MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)課件之第五章變換域中的離散時(shí)間系統(tǒng)

1、1 第五章第五章 變換域中的離散時(shí)間系統(tǒng)變換域中的離散時(shí)間系統(tǒng) 2 5.1 z變換變換 傅氏變換有兩個(gè)缺點(diǎn)，其一，在實(shí)際中 許多有用的信號,如(n)和n* (n).等,它 們的離散傅利葉變換不存在。其二，系 統(tǒng)對初始條件的暫態(tài)響應(yīng)，或由時(shí)變輸 入引起的系統(tǒng)響應(yīng)，都無法用離散傅利 葉變換方法來計(jì)算。 為了克服上述的兩個(gè)缺點(diǎn)，要把離散傅 利葉變換方法進(jìn)行推廣，推廣后的方法 稱為z變換。 3 z z變換的定義變換的定義 定義：對于一個(gè)序列x(n)，其雙邊z變換定義為: 其中 是復(fù)變量，其向徑為，幅角為， 構(gòu)成一個(gè)復(fù)平面，稱為z平面。 序列x(n)的單邊z變換則定義為： . n n znxnxZzX)

2、(:)(:)( j ez 0 )(:)(:)( n n znxnxZzX 4 z z變換的定義變換的定義 例如，對于序列 它的雙邊z變換是： 其單邊z變換是: 如果序數(shù)向量n只取正值，稱為右序列，右序列 的z變換X(z)中只出現(xiàn)z的負(fù)次冪；當(dāng)采樣序數(shù)n 取負(fù)值時(shí)，X(z)中將出現(xiàn)z的正次冪。在工程中， 人們感興趣的主要是右序列。 1, 3 , 2, 2, 5 , 0 , 5 . 1x 32102 3225 . 05 . 1)( zzzzzzzX 3210 322)( zzzzzX 5 z z變換的收斂域變換的收斂域 z變換的收斂性 1.有限長序列：在除原點(diǎn)外的全z平面上收斂； 2。無限長右序列

3、：在一個(gè)半徑為r（稱為收斂 半徑）的圓外的全z平面上收斂； 3。無限長左序列：在一個(gè)半徑為r（也稱為收 斂半徑）的圓內(nèi)收斂； 4。雙向無限序列：右序列和右序列收斂區(qū)的 （環(huán)形）公共區(qū)，也可能沒有； 分別見下圖中子圖(a),(b),(c),(d)。 6 z z變換的收斂域變換的收斂域 根據(jù)實(shí)際情況， 只需考慮(a)和 (b )兩種收斂域。 前者是對有限 序列的，后者 是對右序列的。 它們的共同特 性，那就是都 在z=的鄰域收 斂， 7 z z反變換反變換 單邊或雙邊z變換的反變換定義為。 其中，積分路徑是在復(fù)數(shù)平面中處于收斂 域中的一條圍線。 在數(shù)字信號處理中，不需要用圍線積分來 求z反變換。5

4、.2節(jié)中，將專門討論求z反 變換的其它方法。 dzzzX j zXZnx n C 11 )( 2 1 )(:)( 8 z反變換的非單值性反變換的非單值性 右序列： 和左序列： 兩個(gè)不同的序列具有相同的z變換 因此必須規(guī)定z變換的收斂域，本書限定研究在 鄰域收斂的右序列。故其反變換唯一。 00 , 2 , 1 , 05 . 1 )( n n nx n 0)5 . 1 ( 00 )( n n nx n 5 . 1 5 . 11 5 . 1 :)( 1 1 z z z z zX 9 z z變換的重要特性變換的重要特性 z變換的特性與DTFT和DFT的特性有很多相似 之處，其證明都可以類比或從定義直接

5、導(dǎo)出, 所以不再重復(fù)推證。這里著重討論幾個(gè)重要特 性的意義和應(yīng)用。因?yàn)橛懻摱枷抻谟倚蛄?，?以也免除了對收斂域的說明。 1.線性特性： 設(shè)Zg(n)=G(z), Zh(n)=H(z), ,為常數(shù)， 則 )()()()(zHzGnhngZ 10 z z變換的重要特性變換的重要特性 2。樣本的移位： 3。序列卷積： 4。初值定理 0 0 ()( ) n Zg nnzG z ( )( )( )( )Z g nh nG zH z )0()()(lim 0 gzngzG z n n z 11 z z變換的重要特性變換的重要特性 5。終值定理 ：若x(n)是因果序列，且其 z變換的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)部，最多

6、只有 一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1上，則x(n)在n趨于 無窮時(shí)的終值等于 在信號處理中有用的z變換特性，主要是 上面幾個(gè)，下面的幾個(gè)特性可用于解析 分析，對工程計(jì)算用處不大，供查考。 )() 1(lim)(lim 1 zXznx zn 12 z z變換的重要特性變換的重要特性 6。乘以指數(shù)序列 7。序列乘以n(z變換微分) 8。時(shí)域折疊 ( ) n z Za g nG a dz zdG zngnZ )( )( 1 ()ZgnG z 13 z z變換的重要特性變換的重要特性 9。復(fù)序列共軛 10。序列乘積： 0 ( )( )() n n Zgngn zGz 1 ( )( )( ) 2 c zdv Zg

7、 nh nG v Y jvv 14 用用z z變換計(jì)算卷積實(shí)例變換計(jì)算卷積實(shí)例5.1.3 設(shè)x1(n) = 2,3,4 ，x2(n) = 3,4,5,6，求它們的z變 換及兩者的卷積輸出y(n)。 解：由z變換特性3，可得： X1(z)=2+3z-1+4z-2 和 X2(z)=3+4z-1+5z-2+6z-3 為求x1(n)和x2(n)的卷積，先把X1(z)和X2(z)相乘 Y(z)= (2+3z-1+4z-2)(3+4z-1+5z-2+6z-3） = 6+17z-1+34z-2+43z-3+38z-4+24z-5 它的反變換就是卷積輸出序列： y(n) 6 17 34 43 38 24 15

