矩陣的運算及其運算規(guī)則

1、矩陣基本運算及應(yīng)用201700060牛晨暉在數(shù)學中，矩陣是一個按照長方陣列排列的復數(shù)或?qū)崝?shù)集合。矩陣是高等代數(shù)學中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應(yīng)用數(shù)學學科中。在物理學中，矩陣于電路學、力學、光學和量子物理中都有應(yīng)用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應(yīng)用上簡化矩陣的運算。在電力系統(tǒng)方面，矩陣知識已有廣泛深入的應(yīng)用，本文將在介紹矩陣基本運算和運算規(guī)則的基礎(chǔ)上，簡要介紹其在電力系統(tǒng)新能源領(lǐng)域建模方面的應(yīng)用情況，并展望隨機矩陣理論等相關(guān)知識與人工智能電力系統(tǒng)的緊密結(jié)合。1矩陣的運算及其運算規(guī)則1.1矩陣的加法與

2、減法1.1.1運算規(guī)則 設(shè)矩陣，則 簡言之，兩個矩陣相加減，即它們相同位置的元素相加減！注意：只有對于兩個行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣（即同型矩陣），加減法運算才有意義，即加減運算是可行的1.1.2運算性質(zhì) 滿足交換律和結(jié)合律交換律 ； 結(jié)合律 1.2矩陣與數(shù)的乘法1.2.1 運算規(guī)則 數(shù)乘矩陣a，就是將數(shù)乘矩陣a中的每一個元素，記為或特別地，稱稱為的負矩陣1.2.2 運算性質(zhì) 滿足結(jié)合律和分配律結(jié)合律： ()a=(a) ； (+)a =a+a分配律： (a+b)=a+b1.2.3典型舉例 已知兩個矩陣 滿足矩陣方程，求未知矩陣解由已知條件知 1.3矩陣與矩陣的乘法1.3.1運算規(guī)則 設(shè)，則a與b

3、的乘積是這樣一個矩陣：(1) 行數(shù)與（左矩陣）a相同，列數(shù)與（右矩陣）b相同，即(2) c的第行第列的元素由a的第行元素與b的第列元素對應(yīng)相乘，再取乘積之和1.3.2典型例題 設(shè)矩陣 計算 解是的矩陣設(shè)它為 可得結(jié)論1：只有在下列情況下，兩個矩陣的乘法才有意義，或說乘法運算是可行的：左矩陣的列數(shù)右矩陣的行數(shù)； 結(jié)論2在矩陣的乘法中，必須注意相乘的順序即使在與均有意義時，也未必有=成立可見矩陣乘法不滿足交換律；結(jié)論3方陣a和它同階的單位陣作乘積，結(jié)果仍為a，即1.3.3 運算性質(zhì)（假設(shè)運算都是可行的） (1)結(jié)合律(2)分配律（左分配律）；（右分配律）(3)1.3.4 方陣的冪 定義：設(shè)a是方陣

4、，是一個正整數(shù)，規(guī)定 ， 顯然，記號表示個a的連乘積1.4矩陣的轉(zhuǎn)置1.4.1 定義 定義：將矩陣a的行換成同序號的列所得到的新矩陣稱為矩陣a的轉(zhuǎn)置矩陣，記作或例如，矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為1.4.2運算性質(zhì)（假設(shè)運算都是可行的）(1) (2) (3) (4)，是常數(shù)1.4.3典型例題 利用矩陣 驗證運算性質(zhì)： 解 ；而 所以定義：如果方陣滿足，即，則稱a為對稱矩陣對稱矩陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等1.5方陣的行列式1.5.1定義 定義：由方陣a的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣a的行列式，記作或1.5.2運算性質(zhì) (1) （行列式的性質(zhì)）(2) ，特別地： (3)

