二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃問答

1、1會從實(shí)際情境中抽象出 二元一次不等式組.2. 了解二元一次不等式的 幾何意義，能用平面區(qū)域 表示二元一次不等式組.3會從實(shí)際情境中抽象出 一些簡單的二元線性規(guī)劃 問題，并能加以解決A 第三節(jié)二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題備考方向要明了 怎么考考什么1.考查形式：選擇題或填空題.2命題角度：求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，或以最值為載體求其參數(shù)的值（范圍），如2012年廣東T5，新課標(biāo)全國T14，山東T5 等.利用線性規(guī)劃方法求解實(shí)際問題中的最優(yōu)方案，女口2012年江西T8等.（3）將線性規(guī)劃問題與其他知識相結(jié)合，如向量、不等式、導(dǎo)數(shù) 等相結(jié)合命題，如 2012年陜西T14，福建T9等歸

2、納知識整合1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域（1） 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ax + By + C 0表示直線 Ax + By+ C= 0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域（半平面）不包括邊界直線.不等式Ax + By + C0所表示的平面區(qū)域（半平面）包括邊界直線.對于直線Ax + By + C= 0同一側(cè)的所有點(diǎn)（x, y）,使得Ax + By+ C的值符號相同，也就是位于同一半平面的點(diǎn)，其坐標(biāo)適合Ax + By + C0 ;而位于另一個半平面內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)適合 Ax + By + Cv 0.(3) 可在直線 Ax + By+ C = 0的某一側(cè)任取一點(diǎn)，一般取特殊點(diǎn)(xo, y

3、o),從Axo + Byo+ C的符號來判斷 Ax + By + C0(或Ax + By + C0)所表示的區(qū)域.(4) 由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域 的公共部分.2 .線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x, y組成的不等式線性約束條件由x, y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x, y的函數(shù)解析式，如z 2x+ 3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x, y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x, y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題探究

4、1.點(diǎn)Pi(xi, yi)和P2(X2, y2)位于直線 Ax + By+ C= 0的兩側(cè)的充要條件是什么？提示：(Axi+ Byi + C)(Ax2 + By2 + C)0.2 .可行解與最優(yōu)解有何關(guān)系？最優(yōu)解是否唯一?提示：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解，最優(yōu)解不一定唯一.自測牛刀小試i.(教材習(xí)題改編)不等式X 2y + 60表示的區(qū)域在直線 x 2y + 6 = 0的()A .右上方B .右下方解析：選C 畫出圖形如圖所示，可知該區(qū)域在直線x 2y + 6= 0的左上方.2.（教材習(xí)題改編）不等式（x 2y + 1）（x + y 3） 0在直角坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域（用陰影部

5、分表示），應(yīng)是下列圖形中的（解析：選 C (x 2y + 1)(x + y 3) 0 ,x 2y +1 0 ,或x + y 30A.x+ y 1 W0 B.x + y 1 0C.x 2y + 2 WOx+ y 1 WOD.x 2y2O解析：選A 兩條直線方程為：x+ y 1 = 0 , x 2y + 2 = 0.將點(diǎn)(1,1)代入x + y 1得 1O ，代入 x2y2 得 1O ，即點(diǎn) (1,1) 在 x2y2O 的內(nèi)部，在 xy 1O 的內(nèi)部，xy 1 0 ，故所求二元一次不等式組為x 2y20.4.下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)(1,2)位于直線x+ y 1 = 0的同一側(cè)的是()A(0,0)B( 1

6、,1)C. (1,3) D. (2， 3)解析：選 C 當(dāng) x= 1, y = 2 時，x + y 1 = 1 + 2 1 = 20 ,當(dāng) x = 1 , y = 3 時，x+ y 1 = 1 + 3 1 = 10 ,故(1,3)與(1,2)位于直線x+ y 1 = 0的同側(cè).xyW1，5. (2012 廣東高考)已知變量x,y滿足約束條件 x y W1, 則z = x+ 2y的最小值x1 0，為()A. 3B. 1C. 5D . 6xyW1 ，解析：選 C 變量 x， y 滿足的不等式組 xyW1 ， 表示的平面區(qū)域如圖所示，作x1 0輔助線10: x + 2y = 0,并平移到過點(diǎn) A(

