基與維數(shù)幾種求法

1、線性空間基和維數(shù)的求法方法一 根據(jù)線性空間基和維數(shù)的定義求空間的基和維數(shù), 即：在線性空間 V 中，如果有n 個向量 1, , n滿足 :(1) 1, 2 , n 線性無關(guān)。(2) V 中任一向量 總可以由 1, 2, , n線性表示。那么稱 V 為 n維(有限維)線 性空間， n為V 的維數(shù)，記 為 dimv n ，并稱1, 2, , n 為線性空間 V 的一組基。如果在 V 中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，那么就成 V 為無限維的。例 1 設(shè)VX AX 0 ， A為數(shù)域 P上m n矩陣， X 為數(shù)域 P上n維向量，求 V的維數(shù)和一組基。解 設(shè)矩陣 A 的秩為 r ，則齊次線性方程組 AX

2、 0 的任一基礎(chǔ)解系都是 V 的基，且 V 的 維數(shù)為 n r 。0a例 2 數(shù)域 P上全體形如 的二階方陣， 對矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法所組成 ab的線性空間，求此空間的維數(shù)和一組基。01000 a 解 易證為線性空間 V1001aba,b p 的一組線性無關(guān)的向量組，且對 V 中任0a0a0100有a+babab1001元素0 1 ,001 0 ,01按定義為 V 的一組基，V 的維數(shù)為 2。方法二 在已知線性空間的維數(shù)為 n 時，任意 n 個向量組成的線性無關(guān)向量組均作成線 性空間的基。例 3 假定 R x n 是一切次數(shù)小于 n 的實系數(shù)多項式添上零多項式所形成的線性空間，2 n 1

3、證明： 1, x 1 , x 1 , , x 1 構(gòu)成 R x n 的基。n1證明 考察 k1 1 k2 x 1kn x 1 0由 xn 1的系數(shù)為 0得kn 0 ，并代入上式可得 xn 2的系數(shù) kn 1 0依此類推便有 kn kn 1k1 0 ，n1故1, x 1 , , x 1 n 1 線性無關(guān)n1又R x 的維數(shù)為 n,于是1, x 1 , , x 1 n 1為R x 的基。方法三 利用定理：數(shù)域 p 上兩個有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同的 維數(shù)。01例 4 設(shè) A ，證明：由實數(shù)域上的矩陣 A的全體實系數(shù)多項式 f A 組成的 1001空 間 V f AA與 復(fù) 數(shù) 域

4、 C 作 為 實 數(shù) 域 R 上 的 線 性 空 間V f A A 1 0V a bi a,b R 同構(gòu)，并非求它們的維數(shù)。證明 V 中任一多項式可記為 f A =aE bA, a, b R，建立 V 到V 的如下映射: 1 a1 b1if1 A a1E b1A a1,b1 R易證 是V到V 上的單射，滿射即一一映射。再設(shè)2 a2b2i,a2,b2R,KR ，則有12a1a2b1 b2i a1a2E b1 b2A 1 2k 1ka1 kb1i ka1E ka1A k x1故 是V到V 的同構(gòu)映射，所以 V 到V同構(gòu)另外，易證 V 的一個基為 1，i，故 dimV 2V V dimV 2方法四

5、利用以下結(jié)論確定空間的基：設(shè) 1,2,n與1,2,n是n維線性空間 V 中兩組向量， 已知1,2, , n可由1 , 2, , n 線性表出：1 a11 1 a21 2an1 n2a12 1 a22 2an2 nn a1n 1 a2n 2ann na11 a12a1n令 A a21a2nan1an2ann如果 1, 2, , n為V 的一組基，那么當(dāng)且僅當(dāng) A可逆時， 1, 2, , n也是V 的一 組基。例 5 已知1, x,x2, x3是 p x 4的一組基，證明 1,1 x, 1 x 2, 1 x 3也是 p x 4的一組基。證明 因為231 1 1 0 x 0 x2 0 x3231 x

6、 1 1 1 x 0 x2 0 x32231x1 12x1x20x33231x1 13x3x21x3111且A123001200123所以1,1 x, 1 x , 1 x 也為 p x 4的一組基。方法五 如果空間 V 中一向量組與 V 中一組基等價，則此向量組一定為此空間的一組 基。例 6 設(shè) R x 2表示次數(shù)不超過 2 的一切實系數(shù)一元多項式添上零多項式所構(gòu)成的線性 空間的一組基，證明 x2 x,x2 x,x 1為這空間的一組基。證明 k1 x2 x k2 x2 x k3 x 1 0則k1 k2 0k1 k2 k3 0k3 0解得 k3 k2 k1 0于 是 x2 x,x2 x,x 1

7、線 性 無 關(guān) ， 它 們 皆 可 由 x2,x,1 線 性 表 示 ， 因 此 x2 x,x2 x,x 1與 x2,x,1等價，從而 R x 2中任意多項式皆可由 x2 x,x2 x,x 1線 性表示，故 x2 x,x2 x,x 1為R x 2的基。方法六 利用下面兩個定理： 定理一：對矩陣施行行初等變換和列變換，不改變矩陣列向量間的線性關(guān)系。 定理二：任何一個 m n矩陣 A ，總可以通過行初等變換和列變換它為標(biāo)準(zhǔn)階梯矩陣：Ir0，其中Ir表示r 階單位矩陣。依據(jù)這兩個定理，我們可以很方便地求出V1 V2 的一個基，從而確定了維數(shù)。例 7 設(shè)V1 L 1, 2 ,V2 L 1, 2 是數(shù)域

