生物種群模型

1、生物種群模型,穩(wěn)定性模型,對象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)間充分長以后過程的變化趨勢 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。,不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。,微分方程穩(wěn)定性理論,一、一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,一階非線性（自治）方程,F(x)=0的根x0 微分方程的平衡點(diǎn),不求x(t), 判斷x0穩(wěn)定性的方法直接法,(1)的近似線性方程,二、二階方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性,穩(wěn)定點(diǎn),平衡點(diǎn),稱為方程（2）的平衡點(diǎn)記為,線性常系數(shù)方程穩(wěn)定性判別方法,平衡點(diǎn)p0(0,0)的系數(shù)矩陣A的特征值1，2的性質(zhì)所決定,結(jié)論：,若p0,q0,則平衡點(diǎn)穩(wěn)定；若p0或q0,則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,對于方程：

2、,線性化：,穩(wěn)定性結(jié)論見上表,捕 魚 的 數(shù) 學(xué) 模 型,6.2 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲,再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）,再生資源應(yīng)適度開發(fā)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。,問題及 分析,在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。,如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。,背景,考察一個(gè)漁場，其中的魚量在天然環(huán)境下按一定規(guī)律增長。,產(chǎn)量模型,假設(shè),無捕撈時(shí)魚的自然增長服從 Logistic規(guī)律,單位時(shí)間捕撈量與漁場魚量成正比,建模,捕撈情況下漁場魚量滿足,不需要求解x(t), 只需知道x(t)穩(wěn)定的條件,r固有增長率, N最大魚量,h(x)

3、=Ex, E捕撈強(qiáng)度,x(t) 漁場魚量,產(chǎn)量模型,穩(wěn)定性判斷,x0 穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量,x1 穩(wěn)定, 漁場干枯,E捕撈強(qiáng)度,r固有增長率,產(chǎn)量模型,在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大,圖解法,P的橫坐標(biāo) x0平衡點(diǎn),P的縱坐標(biāo) h產(chǎn)量,產(chǎn)量最大,控制漁場魚量為最大魚量的一半,效益模型,假設(shè),魚銷售價(jià)格p,單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c,單位時(shí)間利潤,在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大.,求E使R(E)最大,漁場魚量,收入 T = ph(x) = pEx,支出 S = cE,捕撈過度,封閉式捕撈追求利潤R(E)最大,開放式捕撈只求利潤R(E) 0,R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度(臨界強(qiáng)度

4、) Es=2ER,臨界強(qiáng)度下的漁場魚量,捕撈過度,令=0,種群的相互競爭模型,種群的相互競爭,一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強(qiáng)食。,當(dāng)兩個(gè)種群為爭奪同一食物來源和生存空間相互競爭時(shí)，常見的結(jié)局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。,建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。,模型假設(shè),有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;,兩種群在一起生存時(shí)，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比; 甲對乙有同樣的作用。,對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1) 的 1 倍。,模型,僅當(dāng)1,

5、 2 1時(shí)，P3才有意義,模型,平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析,平衡點(diǎn) Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0,種群競爭模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性,不穩(wěn)定,21,11,P1, P2 是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn),P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn),11, 21,P1穩(wěn)定的條件 11 ?,11,21,穩(wěn)定條件,平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的相軌線分析,從任意點(diǎn)出發(fā)(t=0)的相軌線都趨向P1(N1,0) (t),P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(diǎn),(1) 21, 11,有相軌線趨向P1,有相軌線趨向P2,P1穩(wěn)定的條件：直接法21,(3) 11, 21,(2) 11, 21,(4) 11, 21,加上與(4)相區(qū)別的 11,P2 穩(wěn)定,P3

6、穩(wěn)定,結(jié)果解釋,對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1 倍。,P1穩(wěn)定的條件：11,21 甲的競爭力強(qiáng),甲達(dá)到最大容量，乙滅絕,P2穩(wěn)定的條件：11, 21,P3穩(wěn)定的條件：11, 21,通常1 1/2，P3穩(wěn)定條件不滿足,種群的相互依存,甲乙兩種群的相互依存有三種形式,1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長。,2) 甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存 時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長。,3) 甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長。,模型假設(shè),甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律; 甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促

7、進(jìn)增長。,乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用 (服從Logistic規(guī)律)。,模型,乙為甲提供食物是甲消耗的1 倍,甲為乙提供食物是乙消耗的2 倍,種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性,P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn),平衡點(diǎn)P2穩(wěn)定性的相軌線,11, 121,P2穩(wěn)定,121 前提下P2存在的必要條件,結(jié)果解釋,21 甲必須為乙提供足夠的食物甲為乙提供的食物是乙消耗的 2 倍,11, 121條件下使121 成立,P2穩(wěn)定條件：11, 121,甲可以獨(dú)自生存,乙不能獨(dú)立生存,6.5 種群的弱肉強(qiáng)食(食餌-捕食者模型),種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙

8、靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。,模型的歷史背景一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時(shí)捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？,食餌（甲）數(shù)量 x(t), 捕食者（乙）數(shù)量 y(t),甲獨(dú)立生存的增長率 r,乙使甲的增長率減小，減小量與 y成正比,乙獨(dú)立生存的死亡率 d,甲使乙的死亡率減小，減小量與 x成正比,方程(1),(2) 無解析解,食餌-捕食者模型(Volterra),a 捕食者掠取食餌能力,b 食餌供養(yǎng)捕食者能力,Volterra模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,平衡點(diǎn),穩(wěn)定性分析,P點(diǎn)穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析,p =0,

9、q 0 P: 臨界狀態(tài),q 0 P 不穩(wěn)定,用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解,xy 平面上的相軌線,計(jì)算結(jié)果（數(shù)值，圖形）,x(t), y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線,x(t), y(t)的周期約為9.6,xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9,用數(shù)值積分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值約為25, y(t)的平均值約為10。,食餌-捕食者模型(Volterra),用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性,c 由初始條件確定,在相平面上討論相軌線的圖形,用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性,相軌線,時(shí)無相軌線,以下設(shè),相軌線,P中心,相軌線

10、是封閉曲線,求x(t), y(t) 在一周期的平均值,軌線中心,用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性,x(t) 的“相位”領(lǐng)先 y(t),模型解釋,初值,相軌線的方向,模型解釋,r 食餌增長率,d 捕食者死亡率,b 食餌供養(yǎng)捕食者能力,捕食者 數(shù)量,食餌數(shù)量,a 捕食者掠取食餌能力,捕食者數(shù)量與r成正比, 與a成反比,食餌數(shù)量與d成正比, 與b成反比,模型解釋,一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚的比例卻在增加，為什么？,rr-1, dd+1,捕撈,戰(zhàn)時(shí)捕撈,rr-2, dd+2 , 2 1,食餌(魚)減少， 捕食者(鯊魚)增加,自然環(huán)境,還表明：對害蟲(食餌)益蟲(捕食者)系統(tǒng)，使用滅兩種蟲的殺蟲劑, 會(huì)使害蟲增加，益蟲減少。,食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點(diǎn)與改進(jìn),Volterra模型,多數(shù)食餌捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩,而是趨向某個(gè)平衡狀態(tài),即存在穩(wěn)定平衡點(diǎn),有穩(wěn)定平衡點(diǎn),相軌線是封閉曲線，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定一旦離開某一條閉軌線