數(shù)學(xué)發(fā)展歷史.doc

數(shù)學(xué)在提出問(wèn)題和解答問(wèn)題方面，已經(jīng)形成了一門(mén)特殊的科學(xué)。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，有很多的例子可以說(shuō)明，數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)發(fā)展的主要源泉。數(shù)學(xué)家門(mén)為了解答這些問(wèn)題，要花費(fèi)較大力量和時(shí)間。盡管還有一些問(wèn)題仍然沒(méi)有得到解答，然而在這個(gè)過(guò)程中，他們創(chuàng)立了不少的新概念、新理論、新方法，這些才是數(shù)學(xué)中最有價(jià)值的東西。 公元前600年以前 據(jù)中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)尸佼著尸子記載：古者，倕(注:傳說(shuō)為黃帝或堯時(shí)人)為規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩，使天下仿焉，這相當(dāng)于在公元前2500年前，已有圓、方、平、直等形的概念。 公元前2100年左右，美索不達(dá)米亞人已有了乘法表，其中使用著六十進(jìn)位制的算法。 公元前2000年左右，古埃及已有基于十進(jìn)制的記數(shù)法、將乘法簡(jiǎn)化為加法的算術(shù)、分?jǐn)?shù)計(jì)算法。并已有三角形及圓的面積、正方角錐體、錐臺(tái)體積的度量法等。 中國(guó)殷代甲骨文卜辭記錄已有十進(jìn)制記數(shù)，最大數(shù)字是三萬(wàn)。 公元前約1950年，巴比倫人能解二個(gè)變數(shù)的一次和二次方程，已經(jīng)知道勾股定理 。 公元前600-1年 公元前六世紀(jì)，發(fā)展了初等幾何學(xué)(古希臘 泰勒斯)。 約公元前六世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬(wàn)物的本原，宇宙的組織是數(shù)及其關(guān)系的和諧體系。證明了勾股定理，發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，引起了所謂第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。 公元前六世紀(jì)，印度人求出214142156。 公元前462年左右，意大利的埃利亞學(xué)派指出了在運(yùn)動(dòng)和變化中的各種矛盾，提出了飛矢不動(dòng)等有關(guān)時(shí)間、空間和數(shù)的芝諾悖理(古希臘 巴門(mén)尼德、芝諾等).。 公元前五世紀(jì)，研究了以直線及圓弧形所圍成的平面圖形的面積，指出相似弓形的面積與其弦的平方成正比(古希臘丘斯的希波克拉底)。 公元前四世紀(jì)，把比例論推廣到不可通約量上，發(fā)現(xiàn)了窮竭法(古希臘，歐多克斯)。 公元前四世紀(jì)，古希臘德謨克利特學(xué)派用原子法計(jì)算面積和體積，一個(gè)線段、一個(gè)面積或一個(gè)體積被設(shè)想為由很多不可分的原子所組成。 公元前四世紀(jì)，建立了亞里士多德學(xué)派，對(duì)數(shù)學(xué)、動(dòng)物學(xué)等進(jìn)行了綜合的研究(古希臘，亞里士多德等)。 公元前四世紀(jì)末，提出圓錐曲線，得到了三次方程式的最古老的解法(古希臘，密內(nèi)凱莫)。 公元前三世紀(jì)，幾何學(xué)原本十三卷發(fā)表，把以前有的和他本人的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)化了，成為古希臘數(shù)學(xué)的代表作(古希臘，歐幾里得)。 公元前三世紀(jì)，研究了曲線圖和曲面體所圍成的面積、體積；研究了拋物面、雙曲面、橢圓面；討論了圓柱、圓錐半球之關(guān)系；還研究了螺線(古希臘，阿基米德)。 公元前三世紀(jì)，籌算是當(dāng)時(shí)中國(guó)的主要計(jì)算方法。 公元前三至前二世紀(jì)，發(fā)表了八本圓錐曲線學(xué)，是一部最早的關(guān)于橢圓、拋物線和雙曲線的論著(古希臘 阿波羅尼)。 約公元前一世紀(jì)，中國(guó)的周髀算經(jīng)發(fā)表。其中闡述了蓋天說(shuō)和四分歷法，使用分?jǐn)?shù)算法和開(kāi)方法等。 公元前一世紀(jì)，大戴禮記載，中國(guó)古代有象征吉祥的河圖洛書(shū)縱橫圖，即為九宮算這被認(rèn)為是現(xiàn)代組合數(shù)學(xué)最古老的發(fā)現(xiàn)。 1-400年 繼西漢張蒼、耿壽昌刪補(bǔ)校訂之后，50-100年，東漢時(shí)纂編成的九章算術(shù)，是中國(guó)古老的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，收集了246個(gè)問(wèn)題的解法。 