五年級(jí)奧數(shù)——分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

1、講課人：潘 楠 五年級(jí)下冊(cè)難點(diǎn)之五年級(jí)下冊(cè)難點(diǎn)之 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的推廣最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的推廣 例例1 1、求求1818與與1212的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù) 短除法短除法 （1818，1212）= = 18 18，12 =12 = 23=6 2332=36 如果把如果把1818與與1212的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)相乘的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)相乘 （18，12）18，12 =（23）（2332） =（233）（232） =1812 1818與與1212的的最大公約數(shù)與最小公最大公約數(shù)與最小公 倍數(shù)的乘積，等于倍數(shù)的乘積，等于1818與與1212的乘的乘 積積。

2、當(dāng)把。當(dāng)把1818，1212換成其它自然換成其它自然 數(shù)時(shí)，依然有類似的結(jié)論。數(shù)時(shí)，依然有類似的結(jié)論。 結(jié) 論 兩個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)最大公約數(shù)與與最小公倍數(shù)最小公倍數(shù) 的的乘積乘積，等于，等于這兩個(gè)自然數(shù)這兩個(gè)自然數(shù)的的乘積乘積。即，。即， （a a，b b）aa，b=ab=ab b。 例例1 1、 兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是7 7，最，最 小公倍數(shù)是小公倍數(shù)是210210。這兩個(gè)自然數(shù)的和是。這兩個(gè)自然數(shù)的和是7777， 求這兩個(gè)自然數(shù)。求這兩個(gè)自然數(shù)。 例例2 2、有甲、乙、丙三種溶液，分別重、有甲、乙、丙三種溶液，分別重 ，現(xiàn)，現(xiàn)要將它們?nèi)獙⑺鼈內(nèi)?

3、部分別裝入小瓶中，每個(gè)小瓶裝入液體部分別裝入小瓶中，每個(gè)小瓶裝入液體 的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？ 在例在例2 2中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分?jǐn)?shù)問中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分?jǐn)?shù)問 題。為此，我們將最大公約數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。題。為此，我們將最大公約數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。 如果若干個(gè)分?jǐn)?shù)（含整數(shù)）都是某個(gè)分?jǐn)?shù)的整 數(shù)倍，那么稱這個(gè)分?jǐn)?shù)是這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的公約 數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為 這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。 求下列分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)求下列分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù) 4 3 6 5 求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)的方法：求一組分?jǐn)?shù)的最大公約

4、數(shù)的方法： （1 1）先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；）先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)； （2 2）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a a； （3 3）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b b； （4 4） 即為所求即為所求 a b 求下列分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)求下列分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù) 6 5 5 8 5 2 9 2 6 類似地，我們也可以將最小公倍數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù) 中。 如果如果某個(gè)分?jǐn)?shù)（或整數(shù)）同時(shí)是若干個(gè)分?jǐn)?shù)（含某個(gè)分?jǐn)?shù)（或整數(shù)）同時(shí)是若干個(gè)分?jǐn)?shù)（含 整數(shù)）的整數(shù)倍，整數(shù)）的整數(shù)倍，那么稱那么稱這個(gè)分?jǐn)?shù)是這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的這個(gè)分?jǐn)?shù)是這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的 公倍數(shù)公

5、倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中。在所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為稱為這這 若干個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)。若干個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)。 求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法：求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法： （1 1）先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為）先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)； （2 2）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最小公倍數(shù)分子的最小公倍數(shù)a a； （3 3）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最大公約數(shù)分母的最大公約數(shù)b b； （4 4） 即為所求即為所求 b a 例例4 4、求下列各組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)、求下列各組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù) ： 1. 1.將將7272和和120120的乘積寫成它們的最大公約的乘積

6、寫成它們的最大公約 數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。 2. 2.兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是1212，最小公，最小公 倍數(shù)是倍數(shù)是7272。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組？。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組？ 3 3貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽, ,狐貍每次跳狐貍每次跳 56/956/9米米, ,黃鼠狼每次跳黃鼠狼每次跳63/1063/10米米, ,它們每秒它們每秒 都只跳一次都只跳一次, ,比賽途中比賽途中, ,比起點(diǎn)開始比起點(diǎn)開始, ,每隔每隔 7/27/2米設(shè)有一個(gè)陷阱米設(shè)有一個(gè)陷阱, ,它們之中誰(shuí)先掉進(jìn)陷它們之中誰(shuí)先掉進(jìn)陷 阱阱? ?它

7、掉陷阱時(shí)另一個(gè)跳了多遠(yuǎn)它掉陷阱時(shí)另一個(gè)跳了多遠(yuǎn)? ? 兩個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)最大公約數(shù)與與最小公倍最小公倍 數(shù)數(shù)的的乘積乘積，等于，等于這兩個(gè)自然數(shù)這兩個(gè)自然數(shù)的的乘積乘積。 即，即，（a a，b b）aa，b=ab=ab b。 求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)的方法：求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)的方法： （1 1）先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為）先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)； （2 2）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)分母的最小公倍數(shù)a a； （3 3）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)分子的最大公約數(shù)b b； （4 4） 即為所求即為所求 a b 求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法：求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法： （1 1）先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為）先將各個(gè)分