8、 z變換的計(jì)算實(shí)例變換的計(jì)算實(shí)例 其實(shí)多項(xiàng)式相乘和卷積計(jì)算相仿，在MATLAB中 用的是同一個(gè)函數(shù)conv。在本例中要求z-3的系 數(shù)，可以把第二組系數(shù)反過來排列,與第一組系 數(shù)對齊如下。 2 3 4 6 5 4 3 12+ 15 + 16+ 0= 43 把對應(yīng)項(xiàng)相乘（空項(xiàng)看作零）并逐項(xiàng)相加，得 到上面的結(jié)果43。求z的其他冪次 的系數(shù)時(shí)只 需把第二組系數(shù)向左或向右移位即可，所以其 計(jì)算和卷積過程相同。 16 z變換的計(jì)算實(shí)例變換的計(jì)算實(shí)例5.1.4 求長度為N的方波函數(shù)x(n)=RN(n)的z變換 解： RN(n)是一個(gè)因果的有限長序列。當(dāng)N趨向 于無窮時(shí)， 。這就是階躍 函數(shù)的z變換。這類

9、常用序列的z變換示 于表5.1.1中 1 1 0 1 ( )( ) 1 N N nn N nn z X zRn zz z 1 ( )1 (1)X zz 17 z z變換的計(jì)算實(shí)例變換的計(jì)算實(shí)例5.1.55.1.5 用z變換性質(zhì)和z變換表求下面序列的z變換。 解：這是一個(gè)解析推導(dǎo)題。依次運(yùn)用z變換 的移位特性、微分特性和查表，得到 )2()3( 3 cos)5 . 0)(2()( )2( nunnnx n 345 1234 0.250.50.0625 ( ), 10.750.250.0625 zzz Z x n zzzz 18 5.2 z反變換和差分方程的解反變換和差分方程的解 由定義（5.1.

10、13）可知，求z反變換需要在 一復(fù)圍線上求積分： 工程上計(jì)算z反變換并不需要求積分。解決 這個(gè)問題有三種方法。（1）極點(diǎn)留數(shù)法； （2）部分分式法；（3）冪級數(shù)法（長 除法）。MATLAB為這幾種方法提供了 簡便易用的函數(shù)。 dzzzX j zXZnx n C 11 )( 2 1 )(:)( 19 z z反變換和差分方程的解反變換和差分方程的解 用留數(shù)定理求z反變換： 如果在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，根據(jù)留數(shù) 定理： 等式右端求和號內(nèi)是被積函數(shù) 在 極點(diǎn)zk處的留數(shù)，所以z反變換是圍線c內(nèi) 所有極點(diǎn)的留數(shù)之和。 k k n c n zzzXsdzzzX j ,)(Re)( 2 1 11 1 )

11、( n zzX 20 z z反變換和差分方程的解反變換和差分方程的解 各個(gè)極點(diǎn)的留數(shù)求法如下 如果是單極點(diǎn)，則 如果是N重極點(diǎn)，則 手工計(jì)算留數(shù)也是相當(dāng)麻煩的。MATLAB 提供了計(jì)算多項(xiàng)式留數(shù)的函數(shù)。 11 Re ( ),()( ) nn kk z zk s X z zzzzX z z 1 11 1 1 Re ( ),()( ) (1)! N nNn kk N z zk d s X z zzzzX z z Ndz 21 z z反變換和差分方程的解反變換和差分方程的解 例5.2.1 設(shè) 求其z反變換。 解：因?yàn)閄(z)具有位于z=a處單極點(diǎn)，故 解得： ,)1 ()( 11 azzX a az

12、 z sdz az z j dzzaz j nx n c n c n ,Re 1 2 1 )1 ( 2 1 )( 1 1 111 n az nn a az z axa az z snx )(,Re)( 22 z z反變換和差分方程的解反變換和差分方程的解 例5.2.2 設(shè)求其z反變換 解：因?yàn)閄(z)在z=0處有三重極點(diǎn)，故 按這個(gè)式子，當(dāng)n=1,n=2時(shí)，x都是0。只在n3 處，有zn-3=001，故有x(3)=3216。 ,6)( 3 zzX 2 31 23 0 2 13 2 0 0 11 ( )(0)6 2! 1 63(1)(2) 2 n z nn z z d x nzz dzz d z

13、nnz dz 23 z z反變換和差分方程的解反變換和差分方程的解 可以看到，留數(shù)定理沒有給出n=0處的x(0)。這 是因?yàn)閚=0時(shí)，z=0處并不是極點(diǎn)，所以用留數(shù) 定理不能解決求x(0)的問題。 正確的方法應(yīng)該是用初值定理求x(0)，在本例 中可得到： 按照定義，用等式左右系數(shù)相比較的方法，一 眼就可以看出x(0)=0, x(1)=0, x(2)=0, x(3)=6， 可以校驗(yàn)留數(shù)定理的正確性 。 0 6 lim)(lim)0( 3 z zXx zz 24 用部分分式法求用部分分式法求z z反變換反變換 用部分分式法求z反變換過程總結(jié)如下：給定 如果MN，可得 式子右邊第一項(xiàng)是真有理分式部分

14、，第二項(xiàng)是直 接多項(xiàng)式（無窮項(xiàng)）部分。 1 01 1 1 ( ),(5.2.5) 1 M M N N bb zb z X z a za z ，直接多項(xiàng)式若真有理分式NM NM k k k N N N N zC zaza zbzbb zX 0 1 1 1 1 1 10 1 )( 25 用部分分式法求用部分分式法求z z反變換反變換 將真有理分式部分X1(z)進(jìn)行部分分式展開，得 此處p k是X（z）的第k個(gè)極點(diǎn)，Rk是該極點(diǎn)pk處 的留數(shù)。假設(shè)它們都是單極點(diǎn)，則其單項(xiàng)的反 變換由表查出為 1 01 1 11 1 1 ( )() 11 M N Mk N k Nk bb zb zR X zMN a

15、za zp z 1 1 ( ) 1 n k kk k R ZRpn p z 26 用部分分式法求用部分分式法求z z反變換反變換 因此，(5.2.7)式的反變換x(n)可求出為： 其中留數(shù)Rk由下式給出： 由此z反變換的計(jì)算就化成了一個(gè)代數(shù)問題， 便于用MATLAB求解。 NM NM k k N k n k k knCnpRnx 01 )()()( 1(1) 1 011 1 1 (1) 1 k N M kk N N zp bb zbz Rp z a za z 27 用部分分式法求用部分分式法求z z反變換反變換 MATLAB中的極點(diǎn)留數(shù)計(jì)算函數(shù)residuez，其基 本調(diào)用格式為： r, p,

