高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用蘇教版知識(shí)精講（通用）

1、高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用蘇教版蘇教版 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 二. 教學(xué)目的： （1）了解平均變化率的概念和瞬時(shí)變化率的意義；了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，體會(huì)導(dǎo) 數(shù)的思想及其內(nèi)涵。通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 （2）理解導(dǎo)數(shù)的定義，能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù) y=c，y=x，y=x2，y= 的導(dǎo)數(shù)。 1 x 了解基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；了解導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；能利用導(dǎo)數(shù)公式表的導(dǎo)數(shù)公式 和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 （3）了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求不超過三 次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 了解函

2、數(shù)的極大（?。┲怠⒆畲螅ㄐ。┲蹬c導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函 數(shù)的極大（小）值，以及在指定區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大（小）值。 （4）能用導(dǎo)數(shù)方法求解有關(guān)利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等最優(yōu)化問題；感受導(dǎo)數(shù) 在解決實(shí)際問題中的作用。 三. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其運(yùn)算。 教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。 四. 知識(shí)點(diǎn)歸納： 1、函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為( )yf x 12 ,x x 1 f xf x xx 21 2 ()- () 2、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若無(wú)限趨近于 0，比值( )yf x( , )a b 0 ( , )xa bx 無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù) A，則

3、稱在處可導(dǎo)，并稱常數(shù) 00 ()()f xxf xy xx ( )f x 0 xx A 為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。記作( )f x 0 xx 0 ()fx 3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。( )yf x 0 x( )yf x 0 x 由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步： （1）求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；( )yf x 0 x( )yf x 0 x （2）由切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，得切線方程為： 00 (,)xy 0 ()fx 。 000 ()()yyfxxx 特別地，如果曲線在點(diǎn)處的切線平行于 y 軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定( )y

4、f x 0 x 義，可得切線方程為： 0 xx 4、的導(dǎo)函數(shù)：( )yf x( )yfx 函數(shù)對(duì)于區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，若無(wú)限趨近于 0，比值( )yf x( , )a bx 無(wú)限趨近于，稱它為的導(dǎo)函數(shù)，記為 ()( )yf xxf x xx ( )fx( )yf x 。( )yfx 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值。( )yf x 0 x 0 ()fx( )yfx 0 xx 5、常見函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) （1）（a 為常數(shù)） 1aa ax)x( （2） ()ln(0,1) xx aaaaa且 （3） 1 (log) ln a x xa （4） () xx ee （5） 1 (ln )x x （

5、6） (sin )cosxx （7） (cos )sinxx 6、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) ( )( )( )( )u xv xu xv x ( )( )c u xc u x ( )( )( ) ( )( ) ( ).u xv xu x v xu x v x 2 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ( )0) ( )( ) u xu x v xu x v x v x v xvx 7、簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 的導(dǎo)函數(shù)：若，則()yf axb( ),yfaxb xx yyya 8、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （1）導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性： 對(duì)于函數(shù)，在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的增函數(shù)( )yf x( )0fx (

6、 )yf x 對(duì)于函數(shù)，在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的減函數(shù)( )yf x( )0fx ( )yf x （2）導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值點(diǎn)： 在的點(diǎn)處的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，則在處的函數(shù)值為極值。( )0fx 0 x( )yf x 0 xx 在的點(diǎn)處的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值左正右負(fù)，則在處的函數(shù)值為( )0fx 0 x( )yf x 0 xx 極大值。 在的點(diǎn)處的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值左負(fù)右正，則在處的函數(shù)值為( )0fx 0 x( )yf x 0 xx 極小值。 （3）導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值點(diǎn)： 求在區(qū)間上的最大值、 最小值可以分為兩步：( )yf x , a b 第一步 求在區(qū)間上的極值；( )yf x( , )a b 第二步 將

7、第一步中求得的極值與比較，得到在區(qū)間上( )( )f af b、( )yf x , a b 的最大值與最小值。 【典型例題典型例題】 例 1、已知，求在1，3上的平均變化率 2 ( )f xx( )yf x 解：解：4 例 2、已知一汽車在公路上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)， 秒時(shí)的速度為求時(shí)t 2 ( )3,v tt3t 汽車的瞬時(shí)加速度。 解：解：a=6 例 3、函數(shù)在到 x0+x 之間的平均變化率為，在 x0x 到之間的平均 2 yx 0 x 1 K 0 x 變化率為（x0） ，則（ ） 2 K A、 B、 C、 D、 12 KK 12 KK 12 KK 12 KK與大小關(guān)系不定 易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)