7、1 , 2)時，z= x + 2y達(dá)到最小，最小值為 5.兀一次不等式（組）表示的平面區(qū)域例1（2012 福建高考）若直線y = 2x上存在點(diǎn)（x , y）滿足約束條件x + y 3 0,x 2y 3 m,A1B . 13C.D . 22自主解答如圖所示：約束條件x+ y 3 0,x 2y 3mx + y 3 = 0,得A點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,位置運(yùn)動到過 A點(diǎn)的位置時，m取最大值.解方程組y = 2x,故m的最大值是1.答案B仃說；述:小二元一次不等式表示的平面區(qū)域的畫法在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)有直線Ax + By+ C= 0(B不為0)及點(diǎn)P(xo, yo)，貝U若B0 , Axo + Byo

8、 + C0，則點(diǎn)P在直線的上方，此時不等式Ax + By + C0表示直線Ax + By + C= 0的上方的區(qū)域.(2) 若B0 , Axo + Byo + C0，則點(diǎn)P在直線的下方，此時不等式Ax + By + C0表示直線Ax + By + C= o的下方的區(qū)域.(注：若B為負(fù)，則可先將其變?yōu)檎?(3) 若是二元一次不等式組，則其平面區(qū)域是所有平面區(qū)域的公共部分.o x 2,1已知關(guān)于x, y的不等式組x+ y 2,所表示的平面區(qū)域的面積為4，貝U kkx y + 2 X)的值為()A. 1B. 3C. 1 或3D . o解析：選A 其中平面區(qū)域kx y + 2 X)是含有坐標(biāo)原點(diǎn)的半平

9、面.直線kx y + 2 = 0又過定點(diǎn)(O,2),這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4 ,確定一個封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k= 1.r “二 利用線性規(guī)劃求最值x 4y+ 3 WO,例 2變量 x, y 滿足 3x+ 5y 25 1,設(shè)z = 4x 3y,求z的最大值.x 4y + 3 0,自主解答由約束條件3x + 5y 251 ,作出(x, y)的可行域如圖所示.4 z由 z = 4x 3y,得 y = _x 33求z = 4x 3y的最大值，相當(dāng)于求直線4 z尸3x - 3在y軸上的截距z的最小值.344 zz平移

10、直線y=孑知，當(dāng)直線汁3x3過點(diǎn)B時，3最小，z最大.x 4y+ 3 = 0 ,由解得B(5,2).3x + 5y 25 = 0,故 zmax = 4 X5 3 X2 = 14.保持例題條件不變，如何解決下列問題.y(1) 設(shè)z=，求z的最小值;x(2) 設(shè)z= x2 + y2,求z的取值范圍.解： vz = y=二x X 0Z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)0連線的斜率.觀察圖形可知 Zmin = k0B= -5(2)z = x2+ y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離的平方.結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中,x = 1 ,由解得C(1,1).x 4y+ 3 = 0 ,dmin =

11、|0C | = * ： 2 ,.2 WZW29.i卞注r,瀘！目標(biāo)函數(shù)最值問題分析(1) 線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得.(2) 求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義一一在y軸上的截距或其相反數(shù).(3) 對目標(biāo)函數(shù)不是一次函數(shù)的問題，?？紤]目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如-.x2+ y2表示點(diǎn)(x, y)與原點(diǎn)(0,0)之間的距離；,x a 2 + y b 2表示點(diǎn)(x, y)與點(diǎn)(a, b)之間的yy b距離.一表示點(diǎn)(x, y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；表示點(diǎn)(x, y)與點(diǎn)(a, b)連線的斜率.這xx a些代數(shù)式的幾何意義能使所

12、求代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.x - y + 6 0 ,2 .已知實(shí)數(shù)x, y滿足 x + y 0,若z = ax + y的最大值為3a + 9，最小值為x 3,3a 3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為解析：作出x, y滿足的可行域，如圖中陰影部分所示，則z在點(diǎn)A處取得最大值，在點(diǎn) C 處取得最小值，又kBc= 1 , kAB= 1 ,. 1 a1,即一 1 a1.答案：1,1r亦線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用例3 （2012 江西高考）某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表（）年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2力兀0.55力兀韭菜