16、 C=residuez(b, a) 其中b和a為分子和分母的系數(shù)向量， p為分母的根向量，也就是X(z)的極點(diǎn)向量； r為對應(yīng)于根向量中各個(gè)根的留數(shù)向量， C為直接項(xiàng)多項(xiàng)式系數(shù)向量，僅在MN時(shí)存在。 Z反變換為 ( )(1) (1)( )( ) ( )( )(1) ( ) nn y nrpnr N p NnCn 28 部分分式法求部分分式法求z z反變換例反變換例5.2.35.2.3 計(jì)算下式的反變換 解: 先用函數(shù)poly求出分母多項(xiàng)式的系數(shù)，再用函數(shù) residuez求X(z)的極點(diǎn)和留數(shù)。 b=1;a=poly(0.9,0.9,-0.7); r,p,C=residuez(b,a) 得到r

17、 = 0.2461; 0.5625; 0.1914 p = 0.9000; 0.9000; -0.7000 C = 說明X(z)可分解為如下的部分分式： )7 . 01 ()9 . 01 ( 1 )( 121 zz zX 29 部分分式法求部分分式法求z z反變換例反變換例5.2.35.2.3 其中第二項(xiàng)的形式是為了利用時(shí)域移位性(5.1.14),由此 可得到反變換式： 要計(jì)算出前8點(diǎn)的值，可以用MATLAB列出程序： n=0:7; x=（r(1)+r(2)*p(1).n+r(2)*n.*p(2).n+r(3)*p(3).n 121 1 1 1211 7 . 01 1914. 0 )9 . 0

18、1 ( )9 . 0( 9 . 0 5625. 0 9 . 01 2461. 0 7 . 01 1914. 0 )9 . 01 ( 5625. 0 9 . 01 2461. 0 )( zz z z z zzz zX )()7 . 0(1914. 0) 1()9 . 0)(1( 9 . 0 5625. 0 )()9 . 0(2461. 0)( 1 nnnnnx nnn 30 部分分式法求部分分式法求z z反變換例反變換例5.2.35.2.3 把這兩條語句和前面的兩條語句聯(lián)在一起執(zhí)行， 得到： x = 1.00 1.10 1.66 1.75 2.05 2.11 2.25 2.25 如果把X(z)看

19、作系統(tǒng)函數(shù)，則求X(z)的反變換就 是求它的脈沖響應(yīng)h(n)。函數(shù)名impz.m。其調(diào) 用方式為 h=impz(b,a,L) 鍵入h=impz(1,poly(0.9,0.9,-0.7),8) 可以得到與上面的x相同的結(jié)果， 31 部分分式法求部分分式法求z z反變換例反變換例5.2.45.2.4 例5.2.4 計(jì)算下式的反變換 要求求出的序列是因果的，并且不含復(fù)數(shù)。 解：從表5.1.1中看到，當(dāng)z變換的分母由實(shí)系數(shù)組成時(shí)， 復(fù)數(shù)極點(diǎn)將成對共軛出現(xiàn)，結(jié)果本應(yīng)不含虛數(shù)。為消 除由于計(jì)算誤差引入的微小虛部，程序末行用了real 函數(shù) b=1,0.5; a=1,-1.2,0.7; r,p,k= res

20、iduez(b,a) % 求極點(diǎn)留數(shù) x=real(r(1)*p(1).n+ r(2)*p(2).n)%取實(shí)部 21 1 7 . 02 . 11 5 . 01 )( zz z zX 32 冪級數(shù)法（長除法）求冪級數(shù)法（長除法）求z z反變換反變換 由于右序列得到的z變換在z=的鄰域解析。所以， 可以把有理分式 在z=的鄰域展開為z 1的冪級數(shù)。冪級數(shù)展開可 以用多項(xiàng)式相除的方法實(shí)現(xiàn)。 例5.2.5 用長除法求下列z變換多項(xiàng)式的反變換 , 1 )( 1 1 1 10 N N M M zaza zbzbb zX 1 1 ( ) 1 1.51.5 z X z zz 33 冪級數(shù)法求冪級數(shù)法求z z反

21、變換反變換 正確的長除法：系數(shù)按z -1的升冪排列，意味 著在z=的鄰域展開冪級數(shù)，用于右序列。 122 1 1 1 122 22 11.5(1.5) 11.510 11.5 1.5 1.5(1.5) (1.5) zz z z z zz z 34 冪級數(shù)法求冪級數(shù)法求z z反變換反變換 錯(cuò)誤的方法：系數(shù)按z的升冪排列，意味著在z=0 的鄰域展開冪級數(shù)，只能用于左序列。 2233 1 22 22 0.667(0.667)(0.667) 1.5110 10.667 0.667 0.667(0.667) (0.667) zzz z z z zz z 35 冪級數(shù)法求冪級數(shù)法求z z反變換反變換 用用

22、MATLABMATLAB實(shí)現(xiàn)長除法：實(shí)現(xiàn)長除法：多項(xiàng)式除法是乘法的逆運(yùn) 算，它的函數(shù)名為deconv.m。其調(diào)用方法為： q,r = deconv(b,a) 其中b為分子系數(shù)向量，a為分母系數(shù)向量，q為 商的系數(shù)向量，r為余數(shù)的系數(shù)向量，多項(xiàng)式 都按z -1的升冪排列。長除的目的是求q,商q的 長度為M-N+1.如果長度不夠,可以給分子向量 b補(bǔ)零，使其長度M增加到Mbz。若希望商q的長 度為Nq,補(bǔ)零的數(shù)目應(yīng)為 Mbz-M=Nq+N-M-1 36 冪級數(shù)法求冪級數(shù)法求z z反變換反變換 長除求反變換的程序的核心語句為： b=?;a=?;Nq(輸出向量的長度)=? M=length(b);N=

23、length(a); x=deconv(b,zeros(1，Nq+N-M-1),a) 例5.2.6 用長除法算例5.2.3,求出8點(diǎn)輸出。 解： 鍵入 x=deconv(3,zeros(1,8+4-1-1),1,-1.1,-0.45,0.567) 得到 x = 1.00 1.10 1.66 1.75 2.05 2.11 2.25 2.25 37 冪級數(shù)法求冪級數(shù)法求z z反變換反變換 例5.2.7 用長除法算例5.2.4,求出6點(diǎn)輸出。 解： 寫出MATLAB程序hc527如下 b=1,0.5; a=1,-1.2,0.7; N=length(a);M=length(b);Nq=6; x=dec

