成考高等數(shù)學二重點及解析

1、成考專升本高等數(shù)學（二）重點知識及解析（占130分左右） 第一章、函數(shù)、極限和連續(xù)（22分左右）第一節(jié)、函數(shù)（不單獨考，了解即可）一、復合函數(shù)：要會判斷一個復合函數(shù)是由哪幾個簡單函數(shù)復合而成 的。例如：y In sin 2x是由y In u， u v2和v sin x這三個簡單函數(shù)復合而成例如：y arctane3x是由y arctanu， u ev和v 3x這三個簡單函數(shù)復合而成.該部分是后面求導的關(guān)鍵！二、基本初等函數(shù)：（1）常值函數(shù)：yc（ 2）幕函數(shù)：y x（3）指數(shù)函數(shù)：y ax（a 0,且a1)（4）對數(shù)函數(shù)：ylog ax( a 0,且a 1)（5）三角函數(shù)：ysin x， y

2、cosx， ytanx， y cotx， y secx，y cscx（6）反三角函數(shù)： y arcs in x， y arccosx， y arcta nx， y arccotx 其中：（正割函數(shù)）（余割函數(shù)）cosxsi nx三、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算， 并能用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。他是高等數(shù)學的主要 研究對象！第二節(jié)、無窮小與無窮大 （有時選擇題會單獨考到，也是后面求極限的基 礎(chǔ)）一、無窮小1、定義：以0為極限的量稱為無窮小量。注意：（1） 一個變量否是無窮小量與他的自變量的變化趨勢緊密相 關(guān)。（2）只有0能能作為無窮小的唯一常量，千萬不能將無窮

3、小與 很小的常量混為一談。例1： |極限lim x2 10,即當x 1時，變量x2 1是無窮?。坏钱攛 0時，x2 1就不是無窮小，因為此時他的極限值不為零。 所以表述無窮小時必須指明自變量的變化趨勢。例2: |下例變量在給定的變化過程中為無窮小的是（）.1A.1 ( si n (x0)B、ex(x0) C、ln 12x 3x2 (x 0) D 2x 3xx 9E、1 cosx (x0)F、2x1(x 0)G1 2(x 1)H Sinx(x 0)x 1x答案：選C、E、F、H,因為上述選項頁的極限值均為零！二、無窮大1、定義：當xX。（或x）時，f（x）無限地增大或無限減小，則稱f（x）是當

4、x x （或x ）的無窮大。注意：（1）無窮大是變量，不能與 很大的常量混為一談。（2）無限增大是正無窮大（），無限減小是負無窮大（）三、無窮小和無窮大的關(guān)系：若f（x）為無窮大，則 1為無窮??；若 f（x）f（x）為無窮?。╢（x） 0），則丄為無窮大f （x）例如：|當x 2時，x2 4為無窮小，則亠為無窮大。x 4當x 時，2x 1為無窮大，則 丄為無窮小。2x 1第三節(jié)、極限的運算方法 （重中之重！選擇、填空和解答題都會考到）、直接代入法：對于一般的極限式（即非未定式），只要將X。代入到函數(shù)表達式中，函數(shù)值即是極限值。注意：（1）常數(shù)極限等于他本身，與自變量的變化趨勢無關(guān) .即limC

5、 C，C為任意常數(shù)xXo的時候，而x時則不能用代入法，因為是變量,并非實（2）求極限時首先考慮用代入法，但是該方法只能針對數(shù)!例1：Xim4 4，Xim13，Hmlg 2 lg2，limX6例2：3 dX1_lim -2=lim 2x 2 x2 5x 3 x 2 222317=lim =5 2 3 x 2 3例3：X叫(ex sinx)=y叫 e0 sino =1 0 1x23_3 3_0lim一2一 = lim=一 0x 3x21 x 33 14二、未定式極限的運算法 （重點，每年必考一題！ 1、未定式定義：我們把0、一，0例4：等極限式稱為未定式，因為它們的極限值是不確定的，可能是無窮小，

6、可能是不為零的常數(shù)，也可能是無窮大。注意：確定，式是指極限值是確定的一個值，不用通過計算就可以推斷出。2、四則運算中常見的幾個未定式和確定式（1）0 0 0，0 0 0，0?0 0，0 為未定式0（2）為未定式，為未定式，為未定式上述和下述的0都代表無窮小，即極限值為零的量3、幾個重要未定式的計算方法（1）對于0未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，將0Xo代入后函數(shù)值即是極限值。（對于分子、分母有根號的特殊情況，要先消去根號，然后提取公因式）（2）對于未定式：分子、分母同時除以未知量的最高次幕，然后 利用無窮大的倒數(shù)是無窮小的這一關(guān)系進行計算。（3）對于未定式：先通分將轉(zhuǎn)化成-或一

