初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專家講座：概率統(tǒng)計(jì)與組合問(wèn)題

目錄

第1講統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用...................................................................2

第2講概率及其應(yīng)用...................................................................9

第3講統(tǒng)計(jì)與概率.....................................................................15

第4講投影與視圖.....................................................................24

第5講邏輯推理......................................................................35

第6講抽屜原理.......................................................................43

第7講組合雜題.......................................................................47

第8講極端原理.......................................................................54

第9講染色問(wèn)題.......................................................................59

第10講操作與游戲....................................................................64

1

第1講統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用

范例精講

例1在冬季籃球賽中，選手小明在第六、第七、第八、第九場(chǎng)比賽中分別得了23分、14分、11

分和20分.他前九場(chǎng)的平均成績(jī)高于前五場(chǎng)的平均成績(jī).如果他前十場(chǎng)的平均成績(jī)高于18分，那

么他第十場(chǎng)的成績(jī)至少為（）

A.27分B.29分C.31分D.33分

例2編號(hào)為1?25的25顆彈珠被分放在A和B兩個(gè)籃子中.15號(hào)彈珠在籃子A中，把這顆彈珠

從籃子A移至籃子2中，這時(shí)籃子A中彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加工，B中彈珠號(hào)碼數(shù)的

4

平均數(shù)也等于原平均數(shù)加;.問(wèn)：原來(lái)籃子A中有多少顆彈珠？

4

例3甲、乙、丙、丁4個(gè)隊(duì)舉行足球循環(huán)賽，每場(chǎng)比賽勝者積3分，負(fù)者積。分，平局各積1分.已

知比賽結(jié)束后：①4個(gè)隊(duì)的總積分都是奇數(shù)，且互不相同；②甲隊(duì)總積分第一；③乙隊(duì)恰有兩場(chǎng)平

局，并且其中一場(chǎng)是與丙隊(duì)平局.那么丁隊(duì)總積分是多少分？

例410個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲.游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù)，并把自己想好的數(shù)

如實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來(lái).若報(bào)出來(lái)

的數(shù)如圖1所示，則報(bào)3的人心里想的數(shù)是.

1

2

10

3

9

4

8

75

6

圖1

例5某倉(cāng)庫(kù)有50件同一規(guī)格的某種集裝箱，準(zhǔn)備委托運(yùn)輸公司送到碼頭，運(yùn)輸公司提供了如下運(yùn)

輸信息表：

2

運(yùn)輸車(chē)型號(hào)ABC

每次運(yùn)輸集裝箱/件123

每次費(fèi)用/元120160180

由于時(shí)間緊急，要求一次運(yùn)完，運(yùn)輸公司按客戶要求安排20輛貨車(chē)，剛好一次運(yùn)完.問(wèn)：這三種型

號(hào)的貨車(chē)各需多少輛？有多少種安排方式？哪種安排方式所需運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少？

例6如果定義身高在選定標(biāo)準(zhǔn)的±2%范圍之內(nèi)為“普通身高”，為了解某校九年級(jí)中具有“普通

身高”的男生人數(shù)，我們從該校九年級(jí)男生中隨機(jī)選出10名男生，分別測(cè)量出他們的身高（單位：

cm），收集并整理成如下統(tǒng)計(jì)表：

男生序號(hào)?②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

身高x/cm163171173159161174164166169164

根據(jù)以上表格信息，解答如下問(wèn)題：

（1）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量；

（2）請(qǐng)你選擇其中一個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為選定標(biāo)準(zhǔn)，找出這10名男生中具有“普通身高”的是哪幾位,

并說(shuō)明理由.

例7為選派一名學(xué)生參加全市實(shí)踐活動(dòng)技能競(jìng)賽，A、2兩位同學(xué)在學(xué)校實(shí)習(xí)基地現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行了加工

直徑為20mm的零件的測(cè)試，他倆各加工的10個(gè)零件的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2和右下表所示（單位：mm）.

項(xiàng)目AB

平均數(shù)2020

方差0.026

完全符合要求的個(gè)數(shù)2

根據(jù)測(cè)試得到的有關(guān)數(shù)據(jù)，試解答下列問(wèn)題:

3

（1）考慮到平均數(shù)與完全符合要求的零件的個(gè)數(shù)，你認(rèn)為的成績(jī)更好；

（2）計(jì)算出時(shí)的大小，考慮平均數(shù)與方差，說(shuō)明誰(shuí)的成績(jī)更好；

（3）考慮圖中折線走勢(shì)及競(jìng)賽中加工零件個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)10個(gè)的實(shí)際情況，回答派誰(shuí)去參賽較合適,

說(shuō)明你的理由.