24、onv(b,zeros(1,Nq+N-M-1),a) 運(yùn)行結(jié)果仍為 x = 1.00 1.70 1.3399 0.4180 -0.4364 -0.8163 所以，求數(shù)值結(jié)果時(shí)，長除法比部分分式法方便 得多。 38 用用z z變換解差分方程變換解差分方程 z變換的一個(gè)特點(diǎn)是可以求初始條件引起的響應(yīng)， 這時(shí)假定輸入為零，所以也稱為為零輸入響應(yīng)； 把初始狀態(tài)為零而加了輸入造成的響應(yīng)稱為零狀 態(tài)響應(yīng)。這兩種響應(yīng)的疊合就是方程的全解。 為了推導(dǎo)初始條件引起的輸出，采用單邊z變換 來分析n=0附近的問題。 單邊z變換時(shí)移特性如下 1 () 00 ():()( )( ) nm kmk nmkm Z x n

25、kx n k zx m zx m zz 39 用用z z變換解差分方程變換解差分方程 上面的結(jié)果可用于求解具有非零初始條件和非零 輸入x(n)的如下差分方程 其初始條件: y(i), i=-1,.,-N 和 x(i), i=-1,.,-M。 解的步驟：先對方程作單邊z變換，把方程中的 Z+y(n-k)和Z+x(n-i)都按前式展開；然后 整理出Y+(z)的解；最后作z反變換求y(n)。 1, )()( 0 00 ainxbknya M i i N k k 40 用用z z變換解差分方程例變換解差分方程例5.2.85.2.8 求解 其中 初始條件為： y(-1)=4 和y(-2)=10。 解：對

26、差分方程的兩邊同時(shí)進(jìn)行單邊 z變換，得到 代入初始條件并整理，得 0),()2(5 . 0) 1(5 . 1)(nnxnynyny 0),()25. 0()(nnnx n , 25. 01 1 )() 1() 2( 5 . 0)() 1( 5 . 1)( 1 211 z zYzyzyzYzyzY , )25. 01)(1)(5 . 01 ( 5 . 025. 22 )( 111 21 zzz zz zY 41 用用z z變換解差分方程變換解差分方程 進(jìn)行部分分式展開，得到 作z反變換后，得到解為 這就是該系統(tǒng)在給定初始條件和輸入信號 x(n)下的全響應(yīng)。即差分方程的全解。 111 25. 01

27、 3/1 1 3/2 )5 . 01 ( 1 )( zzz zY 121 1 ( )( ) 233 4 nn y nn 42 用用z z變換解差分方程變換解差分方程 差分方程的全響應(yīng)?？梢杂脦追N形式分解 ： (1)。通解和特解；從微分方程理論出發(fā)的分解。 (2).暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；從輸出信號持續(xù)時(shí)間 上進(jìn)行分解。 (3).零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)：從輸出的誘發(fā)原 因上分解。 書上給出了本例的結(jié)果按三種情況進(jìn)行分解的表 達(dá)式。其總的響應(yīng)是相同的。本書通常只求總 的響應(yīng)。 43 用用z z變換解差分方程變換解差分方程 函數(shù)filter也用于求全響應(yīng)。當(dāng)輸入和初始條件給 出時(shí)，調(diào)用格式如下 y=fi

28、lter(b,a,x,xic) 其中，xic是等效的初始條件輸入序列。它用filtic 函數(shù)來計(jì)算。其調(diào)用格式為 xic=filtic(b,a,Y,X) b和a是濾波器的分子分母系數(shù)數(shù)組，Y和X是初 始條件數(shù)組，分別由y(n)和x(n)的初始條件 Y=y(-1),y(-2),.,y(-N) X=x(-1),x(-2),.,x(-M)確定 44 用用z z變換解差分方程例變換解差分方程例5.2.85.2.8 要計(jì)算例5.2.8的全響應(yīng)，可用下列程序 a=1,-1.5,0.5; b=1; n=0:7; x=(1/4).n; Y=4,10;xic=filtic(b,a,Y) %計(jì)算xic y1=fi

29、lter(b,a,x,xic) y2=(1/3)*(1/4).n+(1/2).n+(2/3)*ones(1,8) 與解析式結(jié)果對比 y1 和 y2的結(jié)果是相同的 45 用用z z變換解差分方程例變換解差分方程例 5.2.95.2.9 設(shè)x(n)=cos(n /3)u(n),y(-1)=-2; y(-2)=-3; x(-1)=1; x(-2)=1, 求解差分方程 要求列出解的函數(shù)表達(dá)式，然后用數(shù)值驗(yàn)證。 解：解：先解析求解，然后用MATLAB計(jì)算。對差分方程作 單邊z變換，代入初始條件，得到： 將 代入并化簡，得到Y(jié)+(z) 。 1 ( ) ( )(1)(2)0.95 (1)0.9025 (2)

30、 3 y nx nx nx ny ny n 21 1 21 11 9025. 095. 01 1383. 24742. 1 )( 9025. 095. 01 3/ )1 ( )( zz z zX zz zz zY 21 1 1 5 . 0. 1 )( zz z zX 46 用用z z變換解差分方程例變換解差分方程例5.2.95.2.9 化簡和部分分式展開的程序hc529： b=1,1,1/3; a=1,-0.95,0.9025; Y=-2,-3; X=1,1; xic=filtic(b,a,Y,X) bxplus=1,-0.5;axplus=1,-1,1;X(z)系數(shù) ayplus=conv(

31、a,axplus) Yplus(z)的分母 byplus=conv(b,bxplus)+conv(xic,axplus)分子 R,p,C=residuez(byplus,ayplus) Mp=abs(p), Ap=angle(p)/pi 極坐標(biāo)形式 47 用用z z變換解差分方程例變換解差分方程例5.2.95.2.9 求出R,p,C,Mp和Ap后，把Y+(z)展開為部分分式： 并根據(jù)表5.1.1 ，寫出其反變換： 前兩項(xiàng)對應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，后兩項(xiàng)是暫態(tài)響應(yīng)。 13/13/13/13/ 4321 321 1 03118. 28453. 0 1 03118. 28453. 0 1 9468. 30584

