3.1 簡(jiǎn)諧近似和簡(jiǎn)正坐標(biāo)、一維單原子鏈PPT參考課件.ppt

1、第三章 晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)Lattice vibrations and thermal properties of crystals,1,晶格中的格點(diǎn)表示原子的平衡位置 晶格振動(dòng)指原子在格點(diǎn)附近的振動(dòng),晶格振動(dòng)的研究，最早是從晶體熱學(xué)性質(zhì)開(kāi)始的,經(jīng)典統(tǒng)計(jì)對(duì) Dulong-Petit 經(jīng)驗(yàn)規(guī)律的說(shuō)明是把熱容量和原子振動(dòng)具體聯(lián)系起來(lái)的一個(gè)重要成就,不能解釋在較低溫度下熱容量隨溫度降低而不斷下降的現(xiàn)象,熱運(yùn)動(dòng)在宏觀性質(zhì)上最直接的表現(xiàn)就是熱容量,2,Einstein 發(fā)展了Planck 的量子假說(shuō), 第一次提出了量子熱容量理論, 得出熱容量在低溫范圍下降, 并在 T 0K 時(shí)趨于 0 的結(jié)論,量

2、子理論的熱容量值和經(jīng)典不同, 它與原子振動(dòng)的具體頻率有關(guān), 從而推動(dòng)了對(duì)固體原子振動(dòng)進(jìn)行具體的研究,這項(xiàng)在量子理論發(fā)展中占有重要地位的成就，對(duì)于原子振動(dòng)的研究也有重要影響,3,晶格振動(dòng)是研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過(guò)程的重要基礎(chǔ),對(duì)晶體的電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變 等一系列物理問(wèn)題, 晶格振動(dòng)都有著很重要的作用,以后的研究確立了晶格振動(dòng)采取 格波 的形式,這一章的介紹格波的概念, 并在晶格振動(dòng)理論的基礎(chǔ)上扼要講述晶體的宏觀熱學(xué)性質(zhì),4,3-1 簡(jiǎn)諧近似和簡(jiǎn)正坐標(biāo),從經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn), 晶格振動(dòng)是一個(gè)典型的小振動(dòng)問(wèn)題。凡是力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移時(shí), 該力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)都是小振動(dòng),

3、如果晶體包含 N 個(gè)原子, 平衡位置為 Rn , 偏離平衡位置的位移矢量為n(t), 則原子的位置 Rn(t) = Rn +n(t),1. 簡(jiǎn)諧近似,處理小振動(dòng)問(wèn)題時(shí)往往選用與平衡位置的偏離為宗量,位移矢量n(t) 的 3N 個(gè)分量寫(xiě)成i (i=1,2,3N),5,下腳標(biāo) 0 標(biāo)明是平衡位置時(shí)所具有的值. 可設(shè) V0=0, 有,略去二次以上的高階項(xiàng), 得到,N 個(gè)原子體系的勢(shì)能函數(shù)可以在平衡位置附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù),6,體系的勢(shì)能函數(shù)只保留至 i 的二次方項(xiàng), 稱(chēng)為簡(jiǎn)諧近似,處理小振動(dòng)問(wèn)題一般都取簡(jiǎn)諧近似 對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題是否可以采取簡(jiǎn)諧近似, 要看在簡(jiǎn)諧近似下得到的理論結(jié)果是否與實(shí)驗(yàn)相一致,高

4、階項(xiàng)的作用, 稱(chēng)為非諧作用,7,引入簡(jiǎn)正坐標(biāo) (normal coordinates),正交變換,N 個(gè)原子體系的動(dòng)能函數(shù)為,2. 簡(jiǎn)正坐標(biāo)與振動(dòng)模,使內(nèi)能函數(shù)和動(dòng)能函數(shù)化為平方項(xiàng)之和而無(wú)交叉項(xiàng),勢(shì)能系數(shù)為正值, 這里寫(xiě)成 j2, 表明原來(lái)原子在格點(diǎn)上是一穩(wěn)定的平衡狀態(tài),8,由分析力學(xué)的一般方法, 由動(dòng)能和勢(shì)能公式可以直接寫(xiě)出拉格朗日函數(shù) L=TV, 得到正則動(dòng)量,并寫(xiě)出哈密頓量,應(yīng)用正則方程得到,表明各簡(jiǎn)正坐標(biāo)描述獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng),這是 3N 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的方程,9,任意簡(jiǎn)正坐標(biāo)的解為,i 是振動(dòng)的圓頻率 i 2i . 原子的位移坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)之間存在著正交變換關(guān)系。當(dāng)只考慮某一個(gè) Qj 的振動(dòng)

