【高考輔導(dǎo)資料】物理奧賽輔導(dǎo)：第19講_真空中的靜電場

第19講 真空中的靜電場一、基本要求1、掌握庫侖定律，確切理解電場強(qiáng)度概念，明確電場強(qiáng)度的矢量性，迭加性；2、確切理解電勢和電勢差的概念，明確電勢是標(biāo)量及它的迭加性、相對性；3、在已知電荷分布的情況下，掌握計算電場強(qiáng)度和電勢的各種方法；4、確切理解電通量概念，掌握表征靜電場性質(zhì)的兩條基本定理-高斯定理和環(huán)路定理。必須明確：兩條定理各自反映了靜電場的一個側(cè)面，只有兩者結(jié)合起來，才能全面地反映靜電場的性質(zhì)。5、掌握導(dǎo)體靜電平衡條件和在靜電平衡時導(dǎo)體的電特性，并能熟練地求出幾何形狀比較規(guī)則的導(dǎo)體內(nèi)外的場強(qiáng)和電勢；6、掌握電容器的儲能公式，了解電場能量和能量密度概念。二、基本概念和規(guī)律1、庫侖定律在真空中，兩點(diǎn)電荷之間的作用力滿足：式中是從q1看出，點(diǎn)電荷q1的位置矢量，表示q1作用于q2的力。同理應(yīng)該指出：1）庫侖定律只有在真空中，對于兩個點(diǎn)電荷成立。亦即只有q1、q2的本身線度與它們之間的距離相比很小時，庫侖定律成立。2）注意庫侖定律的矢量性。當(dāng)q1、q2為同號電荷，即q1 q2 0時，表示與，與同向，即同號電荷相斥；當(dāng)q1 q2 0時，表示與，與反向，即異號電荷相吸。3）靜電力的迭加原理如果有q0、q1、q2 qn個電荷組成的點(diǎn)電荷系，從q0看，各點(diǎn)電荷的矢徑分別等于，則點(diǎn)電荷q0受到的靜電力為上式稱為靜電力的迭加原理，即在點(diǎn)電荷系中，任意一點(diǎn)電荷所受的靜電力應(yīng)等于每個點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時對該點(diǎn)電荷所作用靜電力的矢量和。帶電體（體積為V）作用于點(diǎn)電荷q0的靜電力4）庫侖定律僅適用于求相對于觀察者靜止的兩點(diǎn)電荷之間的相互作用力，或者放寬一點(diǎn)，亦適用于求相對于觀察者靜止的點(diǎn)電荷作用于運(yùn)動的點(diǎn)電荷力的情形。其理由是電磁現(xiàn)象不滿足伽利略相對性原理，而只滿足狹義相對性原理。5）庫侖定律是靜電場理論的基礎(chǔ)。正是由庫侖定律和靜電力迭加原理而導(dǎo)出了描述靜電場性質(zhì)的兩條定理（高斯定理和環(huán)路定理）。因此庫侖定律是靜電學(xué)的最基本的定律。2、描述靜電場特性的物理量1）電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度的定義：即單位試驗正電荷在電場中某點(diǎn)所受的力定義為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度。應(yīng)該指出：a、試驗電荷必須滿足兩個條件：一是試驗電荷的電量q0必須充分小，使其q0的的引入而改變原來的電場分布；二是試驗電荷的線度必須充分小，由此才可以精確地檢驗出空間各點(diǎn)的電場強(qiáng)度。至于試驗電荷的正負(fù)完全是人為的，習(xí)慣上規(guī)定試驗電荷為正電荷。b、是表征電場對置于其中的電荷施以作用力的這一性質(zhì)，亦即是刻畫電場性質(zhì)的物理量，與試驗電荷的存在與否無關(guān)。c、是矢量，必須遵從矢理運(yùn)算法則。d、公式是電場強(qiáng)度的定義式是普遍適用的。e、電場強(qiáng)度和電場力是兩個不同的概念，切記不可混淆。是反映了電場本身性質(zhì)；電場力反映了電場對置于其中的電荷所作用的力。首先，從大小上看，場強(qiáng)的大小只取決于在電場中的位置，與試驗電荷存在與否無關(guān)；而電場力的數(shù)值不僅取決于電荷所在處的場f強(qiáng)的數(shù)值，而且還與電荷本身的電量有關(guān)。其次，從與的方向上看；的方向與置于電場中的正電荷所受力的方向相同；而的方向取決于電荷本身的正負(fù)和該點(diǎn)的方向；對于正電荷所受力的方向與該點(diǎn)的方向相同，對于負(fù)電荷，與方向相反。最后，在SI制中，的單位是牛頓庫侖伏/米；而的單位是牛頓。電場強(qiáng)度的迭加原理：在點(diǎn)電荷系的電場中任一點(diǎn)的總場強(qiáng)等于各個點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和，即點(diǎn)電荷的場強(qiáng)：式中是從點(diǎn)電荷看擬求場強(qiáng)點(diǎn)的位置矢量，當(dāng)r 0時，則，這顯然是不可能的，其原因是：點(diǎn)電荷是一種理想模型，只有當(dāng)帶電體的線度比起它到擬求場強(qiáng)的點(diǎn)的距離小得多的時候，才可把它視為占電荷。當(dāng)r 0時，電荷q就不能當(dāng)點(diǎn)電荷看待了。固然計算點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式就失去了成立的條件。因此就不能再用這個公式來計算r 0時的場強(qiáng)。根據(jù)點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式和場強(qiáng)迭加原理可以求已知電荷分布的任意帶電體系之場強(qiáng)點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)：電荷連續(xù)分布的帶電體的場強(qiáng)2）電勢電勢的定義：設(shè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電熱為零即靜電場中某點(diǎn)P的電勢VP在數(shù)值上等于將單位正電荷從該點(diǎn)經(jīng)過任意路徑移到無限遠(yuǎn)處時靜電場力所做的功。