7、的形式，然后再0用上述0或-的計算方法進行計算。0例1 ：計算lim X2 22x 1 . 9未定式，提取公因式X 1 X2102解：原式=lim= lim x 1 =- 0x 1 x 1 x 1 x 1 x 1213 Qc例刃十算x“2汽.0未定式提取公因式2解:原式=寸裂22x 4）2=lim( x2x 4) 12例3：計算lim二 x 03x22x0未定式先去根號再提取公因式23X23X23X叫-H X23X(2X233XVTmo例石計算ximiH迸一未定式，分子分母同除以x3解:3原式=limXx22 1芬 X3 =01 =2x 7無窮大倒數(shù)是無窮小，因此分子是0分母是2例5：計算li

8、m1n未定式，先求極限再開三次方2 n33lim13n2mil2n21n212n142-x2x4:24 ,x2 _-limlim2x4x2 22 x4x 21例6:計算limxx 2解：原式二limnn2 32n解：原式=|im xx 23=18未定式，先通分，后計算x 2=lim 12x2 x 2x 2注意常用的幾個代數(shù)轉(zhuǎn)換公式：a2 b2三、利用兩個重要的極限(重點掌握公式1、公式：lim Sinxx 0，一般考選擇、填空)=1 (把結(jié)論記住即可，重點掌握后面的等價無窮小當x 0時，t 0求出新變量的變化趨勢的替換)2、公式 ：limx1 =e或 lim 1xx 01x x=e(1)適用范

9、圍般用于“ 1 ”未定式的極限式(2)解題方法通常用換元法，先將復雜的變量換元成新變量t，再將原極限式中的變量x用新變量t的進行代換，然后轉(zhuǎn)化為公式 的形式，最后進行計算。注意：由于換元時引入了新變量，要求出新變量的變化趨勢。I11例1:計算lim 1 3x x.1未定式，先換元然后用公式求解 x 0解：令t 3x，得x -，即13將復雜的變量3x換元成新3 x t變量t313所以原式=lim 1 t t=iim 1 t t =e3轉(zhuǎn)換成新變量的極限式后 t 0t 0再用公式求 1 X 1一例2:計算lim 1 一 1未定式，先換兀然后用公式求解 x 2x解：令t ，得x 丄，即x 1 丄1先

10、換元2x2t2t當x 時，t 0求出新變量的變化趨勢1、 1 1 1 1-2 1所以原式=lim 1t 2t =lim1 t 2t?lim(1 t)1 =lim1 t t?1 =e 2t 0t 0t 0t 0四、利用等價無窮小的代換求極限(重點、每年必考一題！)1、等價無窮小的定義：設(shè) 和 是同一變化過程中的兩個無窮小，即lim lim 0如果lim= 1，稱 與 是等價無窮小，記作 .例1:由公式 可知極限lim sinx=1，所以當x 0時，sinx與x是等價 x 0 x無窮小.例2:當x 0時，函數(shù)f (x)與tanx是等價無窮小，則lim f(x)二丄.x 0 2ta nx 22、用等

11、價無窮小的代換求極限(1) 定理：設(shè)、均為無窮小，又,，且lim 存在II則 lim= lim或 lim ? lim ?I注意：利用等價無窮小的代換求極限能起到簡化運算的作用，但是 等價無窮小的代換只能對分子、分母的乘除因子進行代換，不能對 分子、分母的加減式子進行代換。(2) 常用的等價無窮小代換(7個)：當x 0時，1 cosx丄x2,2ln(1 x)x ,ex 1 x , sinx x, tanx x, arcsinx x , arctanx x ,注意：這7個等價無窮小務(wù)必熟記，是我們做一些極限題目的必備“工具”。在使用時要注意這7個等價無窮小的代換前提是x時候，代換時也要根據(jù)題意要靈

12、活運用！例 1:當 x 0 時，sin2x 2x , tan( 3x) 3x, arcsin( x)x , arctan 4x2 4x2,1225xcosx 1 -x , 1 cos2x 2x , ln(1 2x) 2x , e 1 5x例 2:極限 lim sin2x =lim = lim = sin2x用 2x 等價代換x 0 5x x 0 5x x 0 5 5 極限 lim tan3x=lim 3x =lim3 3 tan3x用 3x等價代換x 0 x x 0 x x 0 例 3:計算 lim1 cos2x.x 0 x?sinx解：當x 0時，1 cos2x2x2, sinxx等價代換2

13、所以原式=lim 2篤Tim2 =2計算x 0 x x 0例 4:計算 lim ln(1 3x). x 0 sin2x解：當x 0時，ln(1 3x)3x , sin2x2x等價代換所以原式=lim 蟲*=lim 蟲 3計算x 0 2x x 0 22例5: 計算lim x 1.x 0 tan 2x解：當x 0時，tan2x2x等價代換所以原式=00七1 =limx 0.x 1 1. x 112x 、廠 1x2x x 1lim =丄先去根號，再計算x 02 .x 114第四節(jié)、函數(shù)的連續(xù)性 （每年考一題，都以選擇或填空形式出現(xiàn)）一、函數(shù)的連續(xù)性（往往考已知函數(shù)在某點 滄處連續(xù)，求一個未知量常數(shù)）