32、. 0 1 9468. 30584. 0 9025. 08525. 185251. 295. 01 9717. 14975. 08308. 08076. 1 )( ze j ze j ze j ze j zzzz zzz zY jjjj )3/sin(0623. 4) 3/cos(6906. 1 )95. 0() 3/sin(8937. 7) 3/cos(1169. 0 )95. 0)(03118. 28453. 0()95. 0)(03118. 28453. 0( )9468. 30584. 0()9468. 30584. 0()( 3/3/ 3/3/ nnnn ejej ejejny n

33、jnjn jj 48 用用z z變換解差分方程例變換解差分方程例5.2.95.2.9 若只要數(shù)值結(jié)果，求y(n)前8個(gè)點(diǎn)的程序?yàn)椤?n=0:7; x=cos(pi*n/3); y=filter(b,a,x,xic) %下面為對它的復(fù)數(shù)表示式進(jìn)行驗(yàn)算 A=real(2*R(1); B=imag(2*R(2); C=real(2*R(3); D=imag(2*R(4); y1=A*cos(pi*n/3)+B*sin(pi*n/3)+(0.95).n).*(C*c os(pi*n/3)+D*sin(pi*n/3) 執(zhí)行這個(gè)程序，可以證明y和y1是相同的。復(fù)數(shù) 計(jì)算程序太復(fù)雜，實(shí)際上不必采用。 49

34、5.3 z5.3 z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 在z域中，離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)定義為它的脈沖 響應(yīng)h(n)的z變換 因?yàn)閔(n)通常都是右序列，所以求和的下限可以 取為零。根據(jù)系統(tǒng)的輸出序列y(n)等于其輸入 序列x(n)與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)序列h(n)的卷積，可 以得出下列重要關(guān)系式： Y(z)=H(z)X(z) 0 )()()()( n n n n znhznhnhZzH 50 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 證明如下：對卷積式兩邊取z變換，可得： 改變求和次序，引入下標(biāo)變量n=n-k，并利用h(n) 的因果性，得到 0 )( 00 )()()()()( n kkn kn n zzk

35、xknhznynyZzY () 000 00 ( ) ( )( )()( ) ( )( )( )( )( )( ) nn kk nkn nknk knknkk Y zZ y ny n zh nk zx k z h n zx k zh n zx k zH zX z 51 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 另一種定義方法。根據(jù)LTI系統(tǒng)的差分方程： 對兩邊取z變換，利用z變換的特性，可以得到 把系統(tǒng)函數(shù)H(z)定義為輸出序列的z變換Y(z)與輸入序列 的z變換X(z)之比，即得 1, )()( 0 00 ainxbknya M i i N k k ,)()( 00 M i i i N k k

36、 k zbzXzazY 11 01 11 1 ( )() ( ) ( )1() M M N N bb zb zY zB z H z X za za zA z 52 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 這是系統(tǒng)函數(shù)的負(fù)冪形式，其中把a(bǔ)0歸一化為1。 在信號處理中，通常都采用這種形式。z是定義 在一個(gè)復(fù)數(shù)平面上的變量 ，而H(z)通常 是z的多項(xiàng)式有理分式，所以它也是一個(gè)復(fù)數(shù)。 可以用其幅度和相位表示。 如果變量z的取值限于z平面的單位圓圓周上，=1, 故 。則系統(tǒng)函數(shù)就成為頻率響應(yīng)： j e j ez )( )( )( 00 j j ez N k k k M i i i j eA eB za

37、zbeH j 53 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 所以，頻率響應(yīng)是z變換表示的系統(tǒng)函數(shù)的 特殊情況。或者說傅立葉變換是z變換的 特例。為了方便，常常統(tǒng)稱為系統(tǒng)函數(shù), 只是用括號中的自變量取z或取ej（也 可以直接用）加以區(qū)分。 這樣，我們就有了四種表示離散系統(tǒng)特性 的方法：差分方程；脈沖響應(yīng)；頻率響 應(yīng)；系統(tǒng)函數(shù)；它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系列 成表5.2.2。 54 幾種描述方法的變換關(guān)系幾種描述方法的變換關(guān)系 差分方程脈沖響應(yīng) h(n) 頻率響應(yīng) H(j) 系統(tǒng)函數(shù) H(z) 差分方程遞推， DTFT后， 解Y/X Z變換后， 解Y/X 脈沖響應(yīng) h(n) FIR 情況: b(n)=h(n

38、) H(j)=DTFT h(n) Z變換 頻率響應(yīng) H(j) 分子、分母 系數(shù)對應(yīng)方 程系數(shù) IDTFT H(j) 系統(tǒng)函數(shù) H(z) H(z)用z-1表 示，用時(shí)延 代替z-1展開 Z反變換 j ez j ez 55 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 根據(jù)上述算式，系統(tǒng)輸出、系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng) 輸入的z變換Y(z),H(z),X(z)之間滿足簡單 的乘法關(guān)系，故可以用下列框圖(a)表示。 在實(shí)際中，人們往 往不用Y(z)和X(z) 而直接采用了序列 y(n)和x(n)自身， 畫成框圖(b)，應(yīng)該 注意,當(dāng)H(z)含有分 母部分時(shí),它只有形 式的意義。 56 z z域中信號通過系統(tǒng)求輸出域中

39、信號通過系統(tǒng)求輸出 例5.3.1 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為 輸入信號x=2,3,4,5，用z變換計(jì)算輸出y(n)。 解：先求輸入信號的z變換X(z)， 所以 最后對Y(z)求z反變換得到y(tǒng)(n)=Z-1Y(z)。 1 12 3 ( ) 22.20.5 z H z zz 321 5342)( zzzzX 1 12 3( ) ( )( ) 22.20.5( ) zB z Y zX z zzA z 57 z z域中信號通過系統(tǒng)例域中信號通過系統(tǒng)例5.3.15.3.1 程序hc531 x=2,4,3,5;% 輸入序列及初始序號 nfx=length(x)-1; % 計(jì)算序列終止序號 b=-3;a=2,-2.2,0