若沒有限遠(yuǎn)點(diǎn)如B點(diǎn)的電勢為零；UB =0，則電場中各點(diǎn)的電勢可表示為應(yīng)該指出：a、由于靜電場（包括穩(wěn)恒電場）是保守場，所以才引入電勢的概念。電勢是反映靜電場本身具有能的性質(zhì)的物理量，與試驗電荷q0的存在與否無關(guān)。它只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，與時間t無關(guān)。b、電勢是相對的，其值與電熱零點(diǎn)的選取有關(guān)。電勢零點(diǎn)的選取一般應(yīng)根據(jù)問題的性質(zhì)和研究的方便而定。電勢零點(diǎn)的選取通常有兩種：在理論上，計算一個有限大小的帶電體所產(chǎn)生的電場中各點(diǎn)的電勢時，往往選取無限處的電勢為零（對于無限大的帶電體則不能如此選取，只能選取有限遠(yuǎn)點(diǎn)電勢為零）。今后未特別指出：在計算電勢時就指的之種情形；在電工技術(shù)或許多實際問題中，常常選取地球的電勢為零，其好處在于：一方面便于和地球比較而確定各個帶電體的電勢；另一方面地球是一個很大的導(dǎo)體，當(dāng)?shù)厍蛩鶐У碾娏孔兓瘯r，其電勢的波動很小。c、電勢是標(biāo)量，可正可負(fù)，遵從數(shù)性函數(shù)的運(yùn)算法則。d、電勢雖是相對的，但在靜電場中任意兩點(diǎn)間的電勢差則是絕對的，在實用中，它比電勢更有用。由電勢差可計算靜電場力所作的功e、在力學(xué)中，勢能這個概念比勢這個概念更為常用，在靜電學(xué)中，則剛好相反，電勢這個概念比電勢能更為常用。但電勢和電勢能是兩個不同的概念，切記不能混淆。電勢迭加原理：在點(diǎn)荷系的電場中任一點(diǎn)的電勢應(yīng)等于各個點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和，即點(diǎn)電荷的電勢： 由點(diǎn)電荷的電勢公式和電勢迭加原理可以求已知電荷分布的任意帶電體系之電勢點(diǎn)電荷系的電勢：電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢3）場強(qiáng)與電勢梯度之關(guān)系場強(qiáng)等于電勢梯度的負(fù)值場強(qiáng)在某一方向上的投影為應(yīng)該指出：a、電勢梯度是矢量，它表示電勢的空間變化率。電勢梯度的方向沿等勢面的法線方向，且指向電勢增加的一方，在這個方向上電勢增加得最快；電勢梯度的大小表示電勢在這個方向上的最大空間變化率。而電場強(qiáng)度的方向（當(dāng)然亦與等勢面垂直）是電勢降落最快的方向；電場強(qiáng)度的大小表示電勢沿這個方向上的最大空間減少率。因此電場強(qiáng)度等于電勢梯度的負(fù)值，其負(fù)號表示電場強(qiáng)度的方向與電勢梯度的方向相反，即指向電勢降低的方向。b、在電勢等于常數(shù)（或為零）的地方，場強(qiáng)不一定為零，只有在電勢不變的區(qū)域，場強(qiáng)才為零。同樣地，在場強(qiáng)為零處，電勢不一定為零。c、場強(qiáng)和電勢梯度之間的關(guān)系，在實際運(yùn)動中非常重要，限于普通物理學(xué)的內(nèi)容在此不再贅述。3、靜電場的基本定理由庫侖定律和靜電力的迭加原理可以導(dǎo)出靜電場的兩基本定理。1）高斯定理高斯定理：s即在真空中的靜電場中，通過任一閉合曲面的電通量等于該閉合曲面，所包圍的電荷的代數(shù)和的0分之一，而與閉合曲面外的電荷無關(guān)。應(yīng)該指出：a、式中積分符號內(nèi)的是由閉合曲面內(nèi)、外電荷所產(chǎn)生的總場強(qiáng)；而只是對閉合曲面內(nèi)的電荷求和，且是代數(shù)和，這是因為閉合曲面外的電荷對總通量沒有貢獻(xiàn)，但絕不是對閉合曲面上各點(diǎn)的總場強(qiáng)沒有貢獻(xiàn)。b、高斯定理只反映了靜電場性質(zhì)的一個側(cè)面，它說明靜電場是有源場，電荷就是它的源，正電荷是靜電場（亦電場線）的“源頭”，負(fù)電荷是靜電場（亦電場線）的“尾閭”。c、當(dāng)s時，分兩種情況：一是在所選取的閉合曲面上各點(diǎn)的場強(qiáng)處處為零，當(dāng)然s；二是在所選取的閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和等于零，即=0，或閉合曲面沒有包圍電荷，當(dāng)然s。d、高斯定理的導(dǎo)出取決于庫侖定律的反平方關(guān)系，即，若庫侖定律的反平方關(guān)系不是嚴(yán)格成立，就得不出高斯定理。在普通物理學(xué)中，我們主要應(yīng)用高斯定理來求具有一定對稱性的帶電體系的場強(qiáng)。2）環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理：i即在靜電場中，場強(qiáng)沿任意閉合環(huán)路的積分等于零。應(yīng)該指出：a、環(huán)路定理反映了靜電場性質(zhì)的另一個側(cè)面，它說明靜電場是保守力場（或無旋場），靜電場力是保守力，這是我們在靜電場中引入“電勢”和“電勢能”概念的依據(jù)。b、環(huán)路定理是靜電場中的電場線不會形成閉合曲線這一性質(zhì)的精確的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。它也是能量守恒定律在靜電場中的特殊形式。上述說法均可由反證法得證。4、靜電場中的導(dǎo)體1）導(dǎo)體的靜電平衡條件所謂導(dǎo)體的靜電平衡是指在靜電場中，導(dǎo)體內(nèi)沒有電荷的定向運(yùn)動。