13、6噸0.9力兀0.3力兀為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入一總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）A. 50,0B . 30,20C. 20,30D . 0,50自主解答設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為 z= (0.55 X4x 1.2x)+ (0.3 X6y 0.9y) = x + 0.9 y.線性約束條件為x+ y50 ,1.2 x+ 0.9 y 0,y 0,x + y 50 ,4x+ 3y180 , 即x ,y .畫出可行域，如圖所示.x + y = 50 ,作出直線I。： x + 0.9y = 0 ,向上平移至過點(diǎn) A

14、時，z取得最大值，由4x + 3y = 180 ,解得 A(30,20).答案B1，說；“沁 i解答線性規(guī)劃實(shí)際問題的一般步驟(1) 根據(jù)題意設(shè)出變量，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(2) 準(zhǔn)確作出可行域，求出最優(yōu)解；(3) 將求解出來的結(jié)論反饋到實(shí)際問題當(dāng)中，設(shè)計最佳方案.3. A, B兩種規(guī)格的產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺機(jī)器上各自加工一道工序才能成為成品.已知A產(chǎn)品需要在甲機(jī)器上加工3小時，在乙機(jī)器上加工1小時；B產(chǎn)品需要在甲機(jī)器上加工1小時，在乙機(jī)器上加工 3小時在一個工作日內(nèi)，甲機(jī)器至多只能使用11小時，乙機(jī)器至多只能使用9小時.A產(chǎn)品每件利潤300元，B產(chǎn)品每件利潤400元，則這兩臺機(jī)器在一個工

15、作日內(nèi)創(chuàng)造的最大利潤是 元.3x+ y 11 ,解析：設(shè)生產(chǎn)A, B兩種產(chǎn)品各x件，y件，則x, y滿足約束條件 x + 3y0 ,則截距-取最大值時，z也取最大值；截距一取最小值時，z也取最小值.bbzz若b,則截距b取最大值時，z取最小值；截距-取最小值時，取最大值.按 =(a, b)方向平移直線 ax+ by = 0, z越來越大.點(diǎn)悄掃除間;M障礙創(chuàng)新交匯與線性規(guī)劃有關(guān)的交匯問題1 線性規(guī)劃問題常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、向量以及解析幾何的相關(guān)知識交匯命題.2 解決此類問題的思維精髓是“數(shù)形結(jié)合”，作圖要精確，圖上操作要規(guī)范.典例(2012 江蘇高考)已知正數(shù) a, b, c 滿足：5c

16、3ab a + cln c,b則的取值范圍是a解析由條件可得a b3 + -5c ca b4 W4, c cb a一堯c c3x + y 5 ,abb y令一=x，= y，則問題轉(zhuǎn)化為約束條件為x + y ex,范圍作出不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分)，過原點(diǎn)作y= ex的切線，切線方程為y = ex，切點(diǎn)P(1 , e)在區(qū)域內(nèi).故當(dāng)直線 y = zx過點(diǎn)P(1 , e)時，zmin = e ；當(dāng)直線y1 7b=zx 過點(diǎn) C ,時，zmax = 7 ,故 e,7.2 2a答案e,7名師點(diǎn)評1 本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1) 命題角度新穎，本題不是直接給出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)求最值，因

17、而需要將所 給不等式組進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化后，約束條件才明朗.(2) 考查知識點(diǎn)新穎，本題將不等式，對數(shù)、指數(shù)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)以及曲線的切線問題相交 匯，運(yùn)算求解能力、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法分析與解決問題的能力要求較高.2 .解決本題的關(guān)鍵(1) 正確將不等式 5c 3a wb W4c a, clnb淘+ clnc進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化， 明確約束條件， 將 其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；b(2) 正確識別-的幾何意義，將其轉(zhuǎn)化為斜率問題求解.a變式訓(xùn)練1 .已知平面直角坐標(biāo)系 xOy上的區(qū)域D由不等式組0wxw ： 2 ,y 0 ,3 (2012 陜西高考)設(shè)函數(shù)f(x)=2x 1, xWO,D是由x軸和曲線y

18、= f(x)及該曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域,在D上的最大值為1解析：當(dāng)x0時，求導(dǎo)得f(x)=，所以曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率x1程為y= x 1，畫圖可知區(qū)域 D為三角形，三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 一, 0 , 平移直線x 2y = 0,可知在點(diǎn)(0, 1)處z取得最大值2.答案：2EMUNKHO JIAHGI、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）x X),1.不等式組 x + 3y 4,所表示的平面區(qū)域的面積等于 （）3x+y W42B. 3D._解析：選C平面區(qū)域如圖.x + 3y= 4, 解3x + y= 4,得 A(1,1),4易得 B(0,4) , C