14、1、函數(shù)在點x0處的連續(xù)定義：設(shè)函數(shù)f(x)在X0的某范圍內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)滿足lim f (x) f(Xo)，則稱f(x)在點xo處連續(xù)X x02、函數(shù)在點x0處連續(xù)的充要條件lim f (x) lim f (x) f (x0)x xox xo即函數(shù)在xo既滿足左連續(xù)又滿足右連續(xù)(左連續(xù)對應(yīng)左極限，右連續(xù)對應(yīng)右極限)例1:設(shè)函數(shù)f(齊二在x 0處連續(xù)，求k.(分段函數(shù))解：因為函數(shù)f(x)在x 0處連續(xù)，即滿足lim f (x)f(0)x 0因為嘰仙=犯 巳訶：啟守叫”、代3)=； 且 f(0) =k，所以 k = -.6ke2x, x V 0例2：設(shè)函數(shù)fJx)二在x 0處連續(xù)，求

15、k.(分段函數(shù))1 cosx , x 0解：因為函數(shù)f (x)在x 0處連續(xù)，lim f (x) lim f (x) f (0)x 0x 0因為 lim f (x) = lim ke2xk , lim f (x) = lim(1cosx) 2，且 f (0) =2x 0x 0x 0x 0所以k 2.沁,x V 0x例3: |設(shè)函數(shù)fjx)二在x 0處連續(xù)，求a.23x 2x a , x 0 解：因為函數(shù)f(x)在x 0處連續(xù)，lim f(x) lim f(x) f (0)x 0x 0=2 , lim f(x) = lim(3x2 2x a) axx 0x 0因為 lim f (x) = lim

16、 Sin2x = lim 2xx 0x 0 xx 0且f(0)=a，所以a 2注：以上三題均為分段函數(shù)，由于數(shù)學編輯器問題，大括號打不出來，請同學們自己填加！第二章、一元函數(shù)微分學（45分左右）第一節(jié)、導數(shù)與微分一、導數(shù)的概念（知道導數(shù)的符號如何表示即可）1、導數(shù)的表示符號（1）函數(shù)f （x）在點X。處的導數(shù)記作：f（X0），y|,巴或業(yè)2|yixq， dx x xdx 1 x x（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,b ）內(nèi)的導數(shù)記作：f（x），y，dy 或 dfd（x）dx dx二、求導公式（重點，是解題的關(guān)鍵，必須記?。。?）（c）0 （ C為常數(shù)）（2）（x ）x1（3）(ax)axln a

17、，(ex) ex( 4) (log aX)1x ln a 1(ln x)x（5）(sin x)cosx ( 6) (cosx)sinx（7）(tan x) sec2 x ( 8) (cot x) cos x2 csc x1 2 sin x（9）(arcsin x)” 1( 10) (arccosx)v1 x21&x2（11）(arctan x)2 ( 12) (arccot x)1 x11 x2例:1、x3 =3x2 2Vxx3、 sin 2 61=04、(2x) 2x ln 2 5、lg2 06、 lg x =log 10 x=1x ln10三、導數(shù)的四則運算（必考題型，選擇、填空、解答題均

18、有可能出現(xiàn)）1、運算公式（設(shè)U, V是關(guān)于X的函數(shù)，求解時把已知題目中的函數(shù) 代入公式中的U和V即可，代入后用導數(shù)公式求解.）（1） （u v） u v （2）（u?v） uv uv(3) (Cu) Cu( C 為常數(shù))(4)(與v v例1 ： |已知函數(shù)y X4 3C0SX 2，求y.解：y = x43 cosx 2 =4x3 3sin x 0 =4x3 3sinx例2：已知函數(shù)f (x)x21n x，求f (e).解： f(x) = x2 In x x2 In x =2x In x x2 丄=2x In x x x所以 f (e) = 2e ln e e2e e3e例3：已知函數(shù)f（x）x

19、1 X2，求 f(1).X 1 X2解：f (x)=X 1 X21 x21X2 2X 2x 1 x21 X2 2所以 f（1）= 1 1 2 =01 12四、復合函數(shù)的求導法則（必考題型，選擇、填空、解答題均有可能出現(xiàn)）1、方法一：例如求復合函數(shù)y sin x2的導數(shù).（1） 首先判斷該復合函數(shù)是由哪幾個簡單函數(shù)復合而成的.如y sin x2由y sin u和u x2這兩個簡單函數(shù)復合而成（2） 用導數(shù)公式求出每個簡單函數(shù)的導數(shù)即業(yè)二cosu，屯=2x dudx（3）每個簡單函數(shù)導數(shù)的乘積即為復合函數(shù)的導數(shù)；注意中間變量 要用原變量X替代回去.所以 dy? du =2x cos u =2 x