但必須指出：導(dǎo)體的靜電是一種動態(tài)平衡。即導(dǎo)體內(nèi)不存在電荷的宏觀定向運(yùn)動，然而導(dǎo)體內(nèi)帶電粒子的微觀熱運(yùn)動仍然存在。導(dǎo)體的靜電平衡條件：導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)處處為零。2）靜電平衡時導(dǎo)體的電特性由導(dǎo)體的靜電平衡條件和高斯定理、環(huán)路定理導(dǎo)出靜電平衡時導(dǎo)體的電特性。a.導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)處處為零。b.導(dǎo)體表面處場強(qiáng)處處與它的表面垂直，且。式中，為導(dǎo)體表面的面電荷密度，E為總場強(qiáng)，是由空間中所有電荷激發(fā)的。c.導(dǎo)體是個等勢體，導(dǎo)體表面是個等勢面。d.凈電荷只分布在導(dǎo)體的表面，導(dǎo)體內(nèi)處處沒有未被抵消的凈電荷。對于弧立的、形狀比較簡單的導(dǎo)體，一般說來，表面曲率大的地方，面電荷密度大，表面曲率小的地方，面電荷密度小。e.對導(dǎo)體空腔當(dāng)導(dǎo)體空腔內(nèi)無帶電體時：導(dǎo)體殼的內(nèi)表面處處沒有凈電荷，凈電荷只能分布在其外表面上；空腔內(nèi)的場強(qiáng)處處為零，整個空腔內(nèi)的電勢和導(dǎo)體殼的電勢相等。當(dāng)導(dǎo)體空腔內(nèi)有帶電體時：導(dǎo)體殼的內(nèi)表面所帶電荷與空腔內(nèi)電荷的代數(shù)和為零。無論導(dǎo)體空腔內(nèi)有無帶電體，空腔內(nèi)的電場分布不受外部電場的影響；一個接地的導(dǎo)體空腔，其內(nèi)、外電場互不影響。三、解題方法靜電學(xué)中的核心問題就是已知電荷分布求電場的分布，亦即求場強(qiáng)和電勢的分布。1、求電場強(qiáng)度的方法根據(jù)已知的電荷分布求場強(qiáng)的方法有三種：1）根據(jù)點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式和場強(qiáng)迭加原理求電場強(qiáng)度。求點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)由公式計算。求電荷連續(xù)分布的帶電體的場強(qiáng)由公式計算。從原則上講，采用這種方法可以計算已知電荷分布的任何帶電體系的場強(qiáng)，因此是一種普遍的方法。但因場強(qiáng)是矢量，一般情況下需要計算三個分量，使計算往往較繁，且由于數(shù)學(xué)上的困難，也并非絕對可能。另外，在有些問題可運(yùn)用已知的場強(qiáng)公式和場強(qiáng)迭加原理求場強(qiáng)。2）利用高斯定理求場強(qiáng)只有在電場分布具有一定的對稱性的問題中，亦即產(chǎn)生電場的帶電體系的電荷分布具有一定的對稱性時，方可運(yùn)用高斯定理非常方便地求出場強(qiáng)。因這不是求場強(qiáng)的普遍方法，而是一種輔助的方法。欲要求解靜電場的一般問題，必須運(yùn)用高斯定理和環(huán)路定理。限于教材內(nèi)容所限，在此不予贅述?，F(xiàn)將運(yùn)用高斯定理求場強(qiáng)的步驟敘述如下：a、在給定問題中，分析電場分布的對稱性是判斷能否應(yīng)用高斯定理求場場強(qiáng)的關(guān)鍵。在給定問題中，只有當(dāng)電場分布具有一定的對稱性時常見的對稱性包括球時稱、平面對稱、軸對稱等，方能用高斯定理求場強(qiáng)，否則不能用，但這并不意味著高斯定理對非對稱電場分布的問題不適用，而是說只用它求不出場強(qiáng)。b、若能用高斯定理求場強(qiáng)，則選取適當(dāng)?shù)拈]合曲面（又稱為高斯面），使場強(qiáng)E從積分符號中能提出來。選取高斯面的原則：a) 高斯面必須要通過擬求場強(qiáng)的點(diǎn)；b) 高斯面的各部分的單位法線矢量或者與平行，或者與垂直，在與平行的那部分面上，各點(diǎn)的場強(qiáng)大小應(yīng)相等；c) 高斯面應(yīng)是比較簡單的幾何面。在電場分布具有球?qū)π詴r，通常選取的高斯面為球面；在電場發(fā)布具有面對稱和軸對稱時，通常選取的高斯面為圓柱面。C、最后算出通過高斯面的電通量s（E從積分號中提出）及高斯面內(nèi)所包圍的總電量的代數(shù)和，應(yīng)用高斯定理即可求出場強(qiáng)的大小，再根據(jù)前面的分析寫出的矢量式。3）利用場強(qiáng)與電勢梯度的關(guān)系求場強(qiáng)在靜電學(xué)中，場強(qiáng)與電勢度的關(guān)系是普遍成立的。由于電勢是標(biāo)量，先求電勢U，然后，由數(shù)性函數(shù)U對坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)，即可求得場強(qiáng)。運(yùn)算比較簡單。因此，除了電場分布具有一定的對稱性，能用高斯定理非常簡便地求出場強(qiáng)的問題外，這是一種最常用的求場強(qiáng)的普遍方法。公式在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為2、求電勢的方法已知電荷的分布，求電勢的方法有兩種：1）根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢公式和電勢迭加原理求電勢。從原則上講，采用這種方法可以求已知電荷分布的任意帶電體系的電勢，因此是一種普遍的方法，但因數(shù)學(xué)上的困難，并非絕對可能。