分類討論與一元二次不等式

思想方法選講之二分類討論與含參數(shù)的一元二次不等式基礎(chǔ)知識預(yù)備：解下列一元二次不等式（1）x26x+80，即時，若即，則此時不等式的解集為。若即，則此時不等式的解集為。注：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)且有可能為零時，首先需要對二次項(xiàng)是否為零進(jìn)行討論。本題中，由于含參數(shù)的一元二次不等式的根的情況不確定，因此需要對其判別式進(jìn)行討論。二、對根的大小情況分類討論例3 解關(guān)于的不等式。解：將二次項(xiàng)系數(shù)化正可得，即方程的根為：。下面對方程根的大小進(jìn)行討論 當(dāng)，即時，各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下：此時，不等式的解集為 當(dāng)，即時，各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下：此時，不等式的解集為 當(dāng)，即時，各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下：此時，不等式的解集為 當(dāng)，即時，各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下：此時，不等式的解集為 當(dāng)，即時，各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下：此時，不等式的解集為注：本題雖然是一元三次不等式求解問題，但是該一元三次不等式通過因式分解可以轉(zhuǎn)化成形如的形式，利用數(shù)軸，通過對三個根大小的分類討論，來進(jìn)行不等式求解。例4 解的不等式。解： 當(dāng)時，原不等式可化簡為，此時不等式的解集為 當(dāng)時，原不等式可轉(zhuǎn)化為（1）當(dāng)時，有若即，此時不等式的解集為。若即，此時不等式的解集為.若即，此時不等式的解集為。（2）當(dāng)時，有，且，此時不等式的解集為。注：本題在對二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論的基礎(chǔ)上，由于本題的一元二次不等式可以進(jìn)行因式分解，因此需要對其根的大小進(jìn)行討論。特別注意在從化簡到的過程中，由于不等式兩邊同時除了，因此需要對是否非零以及正負(fù)情況加以分類分析。例5解關(guān)于的不等式 分析：原不等式可化為，因?yàn)椴荒芤蚴椒纸?，所以也就不知道函?shù)與軸是否有交點(diǎn)，則需要對判別式進(jìn)行分類討論，又因?yàn)榈拈_口方向不定，還需對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，積于這兩個原因，參數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)有三個敏感點(diǎn)，一是由得到兩個點(diǎn)，另一個為，這樣參數(shù)在數(shù)軸上將被分成以下幾個區(qū)間：（-，-1）（-1，0）（0，1）（1，+），具體解法如下解：當(dāng)時 ，函數(shù)開口向下且與軸沒有交點(diǎn)原不等式的解集為當(dāng)時 ，函數(shù)開口向下且與軸有一個交點(diǎn)原不等式的解集為當(dāng)時 ，函數(shù)開口向下且與軸有兩個交點(diǎn)原不等式的解為當(dāng)時 原不等式化為 當(dāng)時 ，函數(shù)開口向上且與軸有兩個交點(diǎn)原不等式的解為。當(dāng)時 ，函數(shù)開口向上，且與軸只有一個交點(diǎn)原不等式的解集為當(dāng)時 ，函數(shù)開口向上且與軸沒有交點(diǎn)原不等式的解集為R綜上所述：當(dāng)時 原不等式的解集為當(dāng)時 原不等式的解集為當(dāng)時 原不等式的解集為當(dāng)時 原不等式化為 原不等式的解集為當(dāng)時 原不等式的解集為。當(dāng)時 原不等式的解集為當(dāng)時 原不等式的解集為R結(jié)論：由以上例子可以看出，對于參數(shù)沒有限定范圍的含參一元二次不等式其解法主要分兩種情況。一種是能夠進(jìn)行因式分解的，此類無需對進(jìn)行討論，只需依據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)及根的大小找出參數(shù)的敏感點(diǎn)，依據(jù)其敏感點(diǎn)將參數(shù)在數(shù)軸上劃開，而后從左至右逐項(xiàng)討論。另一種情況是不能因式分解的不等式則需依據(jù)及二次項(xiàng)的系數(shù)找出參數(shù)的敏感點(diǎn)，之后依據(jù)其敏感點(diǎn)從左至右逐項(xiàng)討論。總結(jié)：利用分類討論的方法求解含參數(shù)一元二次不等式問題時，往往需要進(jìn)行一次以上的分類討論。一般情況下，若二次項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)的，先對二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論；然后看該一元二次不等式能否因式分解，如果不能的話，則根據(jù)