8、 F 上四維線性空間的子空間，且1 1,2,1,0 , 2 1,1,1,1 ; 1 2, 1,0,1 , 2 1, 1,3,7 . 求 V1 V2 的一個基與維 數(shù)。解 若 r V1 V2 ，則存在 x1,x2, y1, y2 F ，使r x1 1 x2 2 y1 1 y2 2 （ 1） 即有 x1 1 x2 2 y1 1 y2 2 0（ 2）若 1, 2, 1, 2 線性無關(guān)，（ 2）僅當(dāng) x x2 y1 y2 0時成立 那么 V1 V2是零子空間，因而沒有基，此時維數(shù)為0 ，V1 V2 是直和若存在不全為零的數(shù) x1,x2,y1,y2 使（ 2）成立，則 V1 V2有可能是非零子空間1,以

9、 1, 2,若為非零子空間，由（ 1）便可得到基向量 r 。2為列向量作矩陣 A ，經(jīng)行初等變換將 A化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形矩陣 A 。11211001211101041103行初等變換0013011700002 1 4 2 3 1r 1 4 2 3 1 2 5,2,3,4 是 V1 V2 的一個基dim V1 V2 1同時知， 1, 2是 V1的一個基， dimV1 21, 2 是V2的一個基， dimV2 21, 2, 1, 2是 V1 V2的一個基， dim V1 V2 秩 A =3方法七 在線性空間 V 中任取一向量 ，將其表成線性空間 V 一線性無關(guān)向量組的線 性組合的形式， 必要的話需說明

10、向量組是線性無關(guān)的。 這一線性無關(guān)向量組就是我們要找的 基。例 8 求V1 L( 1， 2) 與V2 L( 1， 2) 的交的基和維數(shù)。1 (1,2,1,0) 1 (2， 1,0,1) 設(shè)，2 ( 1，1,1,1)2 (1， 1,3,7)解 任取V1V2 ，則V1，x11x22 ，且V2，y11y22 ，x1 1 x2 2 y1 1 y2 (注：此時 雖然已表成一線性組合的形式，但它僅僅 是在V1 、 V2中的表示，并非本題所求，即要在空間 V1 V2中將 線性表出)x1 1 x2 2 y1 1 y2 0，求 x1,x2, y1,y2x1 x2 2y1 y2 02x1 x2 y1 y2 0x1

11、 x2 3 y2 0 x2 y1 y2 0解得 (x1,x2, y1,y2) (k, 4k, 3k,k)k( 1 4 2 ) k( 3 1 2) k(5, 2,3,4)故V1 V2是一維的，基是 (5, 2,3, 4)易知 (5, 2,3, 4) 是非零向量，是線性無關(guān)的。方法八 按維數(shù)公式求子空間的交與和的維數(shù)和基維 數(shù) 公 式 ： 如 果 V1V, 2是 有 限 維 線 性 空 間 V 的 兩 個 子 空 間 ， 那 么 d i mV1d iVm2dVi1m V2 dV1i mV2例 9 已知 1 3, 1,2,1 , 2 0,1,0,2 1 1,0,1,3 , 2 2, 3,1, 6 求

12、由向量1, 2 生成的 p4 的子空間 V1 L 1, 2 與向量 1, 2 生成的子空間 V2 L 1, 2 的交 與和空間的維數(shù)的一組基。2010001001解 因為 V1 V2 L 1, 2, 1, 2 ，對以 1, 2, 1, 2 為列的矩陣施行行初等變換：3 0 1110 A2 0 1秩 A 秩 B 3，所以 V1 V2 的維數(shù)是 3且 1, 2, 1, 2為極大線性無關(guān)組，故它們是 V1 V2 的一組基。又由 1, 2線性無關(guān)知 V1的維數(shù)為 2，同理 V2 的維數(shù)也為 2 ，由維數(shù)公式知 V1 V2的維數(shù)為 2 2 3 1。從矩陣 B易知 1 2 1 2 2, 故 1 2 3,

13、3,2, 3 是V1,V2公有的非零向量， 所以它是交空間 V1 V2 的一組基。方法九 由替換定理確定交空間的維數(shù)。替換定 理 ： 設(shè)向量 組 1, 2, , r 線 性無關(guān) ， 并 且 1, 2, , r 可 由 向量 組1, 2, , s 線性表出，那么1 r s2 必要時可適 當(dāng)對 1, 2, , s 中的向量 重新編號 ，使得 用 1, 2, , r 替換1, 2, , r后所得到的向量組 1, 2, , r, r 1, , s與向量組 1, 2, , s等價。 特別，當(dāng) r s時，向量組 1, 2, , s 與向量組 1, 2, , s 等價。例 10 已知向量組 1 2,0,1,3 , 2 0,3,1,0 , 3 1,2,0,2 , 4 2,6,3,3 , 設(shè)它們是向量組 1, 2, 3 的線性組合，又設(shè)向量組r1,r2, , rm與向量組 1, 2, 3等價，試求r1,r2, , rm生成的空間的交空間的基和維數(shù)。201304110701031003100310解12