40、.5; % 分子分母系數(shù), B=conv(-3,x);A=a; % 輸入與分子系數(shù)相乘 r,p,k=residuez(B,A) % 求r,p及k 得到r,p,k后，就可以寫出輸出函數(shù)的表達(dá)式 ) 1() 2 ()() 1 ()() 2 () 2 ()() 1 () 1 ()(nknknprnprny nn 58 z z域中信號通過系統(tǒng)例域中信號通過系統(tǒng)例5.3.15.3.1 如果只要求給出輸出的數(shù)據(jù)和圖形，則可以那本 題就可以簡單地用工具箱函數(shù)filter來解， 程序?yàn)?x=2,4,3,5,zeros(1,10); b=-3; a=2,-2.2,.5; y=filter(b,a,x); ste

41、m(0:ny,x) stem(0:ny,y) 得到的波形如右圖。 圖 5.3.2 例 5.3.1 的輸入和輸出 59 正冪系統(tǒng)函數(shù)及零極增益形式正冪系統(tǒng)函數(shù)及零極增益形式 把分子分母同乘以 (此處設(shè)NM，若NM，則 同乘以 ），得到系統(tǒng)函數(shù)的正冪形式： 其分子分母系數(shù)向量可能變化， ，前 或后會加幾個(gè)零。把分子分母各分解因式后， 得到 )( )( )( )( 1 1 0 1 0 1 0 zA zB azaz b b z b b zzb zH N NN M MMMN N z M z AABB, N k k M l l MN pz zz zbzH 1 1 0 )( )( )( 60 正冪系統(tǒng)函數(shù)及

42、零極增益形式正冪系統(tǒng)函數(shù)及零極增益形式 zl為系統(tǒng)的零點(diǎn)；pk為系統(tǒng)的極點(diǎn)；b0則相當(dāng)于 增益。這種系統(tǒng)函數(shù)稱為零極增益形式。LT1 系統(tǒng)可在z域中用零極點(diǎn)圖的形式來描述。這 在設(shè)計(jì)簡單的濾波器時(shí)很重要，只要正確地配 置零極點(diǎn)就可達(dá)到一定的設(shè)計(jì)要求。 分別對正冪有理函數(shù) H(z)的分子分母多項(xiàng)式使 用MATLAB的roots函數(shù)，就可求得其零、極點(diǎn)。 roots的逆向函數(shù)是poly，用它可由多項(xiàng)式的 根求得其系數(shù)。 用zplane(b,a)函數(shù), 可由給定的分子行向量b和 分母行向量a繪制成系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖。 61 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 例5.3.2 設(shè)系統(tǒng)的差分方程為： y(

43、n) + 0.3y(n-1)=2x(n)+4x(n-2)-2x(n-4) 求此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，分別求出它的負(fù)冪形式、 正冪形式和零極增益形式。 解： 對兩邊作z變換，得到 所以其系統(tǒng)函數(shù)的負(fù)冪形式為 它的系數(shù)向量為 )(2)(4)(2)(3 . 0)( 421 zXzzXzzXzYzzY )( )( 3 . 01 242 )( )( )( 1 1 1 42 zA zB z zz zX zY zH 2-0,4,0,2,b3;. 01,a 62 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 若化成正冪形式，分子分母同乘以z4，得到 因此，它的系數(shù)向量為 可以看到兩種形式的系數(shù)向量是不同的。因?yàn)檎齼缧问?

44、的系數(shù)向量從z的最高冪一直排到零次冪（即常數(shù)項(xiàng)）， 低次項(xiàng)有一個(gè)空缺時(shí)要在系數(shù)向量中放一個(gè)0。而負(fù)冪 形式的系數(shù)向量從z的零次冪（即常數(shù)項(xiàng)）一直排到最 低冪（負(fù)的最高冪），最低冪以后就不管了，因此尾 部不會出現(xiàn)0。 34 24 1 42 4 4 3 . 0 242 )( )( 3 . 01 242 )( zz zz zA zB z zz z z zH 2, 0, 4, 0, 2;0, 0, 0, 3 . 0, 1 ba 63 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 現(xiàn)對例5.3.2的系統(tǒng)函數(shù)的分子分母分別求根： z=roots(2,0,4,0,-2),p=roots(1,0.3,0,0,0)

45、得到 z =1.5538i; - 1.5538i; 0.6436; -0.6436 p = 0；0；0；-0.3 故其系統(tǒng)函數(shù)的零極增益形式為 此系統(tǒng)函數(shù)分子分母中z的最高次均為4，有四個(gè) 零點(diǎn)和四個(gè)極點(diǎn)，增益項(xiàng)為2。 )3 . 0( )6436. 0)(6436. 0)(5538. 1)(5538. 1(2 )( 3 zz zzjzjz zH 64 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 為了得到系統(tǒng)零極點(diǎn)在z平面上的分布。鍵入 a=1,0.3,0,0,0;b=2,0,4,0,-2; zplane(b,a) 畫零極點(diǎn)分布圖 圖 5.3.3 系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)在 z 平面上的分布 圖中。用x表示

46、系統(tǒng)的四個(gè)極點(diǎn)， 其中原點(diǎn)為三重極 點(diǎn)；用o表示它 的四個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè) 在實(shí)軸上，兩個(gè)在 虛軸上形成共軛。 65 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 本例系統(tǒng)函數(shù)的分子分母多項(xiàng)式的最高正冪次數(shù) 相同，所以極點(diǎn)和零點(diǎn)的數(shù)目相等。若分母的 最高正冪次數(shù)高于分子，零極點(diǎn)圖上看到的極 點(diǎn)數(shù)目會比零點(diǎn)多。實(shí)際上此系統(tǒng)的H()=0， 意味著在z=處還有零點(diǎn)。把這些無窮遠(yuǎn)處的 零點(diǎn)也算上，系統(tǒng)的零極點(diǎn)數(shù)目總是相同的。 對右序列，H(z)在z=處收斂，所以在該處只 會有零點(diǎn)，不可能有極點(diǎn)。 注意zplane函數(shù)的調(diào)用方法規(guī)定：a和b必須取正 冪系數(shù)，且必須用行向量輸入。如果輸入的是 零極點(diǎn)向量z和p，那末它

47、們必須取列向量形式。 66 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 利用MATLAB的 三維圖形功能， 可以畫出系統(tǒng) 函數(shù)H(z)的對 數(shù)幅特性在z 平面上的分布， 如右圖，從圖 上也可以大體 看出零點(diǎn)和極 點(diǎn)的位置。 圖 5.3.4 H(z)的對數(shù)幅特性在 z 平面上的分布 67 z z域中對系統(tǒng)的描述域中對系統(tǒng)的描述 上述圖形是用下列MATLAB語句得到的 a=1,0.3,0,0,0;b=1,0,2,0,-1; X,Y = meshgrid(-2:0.05:2+0.001,-2:0.05:2+0.001); H=polyval(b,X+j*Y)./polyval(a,X+j*Y); mes

