《從力做的功到向量的數(shù)量積》課件.ppt

1、5 從力做的功到向量的數(shù)量積,2020/8/21,物理中我們學(xué)過功的概念，一個(gè)物體在力 的作用 下產(chǎn)生位移 （如圖）,力 所做的功W可用下式計(jì)算: 其中是 與 的夾角.,2020/8/21,當(dāng)090時(shí)，W0, 即力F做正功； 當(dāng)90時(shí)，W0，即力F不做功； 當(dāng)90180時(shí)，W0，即力F做負(fù)功.,從力所做的功出發(fā)，我們引入向量的數(shù)量積的概念.,2020/8/21,1.通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.（重點(diǎn)） 2.體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量射影的關(guān)系.,3.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律和它的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.（重點(diǎn)） 4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，

2、會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.（難點(diǎn)）,2020/8/21,兩個(gè)非零向量 和 ，作 ， ，則 （ ）叫作向量 與 的夾角,思考1 如何定義向量的夾角？,計(jì)算向量的夾角時(shí)要將兩個(gè)向量起點(diǎn)放在一起.,探究點(diǎn)1 向量的數(shù)量積,2020/8/21,由于零向量的方向是任意的，為方便起見， 規(guī)定:零向量可與任一向量垂直.,2020/8/21,，過點(diǎn)B 作BB1垂直于直線OA，垂足為 B1，則,| | cos叫作向量 在 方向 上的射影(也叫投影),當(dāng)為銳角時(shí)， | | cos_0,思考2 什么是向量的射影？,B1,2020/8/21,O,B,A,當(dāng)=0時(shí)， | |cos=_,| |,當(dāng)為鈍角時(shí)，

3、| | cos_0.,當(dāng)為直角時(shí)， | |cos_0,=,2020/8/21,O,B,A,當(dāng)=180時(shí)， | | cos=_,B1,物理實(shí)例中，與位移 方向一致的分力 的長(zhǎng)度為 cos，即是力 在 方向上的射影.,-| |,2020/8/21,思考3 平面向量的數(shù)量積的定義如何？ 已知兩個(gè)向量 與 ，它們的夾角為，我們把 | | |cos叫作 與 的數(shù)量積（或內(nèi)積）.記作 =| | | cos,注意：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量.,特別地:零向量與任一向量 的數(shù)量積為0.,2020/8/21, 已知 =(1,1), =(2,0), 與 的夾角= 45. 求 .,例1 已知| |=3，| |=4，且

4、與 的夾角=150，求 .,解： =| | |cos=34cos150 =34（- ）=6,解： | | = , | |=2, =45, 所以 =| | |cos= 2cos45= 2.,2020/8/21,思考4 數(shù)量積的幾何意義是什么？,2020/8/21,特別提醒： 1. 2.若 是單位向量,則,2020/8/21,重要性質(zhì)： 1.若 是單位向量，則： 2. 3. 4. 5. 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.,2020/8/21,思考5 數(shù)量積的物理意義是什么？,2020/8/21,反之成立嗎？,解答：不成立.,解答：成立.,思考：,探究點(diǎn)2 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律,2020/8/21,練習(xí)：判斷下

5、列說法的正誤,3若 ， =0，則 =,2若 ，則對(duì)任一非零向量 ,有 0,1若 = ，則對(duì)任一向量 ，有 = 0 ,4若 =0，則 , 中至少有一個(gè)為 ,5若 ， = ，則 =,6若 = ,且 ,當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)成立,7對(duì)任意向量 有,2020/8/21,例2 在ABC中，設(shè)邊BC，CA，AB的長(zhǎng)度分別為a，b，c，證明： a=b+c2 bccosA， b=c+a2cacosB， c=a+b2abcosC.,證明：設(shè) 則,同理可證其他兩式，我們把這個(gè)結(jié)果稱為余弦定理.,=b+c2 bccosA.,2020/8/21,向量法證明幾何問題的步驟： 1.將三角形的邊用有向線段表示. 2.根據(jù)向量的運(yùn)

6、算及向量的幾何意義，寫出向量之間的關(guān)系. 3.通過平方和向量的數(shù)量積整理出所要的結(jié)果.,2020/8/21,例3 證明菱形的兩條對(duì)角線互相垂直.,證明：菱形ABCD中，AB=AD，由于,可得,=0， 所以，,即菱形的兩條對(duì)角線互相垂直.,A,B,C,D,O,2020/8/21,證明線段垂直的方法： 1.取兩個(gè)不共線的向量作基底. 2.將要證明的向量用這兩個(gè)向量表示. 3.利用 進(jìn)行證明.,【提升總結(jié)】,2020/8/21,例4 已知單位向量 , 的夾角為60，求向量 , 的夾角.,解：由單位向量 , 的夾角為60，得,又,2020/8/21,設(shè) 與 的夾角為 ， 由可得,又 所以 . 即向量

7、與 的夾角為 .,2020/8/21,技巧點(diǎn)撥： 1.以 ， 為基底,計(jì)算 的值. 2.利用向量的夾角公式計(jì)算.,2020/8/21,1.判斷下列說法的正誤: （1）平面向量的數(shù)量積可以比較大小. ( ) （2） ( ) （3）已知 為非零向量,因?yàn)? = ， = 0, 所以 = ( ) (4) ( ),2020/8/21,2.ABC中， 則該三角形為( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定 【解析】由 知ABC為銳角； 由 知,ACB為鈍角.,C,2020/8/21,3.在ABC中，M是線段BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10， 則,_.,-16,-2,4.若|a|=1,|b|=2，且