2020高中數(shù)學(xué) 第2章歸納總結(jié)同步導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修5（通用）

1、第二章歸納總結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)梳理1.深化對(duì)正、余弦定理的理解正弦定理與余弦定理是三角形邊角關(guān)系的重要定理，要理解兩個(gè)定理及其變形.(1)正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即：在ABC中，.正弦定理有以下三種變形形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=;其中R是ABC外接圓的半徑.a：b：c=sinA：sinB：sinC.(2)余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.即：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC.余弦定理的推論：co

2、sA=,cosB=,cosC=.2.剖析斜三角形的類型與解法正弦定理、余弦定理的每一個(gè)等式中都包含三角形的四個(gè)元素（三角形有三個(gè)角和三條邊，三角形的邊與角稱為三角形的元素），如果其中三個(gè)元素是已知的（至少要有一個(gè)元素是邊），那么這個(gè)三角形一定可解.關(guān)于斜三角形的解法，根據(jù)已知條件及適用的定理，可以歸納為以下四種類型（設(shè)三角形為ABC,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c）:已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角（如a,B,C）正弦定理由A+B+C=180,求角A；由正弦定理求出b與c，在有解時(shí)只有一解. 兩邊和夾角（如a,b,C）余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c;由正弦定理求出一邊所對(duì)的角；再由

3、A+B+C=180求出另一角，在有解時(shí)只有一解. 三邊（a,b,c）余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A+B+C=180,求出角C，在有解時(shí)只有一解. 兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a,b,A）正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由AB+C=180,求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c,可有兩解、一解或無解.3.解三角形常用的邊角關(guān)系及公式總結(jié)（1）三角形內(nèi)角和等于180.(2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.(3)三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角.(4)三角函數(shù)的恒等變形：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin.(5)三角恒等變換公式，如和、差角公式，倍角公式

4、的正用與逆用等.4.解讀判斷三角形形狀的兩種方法判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，此類題目一般采用以下兩種方法求解：（1）利用正弦定理化邊為角，通過三角運(yùn)算判斷三角形的形狀.(2)利用余弦定理化角為邊，通過代數(shù)運(yùn)算判斷三角形的形狀.注意：根據(jù)余弦定理判斷三角形的形狀時(shí)，當(dāng)a2+b2c,b2+c2a2,c2+a2c2,b2+c2a2,c2+a2b2中有一個(gè)關(guān)系式成立時(shí)，并不能得出該三角形為銳角三角形的結(jié)論.5.常用三角形面積公式總結(jié)（1）SABC=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分別為a,b,c邊上的高).（2）SABC=absinC=bcsinA=acsinB (R為A

5、BC的外接圓半徑).(3)SABC= (p=（a+b+c）).(4)SABC= (a+b+c)r(r為ABC的內(nèi)切圓半徑).6.點(diǎn)擊正、余弦定理解幾何問題的注意點(diǎn)（1）幾何圖形中幾何性質(zhì)的挖掘往往是解題的切入點(diǎn)，或是問題求解能否繼續(xù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn).(2)根據(jù)條件或圖形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等變形公式，正弦定理，余弦定理，或是綜合運(yùn)用這兩個(gè)定理.(3)要有應(yīng)用方程思想解題的意識(shí)，還要有引入?yún)?shù)，突出主元，簡化問題的解題意識(shí).7.細(xì)解正、余弦定理解實(shí)際應(yīng)用題的步驟實(shí)際應(yīng)用題的本質(zhì)就是解三角形，無論是什么類型的題目，都要先畫出三角形的模型，再通過正弦定理或余弦定理進(jìn)行求解.解三角

6、形應(yīng)用題的一般步驟是：（1）讀懂題意，理解問題的實(shí)際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系（2）根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型.(3)選擇正弦定理或余弦定理求解.(4)將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中單位、近似計(jì)算要求.專題探究專題1正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用應(yīng)用正、余弦定理解題時(shí)，要熟練、準(zhǔn)確地進(jìn)行三角恒等變換，同時(shí)應(yīng)注意三角形的一些隱含條件.例1在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c且4sin2 cos2B=.(1)求角B的度數(shù)；（2）若b=,a+c=3,且ac,求a,c的值.分析（1）將條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于B的三角函數(shù)關(guān)系式，通過解方程求得

7、角B.（2）由余弦定理列出關(guān)于a,c的方程組即可求出a,c的值.解析（1）在ABC中，由A+B+C180,得sin=cos.又由4sin2-cos2B=，得4cos2-2cos2B+1=.即4cos2B-4cosB+1=0,cosB=,B=60.（2）由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB,又b=,a+c=3,3=(a+c) 2-2ac-2accosB,ac=2.a+c=3有ac=2ac解得a=2,c=1.說明ABC中的隱含條件有：A+B+C=,sin(A+B)=sinC,cos(A+B) =-cosC,sin等.變式應(yīng)用1已知k是整數(shù)，鈍角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別