19、0,-,34 8葉4 - 3=;.1 8/SAABC= 2 X3 X1|x| W|y|,2.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，滿足不等式組的點(diǎn)（x, y）的集合用陰影表|x|1示為下列圖中的（）ABC1)解析：選C |x| = |y|把平面分成四部分，|x| |y|表示含y軸的兩個區(qū)域；|x|0,3. （2012 天津高考）設(shè)變量x, y滿足約束條件x-2y+ 4 0,則目標(biāo)函數(shù)z= 3xx - 1 O ,2y的最小值為（）A. 5B . 4C. 2D . 3解析：選B 不等式表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分，作輔助線10: 3x 2y = 0 ,結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線3x 2y = z平移到過點(diǎn)（

20、0,2）時，z= 3x 2y的值最小，最小值為x - y+ 1 0 ,則x的取值范圍是（)y 2,A (0,2)C. (2 , +s)B. (0,2D . 2 , +8 )解析：選D 畫出線性約束條件的可行域 （如圖）.y一一一的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率k.xx - y + 1 = 0,由得 A(1,2),y=2,故k冰OA= 2.x y 10 ,5. (2012 遼寧高考)設(shè)變量x, y滿足0 x+ y20 ,0 y15 ,則2x+ 3y的最大值為（）A. 20B. 35C. 45D . 55解析：選D 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域（如圖所示）,平移2直線y =-x,易知直線

21、經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A（5,15）時，2x+ 3y3取得最大值55.表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)x y 4 WO,6 . (2013 衡水模擬)點(diǎn)P(2 , t)在不等式組x+ y 3 WO,P（2，t）到直線3x + 4y+ 10 = 0距離的最大值為（）A. 2B. 4C. 6D . 8解析：選 B 畫出不等式組表示的平面區(qū)域（如圖陰影部分所示）.結(jié)合圖形可知，點(diǎn) A至煩線3x+ 4y + 10 = 0的距離最大.由x= 2|3 X2 + 4 X1 + 10|得A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，故所求最大距離為d max =. = 4.x+ y 3 = 0- 32+ 42、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共

22、15分）7.已知點(diǎn)（一3 , 1）和點(diǎn)（4 , 6）在直線3x 2y a= 0的兩側(cè)，貝U a的取值范圍為解析：根據(jù)題意知(9 + 2 a) (12 +12 a)0 , 即(a + 7)(a 24)0，解得-7a0 ,|oP|cos ZAOP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值是解析:| cos ZAOP 即為上的投影，即求不等式組所表示的可行域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值.x 4y+ 3 = 0 ,由可得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,2），此時3x + 5y = 25 ,| cos ZAOP取值最大,IoP |cos ZAOP的最大值為5.答案：59某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn) A, B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn) A類產(chǎn)

23、品5 件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn) A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每 天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為 300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn) A類產(chǎn)品50 件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為 .解析：設(shè)租賃甲設(shè)備 x臺，乙設(shè)備y臺，5x+ 6y 50 ,10x + 20y140 , 則*x N ,y N*,設(shè)租賃費(fèi)用為 w, w = 200 x+ 300 y.約束條件構(gòu)成的平面區(qū)域如圖：5x + 6y = 50 ,解10x+ 20y = 140 ,得 A(4,5). w min = 200 X4 + 300 X5 = 2 300.答案：2 300三、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）x y+ 5 0 ,表示的平面區(qū)域，并回答下列冋10 . (2013 合肥模擬)畫出不等式組x + y0,x 0表示直線x y + 5= 0上及其右下方的 點(diǎn)的集合，x + y0表示直線x + y= 0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x0,表示的平面區(qū)域如圖所示.XW35結(jié)合圖中可行域得 x 2, 3 , y 3,8.(2)由圖形及不等式組知x wy =cx + 5 ,5_wx3，且 x Z ,2當(dāng)x = 3時，一3 y8，有12個整點(diǎn); 當(dāng)x = 2時，一2 y7，有10個整點(diǎn);當(dāng)x = 1時，一1 y6，有8個整點(diǎn)；當(dāng)x = 0時，0 y 5