例8臺(tái)州某校七（1）班同學(xué)分三組進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)七年級(jí)400名同學(xué)最喜歡喝的飲料情況、八

年級(jí)300名同學(xué)零花錢(qián)最主要用途情況、九年級(jí)300名同學(xué)完成家庭作業(yè)的時(shí)間情況進(jìn)行了全面調(diào)

查，并分別用扇形圖、頻數(shù)分布直方圖、統(tǒng)計(jì)表來(lái)描述整理得到的數(shù)據(jù).

其中，圖3是七年級(jí)同學(xué)最喜歡喝的飲料情況統(tǒng)計(jì)圖，圖4是八年級(jí)同學(xué)零花錢(qián)最主要用途情況統(tǒng)

計(jì)圖.

九年級(jí)300名同學(xué)完成家庭作業(yè)的時(shí)間情況統(tǒng)計(jì)表如下:

時(shí)間1小時(shí)左右1.5小時(shí)左右2小時(shí)左右2.5小時(shí)左右

人數(shù)508012050

根據(jù)以上信息，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：

（1）七年級(jí)400名同學(xué)中最喜歡喝“冰紅茶”的人數(shù)是多少？

（2）補(bǔ)全八年級(jí)300名同學(xué)零花錢(qián)最主要用途情況的頻數(shù)分布直方圖.

（3）九年級(jí)300名同學(xué)完成家庭作業(yè)的平均時(shí)間大約是多少小時(shí)（結(jié)果保留一位小數(shù)）？

賽題訓(xùn)練

1.五個(gè)互不相等的自然數(shù)的平均數(shù)是15,中位數(shù)是18.則這五個(gè)數(shù)中最大數(shù)的最大值為（）

A.35B.36C.37D.38

4

2.設(shè)a、b、c的平均數(shù)為M,a、b的平均數(shù)為N,N、c的平均數(shù)為P.若a>b>c,則M與尸的

大小關(guān)系是（）

A.M=PB.M>PC.M<PD.不確定

3.如果a,b為給定的實(shí)數(shù)，且那么1,a+1,2a+b,a+b+1這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)與中

位數(shù)之差的絕對(duì)值是（）

4.圖6完成后，每相鄰的三個(gè)格子內(nèi)，中間的數(shù)字是它左右兩邊數(shù)字的平均數(shù).則最右邊的數(shù)字是

（）

820

圖6

A.12B.14C.16D.24

5.某學(xué)生通過(guò)先求x與y的平均值a,再求得a與z的平均值來(lái)計(jì)算x、y、z三個(gè)數(shù)的平均數(shù)4當(dāng)

尤<y<z時(shí)，這個(gè)學(xué)生的最后得數(shù)（）

A.總等于AB.總小于A

C.總大于AD.有時(shí)大于A,有時(shí)等于A

6.四個(gè)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算比賽，程序是：在19,20,21,22,93,94這76個(gè)自然數(shù)的相鄰兩個(gè)數(shù)

之間任意添加“十”“一”號(hào)，然后，求其代數(shù)和.四個(gè)人得到的結(jié)果分別是1,153,4106,4260.老

師檢查后指出，只有一個(gè)結(jié)果是正確的，則這個(gè)結(jié)果是（）

A.1B.153C.4106D.4260

7.五名學(xué)生身高兩兩不同，把他們按從高到低的順序排列，設(shè)前三名的平均身高為。米，后兩名的

平均身高為6米，又設(shè)前兩名的平均身高為c米，后三名的平均身高為1米，則乎與營(yíng)的比

較結(jié)果為（）

a+bc+d

A.2大B.2大C.兩者相等D.無(wú)法確定

8.60名學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，若優(yōu)秀的學(xué)生占45%,則在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示優(yōu)秀的扇形圓心角度

數(shù)是__________度；若表示良好的扇形圓心角是120度，則良好的學(xué)生有名.

9.若干名同學(xué)制作迎奧運(yùn)卡通圖片，他們制作的卡通圖片張數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖7所示.設(shè)他們制

作的卡通圖片張數(shù)的平均數(shù)為。，中位數(shù)為6,眾數(shù)為c,則。、b、c的大小關(guān)系為.

5

10.某班全體學(xué)生進(jìn)行了一次籃球投籃練習(xí)，每人投球10個(gè)，每投進(jìn)一球得1分.得分的部分情況

如下表所示：

得分012???8910

人數(shù)754???341

已知該班學(xué)生中，至少得3分的人的平均得分為6分，得分不到8分的人的平均得分為3分，那么

該班學(xué)生有人.

11.五羊中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，滿分120分.規(guī)定不少于100分的獲金牌，80?99分的獲銀牌，統(tǒng)計(jì)得金

牌數(shù)比銀牌數(shù)少8,總獎(jiǎng)牌數(shù)比未獲獎(jiǎng)人數(shù)少9.后來(lái)改為不少于90分的獲金牌，70?89分的獲銀

牌，那么金、銀牌都增加了5塊，而且金牌選手和銀牌選手的總分剛好相同，平均分分別是95分和

75分，則參賽總?cè)藬?shù)是.