一世紀(jì)左右，發(fā)表球?qū)W，其中包括球的幾何學(xué)，并附有球面三角形的討論(古希臘，梅內(nèi)勞)。 一世紀(jì)左右，寫(xiě)了關(guān)于幾何學(xué)、計(jì)算的和力學(xué)科目的百科全書(shū)。在其中的度量論中，以幾何形式推算出三角形面積的希隆公式(古希臘，希隆)。 100年左右,古希臘的尼寇馬克寫(xiě)了算術(shù)引論一書(shū)，此后算術(shù)開(kāi)始成為獨(dú)立學(xué)科。 150年左右，求出314166，提出透視投影法與球面上經(jīng)緯度的討論，這是古代坐標(biāo)的示例(古希臘，托勒密)。 三世紀(jì)時(shí)，寫(xiě)成代數(shù)著作算術(shù)共十三卷，其中六卷保留至今，解出了許多定和不定方程式(古希臘，丟番都)。 三世紀(jì)至四世紀(jì)魏晉時(shí)期，勾股圓方圖注中列出關(guān)于直角三角形三邊之間關(guān)系的命題共21條(中國(guó)，趙爽)。 三世紀(jì)至四世紀(jì)魏晉時(shí)期，發(fā)明割圓術(shù)，得31416(中國(guó)，劉徽)。 三世紀(jì)至四世紀(jì)魏晉時(shí)期，海島算經(jīng)中論述了有關(guān)測(cè)量和計(jì)算海島的距離、高度的方法(中國(guó) 劉徽)。 四世紀(jì)時(shí)，幾何學(xué)著作數(shù)學(xué)集成問(wèn)世，是研究古希臘數(shù)學(xué)的手冊(cè)(古希臘，帕普斯)。 401-1000年 五世紀(jì)，算出了的近似值到七位小數(shù)，比西方早一千多年(中國(guó) 祖沖之)。 五世紀(jì)，著書(shū)研究數(shù)學(xué)和天文學(xué)，其中討論了一次不定方程式的解法、度量術(shù)和三角學(xué)等(印度，阿耶波多)。 六世紀(jì)中國(guó)六朝時(shí)，提出祖氏定律：若二立體等高處的截面積相等，則二者體積相等。西方直到十七世紀(jì)才發(fā)現(xiàn)同一定律，稱(chēng)為卡瓦列利原理(中國(guó)，祖暅)。 六世紀(jì)，隋代皇極歷法內(nèi)，已用內(nèi)插法來(lái)計(jì)算日、月的正確位置(中國(guó)，劉焯)。 七世紀(jì)，研究了定方程和不定方程、四邊形、圓周率、梯形和序列。給出了ax+by=c (a,b,c,是整數(shù))的第一個(gè)一般解(印度，婆羅摩笈多)。 七世紀(jì)，唐代的緝古算經(jīng)中，解決了大規(guī)模土方工程中提出的三次方程求正根的問(wèn)題(中國(guó)，王孝通)。 七世紀(jì)，唐代有十部算經(jīng)注釋。十部算經(jīng)指：周髀、九章算術(shù)、海島算經(jīng)、張邱建算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)等(中國(guó)，李淳風(fēng)等)。 727年，唐開(kāi)元年間的大衍歷中，建立了不等距的內(nèi)插公式(中國(guó)，僧一行)。 九世紀(jì)，發(fā)表印度計(jì)數(shù)算法，使西歐熟悉了十進(jìn)位制(阿拉伯，阿爾花刺子模 )。 1001-1500年 1086-1093年，宋朝的夢(mèng)溪筆談中提出隙積術(shù)和會(huì)圓術(shù)，開(kāi)始高階等差級(jí)數(shù)的研究(中國(guó)，沈括)。 十一世紀(jì)，第一次解出2n+n=型方程的根(阿拉伯，阿爾卡爾希)。 十一世紀(jì)，完成了一部系統(tǒng)研究三次方程的書(shū)代數(shù)學(xué)(阿拉伯，卡牙姆)。 十一世紀(jì)，解決了海賽姆問(wèn)題，即要在圓的平面上兩點(diǎn)作兩條線相交于圓周上一點(diǎn)，并與在該點(diǎn)的法線成等 角(埃及，阿爾海賽姆)。 十一世紀(jì)中葉，宋朝的黃帝九章算術(shù)細(xì)草中，創(chuàng)造了開(kāi)任意高次冪的增乘開(kāi)方法，列出二項(xiàng)式定理系數(shù)表，這是現(xiàn)代組合數(shù)學(xué)的早期發(fā)現(xiàn)。后人所稱(chēng)的楊輝三角即指此法(中國(guó)，賈憲)。 十二世紀(jì)，立剌瓦提一書(shū)是東方算術(shù)和計(jì)算方面的重要著作(印度，拜斯迦羅)。 1202年，發(fā)表計(jì)算之書(shū)，把印度阿拉伯記數(shù)法介紹到西方(意大利，費(fèi)婆拿契 )。 1220年，發(fā)表幾何學(xué)實(shí)習(xí)一書(shū)，介紹了許多阿拉伯資料中沒(méi)有的示例(意大利，費(fèi)婆拿契)。 1247年，宋朝的數(shù)書(shū)九章共十八卷，推廣了增乘開(kāi)方法。書(shū)中提出的聯(lián)立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年(中國(guó)，秦九韶)。 