8、為a,b,c.(1)若方程x2-2kx+3k2-7k+3=0有實(shí)根，求k的值；（2）對(duì)于（1）中的k值，若sinC=,且有關(guān)系式（c-b）sin2A+bsin2B=csin2C,試求角A,B，C的度數(shù).解析 (1)方程x2-2kx+3k2-7k+3=0有實(shí)根，=4k2-4(3k2-7k+3)0，即2k2-7k+30.k3,又k為整數(shù)，k=1,2,3.(2)在鈍角三角形ABC中，0sinC1,k=1,sinC=.C=45或C=135.(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C,由正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,得(c-b)a2+b3-c3=0，即(b-c)(b

9、2+c2-a2+bc)=0,b=c或b2+c2-a2+bc=0.當(dāng)b=c時(shí)，B=45或135，與ABC為鈍角三角形矛盾.b2+c2-a2+bc=0,由余弦定理，得cosA=-,A=120,C=45,B=15.專題三角形中的幾何計(jì)算三角形中的幾何計(jì)算實(shí)際體現(xiàn)了三角形的幾何性質(zhì)的應(yīng)用.我們?cè)诶谜?、余弦定理求解三角形問題時(shí)，是通過代數(shù)運(yùn)算去判斷三角形的邊角關(guān)系.數(shù)形結(jié)合思想是通常情況下解決數(shù)學(xué)問題的途徑，如果我們能從圖形中尋找其幾何關(guān)系，并構(gòu)造相應(yīng)的三角形，則幾何圖形之間的關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為解三角形的問題解決.例2如圖所示，已知MON=60,Q是MON內(nèi)一點(diǎn)，它到兩邊的距離分別為2和11，求OQ的長

10、.分析由Q點(diǎn)向MON的兩邊作垂線，則垂足與O,Q四點(diǎn)共圓，且OQ為圓的直徑，由此可得OQ的長.解析作QAOM于A,QBON于B，連結(jié)AB,則QA=2,QB=11,且O,A,Q,B都在以O(shè)Q為直徑的圓上.AOB和AQB為同一弦AB所對(duì)的圓周角，且兩角互補(bǔ).AOB=60,AQB=120.在AQB中，由余弦定理，得AB2=AQ2+BQ2-2AQBQcosAQB=22+112-2211cos120=147,AB=7.在RtOBQ中，OQ=.又在AOB中，,OQ=14.說明與多邊形問題一樣，其他的幾何問題也可以轉(zhuǎn)化為三角形問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造三角形（一般可以構(gòu)造直角三角形）求解.本題的關(guān)鍵是通過過一點(diǎn)作角

11、兩邊的垂線所圍成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可知此四邊形內(nèi)接于一圓，OQ為圓的直徑.變式應(yīng)用2如圖，已知在梯形ABCD中，CD=2,AC=,BAD=60,求梯形的高.解析BAD=60,ADC=180-BAD=120.CD=2，AC=，根據(jù)正弦定理，得，sinCAD=.cosCAD=,sinACD=sin(60-CAD)=sin60cosACD-cos60sinCAD=.AD=3.h=ADsin60=專題3判斷三角形的形狀例3在ABC中，若B=60,2b=a+c,試判斷ABC的形狀.分析解決本題有兩種方法：一是將角化成邊，一是將邊化成角.解析解法一：由正弦定理，得2sinB=sinA+sinC.又B=60

12、,A+C=120.即A=120-C,代入上式，得2sin60=sin(120-C)+sinC.整理，得.sin(C+30)=1,C+30=90,C=60,A=60.ABC為正三角形.解法二：由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB.B=60且b=,（）2=a2+c2-2accos60.整理，得(a-c) 2=0,a=c,a=b=c,ABC為正三角形.說明在邊角混合條件下判斷三角形的形狀時(shí)，可考慮將邊化角，從角的關(guān)系判斷；也可考慮將角化邊，從邊的關(guān)系判斷.變式應(yīng)用3ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判斷三角形的形狀.解析解法一：將已知等式變形為b(1-c

13、os2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC,即有b2+c2-b2（）2-c2（）2=2bc,即b2+c2=a2.所以A=90,所以ABC為直角三角形.解法二：由=2R,則條件可化為4R2sin2Csin2B+4R2sin2Csin2B=8R2sinBsinCcosBcosC.又sinBsinC0,所以sinBsinC=cosBcosC，即cos（B+C）=0.又0B+C180,所以B+C=90,所以A=90.故ABC為直角三角形.命題方向正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例4在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O的南偏東方向300km的海面P處，并且以20km/h的速

14、度向西偏北45的方向移動(dòng).臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大.問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？分析本題需要解決兩個(gè)問題：一是t h后臺(tái)風(fēng)侵襲的半徑大??；二是t h后城市到臺(tái)風(fēng)中心Q的距離，若t時(shí)該城市受到侵襲，則此時(shí)OQ的大小應(yīng)不大于臺(tái)風(fēng)侵襲的半徑.解析設(shè)t h臺(tái)風(fēng)中心為Q，此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為（10t+60）km,若在t時(shí)刻城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則OQ10t+60.由余弦定理，知OQ2=PQ2+PO2-2PQPOcosOPQ，由于PO=300，PQ=20t，cosOPQ=cos(-45)=coscos45+sinsin45=.OQ2=202t2-9600t+3002，因此202t2-9600t+3002(10t+60) 2,即t2-36t+2880,解得