專題3：實驗建模ch4.ppt

1、第四章 實驗建模(一),一.引言 什么情況下需要建立經(jīng)驗?zāi)Ｐ停?二.如何基于數(shù)據(jù)建立實驗?zāi)Ｐ停?尋找簡單的模型數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換 變換的目的：尋找簡單的模型 （變換后同一數(shù)據(jù)集合在圖形上的差異） 常用的變換（p104 表4-2 變換階梯） 例1 收獲藍(lán)魚 例2 收獲藍(lán)蟹（4.1節(jié)p105-108） 例1（4.2節(jié)p113） 選擇較好的模型多項式階的確定 均差 例2，3（4.3節(jié)p122） 插值 三.小結(jié)（p135-137）（仔細(xì)閱讀）,一.引言,什么情況下需要建立經(jīng)驗?zāi)Ｐ停?在擬合一條曲線時，理想的情況是：建模者利用一些假定來選擇一個特定的模型，以解釋觀測值反映的狀況.如果收集到的數(shù)據(jù)證實了這些

2、假定的合理性，建模者的任務(wù)就是根據(jù)某些準(zhǔn)則（例如最小二乘）為選定的曲線選取最佳的參數(shù).從而建立解釋已知狀況的模型. 但是在許多情況下，建模者不能構(gòu)造一個滿意的解釋已知狀況的易于處理的模型形式.這時，就可以進(jìn)行實驗（或收集更多的數(shù)據(jù)），在某一區(qū)域中選擇獨立變量的值研究相依變量的狀況.在此意義上，建模者是基于收集的數(shù)據(jù)構(gòu)造一個經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，而不是基于某些假定選擇一個模型. 在這種情況下，建模者要收集數(shù)據(jù)，細(xì)心分析數(shù)據(jù)的影響，搜尋一條曲線，追蹤數(shù)據(jù)的傾向，在數(shù)據(jù)點做出預(yù)測.,二.如何基于數(shù)據(jù)建立實驗?zāi)Ｐ停?（一）尋找簡單的模型數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換 1.變換的目的：尋找簡單的模型 對于同一個數(shù)據(jù)集合，采用不同

3、的變量形式，所擬合的模型是不一樣.合適的變量形式可以使數(shù)據(jù)間呈現(xiàn)簡單的關(guān)系（例如線形關(guān)系） 例如：,x=0 1 2.1 2.5 3.1 4 5.2 6 9.1 10; y= 0 0.55 2.205 3.12 4.805 8 13.52 18 41.405 49.5;,x=0 1 2.1 2.5 3.1 4 5.2 6 9.1 10; y= 0 0.55 2.205 3.12 4.805 8 13.52 18 41.405 49.5; hold on scatter(x,y,d),plot(x,y) scatter(x.2,y,rs),plot(x.2,y,r) axis(0 10 0 50)

4、,觀察變換后同一數(shù)據(jù)集合在圖形上的差異：將自變量看做x和看做x2所建立的模型是不一樣的. 畫出y關(guān)于x的圖像和y關(guān)于x2的圖像，觀察它們的差異. Matlab代碼如下：,變換后同一數(shù)據(jù)集合在圖形上的差異,結(jié)論：對于個同一數(shù)據(jù)集合： y與x之間是非線形的，模型比較復(fù)雜 y與x2之間是線形的，對應(yīng)的模型是簡單的線形模型 這就是說，對于同一個數(shù)據(jù)集合，我們要尋找合適的變量形式，以便使數(shù)據(jù)間呈現(xiàn)簡單的關(guān)系.即通過變換變量的形式尋找建模的模型. 2.常用的變換（見p104 表4-2） 在上例上，是將x變換為x2.實際上有更多的變化階梯.,： z3 z2 z z1/2 logz -1/ z1/2 -1/

