第7章第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積

1、一、多面體的表面積 因?yàn)槎嗝骟w的各面都是平面，所以多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之 ，即展開圖的面積,和,二、旋轉(zhuǎn)體的表面積,2r22rl,2r(rl),2rl,Sh,如何求不規(guī)則幾何體的體積？ 提示：求不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行求解,答案：C,3(理)(2012廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為(),A12B45 C.57D81,3(文)若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)棱柱的體積為(),4三棱錐SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且ABBCCA2，則三棱錐SABC的表面積

2、是_,5某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體各頂點(diǎn)都在一球面上，則這個(gè)球的表面積為_,【考向探尋】 解決與空間幾何體側(cè)面展開圖相關(guān)的問(wèn)題 【典例剖析】 (1)已知一多面體共有9個(gè)面，所有棱長(zhǎng)均為1，其平面展開圖如圖所示，則該多面體的體積V_,(2)如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為5 cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為_cm.,(1)解決折疊問(wèn)題時(shí)，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，分清哪些在折疊前后改變，哪些在折疊前后不變 (2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化

3、為平面上兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題來(lái)解決,【活學(xué)活用】 1有一根長(zhǎng)為3 cm，底面半徑為2 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上繞1圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少？,解：沿這條母線將圓柱剪開，展成平面圖形，則該平面圖形為如圖所示的矩形，易知AB4 cm，AD3 cm，當(dāng)鐵絲為線段AC時(shí)最短，為5 cm.,【考向探尋】 1求幾何體的側(cè)面積、表面積與體積 2求簡(jiǎn)單組合體的表面積、側(cè)面積與體積 3三視圖與側(cè)面積、表面積與體積的結(jié)合問(wèn)題,【典例剖析】,(2)(理)(2012天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.,(文)一個(gè)幾何體的三視

4、圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.,解析：(1)由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示， 其中AE平面BCD，CDBD，且CD4，BD5，BE2，ED3，AE4. AE4，ED3，AD5.,【互動(dòng)探究】 在本例(1)中，若條件不變，將結(jié)論改為“求該三棱錐的體積”，則如何求解？,與三視圖有關(guān)的面積、體積問(wèn)題的解決 (1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積、體積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中求解,(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面

5、是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和 (3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系，可表示為,【考向探尋】 1與球有關(guān)的組合體中求球的表面積、體積 2與球有關(guān)的組合體中求棱柱(錐)的體積、表面積 【典例剖析】,(1)根據(jù)圖形確定球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，然后求表面積 (2)先畫出組合體的截面圖，利用平面幾何知識(shí)求出球半徑即可,解決與球有關(guān)的組合體的問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，把立體圖和截面圖對(duì)照分析，找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系，與球有關(guān)的截面問(wèn)題為了增加圖形的直觀性，解題時(shí)常常畫一個(gè)截面圓起以襯托作用,【活學(xué)活用】 2.如圖在等腰梯形ABCD中

6、，AB2DC2，DAB60，E為AB的中點(diǎn)，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成三棱錐的外接球的體積,解：由已知條件知，平面圖形中AEEBBCCDDADEEC1. 折疊后得到一個(gè)如圖1所示的正四面體 方法一：作AF平面DEC，垂足為F，F(xiàn)即為DEC的中心 取EC中點(diǎn)G，連結(jié)DG、AG，過(guò)球心O作OH平面AEC. 則垂足H為AEC的中心 外接球半徑可利用OHAGFA求得,方法二：,斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為5的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為4，側(cè)棱AA1與底面兩邊AB，AC都成60角，求這個(gè)三棱柱的全面積,這是一個(gè)求斜三棱柱全面積的問(wèn)題，應(yīng)分別求出三個(gè)側(cè)面平行四邊形的面積和，再加上上下兩個(gè)底面面積即可上述解法錯(cuò)在將斜三棱柱看成正三棱柱，亂代公式求解致誤因此，在處理立體幾何問(wèn)題時(shí)，要注意規(guī)范化做題，找準(zhǔn)方法，并重視把已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,解：如圖，過(guò)A1作A1H底面ABC于H，作A1EAB于E，作A1FAC于F，連接HE，HF， 則HEAB，HFAC，則AEA1AFA190， 又AA1AA1，A1AEA1AF， RtA1AERtA1AF， AEAF， 在RtAEH和RtAFH中， AEAF，AHAH，,RtAEHRtAFH， 即H在