5、時(shí),一個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)并不是表示某一個(gè)原子的振動(dòng), 而是表示整個(gè)晶體所有原子都參與的(簡(jiǎn)諧)振動(dòng), 而且它們的振動(dòng)頻率相同,由簡(jiǎn)正坐標(biāo)所代表的，體系中所有原子一起參與的共同振動(dòng)，常常稱(chēng)為一個(gè)振動(dòng)模（或簡(jiǎn)正模）,10,根據(jù)經(jīng)典力學(xué)寫(xiě)出的哈密頓量, 可以直接用來(lái)作為量子力學(xué)分析的出發(fā)點(diǎn), 只要把 pi 和 Qi 看作量子力學(xué)中的正則共軛算符,3. 量子描述,方程表示一系列相互獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子,按照一般的方法, 把 pi 寫(xiě)成 就得到波動(dòng)方程,11,對(duì)于其中每一簡(jiǎn)正坐標(biāo)有,諧振子方程的解,表示厄米多項(xiàng)式,12,系統(tǒng)的本征態(tài),可見(jiàn)只要能找到該體系的簡(jiǎn)正坐標(biāo), 或者說(shuō)振動(dòng)模, 問(wèn)題就解決了,下面將結(jié)合簡(jiǎn)單的例子

6、, 把這里的一般性結(jié)論具體化,13,3-1 簡(jiǎn)諧近似和簡(jiǎn)正坐標(biāo) 小 結(jié),體系的勢(shì)能函數(shù)展開(kāi)至位移坐標(biāo)的二次方項(xiàng), 稱(chēng)為簡(jiǎn)諧近似,由簡(jiǎn)正坐標(biāo)所代表的, 體系中所有原子一起參與的共同振動(dòng), 常常稱(chēng)為一個(gè)振動(dòng)模（或簡(jiǎn)正模）,簡(jiǎn)正坐標(biāo)是通過(guò)正交變換引入的, 使內(nèi)能函數(shù)和動(dòng)能函數(shù)同時(shí)化為平方項(xiàng)之和而無(wú)交叉項(xiàng)的坐標(biāo),14,3-2 一維單原子鏈,晶格具有周期性, 因而晶格的振動(dòng)模具有波的形式, 稱(chēng)為格 波,格波和一般連續(xù)介質(zhì)波有共同的波的特征，但也有它不同的特點(diǎn),一維原子鏈?zhǔn)顷P(guān)于格波的典型例子, 它的振動(dòng)既簡(jiǎn)單可解, 又能較全面地表現(xiàn)格波的基本特點(diǎn),1. 格波解,15,單原子鏈可以看作一個(gè)最簡(jiǎn)單的晶格,平衡

7、時(shí)相鄰原子間距為 a, 每個(gè)原胞內(nèi)含有一個(gè)原子, 質(zhì)量為 m,原子限制在沿鏈的方向運(yùn)動(dòng)，偏離格點(diǎn)的位移用 ,n-1, n, n+1, 表示,假設(shè)只有近鄰原子間存在相互作用, 互作用能可以一般地寫(xiě)成,表示對(duì)平衡 距離 a 的偏離,16,這里相互作用能保留到項(xiàng), 即簡(jiǎn)諧近似, 在這個(gè)近似下，相鄰原子間的作用力為,表明存在于相鄰原子間的是正比于相對(duì)位移的彈性恢復(fù)力,先根據(jù)牛頓定律用直接求解運(yùn)動(dòng)方程的方法, 求解鏈的振動(dòng)模。這和根據(jù)分析力學(xué)原理, 引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)是等效的。然后再說(shuō)明為二者之間的關(guān)系,17,右邊第 (n1) 個(gè)原子與它的相對(duì)位移是n1n, 力為(n1n),第 n 個(gè)原子受到左右兩個(gè)近鄰原子

8、的作用力,左邊第 (n1) 個(gè)原子與它的相對(duì)位移是nn-1,力為(nn-1),考慮到兩個(gè)力的作用方向相反, 得到運(yùn)動(dòng)方程,18,每個(gè)原子對(duì)應(yīng)有一個(gè)方程, 若原子鏈有 N 個(gè)原子, 則有 N 個(gè)方程, 上式實(shí)際上代表著 N 個(gè)聯(lián)立的線(xiàn)性齊次方程,方程具有“格波”形式的解,其中、A 為常數(shù). 由于方程是線(xiàn)性齊次的, 可以用復(fù)數(shù)形式的解，其實(shí)部或虛部部分都代表方程的實(shí)解. 有,19,它與 n 無(wú)關(guān), 表明 N 個(gè)聯(lián)立的方程都?xì)w結(jié)為同一個(gè)方程,通常把 和 q 之間的關(guān)系稱(chēng)為色散關(guān)系 dispersion relation,也就是說(shuō), 只要和 q 之間滿(mǎn)足上式的關(guān)系, 前面的解就表示了聯(lián)立方程組的解,2

