抽象函數(shù)性質(zhì)

1、抽象函數(shù)性質(zhì)概述抽象函數(shù)型綜合問題一般通過函數(shù)代數(shù)表示，綜合考察學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，考察函數(shù)代數(shù)推論和論證能力，考察學(xué)生對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識函數(shù)的周期性、對稱性一般與抽象函數(shù)結(jié)合，綜合考察函數(shù)的其他性質(zhì)函數(shù)的周期性必須壓迫周期函數(shù)的定義。 應(yīng)該注意的是，函數(shù)的周期性只與一個函數(shù)相關(guān)函數(shù)的對稱性比較復(fù)雜，必須區(qū)分一個函數(shù)的對稱性還是兩個函數(shù)的對稱性，區(qū)分軸對稱還是中心對稱一、基本定義1、定義1:(周期函數(shù))函數(shù)，如取定義域的各值時那樣，在有零以外的常數(shù)的情況下，函數(shù)被稱為周期函數(shù)，零以外的常數(shù)被稱為該函數(shù)的周期.2、定義2:(同一函數(shù)圖像的對稱性)如果函數(shù)圖像的任一點關(guān)于點(或

2、直線)對稱，則函數(shù)圖像關(guān)于點(或直線)對稱.3、定義3:(兩個函數(shù)圖像的對稱性)關(guān)于函數(shù)圖像的任一點點(或直線)的對稱點在函數(shù)的圖像上的情況下，相反，函數(shù)圖像的任意點關(guān)于點(或直線)的對稱點也在函數(shù)的圖像上，被稱為函數(shù)的圖像關(guān)于點(或直線)對稱.二、關(guān)于周期性、對稱性的幾個基本結(jié)論和證明1 .函數(shù)的定義域中，如果常數(shù)成立，則函數(shù)是周期性的周期函數(shù)2 .如果函數(shù)的定義域大，且常數(shù)成立，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱3 .如果函數(shù)的定義域中，常數(shù)成立，則函數(shù)的圖像是點對稱的4 .如果函數(shù)的定義域中，常數(shù)成立，則函數(shù)是周期性的周期函數(shù)5 .如果函數(shù)的定義域是定義域，則該圖像和函數(shù)關(guān)于直線對稱6 .如果函數(shù)

3、的定義域是定義域，則該圖像和函數(shù)是點對稱的略證： 1、函數(shù)是周期性的周期函數(shù)2 .函數(shù)圖像上關(guān)于任意點(滿意)直線的對稱點是因為點還在函數(shù)的圖像上，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱3 .關(guān)于函數(shù)圖像上任意點(滿足)點的對稱點是因為點還在函數(shù)的圖像上，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點是對稱的4、函數(shù)是周期性的周期函數(shù)5 .函數(shù)圖像上關(guān)于任意點(滿意)直線的對稱點是與在函數(shù)的圖像上放置點相反，函數(shù)的圖像的任何點關(guān)于直線也在函數(shù)圖像上，所以該圖像與函數(shù)關(guān)于直線對稱6 .關(guān)于函數(shù)圖像上任意點(滿足)點的對稱點是與將點放置在函數(shù)的圖像上相反，函數(shù)的圖像的任意點也處于關(guān)于點的對稱點，所以該圖像與函數(shù)關(guān)于點對稱三、關(guān)于周期性

4、、對稱性的幾個容易混淆的共同結(jié)論1 .如果滿足函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，函數(shù)和函數(shù)的圖像也軸對稱2 .如果滿足函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，而函數(shù)的圖像也關(guān)于原點對稱3 .如果滿足函數(shù)，則關(guān)于軸對稱地使函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱4 .如果滿足函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，而函數(shù)和函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱。5 .如果函數(shù)滿足，函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱函數(shù)和函數(shù)圖像是軸對稱的6 .如果滿足函數(shù)，則該函數(shù)的圖像是關(guān)于點對稱的，而該函數(shù)的圖像是關(guān)于原點對稱的7 .如果滿足函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，而函數(shù)的圖像也關(guān)于直線對稱8 .如果滿足函數(shù)，則函數(shù)的圖像是點對稱的函數(shù)和函數(shù)的圖像也是點對

5、稱的9 .若函數(shù)滿足，則函數(shù)是周期性周期函數(shù)，若函數(shù)滿足，則函數(shù)是周期性周期函數(shù)四、函數(shù)的周期性和對稱性的關(guān)系1、以上定義的函數(shù)是針對直線和對稱的，即，對于任何實數(shù)，如果函數(shù)同時滿足，則該函數(shù)是周期性的周期函數(shù)2、以上定義的函數(shù)是點和點的對稱性，即，如果函數(shù)同時對任意實數(shù)滿足，則該函數(shù)是周期性的周期函數(shù)3、以上定義的函數(shù)是線性和點對稱的，即，如果該函數(shù)同時對任何實數(shù)滿足，則該函數(shù)是周期性的周期函數(shù)證書：1、=函數(shù)是周期性的周期函數(shù)兩三件事都可以證明五、函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶的關(guān)系1、以上定義的函數(shù)是針對直線和對稱的，即對于任意實數(shù)，如果函數(shù)同時滿足，則該函數(shù)是周期性的周期函數(shù)，是偶然函數(shù)2

6、、以上定義的函數(shù)是線性和點對稱的，即，是奇數(shù)函數(shù)，如果該函數(shù)同時對任何實數(shù)滿足，則該函數(shù)是周期性的3、以上定義的函數(shù)是關(guān)于點和線對稱的，即，如果函數(shù)同時對任何實數(shù)滿足，則該函數(shù)是周期性的周期函數(shù)，并且是偶函數(shù)4、以上定義的函數(shù)如果同時對點和點的對稱性，即，對任意的實數(shù)滿足函數(shù)，則該函數(shù)為周期性的周期函數(shù)，并且是奇函數(shù)5、偶發(fā)函數(shù)關(guān)于直線對稱，即，如果對任意實數(shù)滿足函數(shù)，則是周期性的周期函數(shù).6 .如果偶發(fā)函數(shù)對點對稱，即對任意實數(shù)滿足函數(shù)，則是周期性的周期函數(shù)7 .奇函數(shù)關(guān)于直線對稱，即，如果對任何實數(shù)滿足函數(shù)，那么該奇函數(shù)為周期性函數(shù)8 .若奇函數(shù)是點對稱的，即，對任意實數(shù)滿足函數(shù)，則是周期性的周期函數(shù)證書：1 .在上述四個點中的第一點處獲得的函數(shù)是周期性的周期函數(shù)又來了函數(shù)是偶函數(shù)2、3、4同樣地可以證明. 5、6、7、8可以利用上述4個結(jié)論來證明.以上各結(jié)論可以作為特例理解正弦、馀弦函數(shù).六、其他結(jié)論1 .如果函數(shù)是偶函數(shù)，則該函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱2 .如果函數(shù)是奇函數(shù)，則該函數(shù)的圖像是點對稱的注：上述兩個結(jié)論可以通過圖像的移位來理解3、定義上的函數(shù)滿足，方程式有實根時，該實根之和為4、如果滿足定義上的函數(shù)，則函數(shù)的圖像是點對稱的略證任取、令、則通過中點式知道點和點關(guān)于點對稱.的任意性，知道函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱.5、函數(shù)是周期函數(shù)的常見結(jié)論是，函數(shù)