5、z -1/ z2 ：,變化階梯，將z變成其他性似乎， 白色部分為常用的變換階梯,例1 收獲藍(lán)魚 （4.1節(jié)p105-108）,原始數(shù)據(jù)： 基底年 藍(lán)魚（104磅）,畫出y關(guān)于x的散點圖，觀察趨勢,x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,y 1.5 15 25 27.5 27 28 29 65 120 155 275,分析：這副圖所反應(yīng)的x和y的關(guān)系非常不直觀，我們不能選擇一個線形的模型或二次多項式模型來解釋它. 實驗：下面將試著對x或y按照變換階梯所提供的模式進(jìn)行變化，看看變換后的兩個量之間是否存在某個已知的容易處理的模型？ 我們先變換x：先把x變x3， x2， x1/2，等，并畫出

6、y關(guān)于變換后的x的圖像，看它們之間是否存在某個簡單的關(guān)系？ 如果沒有的話，在對y進(jìn)行同樣的變換 還是不行的話，對x和y同時進(jìn)行這些變換，指導(dǎo)找到我們滿意的結(jié)果. 注：可見通過實驗建模是比較煩瑣的，因此要有足夠的耐心。楊老師,下面是對x進(jìn)行階梯的變化,%對x進(jìn)行各種變換，并將y關(guān)于變化后的x的圖像畫在一個坐標(biāo)系中 x=0+eps:10; y=1.5 15 25 27.5 27 28 29 65 12 155 275; subplot(3,2,1), scatter(x.3,y) subplot(3,2,2), scatter(x.2,y) subplot(3,2,3), scatter(x.(1

7、/2),y) subplot(3,2,4), scatter(log10(x),y) subplot(3,2,5), scatter(-1./sqrt(x),y) subplot(3,2,6), scatter(-1./x.(-1),y),圖形顯示，對x的變換沒有產(chǎn)生線形圖形,下面第y進(jìn)行這些變換變化,%對y進(jìn)行階梯變化，并繪圖 x=0+eps:10; y=1.5 15 25 27.5 27 28 29 65 12 155 275; subplot(3,2,1), scatter(x,y.3) subplot(3,2,2), scatter(x,y.2) subplot(3,2,3), sca

8、tter(x,y.(1/2), r) subplot(3,2,4), scatter(x,log10(y), r) subplot(3,2,5), scatter(x,-1./sqrt(y) subplot(3,2,6), scatter(x,-1./y.-1),結(jié)果顯示，y（1/2）和log10（y）對x的圖形比變換x得到的圖形更接近直線.,我們看到，用y（1/2）和log10（y）對x的圖形比變換x得到的圖形更接近直線.選取log10（y）對x的模型.x是基底年,y單位是104旁 假設(shè)模型為 log10(y)mxb由matlab的polyfit 函數(shù)求得參數(shù)m和b，, x=0:10; y=

9、1.5 15 25 27.5 27 28 29 65 12 155 275; xishu=polyfit(x,log10(y),1),xishu = 0.1381 0.7686 %重新計算得到的m和b,與書中給出的0.1654 0.7231,誤%差分別為 -0.0273 和 0.0455,可接受,新的模型為,logy 0.1381x+ 0.7686,x=0:10; y=1.5 15 25 27.5 27 28 29 65 12 155 275; xx=0:0.01:10; yy=10.( 0.1381.*xx+ 0.7686); plot(x,y,*, xx,yy),繪圖比較,y10( 0.1

10、381x+ 0.7686),模型評價:原始數(shù)據(jù)和擬合曲線擬合的較好,但也可以看出誤差較大,但為了建立一個簡單的模型,我們得接受一些誤差.,例2 收獲藍(lán)蟹（4.1節(jié)p105-108）,原始數(shù)據(jù),基底年 藍(lán)魚（104磅 x y,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,10 85 133 250 300 370 440 466 480 442 500,下面是對x進(jìn)行階梯的變化,%對x進(jìn)行各種變換，并將y關(guān)于變化后的x的圖像畫在一個坐標(biāo)系中 x=0+eps:10; y=10 85 133 250 300 370 440 466 480 442 500; subplot(3,2,1), scatt