9、0,有完全相同的形式, 其中 是波的圓頻率, 是波長(zhǎng), q = 2/稱(chēng)為波數(shù),它與一般連續(xù)介質(zhì)波,的物理意義:,區(qū)別于連續(xù)介質(zhì)波中 x 表示空間任意一點(diǎn)，而在這里只取 na 格點(diǎn)的位置，這是一系列呈周期性排列的點(diǎn),一個(gè)格波解表示所有原子同時(shí)做頻率為的振動(dòng), 不同原子之間有位相差。相鄰原子之間的位相差為 aq,21,如果在 中把 aq 改變一個(gè) 2 的整數(shù)倍, 所有原子的振動(dòng)實(shí)際上完全沒(méi)有任何不同。這表明 aq 可以限制在下面范圍內(nèi),或,這個(gè)范圍以外的 q 值, 并不能提供其它不同的波,q 的取值范圍常稱(chēng)為布里淵區(qū) (Brillouin zone),格波與連續(xù)介質(zhì)波一個(gè)重要的區(qū)別在于波數(shù) q 的

10、含義,22,每個(gè)原子的位移畫(huà)在垂直鏈的方向,實(shí)線(xiàn)表示把原子振動(dòng)看成q=/2a (即波長(zhǎng)=4a 的波),虛線(xiàn)表示完全相同的原子振動(dòng), 同樣可看成 q=5/2a (即波長(zhǎng)= 4a/5 的波),二者 aq 相差 2, 按前一種方式, 兩相鄰原子振動(dòng)位相差是/2, 后一種方式相當(dāng)于 (2+/2), 效果完全是一樣的,23,問(wèn)題：q=7/2a 波與 q=/2a 的波等價(jià)嗎？ 不等價(jià),24,前面所考慮的運(yùn)動(dòng)方程只適用于無(wú)窮長(zhǎng)的鏈,為了避免這種情況, 玻恩-卡曼(Born-von Karman) 提出包含 N 個(gè)原胞的環(huán)狀鏈作為一個(gè)有限鏈的模型, 它包含有限數(shù)目的原子, 然而保持所有原胞完全等價(jià), 以前的運(yùn)

11、動(dòng)方程仍舊有效,雖然僅少數(shù)原子運(yùn)動(dòng)方程不同，但由于所有原子的方程都是聯(lián)立的，具體解方程就復(fù)雜得多,在只有近鄰相互作用時(shí)，最兩端的原子只受到一個(gè)近鄰的作用，它們將有與其它原子形式不同的運(yùn)動(dòng)方程,25,若環(huán)半徑很大, 沿環(huán)的運(yùn)動(dòng)仍舊可以看作是直線(xiàn)的運(yùn)動(dòng),區(qū)別只在于必須考慮到鏈的循環(huán)性, 原胞的標(biāo)數(shù) n 增加 N, 振動(dòng)情況必須復(fù)原, 這要求,或,26,N 就是一維單原子鏈的自由度數(shù), 這表明已經(jīng)得到鏈的全部振動(dòng)模,前面指出, q 的取值范圍由 /a 到/a, h 的取值只能由N/2 到 N/2, 一共有 N 個(gè)不同數(shù)值,所以, 由 N 個(gè)原胞組成的鏈, q 可以有 N 個(gè)不同的值, 每個(gè) q 對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的格波, 共有 N 個(gè)不同的格波,玻恩-卡曼的模型起著一個(gè)邊界條件的作用, 用這個(gè)模型并未改變運(yùn)動(dòng)方程的解, 而只是對(duì)解提出一定條件 , 稱(chēng)它為玻恩卡曼條件, 或稱(chēng)為周期性邊界條件,27,色散關(guān)系的兩點(diǎn)討論:,取正根,由于格波的特性, q 的取值在-/a 到 +/a 之間,由于周期性邊界條件, q 的允許值為這一區(qū)間中均勻分布的 N 個(gè)點(diǎn),28,當(dāng) q 遠(yuǎn)小于/a, 相當(dāng)于波長(zhǎng)a, 正比于 q, 即,這類(lèi)似于連續(xù)介質(zhì)波的情況。如果注意到相