20、cosxdx du dx2、方法二（直接求導法）：如果對導數(shù)公式很熟悉，對復合函數(shù)的過程十分清楚，可以不必寫 出中間變量而直接對復合函數(shù)從外往里求導.I例如(sin x2) =cosx2 ?(x2) =2x cosx2例1: |設(shè)函數(shù)y Ji x2，求y.(用方法一求解)解：該函數(shù)是由x2復合而成,且 dy=1u1= 1 du 22u，du _dx2x.所以dy dy?巴二丄dx du dx 2 駅2x =x _ xJu .； 1 x2例2：設(shè)函數(shù)i 1y e呱，求y.(用方法二求解).1. 1sinsi n_1解：y = e x =e x (sinx1 1 si n _111 sinxx=e

21、 cos_ = 2 e xx x x1cos-x注意：同學們在解題是要結(jié)合自己的基礎(chǔ)以及對公式的熟練程度選擇其中的一種求解方法.五、導數(shù)的幾何意義(可能會考到選擇、填空)1、導數(shù)的幾何意義：y f(x)在點X。處的導數(shù)f(x。)就是曲線在點X。處切線的斜率，即k切=f(xo)2、切線方程的求法：用點斜式(即已知點和斜率)去求切線方程 設(shè)函數(shù)y f(x)，則該函數(shù)在點X0,y。處的切線方程為：y Yo f，x。x x。例求函數(shù)y e2x在點M(0,1)處的切線方程.解:因為2x=e 2x2x，= 2e 2x先求導即k切=y，x o = 2e 2x x o = 2再求切線斜率，即把x。代入導數(shù)中所

22、以切線方程為：y 12 x 0，即y2x 1用點斜式求出切線方程六、高階導數(shù)(每年考一題，一般考求二階或三階導數(shù))1、定義：如果函數(shù)y f(x)的導數(shù)f(x)在點x處可導，就稱f(x)的22導數(shù)為函數(shù)y f(x)的二階導數(shù)，記作：y, f(x)，雪 或df dxdx我們把二階和二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù),.,2、求法：(1)二階導數(shù)就是對一階導數(shù)再求一次導(2) 三階導數(shù)就是對一階導數(shù)求兩次導，對二階導求一次導(3) 同理得四階、五階導數(shù)的求法例 1:已知 y 5sin x，求 d-yy. dx3解：因為 =5cosx，且 dy= 5sinx,所以 d-y = 5cosx dxdx2dx3例

23、2:已知 y e2x，求 y|X0.解：y二e2x 2x =2e2x，所以 y=2 e2x 2x =4e2x即 yxo = 4七、微分(每年考一題，考選擇、填空或者解答題)1、微分的求法：(1) 求出函數(shù)y f(x)的導數(shù)f(x).(2) 再乘以dx即可.即dy f(x)dx .(因為我們習慣用dx表示x )例1:已知y In x2，求dy和d x 1 .解：因為 y二 In x2 =2 x2 =2 2x =2xxx所以dy = 2dx，即dy x1=2dx ( dx是微分的一個標志，故切勿將x 1代x入dx中)例2: |設(shè)函數(shù) y x4 cosx， 求dy .解：因為 y = x4 cosx

24、 x4 cosx 4x3 cosx x4 sin x所以dy = 4x3 cosx x4 sin x dx第二節(jié)、洛必達法則(考的話考解答題，考的可能性為百分之 50左右)xe- 2上式還是0未定式故繼續(xù)使用洛必達法則2 2上式不是未定式，故將x=0代入函數(shù)中例2：求limxIn x未定式，故用洛必達法則1、洛必達法則介紹：在一定條件下通過分子、分母分別求導，再求極限來確定未定式的 值的方法稱為洛必達法則I公式：limf（x） lim 1以）A（或） g（x） g（x）2、使用洛必達法則應(yīng)當注意的地方：（1） 只能對0或一才能使用洛必達法則，如果是未定式一定要0先通分化成0或一才能使用洛必達法

25、則.0（2）在使用洛必達法則時，是對未定式的分子、分母分別同時求8 * *） !導，再求極限.（3）在應(yīng)用一次洛必達法則后，仍然是 0/0或/ ，則可繼續(xù)使用 洛必達法則，如此繼續(xù)下去直到求出極限為止。在重復使用洛 必達法則時，必須一步一檢查，一旦發(fā)現(xiàn)不是未定式，就要停 止使用.（4）洛必達法則是求未定式的重要方法之一，使用時最好與等價無 窮小代換等求極限的方法一起使用，這樣才能較快、簡便地求 極限.x 彳例1：求 limF0未定式，因不能提取公因式，故用洛必達r = lim用洛必達法則，分子、分母同時求導X 0 2x 0 sirix0法則x 彳解：原式=lime 1 x為了簡化計算，先將si