11、er(x.3,y) subplot(3,2,2), scatter(x.2,y) subplot(3,2,3), scatter(x.(1/2),y) subplot(3,2,4), scatter(log10(x),y) subplot(3,2,5), scatter(-1./sqrt(x),y) subplot(3,2,6), scatter(-1./x.-1,y),如圖,用x(1/2)代替x可以得到較好的線形圖形,假設(shè) y=kx1/2+b,確定系數(shù):, x=0+eps:10; y=10 85 133 250 300 370 440 466 480 442 500; xishu=polyf

12、it(sqrt(x),y,1) xishu = 176.6729 -44.8669,模型為:y=176.6729x1/2-44.8669,畫出圖形原數(shù)據(jù)圖與擬合后所得數(shù)據(jù)圖,對比擬合度,x=0:10; y=10 85 133 250 300 370 440 466 480 442 500; xx=0:0.01:10; yy=176.6729.*sqrt(xx)-44.8669; plot(x,y, *, xx,yy),這條曲線擬合了有關(guān)的數(shù)據(jù),是我們期望的簡單的單項數(shù)據(jù),小結(jié): 通過實驗的方法尋求數(shù)據(jù)間簡單的模型,關(guān)鍵在于細(xì)心的不厭其煩的通過階梯變換來尋求滿意的圖形.然后假設(shè)出簡單的模型,確定

13、系數(shù)后,再進(jìn)行驗證,如果數(shù)據(jù)和擬合曲線的擬合度較好,就可以建立這個單項模型了. 但是由于固有的簡單性,單項模型不可能擬合全部數(shù)據(jù)集,還需要其他的方法.我們將在后面繼續(xù)討論!,第四章 實驗建模(二),一.引言 什么情況下需要建立經(jīng)驗?zāi)Ｐ停?二.如何基于數(shù)據(jù)建立實驗?zāi)Ｐ停?尋找簡單的模型數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換 變換的目的：尋找簡單的模型 （變換后同一數(shù)據(jù)集合在圖形上的差異） 常用的變換（p104 表4-2 變換階梯） 例1 收獲藍(lán)魚 例2 收獲藍(lán)蟹（4.1節(jié)p105-108） 例1（4.2節(jié)p113） 選擇較好的模型多項式階的確定 均差 例2，3（4.3節(jié)p122） 插值 三.小結(jié)（p135-137）（

14、仔細(xì)閱讀） 附.matlab解方程的問題,例1帶式錄音機的播放時間（4.2節(jié)p113） 收集一個特定的錄音機的數(shù)據(jù)和相應(yīng)的錄音機的播放時間.建立播放時間模型.,錄音帶運動,錄影機工作原理,假設(shè)我們不可能構(gòu)造一個明確的模型.但我們?nèi)匀挥信d趣預(yù)測可能出現(xiàn)的情況.如何解決這一困難?作為一個例子,我們構(gòu)造一個經(jīng)驗?zāi)Ｐ?將錄音機的播放時間作為計數(shù)器讀數(shù)的函數(shù).預(yù)測其總數(shù).令ci表示計數(shù)器讀數(shù),ti(秒)表示對應(yīng)的播放時間.考慮下列數(shù)據(jù) 不妨構(gòu)造一個通過數(shù)據(jù)每一點的多項式型的經(jīng)驗?zāi)Ｐ?我們有八個數(shù)據(jù)點,應(yīng)期望構(gòu)造一個最高階為7的唯一多項式,記此多項式為 p7(c)=a0+a1c+a2c2+a3c3+a4c

15、4+a5c5+a6c6+a7c7 pi(c)是計數(shù)器ci的函數(shù),表示錄音機的播放時間. ai是多項式的各階系數(shù).,ci 100 200 300 400 500 600 700 800 ti 205 430 677 945 1233 1542 1872 2224,將八個數(shù)據(jù)點帶入多項式得到一個線形方程組(為了簡化方程,給計數(shù)器ci除以100),205=a0+a11+a212+a313+a414+a515+a616+a717 430=a0+a12+a222+a323+a424+a525+a626+a727 677=a0+a13+a232+a333+a434+a535+a636+a737 945=a