但是，由于電勢是標(biāo)量，因此它的計算一般說來要比矢量場強(qiáng)的計算簡單得多（除了能直接用高斯定理求的問題外）。求點(diǎn)電荷系的電勢求電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢注意以上兩式已規(guī)定了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電勢為零（）另外，在有些問題中可運(yùn)用已知的電勢公式和電勢的迭加原理求電勢。2）已知場強(qiáng)的分布，根據(jù)電勢與場強(qiáng)的積分關(guān)系求電勢。即（）若選取B點(diǎn)為電勢零點(diǎn)，則這種方法也是求電勢一種普遍方法。要求電勢U，必須先求場強(qiáng)的分布，即是空間坐標(biāo)的矢性函數(shù)。一般說來，求場強(qiáng)要比求電勢U要困難些。因此，運(yùn)用這種方法的條件是：a、在給定問題中，已知場強(qiáng)的分布；或b、能用高斯定理非常簡便地求出場強(qiáng)。否則，直接運(yùn)用求電勢的方法1）還要簡單些。3、常用例題的公式1）電偶極上的場強(qiáng)在延長線上：在中垂面上：式中為電偶極矩，為電偶極子的軸，大小等于兩電荷之間距，方向由-q指向+q；r為軸l中點(diǎn)到場點(diǎn)之距離2）均勻帶電圓環(huán)其軸上的場強(qiáng)式中R為圓環(huán)之半徑，q為圓環(huán)之總電量，x為圓環(huán)軸上的場點(diǎn)到環(huán)心之距離。3）無限長的均勻帶電細(xì)棒的場強(qiáng)式中為細(xì)棒之線電荷密度，r為場點(diǎn)到細(xì)棒之距離4）無限長均勻帶電圓柱面的場強(qiáng)(r R)式中為圓柱面每單位長度上之電量，R為圓柱面半徑，r為場點(diǎn)到圓柱面的軸線之距離5）無限長均勻帶電圓柱體的場強(qiáng)(r R)式中為圓柱之體電荷密度，R為圓柱體半徑，r為場點(diǎn)到圓柱體的軸線之距離6、均勻帶電球面的場強(qiáng)(r R)式中q為球面所帶的電量，R為其半徑，r為球心到場點(diǎn)之距離。6）無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)式中為帶電平面的面電荷密度四、解題求例例1，在真空中，有一均勻帶電的細(xì)棒，電荷線密度為，棒外一點(diǎn)p和棒兩端的連線與棒之間的夾角分別為Q1和Q2，P點(diǎn)到棒的距離為x，如圖所示，求P點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解：根據(jù)點(diǎn)電荷荷場強(qiáng)公式和場強(qiáng)迭加原理求。建立如例1圖(a)所示的坐標(biāo)系，運(yùn)用求解：例1圖a為了把兩式中的變量、r、y用單一變量代替，必須進(jìn)行變量代換。利用幾何和三角知識可得r = xcsc將、兩式代入、式中整理后得積分遍及整個帶電細(xì)棒，得討論：1）當(dāng)P點(diǎn)在帶電細(xì)棒的中垂面上，即時，則有，Ey0。2）當(dāng)帶電細(xì)棒為無限長，即時，則有，Ey0。本題說明用點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式和場強(qiáng)迭加原理求電荷連續(xù)分布的帶電體的場強(qiáng)，就應(yīng)根據(jù)問題的要求和計算方便，用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將場強(qiáng)矢量的計算變成用其分量即標(biāo)量的計算，根據(jù)所選取的坐標(biāo)系，確定積分上、下限，積分即得所求的場強(qiáng)。例2，一厚度為d的無限大平板，均勻帶電，電荷體密度為，求空間場強(qiáng)分布。解：由于電荷分布對無限大平板的中央平面（即圖中在x = 0處）而言具有面對稱性，因此電場分布對中央平面也具面對性，同時也不難得出在中央平面上各點(diǎn)的場強(qiáng)為零。作如圖所示的圓柱形高斯面：圓柱面?zhèn)让媾c中央面垂直，左底面S左在中央面上，右底面S右與中央面平行，且距離為x，因電場強(qiáng)度的方向與x軸平行，所以通過圓柱面的電通量為：s=而圓柱面所包圍的電荷。根據(jù)高斯定理得在無限大平板之外，同理可得s 綜上所述，空間電場的分布為()(x )(r )用高斯定理求電場的分布，分析電場分布的對稱性是關(guān)鍵，但適當(dāng)選取高斯面也重要，須知，不是選取任意高斯面都能求出具有對稱性分布的電場之場強(qiáng)。例3，兩無限大均勻帶電的平行平面，分別帶有面電荷密度如圖所示，求空間場強(qiáng)分布。解：運(yùn)用已知的無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)公式和場強(qiáng)迭加原理求解，兩平面空間分為三個區(qū)域，分別在圖中標(biāo)出每個均勻帶電平面單獨(dú)存在里空間三個區(qū)域中所產(chǎn)生的場強(qiáng)方向，并規(guī)定正方向為水平向右，如圖所示，由此可得空間場強(qiáng)分布為：說明：本題中未告訴為正電荷或負(fù)電荷，我們均以為正電荷在圖中各個區(qū)域標(biāo)出它們所產(chǎn)生的場強(qiáng)方向。但所得到的空間場強(qiáng)公式，無論對為正電荷或負(fù)電荷均成立。例4，求均勻帶電球面的電場中場強(qiáng)和電勢的分布，設(shè)球面的半徑為R，總電量為q。解：解法一，先求場強(qiáng)后求電勢V由于電場分布具有球?qū)ΨQ性，應(yīng)用高斯定理不難得出：(r R)(r R)式中為球心指向場點(diǎn)的矢徑。