26、nx用x作等價替換X 0 x2x1解：原式=佃冬=佃丄=0分子、分母同時求導x 2x x2x2第三節(jié)、導數(shù)的應(yīng)用(非常重要，每年必考，選擇、填空和解答都會考到)一、函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的求法1、定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(1) 如果在(a,b)內(nèi)，恒有f(x) 0,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增.(2) 如果在(a,b)內(nèi)，恒有f(x) V 0,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.2、單調(diào)區(qū)間的求法(重點)：(1) 求出f(x)的導數(shù)f(x).(2) 令f(x)=0,求出函數(shù)f(x)的駐點.(3) 可以通過數(shù)軸，判斷出上述駐點將函數(shù)的定義域劃分成了幾個 部分區(qū)間.(4) 判斷

27、f(x)在每個部分區(qū)間的符號，如果f(x) 0,則該區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，如果f(x) V 0,則該區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間.例1 ：求函數(shù)y x3 3x2 1的單調(diào)區(qū)間.解：y 3x2 6x=3x x 2，令 y 0 ,得駐點,x1 0 和 x2 2因為函數(shù)y的定義域為，故駐點為,X2將定義域劃分成,0 , 0,2和2,三個區(qū)間.當xV 0時，y 0,所以y在區(qū)間 ,0上單調(diào)遞增.當0V x V 2時，yV 0,所以y在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減.當x2時，y0,所以y在區(qū)間2,上單調(diào)遞增.例2: |求函數(shù)y x ln(x 1)的單調(diào)區(qū)間.解：y 1丄二亠，令y 0，得駐點,人0x 1 x 1因為函數(shù)y的

28、定義域為1,，故駐點X! 0將定義域劃分成1,0和0,兩個部分區(qū)間.當-1 V XV 0時，y V 0,所以y在區(qū)間1,0上單調(diào)遞減.當X0時，y 0,所以y在區(qū)間0,上單調(diào)遞增.注意：因為對數(shù)函數(shù)的定義域大于零，所以題目中的對數(shù)函數(shù)ln(x 1)的定義域為X+10,即X-1.二、函數(shù)的極值及其求法1、極值的定義：極大值點對應(yīng)的函數(shù)值是極大值，極小值點對應(yīng)的函 數(shù)值是極小值.2、 駐點的定義：我們把滿足f(x) 0的點X0稱為函數(shù)的駐點.3、極值的必要條件：對于可導函數(shù)而言，極值點一定是駐點，但是駐 點未必是極值點4、極值的第一充分條件(必須掌握)：若X0是可導函數(shù)f(X)的駐點，則有以下三種

29、情況：(1) 若 X V X。時，f(x) 0； x X 時，f(X)V 0,則 f(X0)為 f(X)的極大值，X0為極大值點(2) 若 X V X0 時，f (x) V 0； X X 時，f(x) 0,則 f (X0)為 f (x)的極小值，X0為極小值點(3) 若x V X0和X X0時，f(X)不變號，那么f(x)不是極值，X0不 是極值點5、求極值的步驟(重點)(1) 求出f(x)的導數(shù)f(x)(2) 令f(x)=0，求出f(x)的駐點，記為Xi ( i 1,2,3)(3) 再用第一充分條件去判斷，若f(x)在Xi的左右兩側(cè)互為異號的，則Xi是極值點，(左正右負是極大值點，左負右正是

30、極小值點，可根據(jù)實際題意作圖判斷)；若f(x)在Xi的左右兩側(cè)互為同號的，則Xi不是極值點。(4) 將極值點代入函數(shù)表達式中，極大值點對應(yīng)的是極大值，極小 值點對應(yīng)的是極小值。例1 ： |求函數(shù)y x3 3x2 1的極值.解：y 3x2 6x=3x x 2，令 y 0 ,得駐點 x1 0 和 x2 2a *aa因為函數(shù)y的定義域為，故駐點xi，X2將定義域劃分成,0，0,2和2, 三個部分區(qū)間.當x V 0時，y 0,當0v x V 2時，yV 0,故x1 0是極大值點.當x 2時，y 0,故X2 2是極小值點.所以函數(shù)的極大值為f(0)1,極小值為f(2)5.例2：求函數(shù)y xe x的極值.