5、（是常數(shù)，a的階數(shù)為n）思考：設(shè)a為階方陣，那么的行列式與a的行列式之間的關(guān)系為什么不是，而是？不妨自行設(shè)計一個二階方陣，計算一下和例如，則于是，而 2光伏逆變器的建模光伏并網(wǎng)逆變器是將光伏組件輸出的直流電轉(zhuǎn)化為符合電網(wǎng)要求的交流點再輸入電網(wǎng)的關(guān)鍵設(shè)備，是光伏系統(tǒng)并網(wǎng)環(huán)節(jié)中能量轉(zhuǎn)換與控制的核心。光伏逆變器的性能不僅影響到光伏系統(tǒng)是否運行穩(wěn)定、安全可靠，也是影響整個系統(tǒng)使用壽命的主要因素。本節(jié)將分析主流光伏逆變器的拓撲結(jié)構(gòu)和建模方法。2.1系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)光伏并網(wǎng)逆變器按照不同的分類方式可分為多種類型。如按照交流側(cè)接線數(shù)可分為單相逆變器和三相逆變器，如按照并網(wǎng)方式可分為隔離型光伏逆變器和非隔離型光伏

6、逆變器。在歐洲，相關(guān)標準要求光伏逆變器可以采用非隔離型；而在美國，光伏逆變器必須采用隔離型的；我國目前尚沒有在此方面的明確要求。按照能量變換級數(shù)來分，光伏并網(wǎng)系統(tǒng)主要包括單級變換、兩級變換和多級變換三種拓撲結(jié)構(gòu)。為方面理解后續(xù)利用矩陣相關(guān)知識建模，下面對這三種拓撲結(jié)構(gòu)的特點做簡要介紹。1) 單級變換拓撲結(jié)構(gòu)單級變換拓撲結(jié)構(gòu)與前者相比，只有dc/ac逆變部分，該逆變器一般采用單相半橋、全橋電壓型逆變器或者三相全橋電壓型逆變器。這種類型的光伏逆變器具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉等優(yōu)點。由于該系統(tǒng)只有一級功率轉(zhuǎn)換電路，所有控制目標都要通過這一級功率轉(zhuǎn)換單元實現(xiàn)，因而增加了控制系統(tǒng)的復雜性。圖1為一典型的單極

7、變換單相光伏逆變器的拓撲結(jié)構(gòu)。這種光伏逆變器一般會安裝工頻變壓器。變壓器可以有效降低輸出側(cè)電壓，也可以起到有效隔離絕緣的效果，具有可靠性高、維護量少、開關(guān)頻率低和電磁干擾小等特點。圖1 單級單相光伏逆變器拓撲圖2) 兩級變換拓撲結(jié)構(gòu)兩級變換拓撲結(jié)構(gòu)一般由dc/dc變換器和dc/ac逆變器兩部分組成。前者一般采用比較常見的boost電路、buck-boost電路或cuk電路等，用來實現(xiàn)光伏陣列輸出功率的最大功率跟蹤的功能，dc/ac一般采用單相或三相的并網(wǎng)逆變器實現(xiàn)并網(wǎng)、有功調(diào)節(jié)、無功補償或者諧波補償?shù)认嚓P(guān)功能。圖2為一典型的兩級變換單相光伏逆變器的拓撲結(jié)構(gòu)。第一級是dc/dc變換環(huán)節(jié)，其拓撲類

8、型為boost電路，目的是把光伏組件輸出的不穩(wěn)定直流低電壓提升到可并網(wǎng)的穩(wěn)定直流高電壓。第二級是dc/ac逆變環(huán)節(jié)，由單相全橋的可逆pwm整流器構(gòu)成，這一級的功率開關(guān)可以采用mosfet或igbt。圖2 兩級變換單相光伏逆變器拓撲圖3) 多級變換拓撲結(jié)構(gòu) 采用高頻變壓器絕緣方式的多級變換拓撲結(jié)構(gòu)通過采用帶有整流器的高頻率變壓器來提升輸入電壓，具有體積小、重量輕、成本低等優(yōu)點，常用于并網(wǎng)型太陽能發(fā)電設(shè)備之中。圖3為一典型的帶高頻變壓器的多級變換單相光伏逆變器的拓撲結(jié)構(gòu)。這種拓撲結(jié)構(gòu)由于需要經(jīng)過三級能量變換，通常效率相對較低，并且由于高頻電磁干擾嚴重，必須采用濾波和屏蔽等相關(guān)措施。圖3 帶高頻變壓