1248年，宋朝的測(cè)圓海鏡十二卷，是第一部系統(tǒng)論述天元術(shù)的著作(中國(guó)，李治 )。 1261年，宋朝發(fā)表詳解九章算法，用垛積術(shù)求出幾類(lèi)高階等差級(jí)數(shù)之和(中國(guó)， 楊輝)。 1274年，宋朝發(fā)表乘除通變本末，敘述九歸捷法，介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法(中國(guó)，楊輝)。 1280年，元朝授時(shí)歷用招差法編制日月的方位表(中國(guó)，王恂、郭守敬等)。 十四世紀(jì)中葉前，中國(guó)開(kāi)始應(yīng)用珠算盤(pán)。 1303年，元朝發(fā)表四元玉鑒三卷，把天元術(shù)推廣為四元術(shù)(中國(guó)，朱世杰)。 1464年，在論各種三角形(1533年出版)中，系統(tǒng)地總結(jié)了三角學(xué)(德國(guó)，約米勒)。 1494年，發(fā)表算術(shù)集成，反映了當(dāng)時(shí)所知道的關(guān)于算術(shù)、代數(shù)和三角學(xué)的知識(shí)( 意大利，帕奇歐里)。 1501-1600年 1545年，卡爾達(dá)諾在大法中發(fā)表了非爾洛求三次方程的一般代數(shù)解的公式(意大利 ，卡爾達(dá)諾、非爾洛)。 15501572年，出版代數(shù)學(xué)，其中引入了虛數(shù)，完全解決了三次方程的代數(shù)解問(wèn)題(意大利，邦別利)。 1591年左右，在美妙的代數(shù)中出現(xiàn)了用字母表示數(shù)字系數(shù)的一般符號(hào)，推進(jìn)了代數(shù)問(wèn)題的一般討論(德國(guó)，韋達(dá))。 15961613年，完成了六個(gè)三角函數(shù)的間隔10秒的十五位小數(shù)表(德國(guó)，奧脫、皮提斯庫(kù)斯)。 1601-1650年 1614年，制定了對(duì)數(shù)(英國(guó)，耐普爾)。 1615年，發(fā)表酒桶的立體幾何學(xué)，研究了圓錐曲線旋轉(zhuǎn)體的體積(德國(guó)，刻卜勒 )。 1635年，發(fā)表不可分連續(xù)量的幾何學(xué)，書(shū)中避免無(wú)窮小量，用不可分量制定了一種簡(jiǎn)單形式的微積分(意大利，卡瓦列利)。 1637年，出版幾何學(xué)，制定了解析幾何。把變量引進(jìn)數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了(法國(guó)，笛卡爾)。 1638年，開(kāi)始用微分法求極大、極小問(wèn)題(法國(guó)，費(fèi)爾瑪)。 1638年，發(fā)表關(guān)于兩種新科學(xué)的數(shù)學(xué)證明的論說(shuō)，研究距離、速度和加速度之間的關(guān)系，提出了無(wú)窮集合的概念，這本書(shū)被認(rèn)為是伽里略重要的科學(xué)成就(意大利，伽里略)。 1639年，發(fā)行企圖研究圓錐和平面的相交所發(fā)生的事的草案，是近世射影幾何學(xué)的早期工作(法國(guó)，德沙格)。 1641年，發(fā)現(xiàn)關(guān)于圓錐內(nèi)接六邊形的巴斯噶定理(法國(guó)，巴斯噶)。 1649年，制成巴斯噶計(jì)算器，它是近代計(jì)算機(jī)的先驅(qū)(法國(guó)，巴斯噶)。 .1651-1700年 1654年，研究了概率論的基礎(chǔ)(法國(guó)，巴斯噶、費(fèi)爾瑪)。 1655年，出版無(wú)窮算術(shù)一書(shū)，第一次把代數(shù)學(xué)擴(kuò)展到分析學(xué)(英國(guó)，瓦里斯)。 1657年，發(fā)表關(guān)于概率論的早期論文論機(jī)會(huì)游戲的演算(荷蘭，惠更斯)。 1658年，出版擺線通論，對(duì)擺線進(jìn)行了充分的研究(法國(guó)，巴斯噶)。 16651676年，牛頓(16651666年)先于萊布尼茨(16731676年)制定了微積分，萊布尼茨(16841686年)早于牛頓(17041736年)發(fā)表微積分(英國(guó)，牛頓，德國(guó)，萊布尼茨 )。 1669年，發(fā)明解非線性方程的牛頓雷夫遜方法(英國(guó)，牛頓、雷夫遜)。 1670年，提出費(fèi)爾瑪大定理,預(yù)測(cè)：若X,Y,Z,n都是整數(shù),則nnn ，當(dāng) n2時(shí)是不可能的(法國(guó)，費(fèi)爾瑪)。 1673年，發(fā)表擺動(dòng)的時(shí)鐘，其中研究了平面曲線的漸屈線和漸伸線(荷蘭，惠更斯)。 1684年，發(fā)表關(guān)于微分法的著作關(guān)于極大極小以及切線的新方法(德國(guó)，萊布尼茨)。 1686年，發(fā)表了關(guān)于積分法的著作(德國(guó)，萊布尼茨)。 