12.假設(shè)式子a#”*力表示經(jīng)過(guò)計(jì)算后，。的值變?yōu)樵瓉?lái)。與6的值的積，式子》#“一方表示經(jīng)計(jì)算

后，6的值變?yōu)樵瓉?lái)。與b的值的差.設(shè)開(kāi)始時(shí)a=2,b=—1,重復(fù)計(jì)算a#a*6,6共5次,

則計(jì)算結(jié)束時(shí)。與。的和是.

13.某市抽樣調(diào)查了1000戶家庭某年的年收入，其中年收入最高的只有一戶，是38000元，由于將

這個(gè)數(shù)據(jù)輸入錯(cuò)了，所以計(jì)算機(jī)顯示的這1000戶的平均年收入比實(shí)際平均年收入高出了342元，則

輸入計(jì)算機(jī)的那個(gè)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)是.

14.有"個(gè)連續(xù)的自然數(shù)1,2,3,n,若去掉其中的一個(gè)數(shù)x后，剩下的數(shù)的平均數(shù)是16,則

滿足條件的〃和x的值分別是.

15.為了檢查一批產(chǎn)品的合格率，從中抽查100個(gè)產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下:

數(shù)據(jù)a\〃2的〃4〃5〃6

個(gè)數(shù)51015202015105

其中。1，〃2，…，〃8均是從，、到大排列的兩位數(shù)，一且每個(gè)兩位數(shù)與它的反序數(shù)（12的反序數(shù)是

21）之和都為完全平方數(shù).則樣本的方差是.

16.將最小的31個(gè)正整數(shù)分成A、B兩組，且10在A組.如果把10從A組移到2組中，則A組中

各數(shù)的平均數(shù)增加B組中各數(shù)的平均數(shù)也增加!?問(wèn)：A組中原有多少個(gè)數(shù)？

22

6

17.某班參加一次智力競(jìng)賽，共a、b、c三題，每題得滿分或0分.其中題。滿分20分，題從題

c滿分均為25分.競(jìng)賽結(jié)果，每個(gè)學(xué)生至少答對(duì)了一題，三題全答對(duì)的有1人，答對(duì)其中兩道題的

有15人，答對(duì)題。的人數(shù)與答對(duì)題b的人數(shù)之和為29,答對(duì)題。的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為

25,答對(duì)題b的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為20.問(wèn)：這個(gè)班的平均成績(jī)是多少分？

18.某人擬將1,2,…，〃這〃個(gè)數(shù)輸入電腦求平均數(shù)，當(dāng)他認(rèn)為輸入完畢時(shí)，電腦顯示只輸入了

"―1個(gè)數(shù)，平均數(shù)為351,假設(shè)這〃一1個(gè)數(shù)輸入無(wú)誤.問(wèn)：未輸入的那個(gè)數(shù)是多少？

4

19.將若干由1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)寫(xiě)在紙上，然后刪去其中一個(gè)數(shù)，則余下的數(shù)的平均數(shù)為53,?問(wèn)：

刪去的那個(gè)數(shù)是多少？

20.某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽前60名獲獎(jiǎng).原定一等獎(jiǎng)5人，二等獎(jiǎng)15人，三等獎(jiǎng)40人；現(xiàn)調(diào)為一等獎(jiǎng)10

人，二等獎(jiǎng)20人，三等獎(jiǎng)30人.調(diào)整后一等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)降低3分，二等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)降低2分，三

等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)降低1分.如果原來(lái)二等獎(jiǎng)比三等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)多7分，問(wèn)：調(diào)整后一等獎(jiǎng)比二等獎(jiǎng)平

均分?jǐn)?shù)多幾分？

21.由9位裁判給參加健美比賽的12名運(yùn)動(dòng)員評(píng)分.每位裁判對(duì)他認(rèn)為的第1名運(yùn)動(dòng)員給1分，第

2名運(yùn)動(dòng)員給2分，…，第12名運(yùn)動(dòng)員給12分，最后評(píng)分結(jié)果顯示：每個(gè)運(yùn)動(dòng)員所得的9個(gè)分?jǐn)?shù)

中，高、低之差都不大于3.設(shè)各運(yùn)動(dòng)員的得分總和分別為G,C2,…，C12,且GWC2W…WG2,

求Q的最大值.