9、器的多級式光伏逆變器拓撲圖2.2典型光伏逆變器的建模與兩級式光伏逆變器相比，單級式光伏逆變器只有一個能量變換環(huán)節(jié)，結(jié)構(gòu)緊湊、元器件少，能量轉(zhuǎn)換效率更高。目前，單級式三相光伏并網(wǎng)逆變器在大中型光伏電站的建設(shè)中得到了大規(guī)模的應(yīng)用。本節(jié)選取此類光伏逆變器作為典型進行建模分析。如圖4所示，三相光伏逆變器一般由防反沖二極管、直流母線穩(wěn)壓電容、dc/ac逆變環(huán)節(jié)、逆變器輸出濾波器組成。圖4 三相光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)電路圖假定三相電感且其等效電感、電阻值分別為l1=l2=l3=l和r1=r2=r3=r。三相全橋都是理想的開關(guān)管。光伏發(fā)電系統(tǒng)在三相靜止坐標系下的數(shù)學模型如下： (2.1)式中：ia、ib、ic三相

10、并網(wǎng)逆變器的輸出電流；ea、eb、ec三相電網(wǎng)電壓；sa、sb、sc開關(guān)函數(shù)；udc直流母線電壓；考慮直流母線中電流的穩(wěn)壓作用，則有 (2.2)式中：c直流母線穩(wěn)壓電容；ipv光伏陣列輸出電流。將公式2.2進行同步矢量旋轉(zhuǎn)變換，則得到dq坐標系下的三相光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)的模型為：(2.3)式中：id、iq逆變器輸出電流d、q軸（有功、無功）分量；ed、eq電網(wǎng)電壓d、q軸分量；sd、sq觸發(fā)三相逆變橋的開關(guān)信號d、q軸分量；電網(wǎng)電壓的角頻率，即dq坐標系的旋轉(zhuǎn)速度。公式2.3中兩個電流方程寫成矩陣形式為：(2.4)對公式2.4兩邊取拉式變換得(2.5)令=，=，相應(yīng)時域中有=，=，則公式2.5可

11、寫為(2.6)公式2.6的時域表達式為： (2.7)3 隨機矩陣相關(guān)理論3.1 隨機矩陣相關(guān)理論和要點隨機矩陣理論(random matrix theory，rmt)的研究起源于原子核物理領(lǐng)域。wigner在研究量子系統(tǒng)中得出結(jié)論，對于復雜的量子系統(tǒng)，隨機矩陣理論的預測代表了所有可能相互作用的一種平均。偏離預測的那部分屬性反映了系統(tǒng)中特殊非隨機的性質(zhì)，這為了解和研究潛在的相互作用和關(guān)系提供了理論支撐。rmt 以矩陣為單位，可以處理獨立同分布(independent identically distributed，iid)的數(shù)據(jù)。rmt 并不對源數(shù)據(jù)的分布、特征等做出要求(如滿足高斯分布，為he

12、rmitian 矩陣等)，僅要求數(shù)據(jù)足夠大(并非無限)。故該工具適合處理大多數(shù)的工程問題，特別適合用于分析具有一定隨機性的海量數(shù)據(jù)系統(tǒng)。隨機矩陣理論認為當系統(tǒng)中僅有白噪聲、小擾動和測量誤差時，系統(tǒng)的數(shù)據(jù)將呈現(xiàn)出一種統(tǒng)計隨機特性；而當系統(tǒng)中有信號源(事件)時，在其作用下系統(tǒng)的運行機制和內(nèi)部機理將會改變，其統(tǒng)計隨機特性將會被打破。單環(huán)定律(ring law)、marchenko-pastur定律(m-p law)均是rmt 體系的重大突破。在這些理論基礎(chǔ)上，可進一步研究隨機矩陣的線性特征根統(tǒng)計量(linear eigenvaluestatistics, les)，而平均譜半徑(mean spect

