC

即sinAcosBsinCcosAsinBsinCsinAsinBcosC，

由正弦定理可得accosBbccosAabcosC，

a2c2b2b2c2a2a2b2c2

由余弦定理可得acbcab，

2ac2bc2ab

所以a2c2b2b2c2a2a2b2c2，

即a2c23b2，

a2c2

所以3.

b2

a2c2b22

（2）由題意可知cosB，又a2c23b2，可得a2c22ac0，

2ac3

所以ac，即ABC為等腰三角形，

2B2B30B30

由cosB2cos1，解得cos或cos，

232626

πBπB30

因?yàn)锽0,，所以0,，所以cos，

22426

πBB30

所以sinAsincos.

2226

變式12．（2024·山東濱州·統(tǒng)考二模）已知ABC的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，

c，且2cosBCcosAcos2A12cosAcosBC．

(1)若BC，求A；

b2c2

(2)求的值．

a2

【解析】（1）若BC，則cosBC1．

因?yàn)?cosBCcosAcos2A12cosAcosBC，

所以2cosAcos2A12cosAcosA，

2cosA2cos2A112cos2A，

整理得2cos2AcosA10．

1

解得cosA1（舍），cosA，

2

π

因?yàn)锳0,π，所以A．

3

（2）因?yàn)?cosBCcosAcos2A12cosAcosBC．

所以2cosBCcosA2cosAcosBC1cos2A

2cosBCcosBCcosA1cos2A，

2cosBcosCsinBsinCcosBcosCsinBsinCcosA1cos2A

整理得2sinBsinCcosAsin2A

由正弦定理得2bccosAa2，

由余弦定理得b2c2a22bccosAa2，

即b2c22a2，

b2c2

所以2．

a2

變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在ABC中，(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，

則C（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

【答案】B

【解析】因?yàn)?ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，

所以由正弦定理得(ac)(ac)b(ab)，即a2c2abb2，

a2b2c2ab1

則a2b2c2ab，故cosC，

2ab2ab2

π

又0Cπ，所以C.

3

故選：B.

變式14．（2024·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，

3b2c2a2

b，c，若ABC的面積是，則A（）

4

π2ππ5π

A．B．C．D．

3366

【答案】A

【解析】由余弦定理可得：b2c2a22bccosA,A0,π

由條件及正弦定理可得：

222

13bca3

SbcsinAbccosA，

242

π

所以tanA3，則A．

3

故選：A

變式15．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考三模）已知a，b，c分別為ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，

222B2B

acac3cossin.

22

(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；

sin2B3

(2)若，求cosB的值.

sin2Asin2C4

222B2B

【解析】（1）因?yàn)閍cac3cossin，

22

221cosB1cosB

所以acac3.

22

所以a2c2ac12cosB.

222

22acb

根據(jù)余弦定理，得acac12，

2ac

所以a2c2aca2c2b2.

所以b2ac.

所以a，b，c成等比數(shù)列.

a2c2b2a2c2aca2c21

（2）由余弦定理，得cosB.

2ac2ac2ac2

sin2B3b23

因?yàn)椋杂烧叶ɡ?，?

sin2Asin2C4a2c24

ac3

所以.

a2c24

1411

所以cosB.

2326

變式16．（2024·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在ABC中，角A，

BC

B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知csinasinC

2

(1)求角A的大小；

21

(2)若b1，sinB，求邊c及cos(2BA)的值．

7

BCπAA

【解析】（1）因?yàn)閏sinasinC，可得csinccosasinC，

222

A

所以由正弦定理可得sinCcossinAsinC，

2

又C為三角形內(nèi)角，sinC0，

AAA

所以cossinA2sincos，

222

AπA

因?yàn)锳(0,π)，0,，cos0，

222

A1Aπ

所以sin，可得，

2226

π

所以A；

3

π21

（2）因?yàn)锳，b1，sinB，

37

3

1

abbsinA7

所以由正弦定理，可得a2b，

sinAsinBsinB212

7

2743

所以B為銳角，cosB1sin2B，sin2B2sinBcosB，

77

1

cos2B2cos2B1，

7

71

由余弦定理a2b2c22bccosA，可得1c221c，

42

31

整理可得4c24c30，解得c或（舍去），

22

1143311

所以cos(2BA)cos2BcosAsin2BsinA．

727214

【解題方法總結(jié)】

先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角

函數(shù)轉(zhuǎn)化求解．

題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

方向1：距離問(wèn)題

例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），

其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“”完美嵌入其中，寓意無(wú)限未知?無(wú)

限發(fā)展?無(wú)限可能和無(wú)限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓

頂B之間的距離，無(wú)人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無(wú)人機(jī)沿水

平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在

同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點(diǎn)之間的距離為______米.

【答案】10015

【解析】由題意，DCB30,CDB60，所以CBD90，

13

所以在Rt△CBD中，BDCD300，BCCD3003，

22

又DCA75,CDA45，所以CAD60o，

6002

ACCDAC2006

在ACD中，由正弦定理得，，所以2，

sin45sin603

2

在ABC中，ACBACDBCD753045，

由余弦定理得，

AB2AC2BC22ACBCcosACB

2

(2006)2(3003)2220063003150000，

2

所以AB10015.

故答案為：10015

例14．（2024·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥校┮挥慰驮贏處望見在正北方

向有一塔B，在北偏西45°方向的C處有一寺廟，此游客騎車向西行1km后到達(dá)D處，這時(shí)

塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔B與寺廟C的距離為______km.

【答案】2

【解析】如圖，在△ABD中，由題意可知AD1，BDA60，可得AB3.

ACAD

在ACD中，AD1，ADC105o，DCA30，∴，

sinADCsinDCA

ADsinADC62

∴