22.根據(jù)圖8(1)、(2)回答問(wèn)題:

7

(1)1997年與2000年相比，產(chǎn)值比值減少最多的是哪個(gè)產(chǎn)業(yè)？

(2)假定2000年光機(jī)電一體化的產(chǎn)值是1997年的兩倍，那么與1997年相比，2000年高新技術(shù)產(chǎn)

業(yè)工業(yè)總產(chǎn)值的增長(zhǎng)率是多少？

(3)2000年與1997年相比，高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)值總額增加最多的是哪個(gè)產(chǎn)業(yè)？

(I)1997年高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工業(yè)(2)2000年高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工業(yè)

總產(chǎn)值的分布情況總產(chǎn)值的分布情況

圖8

23.世界杯足球賽，每個(gè)小組有四個(gè)球隊(duì)，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間各賽一場(chǎng)，勝者得3分，負(fù)者不得分，平

局兩隊(duì)各得1分.每個(gè)小組總分最多的兩個(gè)隊(duì)出線.

(1)有人說(shuō)：“得6分的隊(duì)一定出線，得2分的隊(duì)一定不出線.”請(qǐng)判斷對(duì)錯(cuò)并說(shuō)明理由.

(2)如果在小組比賽中有一場(chǎng)平局，那么上述說(shuō)法是否正確？

8

第2講概率及其應(yīng)用

范例精講

例1已知乒乓球比賽采用七局四勝制（先贏滿四局者為勝）.2007年5月27日晚9點(diǎn)40分，第

19屆世乒賽男單決賽前四局結(jié)束了，馬琳以3：1領(lǐng)先王勵(lì)勤，此時(shí)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)給出

了如下說(shuō)法.甲：馬琳最終獲勝是必然事件.乙：馬琳最終獲勝是隨機(jī)事件.丙：王勵(lì)勤最終獲勝

是不可能事件.丁：王勵(lì)勤最終獲勝是隨機(jī)事件.四位同學(xué)中說(shuō)法正確的是（）.

A.甲和丙B.乙和丁C.乙和丙D.甲和丁

例2由一個(gè)圖案如圖1所示的正六邊形靶子上隨意拋一枚飛鏢，則飛鏢插在陰影區(qū)域的概率為

（）

圖1

例3一個(gè)袋子中裝有4個(gè)相同的小球，它們分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4.搖勻后隨機(jī)取出一球，記

下號(hào)碼后放回；再將小球搖勻，并從袋中隨機(jī)取出一球.則第二次取出的球的號(hào)碼不小于第一次取

出的球的號(hào)碼的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

4828

例4將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6的質(zhì)地均勻的正方體先后投擲兩次，記第一次擲

ax+by=3,

出的點(diǎn)數(shù)為a，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為b,則使關(guān)于x,y的方程組只有正數(shù)解的概率為

x+2y=2

()

例5有七張正面分別標(biāo)有數(shù)字-3,-2,-1,0,1,2,3的卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相

同.現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機(jī)抽取一張，記卡片上的數(shù)字為。，則使關(guān)于尤的一元二次方

程尤2-2（a-1）x+a（a-3）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且以尤為自變量的二次函數(shù)-

+1）x-〃+2的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0）的概率是.

9

例6某商場(chǎng)設(shè)計(jì)了兩種促銷(xiāo)方案.第一種是顧客在商場(chǎng)消費(fèi)每滿200元就可以從一個(gè)裝有100個(gè)

完全相同的球（球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,100）的箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球（摸后放回）.若球

上的數(shù)字是88,則返購(gòu)物券500元；若球上的數(shù)字是11或77,則返購(gòu)物券300元；若球上的數(shù)字

能被5整除，則返購(gòu)物券5元；若球上是其他數(shù)字，則不返購(gòu)物券.第二種是顧客在商場(chǎng)消費(fèi)每滿

200元直接獲得購(gòu)物券15元.估計(jì)促銷(xiāo)期間將有5000人次參加活動(dòng)，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明商家選擇

哪種促銷(xiāo)方案合算些.

例7楊華與李紅用5張同樣規(guī)格的硬紙片做拼圖游戲，正面如圖2所示，背面完全一樣，將它們

背面朝上洗勻后，同時(shí)抽出兩張.

規(guī)則如下：

當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成電燈或小人時(shí)，楊華得1分；

當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成房子或小山時(shí)，李紅得1分.

問(wèn)：游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；若你認(rèn)為不公平，如何修改游戲規(guī)則才能使游戲?qū)﹄p方

公平？

賽題訓(xùn)練

1.如圖4所示的兩個(gè)圓盤(pán)中，指針落在任意一個(gè)數(shù)所在區(qū)域上的機(jī)會(huì)均等，則兩個(gè)指針同時(shí)落在數(shù)

“1”所在區(qū)域上的概率是（）

10

-24

D.——

25

2.6張不同的卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字2,2,4,4,6,6,從中取出3張，則這3張卡片上所寫(xiě)的數(shù)字

可以作為三角形的三邊長(zhǎng)的概率是（）

1223

A.—B.—C.—D.一

2534

3.一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6.擲兩次該正方體，設(shè)其朝上

一面的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0,1,2,3的概率為尸o,P1，尸2,尸3，則尸0,尸1，尸2，