選取無限遠(yuǎn)點(diǎn)電勢為零，由電勢的定義求電勢U設(shè)擬求電勢點(diǎn)p點(diǎn)在球面外，距球心為r，因某點(diǎn)電勢與場強(qiáng)沿路徑的積分與路徑無關(guān)，因此積分路徑就沿半徑方向上。則（r R）設(shè)p點(diǎn)在球面內(nèi)（亦r R時，有 （r R）當(dāng)點(diǎn)在球內(nèi)，即r R)(r R1）的均勻帶電球面在空間的場強(qiáng)（或電勢）分布。場強(qiáng)分布(r R1)(R1 r R2)電勢分布(r R1)(R1rR2)(r R2)當(dāng)然亦可用高斯定理直接求，用電勢定義求U。例5，有一邊長為a的正六角形，六個頂角都放有點(diǎn)電荷，如圖所示，試計算正六角形中心點(diǎn)O處的場強(qiáng)和電勢解：首先利用點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式和場強(qiáng)迭加原理求場強(qiáng)。根據(jù)點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式畫出各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時在O點(diǎn)所產(chǎn)生的場強(qiáng)之矢量圖，如例5圖(a)所示。由平面幾何可知，對于正六角形，由中心點(diǎn)O到各頂點(diǎn)之距離均等于邊長a，各類電荷單獨(dú)存在時，在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)大小均為由場強(qiáng)的迭加原理，O點(diǎn)的場強(qiáng)為用分析法求，建立如例5圖(a)所示直角坐標(biāo)系，由、兩式得= 0同理可得= 0正六角形中心點(diǎn)O之場強(qiáng)=0其次，利用點(diǎn)電荷的電勢公式和電勢迭加原理求電勢。取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電勢為零，中心點(diǎn)O的電勢為= 0說明：在求點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)時，必須根據(jù)點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式在圖中畫出各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時在場點(diǎn)所產(chǎn)生場強(qiáng)之矢量圖，這是場強(qiáng)迭加計算依據(jù)，在計算時，可用分析法，亦可用幾何法。C例6，如圖所示，AB=2R，是以B點(diǎn)為中心，R為半徑的半圓，A點(diǎn)有正電荷+，B點(diǎn)有負(fù)電荷-。(1) 將正電荷q0從O點(diǎn)沿移到D點(diǎn)，電場力作功多少？(2) 將負(fù)電荷-q0從D點(diǎn)沿AB的延長線移到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)電場力作功多少？電勢改變多少？解：由靜電場力作功與路徑無關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)靜電場力作功與電勢差的關(guān)系。(1) 由點(diǎn)電荷的電勢公式和電勢迭加原理得O點(diǎn)的電勢：D點(diǎn)的電勢：將電荷q0從D點(diǎn)沿移到D點(diǎn)電場力所作的功為(2) 同理可得將-q從D點(diǎn)沿AB的延長線移到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，電場力所作的功為電勢能的改變?yōu)镽1例7，如圖所示，一半經(jīng)為R1的導(dǎo)體球帶有電荷q，小球外有一個內(nèi)外半徑分別為R2、R3的同心導(dǎo)體球殼，殼上帶有電荷Q。（1）求場強(qiáng)和電勢的分布；（2）在例1圖中，用導(dǎo)線把小球和球殼連接起來后，場強(qiáng)和電勢的分布如何？（3）在例1圖中，若球殼接地，其場強(qiáng)和電勢分布又如何？（4）在例1圖中，若內(nèi)球接地，且球殼遠(yuǎn)離地面，其場強(qiáng)和電勢分布又怎樣？解：（1）首先分析電荷分布，小球和球殼均為導(dǎo)體，根據(jù)導(dǎo)體靜電平衡時的電特性，小球的電荷q均勻分布在其表面上，球殼內(nèi)表面將感應(yīng)出-q，球殼外表面的電荷為Q+q。由于問題具有球?qū)ΨQ性，故-q,q+Q分別均勻分布在球殼之內(nèi)外表面上。由于場強(qiáng)分布具有球?qū)ΨQ性，由高斯定理，或者均勻帶電球面的場強(qiáng)公式和場強(qiáng)迭加原理不難求得場強(qiáng)的分布為：由電勢之定義，或均勻帶電球面的電勢公式和電勢的迭加原理不難求得電勢的分布為（2）當(dāng)用導(dǎo)線把小球和球殼連接起來后，電荷將會重新分布，這時小球和球殼就成為一個新導(dǎo)體。根據(jù)靜電平衡時導(dǎo)體的電特性，電荷將會全 部均勻分布在球殼之外由于電場分布具有球?qū)ΨQ性，利用高斯定理或均勻帶電球面公式得場強(qiáng)的分布為：同樣由電勢的定義或均勻帶電球面的電勢公式得電勢的分布為（3）當(dāng)外球殼接地時，則球殼外表面上的電荷q+Q消失。而小球表面上仍均勻分布電荷q,球殼內(nèi)表面上仍均勻分布有電荷-q。由于電場分布具有球?qū)ΨQ性，同樣可得場強(qiáng)的分布為電勢的分布為（4）當(dāng)小球接地時，初看起來，好像小球的電量等于零，因為小球與地連成一體，地球的負(fù)電荷通過連接的導(dǎo)線和小球上的電荷q中和，使小球上的電荷消失，因而球殼內(nèi)表面不帶電，而Q均勻地分布在球殼的外殼的外表面上，故電場只分布在RR3的空間。