階常微分方程邊值問題

1、課程名稱： 數(shù)值代數(shù)課程設(shè)計指導(dǎo)教師： 劉蘭冬班級： 姓名： 學(xué)號：實驗項目名稱：二階常微分方程邊值問題實驗?zāi)康募耙螅憾A常微分方程邊值問題d u22 2 u 0 , 1 x 1dx2 ( x 2) 21u( 1) 1, u(1) 3u( x) 1(該問題真解為： u(x) x 2 )步長 h 自己選定，利用差分法求出近似解，利 用 MATLAB函數(shù)畫出比較圖形。實驗原理：一、微分方程：微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個很重要的分支，從早期的微積分時代起，這個 學(xué)科就成為了理論研究和實踐應(yīng)用的一個重要領(lǐng)域。在微分方程理論中，定解 條件通常有兩種提法：一種是給出了積分曲線在初始時刻的性態(tài)，相應(yīng)的定解 條

2、件稱為初值問題；另一種是給出了積分曲線首末兩端的性態(tài)，這類條件則稱 為邊界條件，相應(yīng)的定解問題稱為邊值問題。常微分方程邊值問題在應(yīng)用科學(xué)與工程技術(shù)中有著非常重要的應(yīng)用，例如 工程學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟學(xué)以及生物學(xué)等領(lǐng)域中的許多實際問題通常會歸結(jié)為常微分方程邊值問題的求解。雖然求解常微分方程邊值問題有很多解析方 法可以求解，但這些方法只能用來求解一些特殊類型的方程，對從實際問題中 提煉出來的微分方程往往不再適用，因而對常微分方程邊值問題的數(shù)值方法的 研究顯得尤為重要。經(jīng)典的數(shù)值方法主要有：試射法(打靶法)和有限差分法。許多物理現(xiàn)象隨著時間而發(fā)生變化、如熱傳導(dǎo)過程、氣體擴散過程和波的 傳播過程都與

3、時間有關(guān)。描述這些過程的偏微分方程具有這樣的性質(zhì)；若初始 時刻 t=t0 的解已給定，則 tt0 時刻的解完全取決于初始條件和某些邊界條件。 利用差分法解這類問題， 就是從初始值出發(fā)， 通過差分格式沿時間增加的方向， 逐步求出微分方程的近似解。微分方程的定解問題就是在滿足某些定解條件下求微分方程的解。在空間 區(qū)域的邊界上要滿足的定解條件稱為邊值條件。如果問題與時間有關(guān)，在初始 時刻所要滿足的定解條件，稱為初值條件。不含時間而只帶邊值條件的定解問 題，稱為邊值問題。與時間有關(guān)而只帶初值條件的定解問題，稱為初值問題。 同時帶有兩種定解條件的問題，稱為初值邊值混合問題。定解問題往往不具有解析解，或者

4、其解析解不易計算。所以要采用可行的 數(shù)值解法。有限差分方法就是一種數(shù)值解法，它的基本思想是先把問題的定義 域進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后在網(wǎng)格點上，按適當(dāng)?shù)臄?shù)值微分公式把定解問題中的微 商換成差商，從而把原問題離散化為差分格式，進(jìn)而求出數(shù)值解。此外，還要 研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數(shù)值穩(wěn)定性、差分格 式的解與原定解問題的真解的誤差估計、差分格式的解當(dāng)網(wǎng)格大小趨于零時是 否趨于真解(即收斂性)，等等。有限差分方法具有簡單、 靈活以及通用性強等特點， 容易在計算機上實現(xiàn) 二、二階常微分方程二階常微分方程一般可表示成如下的形式：y (x) f (x,y, y)， a x b邊值條件有如

5、下三類 9 ：第一類邊值條件y(a)，y(b)第二類邊值條件y(a)，y (b)第三類邊值條件 190y(a)1y(a) ，0y(b)1y (b)其中 0 1 0 ， 0 1 0 ，010 ， 0 1 0 。在對邊值問題用數(shù)值方法求解之前，應(yīng)該從理論上分析該邊值問題的解是 否存在，若問題的解不存在，用數(shù)值方法計算出來的數(shù)據(jù)沒有任何意義。下面 的定理給出了邊值問題存在唯一解的充分條件。定理：設(shè)方程中的函數(shù)ff及 y ， y 在區(qū)域( x,y,y )|a xb,y,y 內(nèi)連續(xù)，并且f(x,y,y ) 0, ( ) y(x,y,y ) ；f (x,y,y )( )y 在內(nèi)有界，即存在常數(shù) M ，使得