尸3中最大的是（）

A.P。B.PiC.P2D.P3

4.有一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體，六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6.一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)定:

在第〃關(guān)要擲該正方體及次，如果這〃次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于二，則算過(guò)關(guān)，否則，不算過(guò)

4

關(guān).現(xiàn)有下列說(shuō)法：①過(guò)第一關(guān)是必然事件；②過(guò)第二關(guān)的概率為3三5；③可以過(guò)第四關(guān)；④過(guò)第五

36

關(guān)的概率大于①其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

5.一個(gè)袋子中裝有4個(gè)相同的小球，它們分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4.搖勻后隨機(jī)取出一球，記下

號(hào)碼后放回；再將小球搖勻，并從袋子中隨機(jī)取出一球.則第二次取出球的號(hào)碼不小于第一次取出

球的號(hào)碼的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

4328

6.在100與200之間隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)x,如果[6]=12,那么[VI而x]=120的概率為（）

7.如果從某個(gè)五位數(shù)的集合中隨機(jī)地抽出一個(gè)數(shù)，它的各位數(shù)字之和均等于43,這個(gè)數(shù)可以被11

除盡的概率是（）

11

8.有兩張卡片：一張兩面都是紅的；另一張一面是紅的，另一面是藍(lán)的.兩張卡片被選擇的概率相

同（均為二）,現(xiàn)選擇一張放在桌上，若該卡片上面一面是紅的，那么下面一面也是紅的概率為（）

2

112

A.—B.-C.—D.一

4323

9.將1到9這幾個(gè)數(shù)字分別寫(xiě)在九張紙片上放在帽子里，杰克隨機(jī)取了一張又放了回去，接著吉爾

也隨機(jī)取了一張，杰克、吉爾兩個(gè)人所取數(shù)字和的個(gè)位數(shù)最可能是（）

A.0B.1C.8D.9

10.一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4；另一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體六

個(gè)面上的數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8.同時(shí)擲這兩個(gè)正方形，則其朝上的面的兩數(shù)字之和為5的

概率是.

11.口袋中有15個(gè)球，其中白球有尤個(gè)，綠球有2x個(gè)，其余為黑球.甲從袋中任意摸出一個(gè)球，

若為綠球則獲勝；甲摸出的球放回袋中，乙從袋中摸出一個(gè)球，若為黑球則獲勝.則當(dāng)x=

時(shí)，游戲?qū)?、乙雙方都公平.

12.某廣場(chǎng)地面鋪滿了邊長(zhǎng)為36cm的正六邊形地磚.現(xiàn)在向上拋擲半徑為6括cm的圓碟，圓碟落

地后與地磚間的縫隙不相交的概率大約是.

13.如圖5所示，有五張點(diǎn)數(shù)分別為2,3,7,8,9的撲克牌，從中任意抽取兩張，則其點(diǎn)數(shù)之積

是偶數(shù)的概率為.

圖5

14.袋中有9張數(shù)字卡，其數(shù)字分別為1至9.若一次隨機(jī)抽出3張，求被抽出的卡的數(shù)字全是奇

數(shù)的概率.

15.任意選擇一對(duì)有序整數(shù)（b,c）,其中每一個(gè)整數(shù)的絕對(duì)值小于或等于5,每一對(duì)這樣的有序整

數(shù)被選擇的可能性是相等的.求方程f+bx+c=0沒(méi)有相異正實(shí)根的概率.

12

16.如圖6所示，在梯形ABC。中，ZB=ZC=90°,ZD=60°,AB=1,DC=3,點(diǎn)尸在梯形內(nèi),

求且PZAOC的概率（兀取3）.

17.首先從集合｛1,2,3,…，99,100）中任意選取一數(shù)設(shè)為a,然后從同一集合中任意選取一

數(shù)設(shè)為6,求3“+78的末位數(shù)字是8的概率.

18.一個(gè)家庭中有3個(gè)孩子.

（1）求這個(gè)家庭有2個(gè)男孩和1個(gè)女孩的概率;

（2）求這個(gè)家庭至少有1個(gè)男孩的概率.

19.田忌賽馬是一個(gè)為人熟知的故事.傳說(shuō)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊王和田忌各有上、中、下等級(jí)的三匹馬，

同等級(jí)的馬中，齊王的馬比田忌的馬強(qiáng).有一天，齊王要與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局

各出一匹馬，每匹賽一次，贏得兩局者為勝.看樣子田忌似乎沒(méi)有什么勝的希望，但是田忌的謀士

了解到主人的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬要強(qiáng).

