高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：分類討論思想

1、For personal use only in study and research; not for commercial use分類討論思想1分類討論的常見情形（1）由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：主要是指有的概念本身是分類的，在不同條件下有不同結(jié)論，則必須進行分類討論求解，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.（2）由性質(zhì)、定理、公式引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同條件下結(jié)論不一致，如二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)，由a的正負而導(dǎo)致開口方向不確定，等比數(shù)列前n項和公式因公比q是否為1而導(dǎo)致公式的表達式不確定等.（3）由某些數(shù)學(xué)式子變形引起的分類討論：有的

2、數(shù)學(xué)式子本身是分類給出的，如ax2+bx+c0，a=0， a0，a0解法是不同的.（4）由圖形引起的分類討論：有的圖形的類型、位置也要分類，如角的終邊所在象限，點、線、面的位置關(guān)系等.（5）由實際意義引起的討論：此類問題在應(yīng)用題中常見.（6）由參數(shù)變化引起的討論：所解問題含有參數(shù)時，必須對參數(shù)的不同取值進行分類討論；含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題中，參變量的不同取值，使得變形受限導(dǎo)致不同的結(jié)果.2分類的原則（1）每次分類的對象是確定的，標(biāo)準是同一的；分類討論問題的難點在于什么時候開始討論，即認識為什么要分類討論，又從幾方面開始討論，只有明確了討論原因，才能準確、恰當(dāng)?shù)剡M行分類與討論.這就要求我們準確掌握所

3、用的概念、定理、定義，考慮問題要全面.函數(shù)問題中的定義域，方程問題中根之間的大小，直線與二次曲線位置關(guān)系中的判別式等等，常常是分類討論劃分的依據(jù).（2）每次分類的對象不遺漏、不重復(fù)、分層次、不越級討論.當(dāng)問題中出現(xiàn)多個不確定因素時，要以起主導(dǎo)作用的因素進行劃分，做到不重不漏，然后對劃分的每一類分別求解，再整合后得到一個完整的答案.數(shù)形結(jié)合是簡化分類討論的重要方法.3分類討論的一般步驟第一，明確討論對象，確定對象的范圍；第二，確定分類標(biāo)準，進行合理分類，做到不重不漏；第三，逐類討論，獲得階段性結(jié)果；第四，歸納總結(jié)，得出結(jié)論.4. 分類討論應(yīng)注意的問題第一，按主元分類的結(jié)果應(yīng)求并集.第二，按參數(shù)分

4、類的結(jié)果要分類給出.第三，分類討論是一種重要的解題策略，但這種分類討論的方法有時比較繁雜，若有可能，應(yīng)盡量避免分類.經(jīng)典例題透析類型一：不等式中的字母討論1、（2010山東）若對于任意，恒成立，則a的取值范圍是_.思路點撥：依據(jù)式子的特點，進行整理，分子分母同除以x.解析：對一切恒成立，在R+上的最大值.而 .當(dāng)且僅當(dāng) 即 x=1時等取號. .舉一反三：【變式1】解關(guān)于的不等式:（）.解析：原不等式可分解因式為: ，（下面按兩個根與的大小關(guān)系分類）（1）當(dāng)，即或時，不等式為或，不等式的解集為：；（1）當(dāng)，即時，不等式的解集為：；（2）當(dāng)，即或時，不等式的解集為：；綜上所述，原不等式的解集為：當(dāng)

5、或時，；當(dāng)時，；當(dāng)或時，.【變式2】解關(guān)于的不等式:.解析：（1）當(dāng)時，不等式為, 解集為；（2）當(dāng)時，需要對方程的根的情況進行討論： 即時，方程有兩根 . 則原不等式的解為. 即時，方程沒有實根， 此時為開口向上的拋物線，故原不等式的解為. 即時，方程有兩相等實根為， 則原不等式的解為.（3）當(dāng)時，恒成立，即時，方程有兩根 . 此時，為開口向下的拋物線， 故原不等式的解集為.綜上所述，原不等式的解集為：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為 ；當(dāng)時，解集為.類型二：函數(shù)中的分類討論2、設(shè)為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為，（）設(shè)，求的取值范圍，并把表示為的函數(shù)；（）求；（）試求滿足的所有實數(shù).解析：

6、（I）， 要使有意義，必須且，即 ，且 的取值范圍是 ， 由得：， ，（II）由題意知即為函數(shù)，的最大值，時，直線是拋物線的對稱軸，可分以下幾種情況進行討論：（1）當(dāng)時，函數(shù)，的圖象是開口向上的拋物線的一段， 由知在上單調(diào)遞增，故；（2）當(dāng)時，有=2；（3）當(dāng)時，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段，若即時，若即時，若即時，綜上所述，有=（III）當(dāng)時，； 當(dāng)時， ， 故當(dāng)時，； 當(dāng)時，由知：，故； 當(dāng)時，故或，從而有或， 要使，必須有，即， 此時， 綜上所述，滿足的所有實數(shù)為：或.舉一反三：【變式1】函數(shù)的圖象經(jīng)過點(-1，3)，且f(x)在(-1，+)上恒有f(x)3，不滿足題意；(2)當(dāng)