6、f (x,y,y)y(x,y,y ) ，則邊值問題 - 的解存在且唯 我們假設(shè)函數(shù) f (x, y, y )可以簡單地表示成f (x, y, y ) p(x)y q(x)y r(x)，即邊值問題 - 為具有如下形式的二階線性邊值問題axby p(x)y q(x)y r(x), y(a) , y(b)三、有限差分法：有限差分方法是用于微分方程定解問題求解的最廣泛的數(shù)值方法，其基本思想是用離散的、只含有有限個未知量的差分方程去近似代替連續(xù)變量的微分 方程和定解條件，并把相應(yīng)的差分方程的解作為微分方程定解問題的近似解。有限差分逼近的相關(guān)概念設(shè)函數(shù) f(x) 光滑，且 0 h 1 ，利用 Taylor

7、展開，可得y(x h) y(x)h2 hy (x) 2 y (x)h3h3 y (x)y(x h) y(x)h2hy(x) h2 y (x)h33 y (x)由可以得到一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式y(tǒng) (x)y(x h) y(x)hh2 y (x)h2h3 y (x)(2.21a)或者y (x)y(x h) y(x)O(h)同理由式可得y (x)y(x) y(x h)hh2 y (x)h2h3 y (x)(2.22a)或者y (x)y(x) y(x h)O(h)其中 O(h) 表示截斷誤差項 . 因此，可得一階導(dǎo)數(shù)的y (x) 的差分近似表達(dá)式為y (x) y(x h) y(x)y (x) y(x) y(x

8、 h)由和可知，差商和逼近微商y (x)的精度為一階，即為 O(h) ，為了得到更精確的差分表達(dá)式，將減可得2h3y(x h) y(x h) 2hy (x) 23h y (x)從而可以的到y(tǒng) (x)y(x h) y(x h)2hh62y()(2.26a)或者y (x) y(x h) y(x h) O(h2) 2h其中， x h x h.可得一階導(dǎo)數(shù) y ( x)的差分近似表達(dá)式為y (x)y(x h) y(x h)2h2由此可知，差商逼近微商 y ( x)的精度為二階，即為 O(h2)類似地，我們還可以給出二階微商 y (x) 和高階微商的差分近似表達(dá)式。例 如將和兩式相加可得進(jìn)而有2y (x

9、) y(x h) 2y(x) y(x h) h y(4)( ) y (x) 2 y ( ) h212其中 x h x h.因此，二階導(dǎo)數(shù) y ( x)的差分近似表達(dá)式 8 為 y (x) y(x h) 2y(2x) y(x h) O(h2)h2實驗內(nèi)容(方法和步驟)：差分法代碼如下 clc;clear all h=;%x屬于【 a,b 】 a=-1;b=1;x=a:h:b; n=length(x);%定義 y syms y;y=(x+2).*(x+2).(-1);hold on grid on yx=zeros(1,n);yxx=zeros(1,n); for i=2:n-1yx(i-1)=(

10、y(i+1)-y(i-1)/(2*h); yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i)/h2;end plot(x,y,r,linewidth,2) plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),g,linewidth,2); plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),b,linewidth,2);legend（ 原函數(shù) , 差分一階導(dǎo)數(shù) , 差分二階導(dǎo)數(shù) ）xlabel($x$,Interpreter,latex,color,r,fontsize,28);ylabel($y$,Interpreter,latex,color,r,fontsize,28);實驗結(jié)果與分析：差分法結(jié)果如下：從圖上我們可以看到，可以得到函數(shù)圖像確實十分接近理論上的解答，差 分二階導(dǎo)數(shù)比起差分一階導(dǎo)數(shù)來說，更加接近原函數(shù)。差分二階導(dǎo)數(shù)在后面幾 乎能跟原函數(shù)重合，是非常好的求邊值問題的方法。我們在整個實驗中，感覺最困難的就是對于差分法的理解以及程序的編寫 上面。我們查詢了各種有關(guān)于常微分方程邊值問題、有限差分法、二階常微分