（1）如果齊王將馬按上、中、下的順序出陣比賽，那么田忌的馬如何出陣，田忌才能取勝？

（2）如果齊王將馬按上、中、下的順序出陣比賽，而田忌的馬隨機(jī)出陣，田忌獲勝的概率是多少？

（要求寫(xiě)出雙方對(duì)陣的所有情況）

20.（1）一個(gè)正三角形ABC的每一個(gè)頂點(diǎn)上各有一只螞蟻，每只螞蟻開(kāi)始朝另一只螞蟻?zhàn)鲋本€運(yùn)

動(dòng)，目標(biāo)角是隨機(jī)選擇的.求螞蟻不相撞的概率.

13

（2）隨機(jī)取多少個(gè)整數(shù)，才能使得這些數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù)的概率大于0.9?

21.有三張正面分別寫(xiě)有數(shù)字-2,-1,1的卡片，它們的背面完全相同.將這三張卡片背面朝上

洗勻后從中隨機(jī)抽取一張，以其正面數(shù)字作為x的值，放回卡片洗勻，再?gòu)娜龔埧ㄆ须S機(jī)抽取一

張，以其正面數(shù)字作為y的值，兩次結(jié)果記作（尤，y）.

（1）用樹(shù)狀圖或列表法表示（x,y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）求使分式J"?+上有意義的（尤，丫）出現(xiàn)的概率；

x-yx-y

（3）化簡(jiǎn)分式廠,一3?+上,并求使分式的值為整數(shù)的（X,y）出現(xiàn)的概率.

x-yx-y

14

第3講統(tǒng)計(jì)與概率

范例精講

例1下列說(shuō)法中正確的是（）

A.小紅和其他四個(gè)同學(xué)抽簽決定從星期一到星期五的值日次序，小紅第三個(gè)抽簽，她抽到星期

一的概率比前兩個(gè)人小.

B.某種彩票中獎(jiǎng)率為10%,小王同學(xué)買(mǎi)了10張彩票，一定有1張中獎(jiǎng).

C.為了了解一批炮彈的殺傷半徑，應(yīng)進(jìn)行普查.

D.晚會(huì)前，班長(zhǎng)對(duì)全班同學(xué)愛(ài)吃哪幾種水果做了民意調(diào)查，最終買(mǎi)什么水果由眾數(shù)決定.

例2在冬季籃球賽中，選手小明在第六、七、八、九場(chǎng)比賽中分別得了23分、14分、11分和20

分.他前九場(chǎng)的平均得分高于前五場(chǎng)的平均得分，如果他前十場(chǎng)的平均得分高于18分，那么他第十

場(chǎng)的得分至少為（）

A.27分B.29分C.31分D.33分

例3一場(chǎng)數(shù)學(xué)游戲在兩個(gè)學(xué)生甲、乙之間進(jìn)行.裁判先在黑板上寫(xiě)出正整數(shù)2,3,2006,然

后隨意擦去一個(gè)數(shù).接下來(lái)由乙、甲兩人輪流擦去其中的一個(gè)數(shù)（即乙先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后

甲再擦去另一個(gè)數(shù)，如此下去）.若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則判甲勝，否則，判乙勝.按照這種

游戲規(guī)則，求甲獲勝的概率.

例4國(guó)家規(guī)定“中、小學(xué)生每天在校體育活動(dòng)時(shí)間不少于1小時(shí)”.為此，某市就“你每天在校

體育活動(dòng)時(shí)間是多少”的問(wèn)題隨機(jī)調(diào)查了轄區(qū)內(nèi)300名初中學(xué)生.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計(jì)圖（部

分）如圖1所示，其中分組情況是：A組，f<0.5h；B組，0.5hWr<lh；C組，lh0<L5h；D組,

f21.5h.

請(qǐng)根據(jù)上述信息解答下列問(wèn)題：

（DC組的人數(shù)是；

（2）本次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在___________組內(nèi)；

（3）若該轄區(qū)約有24000名初中學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)其中達(dá)到國(guó)家規(guī)定體育活動(dòng)時(shí)間的人約有多少？

15

圖1

例5如圖2所示，有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)A被分成面積相等的三個(gè)扇形，轉(zhuǎn)盤(pán)2

被分成面積相等的四個(gè)扇形，每個(gè)扇形內(nèi)都涂有顏色.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，若一個(gè)轉(zhuǎn)

盤(pán)的指針指向紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)的指針指向藍(lán)色,則配成紫色；若其中一個(gè)指針指向分界線，需重

新轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán).

圖2

（1）用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤(pán)42配成紫色的概率.

（2）小強(qiáng)和小麗要用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做游戲，他們想出如下兩種游戲規(guī)則:

①轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，停止后配成紫色，則小強(qiáng)獲勝；否則小麗獲勝.

②轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，停止后指針都指向紅色，則小強(qiáng)獲勝；指針都指向藍(lán)色，則小麗獲勝.

判斷以上兩種規(guī)則的公平性，并說(shuō)明理由.