1691年，出版微分學(xué)初步，促進(jìn)了微積分在物理學(xué)和力學(xué)上的應(yīng)用及研究(瑞士，約貝努利)。 1696年，發(fā)明求不定式極限的洛比達(dá)法則(法國(guó)，洛比達(dá))。 1697年，解決了一些變分問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)最速下降線和測(cè)地線(瑞士，約貝努利)。 1701-1750年 1704年，發(fā)表三次曲線枚舉、利用無(wú)窮級(jí)數(shù)求曲線的面積和長(zhǎng)度、流數(shù)法(英國(guó)，牛頓)。 1711年，發(fā)表使用級(jí)數(shù)、流數(shù)等等的分析(英國(guó)，牛頓)。 1713年，出版概率論的第一本著作猜度術(shù)(瑞士，雅貝努利)。 1715年，發(fā)表增量方法及其他(英國(guó)，布泰勒)。 1731年，出版關(guān)于雙重曲率的曲線的研究是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試(法國(guó)，克雷洛)。 1733年，發(fā)現(xiàn)正態(tài)概率曲線(英國(guó)，德穆阿佛爾)。 1734年，貝克萊發(fā)表分析學(xué)者，副標(biāo)題是致不信神的數(shù)學(xué)家，攻擊牛頓的流數(shù)法，引起所謂第二次數(shù)學(xué)危機(jī)(英國(guó)，貝克萊)。 1736年，發(fā)表流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)(英國(guó)，牛頓)。 1736年，出版力學(xué)、或解析地?cái)⑹鲞\(yùn)動(dòng)的理論，是用分析方法發(fā)展牛頓的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第一本著作(瑞士，歐勒)。 1742年，引進(jìn)了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(英國(guó)，馬克勞林)。 1744年，導(dǎo)出了變分法的歐勒方程，發(fā)現(xiàn)某些極小曲面(瑞士，歐勒)。 1747年，由弦振動(dòng)的研究而開(kāi)創(chuàng)偏微分方程論(法國(guó)，達(dá)蘭貝爾等)。 1748年，出版了系統(tǒng)研究分析數(shù)學(xué)的無(wú)窮分析概要，是歐勒的主要著作之一(瑞士， 歐勒)。 1751-1800年 17551774年出版微分學(xué)和積分學(xué)三卷。書(shū)中包括分方程論和一些特殊的函數(shù)(瑞士，歐勒)。 17601761年，系統(tǒng)地研究了變分法及其在力學(xué)上的應(yīng)用(法國(guó)，拉格朗日)。 1767年，發(fā)現(xiàn)分離代數(shù)方程實(shí)根的方法和求其近似值的方法(法國(guó)，拉格朗日)。 17701771年，把置換群用于代數(shù)方程式求解，這是群論的開(kāi)始(法國(guó)，拉格朗日)。 1772年，給出三體問(wèn)題最初的特解(法國(guó)，拉格朗日)。 1788年，出版解析力學(xué)，把新發(fā)展的解析法應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)、剛體力學(xué)(法國(guó)，拉格朗日)。 1794年，流傳很廣的初等幾何學(xué)課本幾何學(xué)概要(法國(guó)，勒讓德?tīng)?。 1794年，從測(cè)量誤差，提出最小二乘法，于1809年發(fā)表(德國(guó)，高斯)。 1797年，發(fā)表解析函數(shù)論不用極限的概念而用代數(shù)方法建立微分學(xué)(法國(guó)， 拉格朗日)。 1799年，創(chuàng)立畫(huà)法幾何學(xué)，在工程技術(shù)中應(yīng)用頗多(法國(guó)，蒙日)。 1799年，證明了代數(shù)學(xué)的一個(gè)基本定理：實(shí)系數(shù)代數(shù)方程必有根(德國(guó)，高斯)。 1801-1850年 1801年, 出版算術(shù)研究，開(kāi)創(chuàng)近代數(shù)論（德國(guó)，高斯）。 1809年，出版了微分幾何學(xué)的第一本書(shū)分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用（法國(guó)，蒙日）。 1812年，分析概率論一書(shū)出版，是近代概率論的先驅(qū)（法國(guó)，拉普拉斯）。 1816年，發(fā)現(xiàn)非歐幾何，但未發(fā)表（德國(guó)，高斯）。 1821年，分析教程出版，用極限嚴(yán)格地定義了函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分，研究了無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性等（法國(guó)，柯西）。 