48、h(Y,X,20*log10(abs(H) 程序第二行語句是為了設(shè)置平面自變量矩陣X和Y,每個(gè)方 向各81個(gè)點(diǎn)，自變量總數(shù)為8181=6561個(gè)點(diǎn),在 meshgrid函數(shù)中加的0.001是為了避開真正H(z)=。 第三行語句是為了求H(z),因?yàn)楹瘮?shù)freqz只能求單位 圓上的H(z),不能求全z平面的H(z)。所以只能從基本 的多項(xiàng)式求值函數(shù)polyval出發(fā) 來求。 68 零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)的因果性零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)的因果性 零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)的因果性： 因果系統(tǒng)的充分必要條件：系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)必 須是右序列。前面指出，右序列在變換域的 特征是它的z變換在無窮遠(yuǎn)處收斂。因此因果 系統(tǒng)的極點(diǎn)不可能

49、在無窮遠(yuǎn)處，只能在z平面 上一個(gè)有界區(qū)域內(nèi)。 如果系統(tǒng)函數(shù)用的是多項(xiàng)式分式形式，則因果 性的要求是NM，即在正冪形式時(shí)分母上z的 最高次數(shù)（在負(fù)冪形式時(shí)為z-1的最低次數(shù)） 大于分子上z或z-1的對應(yīng)次數(shù)。 69 零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)的穩(wěn)定性零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)的穩(wěn)定性 不同的極點(diǎn)位置所對應(yīng)的脈沖響應(yīng)如下圖。 其規(guī)則是： 70 零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)的穩(wěn)定性零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)的穩(wěn)定性 在單位圓內(nèi)的單極點(diǎn)和重極點(diǎn)：當(dāng)n時(shí)，脈沖 響應(yīng)趨向于零。 在單位圓外的單極點(diǎn)和重極點(diǎn)：當(dāng)n時(shí)，脈沖 響應(yīng)趨向于無窮大。 在單位圓上的單極點(diǎn)：當(dāng)n時(shí)，脈沖響應(yīng)趨向 于常數(shù)和等幅振蕩。 在單位圓上的重極點(diǎn)：當(dāng)n時(shí)，脈沖響應(yīng)趨 向于無

50、窮大。 所以LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的極點(diǎn)位 于單位圓內(nèi)部。 71 5.4 z5.4 z平面上的譜分析平面上的譜分析 零極點(diǎn)與頻率特性的關(guān)系 如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則單位圓處于收斂域 內(nèi)，就可以算出單位圓圓周上的H(z)。 在單位圓周上，所以其頻率特 性可用零極增益方法寫成： j ez 1 N k k j M l l j MNjj pe ze ebeH 1 1)( 0 )( )( )( 72 零極點(diǎn)分布與頻譜分析零極點(diǎn)分布與頻譜分析 因子 可解釋為成為z復(fù)平面中由零點(diǎn) 指向單位圓周上 處的向量，因子 可 看成為復(fù)平面中由極點(diǎn) 指向單位圓周上 處的向量，如圖示。因此幅頻響應(yīng)函數(shù) 可看成所有零

51、點(diǎn)到單位圓周上給定點(diǎn)ej的矢量 長度的積，除以所有極點(diǎn)到該點(diǎn)矢量長度的積， 再乘以b0。 也可類比地看出相頻響應(yīng)函數(shù)的幾何意義。 )( l j ze k p j e () j k ep j e )()( )()( )( 1 1 0 N jj M jj j pepe zeze beH l z 73 零極點(diǎn)分布與頻譜分析零極點(diǎn)分布與頻譜分析 可以看出系 統(tǒng)頻率響 應(yīng)的幾何 意義。系 統(tǒng)幅特性 應(yīng)該等于 兩虛線的 乘積除以 兩個(gè)實(shí)線 長度的乘 積。 圖 5.4.1 頻率特性與零極點(diǎn)的幾何關(guān)系 74 零極點(diǎn)分布與頻譜分析零極點(diǎn)分布與頻譜分析 例5.4.1 設(shè)系統(tǒng)有一對位于0.50.7j的共軛極點(diǎn)， 另

52、有位于0.3和1.5的兩個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)，增益為2。 則其系統(tǒng)函數(shù)為 用zplane(0.3;1.5,0.5+0.7j,0.5-0.7j語 句，可以畫出它的零極點(diǎn)如圖5.4.1所示。所 以這個(gè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是右序列，是因果的。 而且它的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，所以是穩(wěn)定的。 2(0.3)(1.5) () (0.50.7 )(0.50.7 ) jj j jj ee H e ej ej 75 零極點(diǎn)分布與頻譜分析零極點(diǎn)分布與頻譜分析 如果極點(diǎn)靠單位圓很近時(shí)，幅頻率特性在靠近該 極點(diǎn)附近會出現(xiàn)大的諧振峰，這是由于極點(diǎn)到 它的距離很近，分母迅速減小的緣故。 從零點(diǎn)的分布還可以導(dǎo)出最小相位系統(tǒng)的概念。 若零點(diǎn)在單位

53、圓內(nèi)，當(dāng)沿反時(shí)針方向由0 時(shí)，由零點(diǎn)產(chǎn)生的向量的相角=0； 若零點(diǎn)在單位圓外左方，相角=0某0； 若零點(diǎn)在單位圓外右方，則=某； 所以如果系統(tǒng)所有的零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，當(dāng) 沿反時(shí)針方向由0 時(shí)，它們引起的正相移 最大，或負(fù)相移最小，稱為最小相位系統(tǒng)。 76 z z平面上的譜分析平面上的譜分析 非單位圓周上的頻譜分析 在很多實(shí)際應(yīng)用中，并非整個(gè)單位圓上的頻譜都 很有意義。如果信號的極點(diǎn)離單位圓較遠(yuǎn)，可 以使采樣點(diǎn)軌跡沿一條接近這些極點(diǎn)的弧線或 圓周進(jìn)行，則采樣結(jié)果將會在極點(diǎn)對應(yīng)的頻率 上出現(xiàn)明顯的尖峰，這樣就能較準(zhǔn)確地測定出 極點(diǎn)頻率。因此往往有必要計(jì)算半徑為r1的 圓上的頻譜,或者計(jì)算螺旋線上的