31、解：y xe x x e x =e x xe x = e x(1 x)，令 y 0,得駐點” x1 1 因此為1將函數(shù)定義域， 劃分成 ,1和1,兩個部分區(qū)間.當xp 1時，yf 0，當xf 1時，ypO，故為1是極大值點.所以函數(shù)的極大值為f(1) e1.三、曲線的的凹凸性及拐點1、定理：設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)二階可導(1) 如果在(a,b)內(nèi)的每一點x，恒有f(x) 0,貝卩曲線在(a,b)內(nèi)是 凹(下凸)的.(2) 如果在(a,b)內(nèi)的每一點x，恒有f(x) V0,貝卩曲線在(a,b)內(nèi)是 凸(上凸)的.2、拐點的定義：把曲線凹與凸的分界點稱為曲線的拐點3、曲線凹凸區(qū)間和拐點的求法(

32、重點，出現(xiàn)在解答題的概率較大)(1) 求出函數(shù)f(x)的二階導數(shù)f(x)(2) 求出 f(x)=0 的點，記為 Xi ( i 1,2,3 )(3) 檢驗f(x)在上述每個點N兩側(cè)的符號，若在x的兩側(cè)，f(x) 互為異號，則x，f (x)為曲線的拐點；若在Xi的兩側(cè)，f(x)互 為同號，則Xi，f(xJ不是曲線的拐點.(4) 使f(x) 0的x的取值范圍，為f(x)的凹區(qū)間；使f(x) V 0的x 的取值范圍，為f(x)凸區(qū)間.例1 ：求函數(shù)y x3當x e2時，f(x) 0,故e2,是函數(shù)的凹區(qū)間 3x2 1的凹凸區(qū)間和拐點.解：y 3x2 6x，貝卩 y = 6x 6，令 y=0，得為 1當

33、xV 1時，y V 0,所以 ,1是函數(shù)的凸區(qū)間.當x 1時，y0,所以1,是函數(shù)的凹區(qū)間.所以拐點坐標為1, 3 .例2：求函數(shù)y 皿的凹凸區(qū)間和拐點x解:f (x)2一 2xxIn x x In x x4 x1 In x jx21 In x x2則 f (x)=2Inx 3.令 f(x)=0,得3因此為e2將函數(shù)定義域0,分成兩個區(qū)間:330於和e2,33當0VxV e2時，f (x) V0，故0,e2是函數(shù)的凸區(qū)間所以拐點坐標為332 3 2e , e2注意：對數(shù)函數(shù)的定義域大于零，切記！例3:曲線y ax3 bx2 1以1,3為拐點，求a、b.解：由題意得 y 3ax2 2bx， y

34、= 6ax 2b因為該曲線以1,3為拐點，得方程組a b 1 3 ( 1)6a 2b 0 ( 2)由(1)、( 2)方程解得a 1和b 3.注意：拐點不僅是函數(shù)坐標上的點，也一定是函數(shù)二階導數(shù)等于零 的點！12得 f(x)二x2例3: |函數(shù)f(x)=ex的一個原函數(shù)是(C .A exB、exC、exDex解：可以用逐項排除法，只有ex =ex，故選C.二、不定積分1、定義：我們把f(x)帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)(或稱原函數(shù)的全體)稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記作：f(x)dx F(x) C其中：為積分號，f (x)為被積函數(shù)，f (x)dx為被積表達式，x為積分變量，F(xiàn)(x)為f(x)的

35、一個原函數(shù)，C為任意常數(shù).注意：不定積分是原函數(shù)的的全體，因此計算結(jié)果常數(shù) C勿忘！2、不定積分的性質(zhì)1 f(x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx2 kf (x)dx k f (x)dx ( k 為常數(shù))3、基本積分公式(一定要熟記，可以結(jié)合求導公式去記憶)1 0dx C 2 kdx kx C ( k 為常數(shù))x 113x dx C (1) 4-dx In x C1x5cosxdx sinx C 6sinxdx cosx C1 172一dx tanx C 8 2dxcotx Ccos xsin xx9axdx C 10exdx ex CIn a11dxarcs in xC 12d

36、xarcta nxC41 x21 x2例1：3dx 3xC 2xdx2xC2sin xdx-2cosxCIn 2例2:tan 2xd tan x 沁 C3(前后變量都是tanx，故計算此類積分將tan x看成一個整體變量u，套用公式3進行計算！)又如:例 3：設(shè) f(x)dx cos2x C，求 f(x).解：因為f (x)的原函數(shù)為cos2x C，即F(x)cos2x C所以 f(x) = f(x)= cos2x C = 2sin2x.三、不定積分的計算方法(重中之重，選擇、填空，1、直接積分法：對被積函數(shù)進行恒等變形，并用積分性質(zhì)和積分公式 進行積分的方法.通常用到的變形有(1)將有帶有根

37、號的函數(shù)去根號從而轉(zhuǎn)換為幕函數(shù)的形式 .然后利用 積分公式進行積分.23 x2dx x3dx計算都會考到)例如:3x3+cZdx 2 x2dx 4G C5、一 x(2)被積函數(shù)為假分式時，可以通過把分子拆成 2項或者分子加、 減某一項后，使被積函數(shù)化成2個分式之和.然后利用積分公式進行 積分.例如:2 21上(分子+11)=x11 1 12 dx= (12)dx = x arctanx Cx1 x(3)此外還會經(jīng)常用到對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的運算法則例如:2xexdx公式:axbx (a?b)x= (2e)xdx(2e)xln(2 e)例1:x22dx = x42x2 1 dx = x4dx 2x