13、ral radius)則是les所構(gòu)造出的一個具體對象。3.2 隨機矩陣理論對電力系統(tǒng)的支撐全球正在經(jīng)歷由信息技術(shù)時代(it 時代)向數(shù)據(jù)技術(shù)時代(dt時代)的過渡，數(shù)據(jù)正逐步成為電力系統(tǒng)等大型民生系統(tǒng)的戰(zhàn)略資源。數(shù)據(jù)的價值在于其所蘊含的信息而并非數(shù)據(jù)本身，信息提取(information extraction)相關(guān)技術(shù)是數(shù)據(jù)增值業(yè)務(wù)的核心。智能電網(wǎng)的最終目標是建設(shè)成為覆蓋電力系統(tǒng)整個生產(chǎn)過程，包括發(fā)電、輸電、變電、配電、用電及調(diào)度等多個環(huán)節(jié)的全景實時系統(tǒng)。而支撐智能電網(wǎng)安全、自愈、綠色、堅強及可靠運行的基礎(chǔ)是電網(wǎng)全景實時數(shù)據(jù)的采集、傳輸和存儲，以及對累積的海量多源數(shù)據(jù)的快速分析。數(shù)據(jù)化是智能

14、電網(wǎng)建設(shè)的重要目標，也是未來電網(wǎng)的基本特征。智能電網(wǎng)是繼小型孤立電網(wǎng)、分布式互聯(lián)大電網(wǎng)之后的第三代電網(wǎng)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)錯綜復雜。同時，用戶側(cè)的開放致使新能源、柔性負荷、電能產(chǎn)消者(如ev)大規(guī)模介入電網(wǎng)，這也極大地加劇了電網(wǎng)運行機理和控制模型的復雜性。傳統(tǒng)的通過對個體元器件建模、參數(shù)辨識及在此機理模型上進行仿真的手段不足以認知日益復雜的電網(wǎng)；而另一方面，隨著智能電網(wǎng)建設(shè)進程的不斷深入，尤其是高級測量體系(advanced meteringinfrastructure，ami)和信息通信技術(shù)(informationcommunication technology，ict)的發(fā)展，數(shù)據(jù)將越來越容易獲取

15、，電網(wǎng)運行和設(shè)備監(jiān)測產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將呈指數(shù)級增長。然而，各電力部門普遍存在如下問題：1）從如此之多的數(shù)據(jù)中，能得到些什么？2）不同部門的數(shù)據(jù)為什么且如何混合在一起？3）壞(異常、缺失、時間不同步)數(shù)據(jù)如何處理？上述的典型問題也是現(xiàn)階段信息化建設(shè)所呈現(xiàn)的“重系統(tǒng)輕數(shù)據(jù)”模式的結(jié)果。該模式忽略了最重要的(也是理論要求最深的)數(shù)據(jù)資源利用環(huán)節(jié)，即將收集來的“數(shù)據(jù)原料”轉(zhuǎn)換成驅(qū)動力，以數(shù)據(jù)驅(qū)動(data-driven/model-free)為主要方式及時、準確地認知系統(tǒng)，故難以滿足系統(tǒng)決策制定(decision-making)的需求。從數(shù)據(jù)的角度出發(fā)，海量(volume)、多樣(variety)、實時(

16、velocity)、真實(veracity)的4 vs 數(shù)據(jù)是未來電網(wǎng)數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢，而4 vs 數(shù)據(jù)的復雜性所引起的維數(shù)災難(curseof imensionality)等問題將不可避免地產(chǎn)生且日益嚴峻。而隨機矩陣是元素為隨機變量(random variable)的一類矩陣，隨機矩陣理論(random matrix theory，rmt)主要研究隨機矩陣的特征根和特征向量的一些統(tǒng)計分析性質(zhì)，其核心為線性特征根統(tǒng)計量(linear eigenvalue statistic，les)。隨機矩陣知識與電力系統(tǒng)的廣泛結(jié)合將有的放矢的緩解這一問題。4 結(jié)論與展望 本文第二部分簡要介紹了矩陣基本知識在新能源領(lǐng)域建模的應(yīng)用情況。由此可見，矩陣基本知識已經(jīng)廣泛應(yīng)用與電力系統(tǒng)的各個領(lǐng)域多年。但近年來，隨著新能源裝機容量日益增長與新能源遠距離傳輸消納問題的日益凸顯。包括隨機矩陣在內(nèi)的新興相關(guān)知識與電力系統(tǒng)人工智能網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合日漸緊密。