二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

1、3.4 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,一、兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念,二、n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念,它表明，兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積,一、兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念,兩事件A,B獨(dú)立 指 P(AB)=P(A)P(B),說(shuō)明,(1) 若離散型隨機(jī)變量 ( X, Y ) 的分布律為,(3)定理 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，令 其中 為連續(xù)函數(shù)，則U與V也相互獨(dú) 立,證: 必要性,對(duì)任何 x,y 有,取,X與Y相互獨(dú)立,附：,故,所以X與Y相互獨(dú)立,充分性,例1 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為,X Y 0 1 0 0.04 a 1 b 0.64,若X 和Y相

2、互獨(dú)立,則 a=_ b=_,0.16 0.16,圖,例2 學(xué)生甲,乙到達(dá)教室的時(shí)間均勻分布在79時(shí),設(shè)兩人 到達(dá)的時(shí)刻相互獨(dú)立，求兩人到達(dá)教室的時(shí)間相差不超過(guò) 5分鐘的概率,解 設(shè)X，Y分別表示甲，乙到達(dá)教室的時(shí)刻,由于X與Y相互獨(dú)立，故(X,Y)的概率密度為,返回,證:,對(duì)任何 x,y 有,取,X與Y相互獨(dú)立,例3,故,所以X與Y相互獨(dú)立,若對(duì)任意實(shí)數(shù) ，均有,則稱 X1, X2 , , Xn相互獨(dú)立.,設(shè)(X1, X2 , , Xn)的分布函數(shù)為F(X1, X2 , , Xn).,定理 設(shè)(X1, X2, , Xm)與(Y1, Y2, , Yn) 相互獨(dú)立, 則 Xi(i=1,2, m)與

3、Yj (j=1,2, n)相互獨(dú)立.又若 h, g為 連續(xù)函數(shù), 則h(X1,X2 ,Xm)與g(Y1,Y2 ,Yn)相互獨(dú)立.,若對(duì)任意實(shí)數(shù) x1, x2 , , xm ; y1, y2 , , yn 均有,則稱 X1, X2 , ,Xn與Y1, Y2 , , Yn相互獨(dú)立.,F(x1,xm , y1,yn)=F1 (x1,xm )F2(y1,yn),二、n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念,3.5 二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,Z=X+Y 的分布,三、最大值、最小值的分布,一、 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,二、 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,例1 設(shè)(X,Y)的分布律為,X,Y,0 1 2,-1 2,0.

4、2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2,解,(-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2),-1 0 1 2 3 4,(X,Y),Z=X+Y,Z=XY,0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2,0 -1 -2 0 2 4,Z=XY,0.1 0.3 0.3 0.1 0.2,-2 -1 0 2 4,一、 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,求 (1) Z=X+Y (2) Z=XY (3) Z=max(X,Y) (4)Z=min(X,Y) 的分布律.,Z= max(X,Y),0 1 2 2 2 2,X與Y獨(dú)立，X,Y取0,1,2，則Z=X+Y Z=max(X,Y) 的

5、分布律,設(shè)X與Y獨(dú)立，分別服從參數(shù)為 ， 的泊松分布，證明Z=X+Y服從參數(shù)為 的泊松分布。,【注】分布具有可加性,二、 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,設(shè)(X,Y)的概率密度為f (x, y), 求Z=g(X,Y)的分布.,一般方法：分布函數(shù)法,設(shè)(X,Y)的概率密度為f (x, y), Z=X+Y的分布函數(shù)為,1. Z=X+Y 的分布,Z=X+Y 的概率密度:,卷積公式,當(dāng)X,Y 相互獨(dú)立時(shí),例1 設(shè) XN(0, 1), YN(0, 1)且X與Y相互獨(dú)立，求 Z=X+Y的概率密度。,Z=X+YN(0,2).,解,(2) 若,一般結(jié)論：,(1) 若 且相互獨(dú)立， 則 X+Y 仍服從正態(tài)分布，且,

6、且相互獨(dú)立，則,有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.,例2 X和Y都是（0，a）上的均勻分布，求Z=X+Y的概率密度。,例2 在一簡(jiǎn)單電路中，兩電阻R1和R2串聯(lián)聯(lián)接，設(shè) R1, R2相互獨(dú)立，它們的概率密度均為,求總電阻R=R1+R2的概率密度.,解,x,z,z=x,z=x+10,例3 設(shè)X1, X2相互獨(dú)立分別服從參數(shù)為1, ; 2, 的分布, 即X1, X2的概率密度分別為,試證：X1 + X2服從參數(shù)為 1+2, 的分布.,注 函數(shù):,分布：若隨機(jī)變量X的概率密度為,分布的性質(zhì)：若X1 (1, )， X2 (2, )，且相互獨(dú)立，則 X1 + X2 (1+2, ).

7、,注 函數(shù):,則稱X服從參數(shù)為, 的分布.記為 X(, ).,若X1,X2,Xn相互獨(dú)立，且Xi 服從參數(shù)為i , (i=1,2,n)的的分布，則X1+X2+Xn服從參數(shù)為1+2+.+n, 的分布.,一般結(jié)論：,當(dāng) z 0 時(shí),證：,A,亦即Z=X1+X2服從參數(shù)為1+2, 的分布,A的計(jì)算：,注 函數(shù):,若X1,X2,Xn相互獨(dú)立，且Xi服從參數(shù)為i, (i=1,2,n)的的分布，則X1+X2+Xn服從參數(shù)為1+2+.+n, 的分布.,一般結(jié)論：,2. Z=Y/X 的分布、 Z=XY的分布,設(shè)X,Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x,y), 則Z=Y/X 、Z=XY仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，

8、其概率密度 分別為,當(dāng)X,Y 相互獨(dú)立時(shí),證:,y=xz,G1,G2,y=xz,(z0),G1,G2,(z0),例3 設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子元件的壽命，且 相互獨(dú)立, 服從同一分布，其概率密度為,求Z=Y/X的概率密度.,解,x,z,xz=1000,1000,1,被積函數(shù)的非零區(qū)域,0，,三、最大值、最小值的分布,設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函 數(shù)分別為FX(x),FY(y). 求 M=maxX,Y及N=minX,Y 的分布函數(shù).,對(duì)任意實(shí)數(shù)z,設(shè)X1,X2,Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為FXi(xi)，則 M=maxX1,X2,Xn與N=minX1,X2,Xn的分布函數(shù)分別 為,推廣：,特別，相互獨(dú)立且具有相同的分布函數(shù)F (x)時(shí)，有,例4 設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)組成,其壽命分別為X, Y 其概率密度分別為 其中0,0,. 試求聯(lián)接方式為： (1) 串聯(lián)，(2) 并聯(lián)時(shí) 系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度,解,(1)串聯(lián)系統(tǒng)：此時(shí)有 Z=minX,Y,并聯(lián)系統(tǒng)：,此時(shí)有 Z=maxX, Y,例 設(shè)某種商品一周的需求