7、，則，此時，x(-1，+)時， 即f(x)3，滿足題意為所求.綜上，.【變式2】已知函數(shù)有最大值2，求實數(shù)的取值.解析：令，則().(1)當(dāng)即時， 解得:或（舍）；(2)當(dāng)即時，, 解得:或（舍）；(3)當(dāng)即時，解得（全都舍去）.綜上，當(dāng)或時，能使函數(shù)的最大值為2.3、已知函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）求在區(qū)間上的最小值.解析：（1）函數(shù)的定義域為（0，+） 對求導(dǎo)數(shù)，得 解不等式，得0xe 解不等式，得xe 故在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+）上單調(diào)遞減（2）當(dāng)2ae時，即時，由（1）知在（0，e）上單調(diào)遞增， 所以 當(dāng)ae時，由（1）知在（e，+）上單調(diào)遞減， 所以 當(dāng)時，需比較與

8、的大小 因為 所以，若，則，此時 若2ae，則，此時 綜上，當(dāng)0a2時，；當(dāng)a2時總結(jié)升華：對于函數(shù)問題，定義域要首先考慮，而（）中比較大小時，作差應(yīng)該是非常有效的方法.舉一反三：【變式1】設(shè)，（1）利用函數(shù)單調(diào)性的意義，判斷f(x)在（0，+）上的單調(diào)性；（2）記f(x)在0x1上的最小值為g(a)，求y=g(a)的解析式.解析：（1）設(shè)0x1x20，ax1x20 當(dāng)0x1x2時，f(x2)-f(x1)0， 即f(x2)f(x1)，則f(x)在區(qū)間0，單調(diào)遞減， 當(dāng)x1x20， 即f(x2)f(x1)，則f(x)在區(qū)間（，+）單調(diào)遞增.（2）因為0x1，由（1）的結(jié)論， 當(dāng)01，即0a1時，

9、 0xa，f(x)在單增，在上單減， 并且，值域為；(3)當(dāng)-1a0時， 0x|a|，f(x)在0,|a|上遞減 從而即，值域為(4)當(dāng)a0q=1時，Sn=S1=a1當(dāng)n=1時，a2=0，即當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=a1-a1=0，即(2)q1時，Sn=S1qn-1=a1qn-1當(dāng)n=1時，即.當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=a1qn-1-a1qn-2=a1qn-2(q-1)此時q1時，0qbn；當(dāng)n=10時，Sn=bn；當(dāng)n11時，Snbn.【變式4】對于數(shù)列，規(guī)定數(shù)列為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中；一般地，規(guī)定為的k階差分數(shù)列，其中且kN*，k2。（1）已知數(shù)列的通項公式。試證明是等差數(shù)

10、列；（2）若數(shù)列的首項a1=13，且滿足，求數(shù)列 及的通項公式；（3）在（2）的條件下，判斷是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，說明理由。解析：（1）依題意：， ， 數(shù)列是首項為1，公差為5的等差數(shù)列。（2），（3）令， 則當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增； 又因， 而， 所以當(dāng)n=2時，數(shù)列an存在最小值，其最小值為18。類型四：解析幾何5、已知橢圓C的方程為，點P（a,b）的坐標(biāo)滿足，過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，求：（1）點Q的軌跡方程.（2）點Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù).思路點撥：本題求點的軌跡方程，點與橢圓的位置關(guān)系，直線與橢圓相交等

11、知識.解析：（1）設(shè)點A，B的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），點Q的坐標(biāo)為Q（x,y）. 當(dāng)x1x2時，可設(shè)直線l：y=k(x-a)+b 由已知， y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b 由、及，得 點Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0 當(dāng)x1=x2時，l平行于y軸， 因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為（a,0）， 顯然Q點的坐標(biāo)滿足方程. 綜上所述，點Q的坐標(biāo)滿足方程：2x2+y2-2ax-by=0. 設(shè)方程所表示的曲線為L， 則由，得（

12、2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0 由于=8b2(a2+-1)，由已知a2+1 所以當(dāng)a2+=1時，=0， 曲線L與橢圓C有且只有一個公共點P（a,b）. 當(dāng)a2+1時0，曲線L與橢圓無交點， 而因為（0，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上， 所以曲線L在橢圓C內(nèi). 故點Q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0.（2）由，解得或， 又由，解得或， 則當(dāng)a=0,b=0,即點P(a,b)為原點. 曲線L與坐標(biāo)軸只有一個交點(0,0) 當(dāng)a=0且0|b|時, 即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時, 點(a,0)與(0,0)重合，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個交點(0,b)與(0,0) 當(dāng)b=

13、0且0|a|1時， 即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時, 曲線L與坐標(biāo)軸有兩個交點(a,0)與(0,0). 當(dāng)0|a|1且0|b|0設(shè)A(x1，y1)，B(x2,y2)，AB中點為M，由ABOM，整理得k2+1+2kb=0將k2+1=b2代入b2+2bk=0,b(b+2k)=0b0，否則l過原點與圓不相切b=-2k，解方程組得經(jīng)檢驗0l的方程為x=-1或.4.在數(shù)列中，其中0求數(shù)列的前項和解析：數(shù)列的通項公式和前項和的求解，是高考中考查的一個重點內(nèi)容，對于它們的解決要掌握一些方法。答案：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為設(shè)，當(dāng)時，式減去式，得，這時數(shù)列的前項和當(dāng)時，這時數(shù)列的前項和 以下無正文 僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。 , , .For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Stud