開(kāi)始

其

“2Z

r、

藍(lán)

紅

紅

藍(lán)

藍(lán)紅紅瞌藍(lán)

紅

如

紅

fl粼

工㈤

（藍(lán)，紅）他紅）

藍(lán)

也

四

K,覺(jué)

掠

闔

」㈤z

\(（說(shuō)藍(lán)）（藍(lán).藍(lán)）

圖3

16

例6在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，黑板上畫(huà)著如圖4所示的圖形.活動(dòng)前老師在準(zhǔn)備的四張紙片上分別寫(xiě)

上如下四個(gè)等式中的一個(gè)：

圖4

?AB=DC；

②NABE=ZDCE；

③AE=DE；

?ZA=ZD;

小明同學(xué)閉上眼睛先從四張紙片中隨機(jī)抽取一張，再?gòu)氖Ｏ碌募埰须S機(jī)抽取另一張.請(qǐng)結(jié)合圖形

解答下列兩個(gè)問(wèn)題：

（1）當(dāng)抽得①和②時(shí)，用①、②作為條件能判定A8EC是等腰三角形嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

（2）請(qǐng)你用樹(shù)狀圖或表格表示所抽取的兩張紙片上的等式的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（用序號(hào)表示），

并求以己經(jīng)抽取的兩張紙片上的等式為條件，使A8EC不能構(gòu)成等腰三角形的概率.

例7

一、問(wèn)題背景

某校九年級(jí)（1）班課題學(xué)習(xí)小組對(duì)家庭煤氣的使用量做了研究，其實(shí)驗(yàn)過(guò)程和對(duì)數(shù)據(jù)的處理如下：

仔細(xì)觀察家庭使用的電子打火煤氣灶，發(fā)現(xiàn)當(dāng)關(guān)著煤氣的時(shí)候，煤氣旋鈕（以下簡(jiǎn)稱旋鈕）的位置

為豎直方向，把這個(gè)位置定為0°,煤氣開(kāi)到最大時(shí)，位置為90。（以0°位置作起始邊，旋鈕和

起始邊的夾角）.將0。?90°平均分成五等份，代表不同的煤氣流量，它們分別是18。，36。，

54°,72°,90°,見(jiàn)圖6.

17

36054°

圖6不同旋鈕位置

在這些位置上分別以燒開(kāi)一壺水（3.75L）為標(biāo)準(zhǔn)，記錄所需的時(shí)間和所用的煤氣量，并根據(jù)旋鈕位

置以及燒開(kāi)一壺水所需時(shí)間（用/表示）、所用煤氣量（用V表示），計(jì)算出不同旋鈕位置所代表

的煤氣流量（用L表示），乙=上，數(shù)據(jù)見(jiàn)下表.這樣就可以研究煤氣流量和燒開(kāi)一壺水所需時(shí)間及

t

用氣量之間的關(guān)系了.

燒開(kāi)一壺水所需流量

位置

時(shí)間/min煤氣量/n?/(m3?min1)

18°190.130.0068

36°160.120.0076

54°130.140.0107

72°120.150.0124

90°100.170.0172

二、任務(wù)要求

1.作圖：將圖7中的直方圖補(bǔ)充完整，在圖8中作出流量與時(shí)間的折線圖.

2.填空：

①?gòu)膱D7可以看出，燒開(kāi)一壺水所需最少煤氣量為_(kāi)_________m3,此時(shí)旋鈕位置在__________.

②從圖8可以看出，不考慮煤氣用量，燒開(kāi)一壺水所用的最短時(shí)間為min,此時(shí)旋鈕位置

在__________.

圖7煤氣流盤(pán)和燒開(kāi)一壺水所需煤氣量關(guān)系圖

3.通過(guò)實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)你對(duì)上述結(jié)果（用煤氣燒水最省時(shí)和最省氣）做一個(gè)簡(jiǎn)要的說(shuō)明.

18

賽題訓(xùn)練

1.平面內(nèi)任選一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)都是絕對(duì)值小于或等于4的整數(shù)，且所有這樣的點(diǎn)被選中的概率

相等，所選的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離至多為2個(gè)單位的概率是（）

,13c15〃13r71

A.—B.—C.—D.—

81816416

2.A、B兩隊(duì)正進(jìn)行一系列的比賽.若兩隊(duì)中任何一隊(duì)贏得一盤(pán)的機(jī)會(huì)是均等的，但為了在一系列

比賽中獲勝，A隊(duì)必須贏2盤(pán)，8隊(duì)必須贏3盤(pán)，那么A隊(duì)獲勝的可能性是（）

A.11：5B.5：2C.8：3D.3：2

3.有兩個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤(pán)，每個(gè)圓盤(pán)被分成三等份，并且寫(xiě)上數(shù)字（見(jiàn)圖11）.箭頭所指部分的兩