然而這種結(jié)論是錯誤的。事實上，小球接地時，系統(tǒng)的靜電平衡受到破壞，空間電場分布發(fā)生變化，從而引起電荷的重新分布。假定小球上的電荷消失，因地球離球殼很遠(yuǎn)，則球殼上的電荷Q均勻分布在外表面上，此時小球的電勢要高于導(dǎo)體，而小球和地球是連成一體的導(dǎo)體，因此仍有負(fù)電荷移向小球，直至小球的電勢與地球的電勢相等為止。根據(jù)靜電平衡時導(dǎo)體的電特性，設(shè)小球帶有負(fù)電荷-q，且均勻分布在其表面上，而球殼之內(nèi)表面必感應(yīng)出均勻分布的與小球等量之正電荷q，球殼外表面必須均勻分布著電荷Qq。為了求場強(qiáng)和電勢的分布，應(yīng)先求q。令U地球=0，由均勻帶電球面的電勢公式和電勢疊加原理得小球的電勢為解得由于電場分布具有球?qū)ΨQ性，同樣可得場強(qiáng)的分布為電勢的分布為本題說明：一是如何根據(jù)導(dǎo)體靜電平衡的電特性、電荷守恒定律、對稱性確定導(dǎo)體上的電荷分布，二是進(jìn)一步掌握第八章講的求場強(qiáng)和電勢的方法。例8，兩平行等大的導(dǎo)體板，面積S的線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于板的厚度和兩板間的距離，兩板分別帶有電荷Q1、Q2如圖所示。求兩板各表面的電荷分布。Q1Q22解：設(shè)兩導(dǎo)體板四個表面的面電荷密度分別為1、2、3、4，如圖所示。依題意，可視為四個無限大的均勻帶電平面。選取水平向右為正方向，根據(jù)導(dǎo)體靜電平衡時，導(dǎo)體內(nèi)的場強(qiáng)處處為零的條件及無限大的均勻帶電平面的場強(qiáng)公式和場強(qiáng)迭加原理可得左邊導(dǎo)體板內(nèi)任意一點(diǎn)P1點(diǎn)的場強(qiáng)為。同理可得右邊導(dǎo)體板內(nèi)任意一點(diǎn)P2點(diǎn)的場強(qiáng)為根據(jù)電荷守恒定律可得 聯(lián)立求解式得 由此結(jié)果可知：兩板相對兩面總是帶等量異號電荷；相背兩面總是帶等量同號電荷。討論：1）當(dāng)Q1=-Q2=Q時，由、兩式可得=0這說明相背兩面無電荷分布，兩板所帶電荷全部集中到相對的兩面上。2）當(dāng)Q1=Q2=Q時，由、兩式得1=4=1=2=0這說明相對面上無電荷分，兩板所帶電荷全部集中到相背的面上。3）當(dāng)Q2=0時、由、兩式得在本題己求出電荷分布，讀者可用電場線畫出電場分布。說明：若直接按電場力作功的定義按題中的積分路經(jīng)求解也是完全可行的，但要比上面計算困難得多，因此，深入掌握物理學(xué)的基本概念和基本規(guī)律，對于解決具體問題關(guān)系極大，往往會收到事半功倍的效果。一、 選擇題：1下列幾個說法哪一個是正確的？（A） 電場中某點(diǎn)場強(qiáng)的方向，就是將點(diǎn)電荷放在該點(diǎn)所受電場力的方向。（B） 在以點(diǎn)電荷為中心的球面上，由該點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的場強(qiáng)處處相同。（C） 場強(qiáng)方向可由q定出，其中q為試驗電荷的電量，q可正可負(fù)，為試驗電荷所受的電場力。（D） 以上說法都不正確。 2關(guān)于靜電場中某點(diǎn)電勢值的正負(fù)，下列說法中正確的是：（A） 電勢值的正負(fù)取決于置于該點(diǎn)的試驗電荷的正負(fù)。（B） 電勢值的正負(fù)取決于電場力對試驗電荷作功的正負(fù)。（C） 電勢值的正負(fù)取決于電勢零點(diǎn)的選取。（D） 電勢值的正負(fù)取決于產(chǎn)生電場的電荷的正負(fù)。 3、某電場的電力線分布情況如圖所示。一負(fù)電荷從M點(diǎn)移到N點(diǎn)。有人根據(jù)這個圖作出下列幾點(diǎn)結(jié)論，其中哪點(diǎn)是正確的？（A） 電場強(qiáng)度。 （B）電勢。（C）電勢能。（D）電場力的功A0。 4、將一個試驗電荷q0 (正電荷)放在帶有負(fù)電荷的大導(dǎo)體附近P點(diǎn)處，測得它所受的力為F若考慮到電量q0不是足夠小，則 (A)Fq0 比P點(diǎn)處原先的場強(qiáng)數(shù)值大 (B)Fq0 比P點(diǎn)處原先的場強(qiáng)數(shù)值小 (C)Fq0 等于原先P點(diǎn)處場強(qiáng)的數(shù)值(D)Fq0 P點(diǎn)處場強(qiáng)數(shù)值關(guān)系無法確定， 5、一電偶極子放在均勻電場中，當(dāng)電偶極矩的方向與場強(qiáng)方向不一致時，其所受的合力和合力矩為： (A) 0，0， (B) 0，0，(C) 0，0， (D) 0，0， 6、已知一高斯面所包圍的體積內(nèi)電量代數(shù)和=0，則可肯定：（A） 高斯面上各點(diǎn)場強(qiáng)均為零。（B） 穿過高斯面上每一面元的電通量均為零。（C） 穿過整個高斯面的電通量為零。（D） 以上說法均不對。 7、某電場的電力線分布情況如圖所示。一負(fù)電荷從M點(diǎn)移到N點(diǎn)。有人根據(jù)這個圖作出下列幾點(diǎn)結(jié)論，其中哪點(diǎn)是正確的？（A）電場強(qiáng)度 (B) 電勢（C）電勢能0 8、如圖所示，在坐標(biāo)（a，0）處放置一點(diǎn)電荷+q，在坐標(biāo)（-a，0）處放置另一點(diǎn)電荷-q。P點(diǎn)是X軸上的一點(diǎn)，坐標(biāo)為（x，0）。