1822年,系統(tǒng)研究幾何圖形在投影變換下的不變性質(zhì)，建立了射影幾何學(xué)（法國(guó)，彭色列）。 1822年，研究熱傳導(dǎo)問(wèn)題，發(fā)明用傅立葉級(jí)數(shù)求解偏微分方程的邊值問(wèn)題，在理論和應(yīng)用上都有重大影響（法國(guó)，傅立葉）。 1824年，證明用根式求解五次方程的不可能性（挪威，阿貝爾）。 1825年，發(fā)明關(guān)于復(fù)變函數(shù)的柯西積分定理，并用來(lái)求物理數(shù)學(xué)上常用的一些定積分值（法國(guó)，柯西）。 1826年，發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)級(jí)數(shù)之和并非連續(xù)函數(shù)（挪威，阿貝爾）。 1826年，改變歐幾理得幾何學(xué)中的平行公理，提出非歐幾何學(xué)的理論（俄國(guó)，羅巴切夫斯基，匈牙利，波約）。 1827-1829年，確立了橢圓積分與橢圓函數(shù)的理論，在物理、力學(xué)中都有應(yīng)用（德國(guó)，雅可比，挪威，阿貝爾，法國(guó)，勒讓德?tīng)枺?1827年，建立微分幾何中關(guān)于曲面的系統(tǒng)理論（德國(guó)，高斯）。 1827年，出版重心演算，第一次引進(jìn)齊次坐標(biāo)（德國(guó)，梅比武斯）。 1830年，給出一個(gè)連續(xù)而沒(méi)有導(dǎo)數(shù)的所謂病態(tài)函數(shù)的例子（捷克，波爾查諾）。 1830年，在代數(shù)方程可否用根式求解的研究中建立群論（法國(guó)，伽羅華）。 1831年，發(fā)現(xiàn)解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)收斂定理（法國(guó)，柯西）。 1831年，建立了復(fù)數(shù)的代數(shù)學(xué)，用平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，破除了復(fù)數(shù)的神秘性（德國(guó)，高斯）。 1835年，提出確定代數(shù)方程式實(shí)根位置的方法（法國(guó)，斯特姆）。 1836年，證明解析系數(shù)微分方程式解的存在性（法國(guó)，柯西）。 1836年，證明具有已知周長(zhǎng)的一切封閉曲線中包圍最大面積的圖形必定是圓（瑞士，史坦納）。 1837年，第一次給出了三角級(jí)數(shù)的一個(gè)收斂性定理（德國(guó)，狄利克萊）。 1840年，把解析函數(shù)用于數(shù)論，并且引入了狄利克萊級(jí)數(shù)（德國(guó)，狄利克萊）。 1841年，建立了行列式的系統(tǒng)理論（德國(guó)，雅可比）。 1844年，研究多個(gè)變?cè)拇鷶?shù)系統(tǒng)，首次提出多維空間的概念（德國(guó)，格拉斯曼）。 1846年，提出求實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值問(wèn)題的雅可比方法（德國(guó)，雅可比）。 1847年，創(chuàng)立了布爾代數(shù)，對(duì)后來(lái)的電子計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)有重要應(yīng)用（英國(guó)，布爾）。 1848年，研究各種數(shù)域中的因子分解問(wèn)題，引進(jìn)了理想數(shù)（德國(guó)，庫(kù)莫爾）。 1848年，發(fā)現(xiàn)函數(shù)極限的一個(gè)重要概念-一致收斂，但未能?chē)?yán)格表述（英國(guó)，斯托克斯）。 1850年，給出了黎曼積分的定義，提出函數(shù)可積的概念（德國(guó)，黎曼）。 1851-1900年 1851年，提出共形映照的原理，在力學(xué)、工程技術(shù)中應(yīng)用頗多，但未給出證明（德國(guó)，黎曼）。 1854年，建立更廣泛的一類(lèi)非歐幾何學(xué)-黎曼幾何學(xué)，并提出多維拓?fù)淞餍蔚母拍睿ǖ聡?guó)，黎曼）。開(kāi)始建立函數(shù)逼近論，利用初等函數(shù)來(lái)逼近復(fù)雜的函數(shù)。 二十世紀(jì)以來(lái)，由于電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，使函數(shù)逼近論有很大的發(fā)展（俄國(guó)，契比雪夫）。 1856年，建立極限理論中的-方法，確立了一致收斂性的概念（德國(guó)，外爾斯特拉斯）。 1857年，詳細(xì)地討論了黎曼面，把多值函數(shù)看成黎曼面上的單值函數(shù)（德國(guó)，黎曼）。 1868年，在解析幾何中引進(jìn)一些新的概念，提出可以用直線、平面等作為基本的空間元素（德國(guó)，普呂克）。 