16、0+a14+a242+a343+a444+a545+a646+a747 1233=a0+a15+a252+a353+a454+a555+a656+a757 1542=a0+a16+a262+a363+a464+a565+a666+a767 1872=a0+a17+a272+a373+a474+a575+a676+a777 2224=a0+a18+a282+a383+a484+a585+a686+a787,解這個方程組得(請大家自己用matlab解):,a0=-13.9999923 a1=232.9119031 a2=-29.08333188 a3=19.78472156 a4=-5.35416

17、6491 a5=0.8013888621 a6=-0.0624999978 a7=0.0019841269,帶入得,模型 p7(c)= -13.9999923 +232.9119031c- 29.08333188 c2 +19.78472156c3- 5.354166491 c4+0.8013888621c5 - 0.0624999978 c6+0.0019841269c7,驗證:(見p114) (1)預(yù)測值四舍五入后與觀測值完全一致,產(chǎn)生零絕對偏差. (2)新模型p7(c)=a0+a1c+a2c2+a3c3+a4c4+a5c5+a6c6+a7c7 也非常好的追蹤了數(shù)據(jù)的趨勢. 疑問:我們真的

18、能夠認(rèn)為這一模型比其他模型好嗎? -4.3節(jié).p119例1 p122例2給出了否定的答案. p2(c)=a0+a1c+a2c2 這個模型更好. 閱讀:p115 高階多項式的優(yōu)缺點 和p118 低階多項式模型第一,二段.,(二)選擇較好的模型多項式階的確定,問題 應(yīng)該用多項式嗎?如果應(yīng)該,幾階的多項式是合適的? 答:若這個多項式的n階均差為0,則階取n-1是合適的. 均差 定義:,數(shù)據(jù) 均差 xi yi 2 3 4 x1 y1 x2 y2 ( y2-y1)/(x2-x1) x3 y3 ( y3-y2)/(x2-x1) 12-11/(x3-x1) x4 y4 ( y4-y3)/(x2-x1) 13

19、-13/(x3-x1) 22-21/(x4-x1) x5 y5 ( y5-y1)/(x2-x1) 14-13/(x3-x1) 23-22/(x4-x1) 331-32/(x5-x1),實例: 對模型p(x)=a+bx+cx2 一個設(shè)想的收集到的數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)的差分表,數(shù)據(jù) 差分 xi yi 2 3 4 0 0 2 4 4 4 16 12 8 6 36 20 8 0 8 64 28 8 0 0,xi 0 2 4 6 8 yi 0 4 16 36 64,均差表,數(shù)據(jù) 均差 xi yi 2 3 0 0 2 4 4/2=2 4 16 12/2=6 4/4 =1 6 36 20/2=10 4/4=1 0/6

20、=0 8 64 28/2=14 4/4=1 0/6=0,我們發(fā)現(xiàn)對于這樣的數(shù)據(jù),其三階均差為0了,所以,在擬合多項式時取階為2.,例2.再次(第三次)討論帶式錄音機的播放時間 從計算均差入手,確定多p119例1 確定的模型p2(c)=a0+a1c+a2c2 的階為2的合理性. 由表 4-18(p122)知,三階均差為0,故取階為2. 聯(lián)合對比,p8例1酵母培養(yǎng)物的增長和p124再論酵母培養(yǎng)物的增長兩例,體會如何確定多項式的階? 在p8例1酵母培養(yǎng)物的增長 中通過構(gòu)造的辦法確定了一個2階多項式模型. 在p124再論酵母培養(yǎng)物的增長 中我們通過計算均差來確定一個2階多項式模型.相對前面的辦法,這個辦法更有效.,附.matlab解方程的問題,問題一:WOER版教程11.2.1 一般方程式中,用solve(eq4,eq5,eq6) 解三個聯(lián)立方程式?jīng)]有結(jié)果.,原解: eq4 = 3*x+2*y-z=10; eq5 = -x+3*y+2*z=5; eq6 = x-y-z=-1; solve(eq4,eq5,eq6) ans = x: 1x1 sym y: 1x1 sym z: 1x1 sym,解釋: ans = x: 1x1 sym y: 1x1 sym z: 1x1 sym 含義是：結(jié)果保存在缺省的變量ans中，ans是一