當(dāng)Xa時，該點(diǎn)場強(qiáng)的大小為：（A） （B）（C） （D） 9、圖中所示為軸對稱性靜電場的E-r曲線，請指出該電場是由下列哪一種帶電體產(chǎn)生的（E表示電場強(qiáng)度的大小，r表示離對稱軸的距離） （A）“無限長”均勻帶電圓柱面； （B）“無限長”均勻帶電圓柱體； （C）“無限長”均勻帶電直線； （D）“有限長”均勻帶電直線。 10、半徑為r的均勻帶電球面1，帶電量為q；其外有一同心的半徑為R的均勻帶電球面2，帶電量為Q，則此兩球面之間的電勢差U1為：（） （） （） （） 11、在均勻電場中各點(diǎn)，下列諸物理量中：（1）電場強(qiáng)度、（2）電勢、 （3）電勢梯度，那些是相等的？ （） （1）、（2）、（3）都相等； （） （1）、（2）相等； （） （1）、（3）相等； （） （2）、（3）相等； （） 只有（1）相等。 12、關(guān)于電場強(qiáng)度與電勢之間的關(guān)系，下列說法中，哪一種是正確的？（A） 在電場中，場強(qiáng)為零的點(diǎn)，電勢必為零；（B） 在電場中，電勢為零的點(diǎn)，電場強(qiáng)度必為零；（C） 在電勢不變的空間，場強(qiáng)處處為零；（D） 在場強(qiáng)不變的空間，電勢處處相等。 13、質(zhì)量均為m，相距為r1的兩個電子，由靜止開始在電力作用下（忽略重力作用）運(yùn)動至相距為r2，此時每一個電子的速率為（式中k=1/(40)）。（A）； （B）；（C）； （D）。 14、有一帶正電荷的大導(dǎo)體，欲測其附近P點(diǎn)處的場強(qiáng)，將一帶電量為q0（q00）的點(diǎn)電荷放在P點(diǎn)，如圖所示，測得它所受的電場力為F。若電量q0不是足夠小，則（A） F/q0比P點(diǎn)處場強(qiáng)的數(shù)值大；（B） F/q0比P點(diǎn)處場強(qiáng)的數(shù)值??；（C） F/q0與P點(diǎn)處場強(qiáng)的數(shù)值相等；（D） F/q0與P點(diǎn)處場強(qiáng)的數(shù)值關(guān)系無法確定。15、關(guān)于電場強(qiáng)度定義式=/q0，下列說法哪個是正確的？（A）場強(qiáng)的大小與試探電荷 q0的大小成正比。（B）對場中某點(diǎn)，試探電荷受力 與q0 的比值不因q0 而變。（C）試探電荷受力的方向就是場強(qiáng)的方向。（D）若場中某點(diǎn)不放試探電荷 q0 ，則 =0，從而 =0。 16、在靜電場中，下列說法中哪一個是正確的？（A）帶正電荷的導(dǎo)體，其電勢一定是正值。（B）等勢面上各點(diǎn)的場強(qiáng)一定是正值。（C）場強(qiáng)為零處，電勢也一定為零。（D）場強(qiáng)相等處，電勢梯度矢量一定相等。 17、一個靜止的氫離子（H+）在電場中被加速而獲得的速率為一靜止的氧離子（O+2）在同一電場中且通過相同的路徑被加速所獲速率的：（A） 2倍 ；（B）2倍； （C）4倍； （D）4倍。 18、根據(jù)高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知下述各種說法中，正確的是：（A） 閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合面上各點(diǎn)場強(qiáng)一定為零。（B） 閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和不為零時，閉合面上各點(diǎn)場強(qiáng)一定處處不為零。（C） 閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合面上各點(diǎn)場強(qiáng)不一定處處不為零。（D） 閉合面上各點(diǎn)場強(qiáng)均為零時，閉合面內(nèi)一定處處無電荷。 19、靜電場中某點(diǎn)電勢的數(shù)值等于（A） 試驗電荷q0置于該點(diǎn)時具有的點(diǎn)勢能。（B） 單位試驗電荷置于該點(diǎn)時具有的電勢能。（C） 單位正電荷置于該點(diǎn)時具有的電勢能。（D） 把單位正電荷從該點(diǎn)移到電勢零點(diǎn)外力所作的功。 20、圖中實線為某電場中的電力線，虛線表示等勢（位）面，由圖可看出：（A） EAEBEC, UAUBUC CBA（B） EAEBEC, UAUBEBEC, UAUBUC （D） EAEBUBUC 21、在點(diǎn)電荷+q的電場中，若取圖中P點(diǎn)處為電勢零點(diǎn)，則M點(diǎn)的電勢為：(A)； (B)； (C)-； (D)-。 22、如圖所示，CDEF為一矩形，邊長分別為和，在DC延長線上CA=處的A點(diǎn)有點(diǎn)電荷+q，在CF的中點(diǎn)有點(diǎn)電荷-q 。若使單位正電荷從C點(diǎn)沿CDEF路徑運(yùn)動到F點(diǎn)，則電場力所做的功等于：A：； B：；C：； D：。 23、一帶電體可作為點(diǎn)電荷處理的條件是：A：電荷必須呈求形分布； B：帶電體的線度很小；C：帶電體的線度與其他有關(guān)長度相比可以忽略不計； D：電量很小。 24、高斯定理=（A）適用于任何靜電場。 （B）只適用于真空中的靜電場。（C）只適用于具有球?qū)ΨQ性、軸對稱性和平面對稱性的靜電場。（D）只適用于雖然不具有（C）中所述的對稱性、但可以找到合適的高斯面的靜電場。 25、有四個等量點(diǎn)電荷在OXY平面上的四種不同組態(tài)，所有點(diǎn)電荷均與原點(diǎn)等距。設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為零，則原點(diǎn)O處電場強(qiáng)度和電勢均為零的組態(tài)是 ： 26. 在已知靜電場分布的條件下，任意兩點(diǎn)P1和P2之間的電勢差決定于（）P1和P2兩點(diǎn)的位置。