1870年，發(fā)現(xiàn)李群，并用以討論微分方程的求積問(wèn)題（挪威，李）。 給出了群論的公理結(jié)構(gòu)，是后來(lái)研究抽象群的出發(fā)點(diǎn)（德國(guó)，克朗尼格）。 1872年，數(shù)學(xué)分析的算術(shù)化，即以有理數(shù)的集合來(lái)定義實(shí)數(shù)（德國(guó)，戴特金、康托爾、外耳斯特拉斯）。 發(fā)表了愛(ài)爾朗根計(jì)劃，把每一種幾何學(xué)都看成是一種特殊變換群的不變量論（德國(guó)，克萊茵）。 1873年，證明了是超越數(shù)（法國(guó)，埃爾米特）。 1876年，解析函數(shù)論發(fā)行，把復(fù)變函數(shù)論建立在冪級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上（德國(guó)，外爾斯特拉斯）。 1881-1884年，制定了向量分析（美國(guó)，吉布斯）。 1881-1886年，連續(xù)發(fā)表微分方程所確定的積分曲線的論文，開(kāi)創(chuàng)微分方程定性理論（法國(guó)，彭加勒）。 1882年，制定運(yùn)算微積，是求解某些微分方程的一種簡(jiǎn)便方法，工程上常有應(yīng)用（英國(guó)，亥維賽）。 1883年，建立集合論，發(fā)展了超窮基數(shù)的理論（德國(guó)，康托爾）。 1884年，數(shù)論的基礎(chǔ)出版，是數(shù)理邏輯中量詞理論的發(fā)端（德國(guó) 弗萊格）。 1887-1896年，出版了四卷曲面的一般理論的講義，總結(jié)了一個(gè)世紀(jì)來(lái)關(guān)于曲線和曲面的微分幾何學(xué)的成就（德德國(guó)，達(dá)爾布）。 1892年，建立運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論，是微分方程定性理論的重要方面（俄國(guó)，李雅普諾夫）。 1892-1899年，創(chuàng)立自守函數(shù)論（法國(guó)，彭加勒）。 1895年，提出同調(diào)的概念，開(kāi)創(chuàng)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)（法國(guó)，彭加勒）。 1899年，幾何學(xué)基礎(chǔ)出版，提出歐幾里得幾何學(xué)的嚴(yán)格的公理系統(tǒng)，對(duì)數(shù)學(xué)的公理化思潮有很大影響（德國(guó)，希爾伯特）。 瑞利等人最早提出基于統(tǒng)計(jì)概念的計(jì)算方法-蒙太卡諾方法的思想。 二十世紀(jì)二十年代柯朗（德）、馮.諾伊曼（美）等人發(fā)展了這個(gè)方法。后在電子計(jì)算機(jī)上獲得應(yīng)用。 提出數(shù)學(xué)上未解決的23個(gè)問(wèn)題，引起了20世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家的注意（德國(guó)，希爾伯脫）。 1901-1910年 1901年，嚴(yán)格證明狄利克雷原理，開(kāi)創(chuàng)變分學(xué)的直接方法，在工程技術(shù)的計(jì)算問(wèn)題中有很多應(yīng)用（德國(guó)，希爾伯特）。 首先提出群的表示理論。此后，各種群的表示理論得到大量研究（德國(guó)，舒爾、弗洛伯紐斯）。 基本上完成張量分析，又名絕對(duì)微分學(xué)。確立了研究黎曼幾何和相對(duì)論的分析工具（意大利，里齊、勒維.齊維塔）。 提出勒貝格測(cè)度和勒貝格積分。推廣了長(zhǎng)度、面積積分的概念（法國(guó)，勒貝格）。 1903年，發(fā)現(xiàn)集合論中的羅素悖理，出現(xiàn)所謂第三次數(shù)學(xué)危機(jī)（英國(guó)，貝.羅素）。 建立線性積分方程的基本理論，是解決數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具，并為建立泛函分析作了準(zhǔn)備（瑞典，弗列特荷姆）。 1906年，總結(jié)了古典代數(shù)幾何學(xué)的研究（意大利，賽維利等）。 把由函數(shù)組成的無(wú)限集合作為研究對(duì)象，引入函數(shù)空間的概念，并開(kāi)始形成希爾伯特空間。這是泛函分析的發(fā)源（法國(guó)，弗勒錫，匈牙利，里斯）。 開(kāi)始系統(tǒng)地研究多個(gè)自變量的復(fù)變函數(shù)理論（德國(guó)，哈爾托格斯）。初次提出馬爾可夫鏈的數(shù)學(xué)模型（俄國(guó)，馬爾可夫）。 1907年，證明復(fù)變函數(shù)論的一個(gè)基本原理-黎曼共形映照定理（德國(guó)，寇貝）。 反對(duì)在數(shù)學(xué)中使用排中律，提出直觀主義數(shù)學(xué)（美籍荷蘭人，路.布勞威爾）。 