38、2dx5dx=5-x3x C313dx 2dx = 3xcos x2、第一類換元法(又稱湊微分法)(重點掌握，(1) 適用范圍：如果被積函數(shù)是兩個函數(shù)相乘、相除或者被積函數(shù)中含有復合函數(shù)的情況，此時可以考慮用第一類換元法.(2) 第一類換元解法步驟1將被積函數(shù)中的復合函數(shù)的復合部分換元成簡單函數(shù)u.例2:(3 22ta n x每年都會考到)2對換元后的簡單函數(shù)u求微分.3由于引入了新變量u，此時要將對原變量x的積分形式轉(zhuǎn)換成對 新變量u的積分形式.4用直接積分法求出新變量u的積分.5最后的計算結(jié)果中的新變量u用原變量x替代回去.該方法又稱為變量代換法.例1:求不定積分 xcosx2dx解：令u

39、 x2（第一步，換元）得du 2xdx xdx 1du （第二步，求微分）原式=-cosudu（第三步，轉(zhuǎn)換）2=-cosudu = sinu C （第四步，求積分）2 2= 2sinx2 C （第五步，反換元）解：令u例2:求不定積分丘，得 du dx，即-y=2du原式=2 sinudu = 2cosu C = 2cos , x C注意：如果能熟練掌握變量代換法，且對積分公式銘記于心，此時 就可以不必寫出中間變量而直接用 湊微分法進行積分。湊微分時要 注意湊完微分后前后變量要統(tǒng)一！同學們結(jié)合自己的實際情況在解 題時選擇變量代換法或湊微分法。例3: |叵dx= I n2xd（l nx）二C

40、（將直湊成dl nx，此時前后變量 x3x均In x為）例 4: | e3x2dx = - e3x 2d（3x 2）=-e3x 2 C （將 dx湊成丄d 3x 2 ） 333例5:C (將1 sinx dx湊成1 sinx ,d(x cosx),dx二 =ln x cosxx cosxx cosxd（x cosx）3、第二類換元法（了解下即可，考的不多）（1）適用范圍：如果被積函數(shù)中帶有根號，直接積分法和第一類換元 法又不能適用，此時考慮用第二類換元法。第二類換元法的目的就 是去掉被積函數(shù)中帶有根號的式子。（2）第二類換元法解法步驟.1令被積函數(shù)中帶有根式的式子換元成簡單函數(shù)u.2由于引入了

41、新變量u，再將對原變量x的積分轉(zhuǎn)換成對新變量u的積分.3用直接積分法或第一類換元法求出對新變量的積分.4最后將計算結(jié)果中的新變量u用原變量x替代回去例1：求不定積分dxV2x 11解：令t J2x 1，得x -1， dx tdt（第一步，換元去根號）2則原式二tdt（第二步，轉(zhuǎn)化）t 1= = 1 dt = 1dt d（t 1）=t ln|t 1 C （第三步，求t 1t 1t 11積分）=v2x 1 In 2x 1 1 C（第四步，反換元）4、分部積分法（重點掌握，很重要）.（1）適用范圍：當兩個可導函數(shù)相乘 時，如果第一類換元不能用，則 考慮用分部積分法.公式： udv uv vdu（2）

42、選取U的常用方法1、當被積函數(shù)是幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)與三角函數(shù)相乘 時，通常選冪函數(shù)為u.2、當被積函數(shù)是幕函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)與反三角函數(shù)相乘時，通常選對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)為u.（3）分部積分法解法步驟1根據(jù)上面u的選取方法，找出是u的那個函數(shù)2然后求出v3套用公式進行積分.注意u是寫在被積函數(shù)的位置上（即d的左 邊），v是寫在微分符號的位置上（即d的右邊），例瓦求不定積分xexdx （被積函數(shù)是幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘，故選 幕函數(shù)X為u ）解：令 u =x，則 dv eXdx，即 v=ex原式= xdex = xexexdx = xex ex C例2:求不定積分In 2=xln x 2

43、xlnx + 2x C =x（ln x 2lnx 2） C例3:求不定積分x cosxdx （被積函數(shù)是幕函數(shù)與三角函數(shù)相乘，故 選幕函數(shù)x為u ）解：令 u x，貝y dv cosxdx，即 v sin x原式=xd sinx = xsinx sinxdx=xsinx cosx C第二節(jié)、定積分一、定積分的概念（每年至少考一題選擇或填空）1、定積分的定義：由曲邊梯形的面積引出定義公式xdx （對照公式和u的選取方法，可很容易發(fā)現(xiàn)u =ln x， v =x）解：原式=xln 2x xdln2x=xln 2x 2 In xdx （因為 dln2x -dx）x=xln 2X 2 xlnx xd l