（）P1和P2兩點(diǎn)處的電場強(qiáng)度的大小和方向。（）試驗電荷所帶電荷的正負(fù)。（）試驗電荷的電荷量。 27. 在靜電場中，電力線為均勻分布的平行直線的區(qū)域內(nèi)，在電力線方向上任意兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度和電勢相比較: (A)相同，不同。 (B)不同，相同。(C)不同，不同。 (D)相同，相同。 28. 平行板電容器兩級板（看作很大的平板）間的相互作用力F與兩極板間的電壓U的關(guān)系是：(A) F U （B） F 1/U(C) F 1/U2 (D) F U2 29.半徑為R的均勻帶電球面，若其電荷面密度為s，則在距離球面R處的電場強(qiáng)度大小為： (A) (B) (C) (D) c 30. 圖示為一具有球?qū)ΨQ性分布的靜電場的Er關(guān)系曲線請指出該靜電場是由下列哪種帶電體產(chǎn)生的 (A) 半徑為R的均勻帶電球面 (B) 半徑為R的均勻帶電球體 (C) 半徑為R 、電荷體密度rAr (A為常數(shù)）的非均勻帶電球體(D) 半徑為R 、電荷體密度rA/r (A為常數(shù))的非均勻帶電球體 二、填空題： 1一面積為S的平面，放在場強(qiáng)為的均勻電場中，已知與平面間的夾角為，則通過該平面的電場強(qiáng)度通量的數(shù)值_。2在靜電場某一區(qū)域內(nèi)，電勢分布為一恒量，則該區(qū)域內(nèi)場強(qiáng)分布_；在另一區(qū)域內(nèi)電勢沿某一方向成線性變化，則該方向上的場強(qiáng)分量是_。3、三個平行的“無限大”均勻帶電平面，其電荷面密度都是+,則A、B、C、D四個區(qū)域的電場強(qiáng)度分別為，EA_，EB_，Ec_，ED_ 。(設(shè)方向向右為正)4、一半徑為R的均勻帶電球面，其電荷面密度為該球面內(nèi)、外的場強(qiáng)分布為(表示從球心引出的矢徑)：E()_(r R)5、在場強(qiáng)分布為E的靜電場中，任意兩點(diǎn)a和b間的電勢差的表示式為UaUb_.6、一半徑為R的帶有一缺口的細(xì)圓環(huán)，缺口長度為d(dR)，環(huán)上均勻帶正電，總電量為q，如圖所示。則圓心O處的場強(qiáng)大小E=_，場強(qiáng)方向為_。7、電量分別為q,q,q的三個點(diǎn)電荷分別位于同一個圓周的三個點(diǎn)上，如圖所示，設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，圓半徑為R，則b點(diǎn)處的點(diǎn)勢U=_。8、一“無限長”均勻帶電的空心圓柱體，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，電荷體密度為。若作一半徑為r(ar0）及 -2,如圖所示。試寫出各區(qū)域的電場強(qiáng)度。區(qū)的大小_，方向_。區(qū)的大小_，方向_。區(qū)的大小_，方向_。12、一半徑為R的“無限長”均勻帶電圓柱面，其面電荷密度為。該圓柱面內(nèi)、外場強(qiáng)分布為（表示在垂直于圓柱面的平面上，從軸線處引出的矢徑）：_ ( r R)。13、一帶電量為-Q的點(diǎn)電荷，至于圓心O處，b、c、d為同一圓周上的不同點(diǎn)，如圖所示。現(xiàn)將試驗電荷+q0從圖中a點(diǎn)分別沿ab、ac、ad路徑移到相應(yīng)的b、c、d各點(diǎn)，設(shè)移動過程中電場力所作的功分別用A1、A2、A3表示，則三者的大小的關(guān)系是_。（填，）14、一偶極矩為的電偶極子放在場強(qiáng)為的均勻外電場中，與的夾角為角。在此電偶極子繞垂直于（，）平面的軸沿角增加的方向轉(zhuǎn)過180的過程中，電場力作功A_。15、在電場分布為的靜電場中，任意兩點(diǎn)a和b間的電勢差的表示式為UaUb _。16、若靜電場的某個區(qū)域電勢等于恒量，則該區(qū)域的電場強(qiáng)度分布是_；若電勢隨空間坐標(biāo)作線性變化，則該區(qū)域的場強(qiáng)分布是_。17、靜電場中某點(diǎn)的電場強(qiáng)度，其數(shù)值和方向等于_。18、如圖所示，一等邊三角形邊長為a，三個頂點(diǎn)上分別放置著電量為q、2q、3q的三個正點(diǎn)電荷，設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則三角形中心O處的電勢UO=_。19、一半徑為R的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，帶電量Q，水平放置，在圓環(huán)軸線的上方離圓心R處，有一質(zhì)量為m、帶電量為q的小球，當(dāng)小球從靜止下落到圓心位置時，它的速度為v=_。20、在點(diǎn)電荷+q和-q的靜電場中，作出如圖所示的三個閉合曲面S1、S2、S3，則通過這些閉合曲面的電場強(qiáng)度通量分別是：_；_； _。21、在場強(qiáng)大小為的靜電場中，質(zhì)子受到的電場力與重力之比的數(shù)量級為_。（，）22、地球表面附近的電場強(qiáng)度約為，方向垂直地面向下。假設(shè)地球上的電荷都均勻分布在地球表面上，則地面的電荷面密度=_，是_號電荷。23.一電量為510的試驗電荷放在電場中某點(diǎn)時，受到2010向下的力，則該點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為_，方向_。24如圖所示，在邊長為a的正方形平面的中垂線上，距中心O點(diǎn)a處，有一電量為q的正點(diǎn)電荷，則通過該平面的電場強(qiáng)度通量為 。25一質(zhì)量為m、電量為q的小球，在電場力作用下，從電勢為的a點(diǎn)，移動