行列式的計算方法完整版

1、 l 本章知識結(jié)構(gòu)本章知識結(jié)構(gòu) 一、線性變換的定義一、線性變換的定義 定義定義1 設(shè)是F上向量空間V的一個變換. 若對于V中任意向量 , 及F中任意數(shù)k ，都有 ( ) ( ) ( ); (k )k ( ). 則稱是V的一個線性變換. 二、線性變換的性質(zhì) 定理定理7.1.1 設(shè)V是F上的一個向量空間，是V的一 個線性變換. (i) (0)0. 其中0是V的零向量. (ii) 設(shè) 1， ， s是V的向量，則 ( 1 s) ( 1) ( s)； (iii) , 1， ， s是V的向量. 若 k1 1ks s，則 ( )k1 ( 1) ks ( s). (iv) 若 1, s是V的線性相關(guān)的向量組，

2、 則( 1), , ( s) 也是V的線性相關(guān)的向量 組. 定理定理7.1.2 設(shè) 1, 2, , n是F上的向 量空間V的一個基， 1, 2, , n是V的 任意n個向量，則存在V的唯一的一個 線性變換，使 ( i) i，i1, 2, , n. 推論推論7.1.3 設(shè) 1, 2,， n是向量空間 V的一個基，若V的線性變換, 滿足 ( i) ( i), i1, 2, , n, 則必有 . 三、線性變換的運(yùn)算 線性變換的加法和數(shù)乘運(yùn)算 設(shè)V是F上的一個向量空間，用L(V)表示V的一切 線性變換作成的集合. 定義定義1 設(shè), L (V). 與 的和 定義為 () ( ) ( ) ( ), V.

3、易知也是V的線性變換. 事實(shí)上，對任意 , V, kF，有 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( )() ( ). () (k ) (k ) (k ) k ( )k ( ) k () ( ). 定義定義2 設(shè) L(V)，k是F中的一個數(shù). k與的積k定義為 (k) ( )k( ( )， V. 容易驗(yàn)證，k也是V的一個線性變 換. 線性變換的乘法運(yùn)算 定義定義3 設(shè), L(V). 與的乘積 定 義為 ( ) ( ) ( ), V. 定理定理7.2.1 L(V)對于線性變換的加法， 數(shù)與線性變換的乘法運(yùn)算構(gòu)成數(shù)域F 上的一個向量空間. 可逆線性變換可逆線性變換 定

4、義定義4 設(shè)L(V)，若存在V的變換， 使得 ， 則稱線性變換是可逆的, 稱為的逆 變換. 定理定理7.2.2 設(shè) L(V)， 1, 2, , n 是V的一個基. 則可逆的充要條件是 ( 1), ( 2), , ( n)線性無關(guān). 四、線性變換的矩陣 設(shè)V是F上n維向量空間，是V的一個線性變換 ， 1 , , n是V的一個基. 由于 ( 1)，, ( n)也是V中的向量，它們都可以唯一地由基 1, , n線性表示，設(shè)為 ( 1)a11 1a21 2an1 n , ( 2)a12 1a22 2an2n ( n)a1n 1a 2n 2ann n . 令 A nn2n1n n22221 1n1211

5、 aaa aaa aaa 規(guī)定 ( 1, 2 , n)( ( 1), ( 2) , ( n) ) 則向量等式組(1)式可表示成 ( 1, 2 , n)( 1, 2 , n)A, 也可以表示成 ( ( 1), ( 2) , ( n) )=( 1, 2 , n)A . 矩陣A叫做線性變換關(guān)于基 1, 2 , n 的矩陣，矩陣A的第j列就是基向量 j的象 ( j)關(guān)于基 1, 2 , n的坐標(biāo)，j=1, 2 , n. 五、向量 與 ( )在同一基下的坐標(biāo) 關(guān)系 定理定理7.3.1 設(shè)是n維向量空間V的一個線 性變換，關(guān)于V的一個基 1, 2 , n 的矩陣是A. 向量 關(guān)于這個基的坐標(biāo)是 (a1,

6、a2 , an)T， ( )關(guān)于這個基的坐標(biāo) 是(b1, b2 , bn)T，則 n 2 1 n 2 1 a a a b b b A 定理定理7.3.2 設(shè) 1, 2, n是向量空間V 的給定的一個基，作映射f： L (V) Mn(F)，使對V的任一線性變換 ，在f之下的象是關(guān)于基 1, 2, n的矩陣A，即f ()A. 那 么f是L(V)到Mn(F)的雙射，并且若, L(V)，f ()A，f ()B，則 f ()AB f (k)kA, f ()AB. 定理定理7.3.3 設(shè) 1, 2, n是向量空 間V的基， L (V)， 關(guān)于基 1, 2, n的矩陣是A.則 可逆 的充要條件是A可逆.并且

7、,當(dāng)可逆 時, 1關(guān)于基的矩陣為A1. 定理定理7.3.4 一個線性變換關(guān)于兩個基 的矩陣是相似的,反之,相似矩陣可 以看作同一線性變換關(guān)于兩個基的 矩陣. 推論推論7.3.5 設(shè)是F上n(n0)維 向量空間V的線性變換, 關(guān)于 V的基 1, 2, , n, 1, 2, , n的矩陣分別為A,B,且由 1, 2, , n到 1, 2, , n的過渡矩陣為T,則 T-1AT=B 六、不變子空間的定義 定義1 設(shè)是F上向量空間V的一個 線性變換，W是V的一個子空間， 若W中向量在下的像仍在W中， 即對于W中任一向量，都有 ( ) V，則稱W是的一個不變子空間 ，或稱W在之下不變. 七、線性變換的值

8、域與核 定義定義2 設(shè)是向量空間的一個線性變換，由V 中全體向量的像構(gòu)成的集合稱為的值域， 記作（V）或Im ；由零向量在之下的 全體原像作成的集合稱為的核，記作Ker ，即 Im= ( ) V, Ker = V ( )=0 定理定理7.4.2 設(shè)是向量空間V的線性變換，那 么Im和Ker是V的子空間，并且在之下 不變. 把Im的維數(shù)稱為線性變換的秩，記作秩.把 Ker的維數(shù)稱為線性變換的零度. 定理7.4.3 設(shè)是n維向量空間V的一 個線性變換， 1, 2, , n是V的 一個基， 關(guān)于這個基的矩陣是A ，則 (1) Im=L ( ( 1), ( 2) , ( n) ) (2) 的秩等于A的秩 定理7.4.4 設(shè)是n維向量空間V的一個 線性變換，則 秩 +的零度=n 八、本征值和本征向量的定義 定義1 設(shè)V是數(shù)域F上的向量空間 ，是V的線性變換. 若對F中的 數(shù)，存在V的一個非零向量 ， 使 ( ) ,. 則稱是線性變換的本征值， 稱 為的屬于本征值的本征向量. 九、本征值和本征向量的求法 定理7.5.1 設(shè)V是F上n(0)維向量空間， L(V)，在V的基 1, 2 , n下的 矩陣為A. (i) 是的本征值當(dāng)且僅當(dāng)是A的在F 中的特征根； (ii) 設(shè)是的本征值，則 是的屬于 本征值的本征向量當(dāng)且僅當(dāng)