8、選 C，誤認(rèn)為是切線的斜線 正確答案是 A 因?yàn)?K12x0+x，K22x0x 例 4、設(shè)點(diǎn) P 是曲線上的任一點(diǎn)，P 點(diǎn)處的切線傾斜角為，則的取值范 3 1 3 yxx 圍是（ ） A、 B、 3 , ) 4 3 0,), ) 24 C、 D、 3 ,) 2 4 3 0, ) 24 易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)：選 D 正確：正確：y=x211。 例 5、 （1）曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為 。 32 31yxx （2）求過點(diǎn) P且與曲線相切的切線方程。 8 (2, ) 3 3 1 3 yx 解：解：（1）3x+y2=0 （2）易錯(cuò)點(diǎn)：設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0） ，則 得 x0=2 或 x0=1 3 0

9、2 0 0 18 33 2 x x x 所求的切線方程是 12x3y16=0 或 3x3y+2=0 正確解法：正確解法： 當(dāng) x02 時(shí)解法同上， 當(dāng) x02 時(shí)，切線方程為：y=4（x2） 8 3 綜上所求得直線方程 12x3y16=0 或 3x3y+2=0。 分析：分析：雖然答案相同，但是考慮的嚴(yán)密性不同，只能說答案相同是巧合而已。 例 6、 （1）函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值為 2 3 3 x y x 3x （2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3 ( )cos x f xxex （3）已知函數(shù)。求.( )(1)(2)f xx xx(2) f 解：（1） 2 3 y （2） 2 ( )3cossin xx fxxex

10、ex （3）( ) (1) (2) (1)(2)fxx xxx xx (2) (1) (22)2(2 1)2fx x 例 7、求的增區(qū)間是。 2 2lnyxx 1 ,) 2 例 8、已知在處有極值 0，求常數(shù) 322 3yxaxbxa1x , a b 錯(cuò)解：錯(cuò)解：y=3x2+6ax+b 2 36012 39310 abaa bbaba 或 正確解法：正確解法：下面檢驗(yàn) x=1 是否為極值點(diǎn)。 當(dāng) a=1，b=3，函數(shù) f（x）=3x2+6x+3=3（x+1）20，因?yàn)樵?x=1 兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)同號(hào)， 所以 x=1 不是極值點(diǎn)。 當(dāng) a=2，b=9，函數(shù) f（x）=3x2+12x+9=3（x2+4x

11、3） ，因?yàn)樵?x=1 兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異 號(hào)，所以 x=1 是極值點(diǎn)。 所以 a=2，b=9. 例 9、 （江蘇 9）已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于任 2 ( )f xaxbxc( )fx(0)0f 意實(shí)數(shù)都有，則的最小值為（C）x( )0f x (1) (0) f f A、 B、 C、 D、3 5 2 2 3 2 例 10、請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為 1m 的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng) 為 3m 的正六棱錐（如右圖所示） 。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) O 到底面中心 O1的距離為多少時(shí)， 帳篷的體積最大？ 解：解：設(shè) OO1為 x m， 則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為（單位：m） 于是底面正六邊形

12、的面積為（單位：m2） 222 3(1)82xxx 帳篷的體積為（單位：m3） 23 3 313 ( )(82)(1) 1(16 12) 232 V xxxxxx 求導(dǎo)數(shù)，得 2 3 ( )(123) 2 V xx 令解得 x=2（不合題意，舍去） ，x=2.( )0V x 當(dāng) 1x2 時(shí)，V（x）為增函數(shù)；( )0V x 當(dāng) 2x4 時(shí)，V（x）為減函數(shù)。( )0V x 所以當(dāng) x=2 時(shí)，V（x）最大。 答：答：當(dāng) OO1為 2m 時(shí)，帳篷的體積最大。 例 11、設(shè) x=0 是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn). 2 ( )()() x f xxaxb exR （）求 a 與 b 的關(guān)系式（用 a 表示 b