個(gè)數(shù)的乘積是偶數(shù)的可能性為（）

圖11

4.任意選擇一對(duì)有序整數(shù)（b,c）,其中每一個(gè)整數(shù)的絕對(duì)值小于或等于5,每一對(duì)這樣的有序整

數(shù)被選擇的可能性是相等的，則方程式f+6x+c=0沒(méi)有相異正實(shí)根的概率是（）

A.咽B.”C.史D.這些都不對(duì)

121121121

5.若〃，仇。是從集合｛1,2,3,4,5｝中任取的三個(gè)元素（不一定不同）.則。為偶數(shù)的概

率為（）

、2口59-1-64

A.-B.C.—D.-----

51252125

6.一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體六個(gè)面上的數(shù)字分別為1,2,3,4,5,6.擲4次該正方體，依次得到

朝上的面上的數(shù)字分別為a,b,c,d,則在a,a+b,a+b+c,a+b+c+d中存在一個(gè)數(shù)等于4

的概率為（）

33「334「343-433

A.------B.------C.------D.------

1296129612961296

2112

7.一袋玉米中|■是白粒的、［是黃粒的，已知白粒的有1■會(huì)爆開(kāi)、黃粒的有三會(huì)爆開(kāi)，現(xiàn)從袋中任

選一粒放入鍋中爆花，則它是白粒玉米的概率為（）

19

8.一條繩子被任意割成兩段，較長(zhǎng)的一段至少是較短的一段的x倍的概率是（）

A.-B.-C.-^―D.

2xx+1x+1

9.將一組數(shù)據(jù)按由小到大（或由大到小）的順序排列，處于最中間位置的數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)

時(shí)），或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).現(xiàn)有一組數(shù)

據(jù)共100個(gè)數(shù)，其中有15個(gè)數(shù)在中位數(shù)和平均數(shù)之間，如果這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)都不在這

100個(gè)數(shù)中，那么這組數(shù)據(jù)中小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)占這100個(gè)數(shù)據(jù)的百分比是.

10.有A、B、C三人，A每說(shuō)3次話時(shí)有2次是真話，8每說(shuō)7次話時(shí)有6次是真話，C每說(shuō)5次

話時(shí)有4次是真話.如果有一句話，A、8都說(shuō)是對(duì)的，C說(shuō)是錯(cuò)的.那么，這句話對(duì)的概率是多少？

（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

11.編號(hào)為1到25的25個(gè)彈珠被分別放在A和B兩個(gè)籃子中.已知15號(hào)彈珠在籃子A中，把這

個(gè)彈珠從籃子A移到籃子B中，這時(shí)籃子A中的彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加L,籃子B中

4

彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加工，則原來(lái)在籃子A中有多少個(gè)彈珠？

4

12.如圖12所示，有8個(gè)木塊，其中2個(gè)木塊的每個(gè)面上寫(xiě)著“W”，2個(gè)木塊的每個(gè)面上寫(xiě)著“M”，

2個(gè)木塊的每個(gè)面上寫(xiě)著“T”，2個(gè)木塊的每個(gè)面上寫(xiě)著“C”.從這8個(gè)木塊中取出4個(gè)，求組

成“WMTC”的概率.（結(jié)果化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)）

圖12

20

13.有兩個(gè)質(zhì)地均勻的正方形，每個(gè)正方形的六個(gè)面上分別寫(xiě)有1,2,3,4,5,6,如果同時(shí)擲出

這兩個(gè)正方體，猜測(cè)擲出的正方形面朝上的數(shù)字之和，那么數(shù)字之和為多少的可能性最大？

14.如圖13所示，電路圖上有四個(gè)開(kāi)關(guān)A、B、C、。和一個(gè)小燈泡，閉合開(kāi)關(guān)?；蛲瑫r(shí)閉合開(kāi)關(guān)A、

B、C都可使小燈泡發(fā)光.

（1）任意閉合其中一個(gè)開(kāi)關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率為;

（2）任意閉合其中兩個(gè)開(kāi)關(guān)，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求出小燈泡發(fā)光的概率.

15.某校有A、8兩個(gè)餐廳，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個(gè)餐廳用餐.求:

（1）甲、乙、丙三名學(xué)生在同一個(gè)餐廳用餐的概率；

（2）甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有一個(gè)在B餐廳用餐的概率.

16.小明和小剛玩“石頭、剪刀、布”的游戲，每一局中雙方各自隨機(jī)地做出“石頭”“剪刀”“布”

三種手勢(shì)中的一種.規(guī)定“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，相同的手

勢(shì)是和局.

（1）用畫(huà)樹(shù)形圖或列表法計(jì)算在一局游戲中兩人獲勝的概率各是多少；

（2）如果兩人約定：只要誰(shuí)率先勝兩局，誰(shuí)就成為游戲的贏家.用畫(huà)樹(shù)形圖或列表法求只進(jìn)行兩局

游戲便能確定贏家的概率.

17