44、nx （對積分 ln xdx，選 Inx 為 u，x 為 v）_ 2= xln x 2 xlnx1dxA=bf(x)dx (A為曲邊梯形的面積)a其中f (x)為被積函數(shù)，f(x)dx為被積表達式，x為積分變量，a,b為 積分區(qū)間，a為積分下限，b為積分上限.2、定積分的幾何意義：它是由x軸、曲線y f(x)、直線x=a和x=b所 圍成的曲邊梯形的面積的代數(shù)和.在x軸上方的面積取正，在x軸下 方的面積取負.3、定積分所要注意的三個事項(1) 因為定積分是曲邊梯形的面積，因此定積分的值一定是一個常 數(shù)，且值僅與被積函數(shù)f (x)和積分區(qū)間a,b有關(guān)，與積分變量的字 母無關(guān)，即b f(x)dx=

45、bf(t)dt.并且對定積分求導，導數(shù)值必為零。aa例如：lndxln-dt， arctanxdx 0，t2 sintdt00 x 0 tdx 0a(2) 當 a=b 時， (x)dx=0aba因為定積分上限ba,當bv a時，f(x)dx= f (x)dxab例如：Sin =dx 0 , f (x)dxf (x)dx1 1 cosx23(3) 由定積分的幾何意義可得出下列重要結(jié)論： a當f (x)在a, a上連續(xù)，當f (x)為奇函數(shù)時，f (x)dx=0a aa當f (x)在a, a上連續(xù)，當f (x)為偶函數(shù)時，f(x)dx = 2 0 f(x)dxa0例如：x4 sin xdx =0

46、xcos xdx 0 2 dx 022 1 cos x注意：三角函數(shù)中sinx、tanx、cotx為奇函數(shù)，cosx為偶函數(shù)，所以可判斷出上題中的x4sinx , xcosx ,均為奇函數(shù)，由于積1 cos x分區(qū)間對稱，故積分值必為零。4、定積分的性質(zhì)(了解即可)f(x)ag(x)2bkf (x)dxakbc3f (x)dx :aa4b1dx baa5若在區(qū)間a,bbbdx f (x) dx g(x)dxaabf(x)dxabf (x)dxcf (x)dx, a c bb上總有f (x) g(x)，貝卩 b f (x)dxa每年至少考兩至三題)ba g(x)dx二、定積分的計算(重中之重，1

47、、變上限積分的計算(1) 定義：積分上限x為變量時的定積分稱為變上限積分，變上限積 分是上限x的函數(shù)，記作(x) Xf (t)dta(2) 變上限積分的導數(shù)(是每年選擇、填空的必考題)b(x)f(t)dtab(x) b(x)xf (t)dt f (x) ii、 aiii、bx f(t)dt f(x) iv、ba(J(t)dtf a(x) a (x)例1:設(shè)f (x)解：因為f(x)in tdt，求 f (?). Sx，所以 f(I)=Sin?xsino例2:tan x .e dt0tanx1tanx=e(tan x)=?ecos x2、牛頓一萊布尼茨公式(重點)(1)公式：如果F(x)是連續(xù)函

48、數(shù)f(x)在a,b上的一個原函數(shù)，則有f (x)dx = F(b) F(a) = F(x)：(2)由公式可知：連續(xù)函數(shù)f(x)在a,b上定積分，就是f(x)的一個原函數(shù)F(x)在a,b上的增量(上限值減下限值)。而連續(xù)函數(shù) f(x)的不定積分，就是f(x)的全體原函數(shù)(原函數(shù)后面加常數(shù) C)。可見定積分和不定積分的計算都是圍繞求原函數(shù)進行的。1 dx27解：因為In x是* 1的一個原函數(shù).則原式=lnx例1:求定積分In 2 =l n1ln2= In 2X， X 0,2 ，例2:設(shè)分段函數(shù)f（x）二求21 f (x)dx.x 1,0，解:2 0 2 0 21 f (x)dx= 1 f (x)

49、dx + q f (x)dx = /dx +2xdx02=70 E例3:求定積分解：原式=0 1 =133例4:求定積分注意：求分段函數(shù)的定積分，需根據(jù)積分區(qū)間進行分段積分。分段ii、定積分第二類換元法省略了不定積分后的反換元過程，就是說原函數(shù)求完后，不必用原變量替代回去，只要將積分上限和積分下限代入原函數(shù)中，相減即可.例1:求定積分4 x 2 ,dX02x 1解：令 u ,2x 1，u 1，且 dx udu2當x 0時，u 1，4時，uu2 1所以原式二3 21 u2udu=123du=23 u3u33_1 541 2 21032234、定積分的分部積分法uvbvduab（1）計算公式：udva（2）注意：u的選取方法以及計算方法與不定積分的分部積分法一 樣，只是在求出原函數(shù)后要按上面的公式把上、下限代進去進行計 算 例1 ：求定積分jx?sinxdx （被積函數(shù)是幕函數(shù)與三角函數(shù)相