1908年，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)形成（德國(guó)，忻弗里斯）。 提出集合論的公理化系統(tǒng)（德國(guó)，策麥羅）。 1909年，解決數(shù)論中著名的華林問(wèn)題（德國(guó)，希爾伯特）。 1910年，總結(jié)了19世紀(jì)末20世紀(jì)初的各種代數(shù)系統(tǒng)如群、代數(shù)、域等的研究，開(kāi)創(chuàng)了現(xiàn)代抽象代數(shù)（德國(guó)，施坦尼茨）。 發(fā)現(xiàn)不動(dòng)點(diǎn)原理，后來(lái)又發(fā)現(xiàn)了維數(shù)定理、單純形逼近方法，使代數(shù)拓?fù)涑蔀橄到y(tǒng)理論（美籍荷蘭人，路.布勞威爾）。 1910-1913年，出版數(shù)學(xué)原理三卷，企圖把數(shù)學(xué)歸結(jié)到形式邏輯中去，是現(xiàn)代邏輯主義的代表著作（英國(guó)，貝.素、懷特海）。年 法國(guó)的厄加當(dāng)和德國(guó)的韋耳完成了半單純李代數(shù)有限維表示理論，奠定了李群表示理論的基礎(chǔ)。這在量子力學(xué)和基本粒子理論中有重要應(yīng)用。 德國(guó)的韋耳研究黎曼面，初步產(chǎn)生了復(fù)流形的概念。 年 德國(guó)的豪斯道夫提出拓?fù)淇臻g的公理系統(tǒng)，為一般拓?fù)鋵W(xué)建立了基礎(chǔ)。 年 瑞士美籍德國(guó)人愛(ài)因斯坦和德國(guó)的卡施瓦茨西德把黎曼幾何用于廣義相對(duì)論，解出球?qū)ΨQ(chēng)的場(chǎng)方程，從而可以計(jì)算水星近日點(diǎn)的移動(dòng)等問(wèn)題。 年 英國(guó)的哈臺(tái)、立篤武特應(yīng)用復(fù)變函數(shù)論方法來(lái)研究數(shù)論，建立解析數(shù)論。 丹麥的愛(ài)爾蘭為改進(jìn)自動(dòng)電話交換臺(tái)的設(shè)計(jì)，提出排隊(duì)論的數(shù)學(xué)理論。 希爾伯特空間理論的形成(匈牙利 里斯)。 年 德國(guó)的亨賽爾建立P-adic數(shù)論，這在代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何中有重要用。 年 德國(guó)的希爾伯特提出數(shù)學(xué)要徹底形式化的主張，創(chuàng)立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的形式主義體系和證明論。 年 法國(guó)的厄加當(dāng)提出一般聯(lián)絡(luò)的微分幾何學(xué)，將克萊因和黎曼的幾何學(xué)觀點(diǎn)統(tǒng)一起來(lái)，是纖維叢概念的發(fā)端。 法國(guó)的阿達(dá)瑪提出偏微分方程適定性，解決二階雙曲型方程的柯西問(wèn)題()。 波蘭的巴拿哈提出更廣泛的一類(lèi)函數(shù)空間巴拿哈空間的理論()。 美國(guó)的諾維納提出無(wú)限維空間的一種測(cè)度維納測(cè)度，這對(duì)概率論和泛函分析有一定作用。 年 丹麥的哈波爾創(chuàng)立概周期函數(shù)。 英國(guó)的費(fèi)希爾以生物、醫(yī)學(xué)試驗(yàn)為背景，開(kāi)創(chuàng)了“試驗(yàn)設(shè)計(jì)”(數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支)，也確立了統(tǒng)計(jì)推斷的基本方法。 年 德國(guó)的納脫大體上完成對(duì)近世代數(shù)有重大影響的理想理論。 年 美國(guó)的畢爾霍夫建立動(dòng)力系統(tǒng)的系統(tǒng)理論，這是微分方程定性理論的一個(gè)重要方面。 年 美籍德國(guó)人 理柯朗提出解偏微分方程的差分方法。 美國(guó)的哈特萊首次提出通信中的信息量概念。 德國(guó)的格羅許、芬蘭的阿爾福斯、蘇聯(lián)的拉甫連捷夫提出擬似共形映照理論，這在工程技術(shù)上有一定應(yīng)用。 年 美國(guó)的畢爾霍夫建立格論，這是代數(shù)學(xué)的重要分支，對(duì)射影幾何、點(diǎn)集論及泛函分析都有應(yīng)用。 美籍匈牙利人馮諾伊曼提出自伴算子譜分析理論并應(yīng)用于量子力學(xué)。 年 瑞士的德拉姆發(fā)現(xiàn)多維流形上的微分型和流形的上同調(diào)性質(zhì)的關(guān)系，給拓?fù)鋵W(xué)以分析工具。 奧地利的哥德?tīng)栕C明了公理化數(shù)學(xué)體系的不完備性。 蘇聯(lián)的柯?tīng)柲缏宸蚝兔绹?guó)的費(fèi)勒發(fā)展了馬爾可夫過(guò)程理論。 年 法國(guó)的亨嘉當(dāng)解決多元復(fù)變函數(shù)論的一些基本問(wèn)題。 