13、） ，并求的單調(diào)區(qū)間；)(xf （）設(shè)，使得|2 , 2,) 1()(, 0 21 22 問是否存在 x eaaxga 1| )()( 21 gf 成立？若存在，求 a 的取值范圍；若不存在，說明理由. 解：解：（I） x ebaxaxxf)2()( 2 由abf得, 0)0( 2a,xx,)x(f0 x 2ax, 0 x, 0)x(f e )2ax(xe x)2a (x)x(f e )aaxx()x(f 21 21 xx2 x2 即故的極值點(diǎn)是由于 得令 當(dāng)?shù)膯握{(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是)(,2 21 xfxxa故時(shí)), 2 0 , (a和 2, 0a 當(dāng)?shù)膯握{(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是)(,2

14、21 xfxxa故時(shí)), 02,(和a 0 , 2,a （II）當(dāng)上單調(diào)遞增，因此2 , 0,0 , 2)(, 22,0在上單調(diào)遞減在時(shí)xfaa )4( ,)2(,2max),0(2 , 2)( 2 eaafffxf上的值域?yàn)樵?上遞減，所以值域是：2 , 2) 1()( 22 在而 x eaaxg ,) 1( 42 eaa 2 (1)aa 因?yàn)樵?1) 1()()(,2 , 2 22 maxmin aaaaxgxf上 、使得成立。 1 所以不存在2 , 2 2 1| )()(| 21 gf 【模擬試題模擬試題】 （一）選擇題 1、函數(shù)，已知在時(shí)取得極值，則=（ ）93)( 23 xaxxxf

15、)(xf3xa A、2 B、3 C、4D、5 2、函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為（ ） 32 ( )31f xxx A、 B、 C、 D、(2)，(2)，(0)，(0 2)， 3、曲線在點(diǎn)處的切線方程是（ ） 3 4yxx1, 3 A、 B、 C、 D、74yx72yx4yx2yx 4、下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ） A、B、 2 x 1 1) x 1 x( 2lnx 1 )(log2 C、D、elog3)3( 3 xx xsinx2)xcosx( 2 5、已知函數(shù)的圖象如下圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)） ，下面四( )yxfx( )fx( )f x 個(gè)圖象中的圖象大致是（ ）( )yf x 6、設(shè)函數(shù)，且，

16、則（ ）( )()(2 )(3 )f xx xkxkxk (0) 6fk A、0 B、 1 C、 3 D、6 二、填空題 7、函數(shù)sin_. x yex的導(dǎo)數(shù)為 8、函數(shù) 1 2 0 33yxx 在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于_. 9、函數(shù) y=2x33x212x+5 在0，3上的最大值是 ；最小值是 。 10、過曲線 y=x3+x1 上一點(diǎn) P 的切線與直線 y=4x7 平行，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 。 11、若函數(shù) f（x）x3+x2+mx+1 是 R 上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 。 三、解答題 12、已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，下圖的曲線是其運(yùn)動(dòng)軌跡的一部 32 ( )s ttbtctd 分。

17、（）試求、之值；bc （）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍。 1 ,4 2 t 2 ( )3s tdd 13、統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度y （千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：已知x 3 13 8(0120). 12800080 yxxx 甲乙兩地相距 100 千米。 （）當(dāng)汽車以 40 千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ （）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 14、已知函數(shù) xxfln)( （）求函數(shù)的最大值； xxfxg) 1()( （）當(dāng)時(shí)，求證： ba 0 22 )(2 )()( ba aba

18、 afbf 【試題答案試題答案】 一、選擇題： 1、D2、D3、D4、B5、C6、B 二、填空題 7、cossin xx exex 8、 3 6 9、5；15 10、 （1，1）或（1，3） 11、 1 ) 3 ， 三、解答題 12、解：（） ，令，則對(duì)應(yīng)方程的兩根為 1，3， /2 ( )32s ttbtc /( ) 0s t 則 2 1 3 6 3 9 1 3 3 b b cc ， ， ， （）， 32 ( )69s ttttd 1 ( )13,4 2 s t 在，增；1, 3 減；增 且又。 1 (1)4(4)4( )4,4 2 max sdsds tdt ，則 。 2 4 431 3 dddd ，即或 13、解：（）當(dāng)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，40 x 100 2.5 40 要耗油（升） 。 3 13 (40408) 2.517.5