54、頻譜。 77 z z平面上的譜分析平面上的譜分析 對均勻分布在以原點(diǎn)為圓心的任何圓上的 N點(diǎn)( ,k=0,1,N-1)頻譜采 樣，其結(jié)果為 上式說明，要計(jì)算x（n）在半徑為r的圓上 的N點(diǎn)等間隔頻譜分量，可以先對x(n)乘 以r - n，再計(jì)算N點(diǎn)DFT（FFT）即可。 2/jk N k zr e 0 2 0 2 0 )()()()( n kn N j n n n k N j n n kk ernxrenxznxzX 78 z z平面上的譜分析例平面上的譜分析例5.4.25.4.2 設(shè)序列信號 取64點(diǎn),求其頻譜特 性，及在z平面上r=0.9的中心圓上的頻譜。 解：此序列的z變換為 ，即在 z

55、=0.91處有一個(gè)單實(shí)極點(diǎn)。所以r=0.9的圓在該點(diǎn) 附近H(z)會有很大的幅特性。程序hc542: n=0:63;p=0.91; x=p.n; % 給定序列參數(shù) H=freqz(x,1,64); % 求序列的頻率響應(yīng)H x1=x.*(0.9).-n; % 將序列乘r-n得到x1， H1=freqz(x1,1,64);% 求r圓上的頻譜H1 ),()91. 0()(nunx n 1 91. 01 1 )( z zX 79 z平面上的譜分析平面上的譜分析 程序運(yùn)行 的結(jié)果 見右圖。 注意子 圖(d) 上的峰 值比子 圖(c) 的峰值 大了好 多倍。 圖 5.4.3 求 z 平面上任意半徑 r 的

56、中心圓上的頻譜 80 z z平面上螺旋線的譜分析平面上螺旋線的譜分析 Chirp-z變換 要分析z平面上M點(diǎn)頻譜采樣值。設(shè) 式中A和W為復(fù)數(shù)，用極坐標(biāo)形式表示為 式中，A0和W0為實(shí)數(shù)。當(dāng)k=0時(shí)，有 由此可見，(5.4.5)式中，A決定譜分析起始點(diǎn)z0的 位置，W0的值決定分析路徑的螺旋趨勢，0則 表示兩個(gè)相鄰分析點(diǎn)之間的夾角。 10 MkAWz k k 00 00 , jj AA eWW e 0 00 j eAz 81 z z平面上螺旋線的譜分析平面上螺旋線的譜分析 例5.4.3 設(shè)序列信號為： 取64點(diǎn)，求其頻譜及在z平面上r=0.9的中心圓上 的頻譜，并求它在一根通過1+0i和0.45

57、00 + 0.7794i兩點(diǎn)的z平面螺旋線上的頻譜。 解：此序列的z反變換為 可以求出它有兩個(gè)共軛極點(diǎn)0.4500 0.7794i。 在調(diào)用czt函數(shù)時(shí)，主要的難點(diǎn)是確定參數(shù)W，使 所取的螺旋線通過所關(guān)心的極點(diǎn)附近。 0,) 3 sin(2887. 02) 3 cos()9 . 0()(nnnnx n 21 81. 09 . 01 1 )( zz zX 82 z平面上的譜分析平面上的譜分析 今設(shè)定點(diǎn)數(shù)M=64已知，螺旋線在上半平面，相 角的增量/M。今設(shè)第一點(diǎn)到關(guān)心點(diǎn)之間的 相角為/3，對應(yīng)于Mx=(/3)/(/M)步，兩點(diǎn) 的 模 值 比 為 R = 1 / 0 . 9 ， W 0 的 取

58、法 應(yīng) 為 , 程序的核心語句為： M=64,n=0:M-1;dw=pi/M; % 定點(diǎn)數(shù)和頻率分辨率 x=0.9.n.*(cos(pi*n/3)+2*0.2887*sin(pi*n/3); A=1;W0=0.9(-3/M),W=W0*exp(-j*dw);%參數(shù)A,W z = A * W.(-(0:M-1); % 螺旋線軌跡方程 G=czt(x,M,W,A); % 調(diào)用czt函數(shù) Mx RW 0 83 z z平面上的譜分析平面上的譜分析 圖(a)為序列x(n) 圖(b)為它的頻譜， 圖(c)為它在rc的頻譜 分量100%地衰減。從相特性看，它使通過的信 號產(chǎn)生了一個(gè)相位遲延-, 是一個(gè)正 的

59、無量綱常數(shù)，所以也常用拍數(shù)n0表示。 1 () 0 j c j c e H e 85 理想濾波器線性相位的重要性理想濾波器線性相位的重要性 遲延也可以看成是一種失真。無延遲的理想濾波 器的脈沖響應(yīng)h(n)是一個(gè)雙向序列，因而是不 可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。 這點(diǎn)時(shí)延通常是可以容忍的，工程中重要的往往 是不要有波形失真。如果讓所有的頻譜分量都 遲延同樣的時(shí)間，那么整個(gè)波形將原封不動(dòng)地 保持它的形狀，僅僅遲延了一定的時(shí)間而已。 因?yàn)橄辔活l率時(shí)延 如果時(shí)延相同，那么由于頻率不同造成的相位遲 延就與頻率成線性關(guān)系。考慮到因果性，時(shí)延 不可能是正的，所以相位也必須是負(fù)的。 86 理想濾波器理想濾波器 理想濾波

60、器的脈沖響應(yīng)，用傅立葉反變換求得 令c=1，及n06，h(n)可以用下列語句畫出 wc=1;n0=6;n=-10:30+1e-5; h=sin(n-n0)./(n-n0)/pi;stem(n,h)%繪圖 得到的脈沖響應(yīng)是一個(gè)雙向序列?？紤]到因果 性，只能截取出n0的部分,而考慮到線性相 位的要求，截取的脈沖序列必須對稱。 0 0 sin() ( ) () c nn h n nn 87 理想濾波器理想濾波器 圖 5.5.3 理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)，n0與因果性的關(guān)系 圖(a)中n0=6， 截取的長度只 能達(dá)到13。 圖(b)n0=15， 截取出n0的 部分達(dá)到31， 濾波器的幅頻 率特性更接近