美國(guó)的畢爾霍夫、美籍匈牙利人馮諾伊曼建立各態(tài)歷經(jīng)的數(shù)學(xué)理論。 法國(guó)的赫爾勃蘭特、奧地利的哥德?tīng)?、美?guó)的克林建立遞歸函數(shù)理論，這是數(shù)理邏輯的一個(gè)分支，在自動(dòng)機(jī)和算法語(yǔ)言中有重要應(yīng)用。 年 匈牙利的奧哈爾提出拓?fù)淙旱牟蛔儨y(cè)度概念。 蘇聯(lián)的柯?tīng)柲缏宸蛱岢龈怕收摰墓砘w系。 美國(guó)的諾維納、丕萊制訂復(fù)平面上的傅立葉變式理論。 年 美國(guó)的莫爾斯創(chuàng)建大范圍變分學(xué)的理論，為微分幾何和微分拓?fù)涮峁┝擞行Чぞ摺?美國(guó)的道格拉斯等解決極小曲面的基本問(wèn)題普拉多問(wèn)題，即求通過(guò)給定邊界而面積為最小的曲面。 蘇聯(lián)的辛欽提出平穩(wěn)過(guò)程理論。 年 波蘭的霍勒維奇等在拓?fù)鋵W(xué)中引入同倫群，成為代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)涞闹匾ぞ摺?法國(guó)的龔貝爾開(kāi)始研究產(chǎn)品使用壽命和可靠性的數(shù)學(xué)理論。 年 德國(guó)寇尼克系統(tǒng)地提出與研究圖的理論，美國(guó)的貝爾治等對(duì)圖的理論有很大的發(fā)展。50年代以后，由于在博弈論、規(guī)劃論、信息論等方面的發(fā)展，而得到廣泛應(yīng)用。 現(xiàn)代的代數(shù)幾何學(xué)開(kāi)始形成。(荷蘭 范德凡爾登，法國(guó)外耳，美國(guó)查里斯基，意大利 培塞格勒等) 英國(guó)的圖靈、美國(guó)的邱吉、克林等提出理想的通用計(jì)算機(jī)概念，同時(shí)建立了算法理論。 美籍匈牙利人 馮諾伊曼建立算子環(huán)論，可以表達(dá)量子場(chǎng)論數(shù)學(xué)理論中的一些概念。 蘇聯(lián)的索波列夫提出偏微分方程中的泛函分析方法。 年 美國(guó)的懷特尼證明微分流形的嵌入定理，這是微分拓?fù)鋵W(xué)的創(chuàng)始。 蘇聯(lián)的彼得洛夫斯基提出偏微分方程組的分類(lèi)法，得出某些基本性質(zhì)。 瑞士的克拉默開(kāi)始系統(tǒng)研究隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)理論。 年 布爾巴基叢書(shū)數(shù)學(xué)原本開(kāi)始出版，企圖從數(shù)學(xué)公理結(jié)構(gòu)出發(fā)，以非常抽象的方式敘述全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)(法國(guó) 布爾巴基學(xué)派)。 年 美國(guó)的哥德?tīng)栕C明連續(xù)統(tǒng)假說(shuō)在集合論公理系中的無(wú)矛盾性。 英國(guó)的紹司威爾提出求數(shù)值解的松弛方法。 蘇聯(lián)的蓋爾方特提出交換群調(diào)和分析的理論。 年 美國(guó)的霍奇定義了流形上的調(diào)和積分，并用于代數(shù)流形，成為研究流形同調(diào)性質(zhì)的分析工具。 蘇聯(lián)的謝伯恩斯坦、日本的伊藤清開(kāi)始建立馬爾可夫過(guò)程與隨機(jī)微分方程的聯(lián)系。 蘇聯(lián)的蓋爾芳特創(chuàng)立賦范環(huán)理論，主要用于群上調(diào)和分析和算子環(huán)論。 年 美國(guó)的諾維納、蘇聯(lián)的柯?tīng)柲缏宸蜷_(kāi)始研究隨機(jī)過(guò)程的預(yù)測(cè)，濾過(guò)理論及其在火炮自動(dòng)控制上的應(yīng)用，由此產(chǎn)生了“統(tǒng)計(jì)動(dòng)力學(xué)。 年 中國(guó)的林士諤提出求代數(shù)方程數(shù)字解的林士諤方法。 年 美籍匈牙利人馮諾伊曼等建立了對(duì)策論，即博弈論。 年 法國(guó)的許瓦茨推廣了古典函數(shù)概念，創(chuàng)立廣義函數(shù)論，對(duì)微分方程理論和泛函分析有重要作用。 美籍華人陳省身建立代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展。 年 美國(guó)莫爾電子工程學(xué)校和賓夕法尼亞大學(xué)試制成功第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)ENIAC。(設(shè)計(jì)者為?？颂?、莫希萊等人)。 法國(guó)的外耳建立現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)基礎(chǔ)。 中國(guó)的華羅庚發(fā)展了三角和法研究解析數(shù)論。 蘇聯(lián)的蓋爾芳特、諾依瑪克建立羅倫茲群的表示理論。 年 美國(guó)的埃瓦爾特創(chuàng)立統(tǒng)計(jì)的序貫分析法。 年