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思想方法選講之二分類討論與含參數(shù)的一元二次不等式基礎(chǔ)知識預(yù)備:解下列一元二次不等式(1)x26x+80,即時,若即,則此時不等式的解集為。若即,則此時不等式的解集為。注:當(dāng)二次項系數(shù)有參數(shù)且有可能為零時,首先需要對二次項是否為零進行討論。本題中,由于含參數(shù)的一元二次不等式的根的情況不確定,因此需要對其判別式進行討論。二、對根的大小情況分類討論例3 解關(guān)于的不等式。解:將二次項系數(shù)化正可得,即方程的根為:。下面對方程根的大小進行討論 當(dāng),即時,各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下:此時,不等式的解集為 當(dāng),即時,各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下:此時,不等式的解集為 當(dāng),即時,各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下:此時,不等式的解集為 當(dāng),即時,各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下:此時,不等式的解集為 當(dāng),即時,各根在數(shù)軸上的分布即穿線如下:此時,不等式的解集為注:本題雖然是一元三次不等式求解問題,但是該一元三次不等式通過因式分解可以轉(zhuǎn)化成形如的形式,利用數(shù)軸,通過對三個根大小的分類討論,來進行不等式求解。例4 解的不等式。解: 當(dāng)時,原不等式可化簡為,此時不等式的解集為 當(dāng)時,原不等式可轉(zhuǎn)化為(1)當(dāng)時,有若即,此時不等式的解集為。若即,此時不等式的解集為.若即,此時不等式的解集為。(2)當(dāng)時,有,且,此時不等式的解集為。注:本題在對二次項系數(shù)是否為零進行討論的基礎(chǔ)上,由于本題的一元二次不等式可以進行因式分解,因此需要對其根的大小進行討論。特別注意在從化簡到的過程中,由于不等式兩邊同時除了,因此需要對是否非零以及正負(fù)情況加以分類分析。例5解關(guān)于的不等式 分析:原不等式可化為,因為不能因式分解,所以也就不知道函數(shù)與軸是否有交點,則需要對判別式進行分類討論,又因為的開口方向不定,還需對二次項系數(shù)進行分類討論,積于這兩個原因,參數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)有三個敏感點,一是由得到兩個點,另一個為,這樣參數(shù)在數(shù)軸上將被分成以下幾個區(qū)間:(-,-1)(-1,0)(0,1)(1,+),具體解法如下解:當(dāng)時 ,函數(shù)開口向下且與軸沒有交點原不等式的解集為當(dāng)時 ,函數(shù)開口向下且與軸有一個交點原不等式的解集為當(dāng)時 ,函數(shù)開口向下且與軸有兩個交點原不等式的解為當(dāng)時 原不等式化為 當(dāng)時 ,函數(shù)開口向上且與軸有兩個交點原不等式的解為。當(dāng)時 ,函數(shù)開口向上,且與軸只有一個交點原不等式的解集為當(dāng)時 ,函數(shù)開口向上且與軸沒有交點原不等式的解集為R綜上所述:當(dāng)時 原不等式的解集為當(dāng)時 原不等式的解集為當(dāng)時 原不等式的解集為當(dāng)時 原不等式化為 原不等式的解集為當(dāng)時 原不等式的解集為。當(dāng)時 原不等式的解集為當(dāng)時 原不等式的解集為R結(jié)論:由以上例子可以看出,對于參數(shù)沒有限定范圍的含參一元二次不等式其解法主要分兩種情況。一種是能夠進行因式分解的,此類無需對進行討論,只需依據(jù)二次項系數(shù)及根的大小找出參數(shù)的敏感點,依據(jù)其敏感點將參數(shù)在數(shù)軸上劃開,而后從左至右逐項討論。另一種情況是不能因式分解的不等式則需依據(jù)及二次項的系數(shù)找出參數(shù)的敏感點,之后依據(jù)其敏感點從左至右逐項討論??偨Y(jié):利用分類討論的方法求解含參數(shù)一元二次不等式問題時,往往需要進行一次以上的分類討論。一般情況下,若二次項系數(shù)有參數(shù)的,先對二次項系數(shù)是否為零進行討論;然后看該一元二次不等式能否因式分解,如果不能的話,則根據(jù)
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