等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)10頁

1、 等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì) 等差數(shù)列一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)5（人教版）第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時(shí)。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析教學(xué)內(nèi)容針對的是高二的學(xué)生，經(jīng)過高中一年的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，具

2、備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力，但也可能有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，所以在授課時(shí)要從具體的生活實(shí)例出發(fā)，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，注重引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生的積極主動(dòng)的去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步提高。三、設(shè)計(jì)思想1教法誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對知識進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。2學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問題（數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置問題、水庫水位問題、儲(chǔ)蓄問題）概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接著

3、就等差數(shù)列概念的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；可以對各種能力的同學(xué)引導(dǎo)認(rèn)識多元的推導(dǎo)思維方法。用多種方法對等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。在引導(dǎo)分析時(shí)，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。四、教學(xué)目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題；并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)會(huì)函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法

4、遷移能力。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。難點(diǎn)：理解等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義。理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵： 等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。六、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)情境設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景在南北朝時(shí)期張邱建算經(jīng)中，有一道題今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更給，問各得金幾何，及未到三人復(fù)應(yīng)得金幾何。 這個(gè)問題該怎樣解決呢？傾聽課堂引入探索研究由學(xué)生觀察分析并得出答案：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一

5、次，可以得到數(shù)列：0，5，_,_,_,_,水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個(gè)水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5觀察分析，發(fā)表各自的意見引向課題發(fā)現(xiàn)規(guī)律思考：同學(xué)們觀察一下上面的這兩個(gè)數(shù)列：0，5，10，15，20， 18，15.5，13，10.5，8，5.5 看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？觀察分析并得出答案:引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，得到： 對于數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 5

6、 ； 對于數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 -2.5 ； 由學(xué)生歸納和概括出，以上兩個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)（即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)）。通過分析，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的探究知識的興趣，引導(dǎo)揭示數(shù)列的共性特點(diǎn)。總結(jié)提高等差數(shù)列的概念對于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請同學(xué)們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個(gè)定義：等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上兩組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5

7、。學(xué)生認(rèn)真閱讀課本相關(guān)概念，找出關(guān)鍵字。通過學(xué)生自己閱讀課本，找出關(guān)鍵字，提高學(xué)生的閱讀水平和思維概括能力，學(xué)會(huì)抓重點(diǎn)。提問：如果在與中間插入一個(gè)數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？由學(xué)生回答：因?yàn)閍，A，b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定義可以知道：A-a=b-A所以就有 讓學(xué)生參與到知識的形成過程中，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感。由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的

8、等差中項(xiàng)。9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)?？磥?，從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則 深入探究，得到更一般化的結(jié)論引領(lǐng)學(xué)習(xí)更深入的探究，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平?？偨Y(jié)提高等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。、我們是通過研究數(shù)列的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項(xiàng)公式的定義，寫出這三組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。由學(xué)生經(jīng)過分析寫出通項(xiàng)公式：這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是5，第2項(xiàng)是10（=5+5），第3項(xiàng)是15（=5+5+5），第4項(xiàng)是20（=5+5+5+5），由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是 這個(gè)

9、數(shù)列的第一項(xiàng)是18，第2項(xiàng)是15.5（=18-2.5），第3項(xiàng)是13（=18-2.52），第4項(xiàng)是10.5（=18-2.53），第5項(xiàng)是8（=18-2.54），第6項(xiàng)是5.5（=18-2.55）由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并加以總結(jié)。、那么，如果任意給了一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，它的通項(xiàng)公式是什么呢？ 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納： 所以 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性分析與推導(dǎo)，從而得出公式?？偨Y(jié)提高思考：那么通項(xiàng)公式到底如何表達(dá)呢？ 進(jìn)一步的分析。得出通項(xiàng)公式：由此我們可以猜想得出：以為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，那

10、么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)就可以表示出來了。思考，并發(fā)表各自的意見。讓學(xué)生有自主思考的時(shí)空。應(yīng)用鞏固例1、求等差數(shù)列8，5，2，的第20項(xiàng).-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？讓兩個(gè)學(xué)生分別對這兩小題加以分析。讓學(xué)生參與課堂。分析：要求出第20項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出來。首項(xiàng)知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差這個(gè)問題可以看成是上面那個(gè)問題的一個(gè)逆問題。要判斷這個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且需要注意的是，項(xiàng)數(shù)是否有意義。解：由=8，d=5-8=-3，n=20，得由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個(gè)數(shù)列的通

11、項(xiàng)公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)。例題評述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于、d、n（獨(dú)立的量有3個(gè)）的方程；另外，要懂得利用通項(xiàng)公式來判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)判斷是第幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)時(shí)還應(yīng)看求出的項(xiàng)數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項(xiàng)。聆聽教師點(diǎn)評通過教師點(diǎn)評，提高學(xué)生對關(guān)鍵問題的認(rèn)知水平。隨堂練習(xí)：課本45頁“練習(xí)”第1題；完成練習(xí)講練結(jié)合，有利提高學(xué)生的知識應(yīng)用水平例2在南北朝時(shí)，在466484年，張邱建寫了一部算徑，即張邱建算經(jīng)，在這

12、本算經(jīng)中，張邱建對等差數(shù)列的研究有一定的貢獻(xiàn)，例如算經(jīng)中有一道題今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更給，問各得金幾何，及未到三人復(fù)應(yīng)得金幾何。算經(jīng)中的解法：以先入人數(shù)分所持金數(shù)為上率，以后入人數(shù)分別持金數(shù)為下率，二率相減，余為差實(shí)，并先后人數(shù)而半之，以減凡人數(shù)，余為差法，實(shí)如法而一，得差數(shù)。解：按照題意，解法應(yīng)分三步第一步求公差d用現(xiàn)代符號，記后入人數(shù)為，后得金數(shù)為先入人數(shù)為先得金數(shù)為，則算經(jīng)中的解法為d=（/ ）（/ ）/n（+ ）/2=（ ）/n(+)/2 ,若記未列人數(shù)為，則d=( )/ +(+)/2

13、本題：解得d=7/78，現(xiàn)用現(xiàn)代計(jì)算公差d由：+=4 即：3+24d =4 解得d=7/78+=3 4+6d =3所以算經(jīng)中的解法是正確的。第二步，把后入四人每人所得金數(shù)視為一等差數(shù)列，求每人的金數(shù)，這相當(dāng)于已知d，n，求，即= n(n1)/2d/n。第三步，把十人各得金數(shù)視為一等差數(shù)列，求每人的金數(shù)，相當(dāng)于已知，d，n，求，即= +（n1）d，以上都是我國古代數(shù)學(xué)家張邱建提出的問題及解法。學(xué)以致用，將所學(xué)知識應(yīng)用到具體生活中去，加深對概念的理解。例題評述：這是等差數(shù)列用于解決實(shí)際問題的一個(gè)簡單應(yīng)用，要學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識解決實(shí)際問題。聆聽教師點(diǎn)評通過教師點(diǎn)評，

14、提高學(xué)生對關(guān)鍵問題的認(rèn)知水平。探索研究引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫圖研究完成以下探究：在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為的數(shù)列的圖象。這個(gè)圖象有什么特點(diǎn)？在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。分析：n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，時(shí)，對應(yīng)的可以利用通項(xiàng)公式求出。經(jīng)過描點(diǎn)知道該圖象是均勻分布的一群孤立點(diǎn)；學(xué)生動(dòng)手畫圖，并進(jìn)行學(xué)習(xí)小組討論，發(fā)表見解。通過學(xué)生動(dòng)手作圖，并加以對比，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。課堂小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容為：等差數(shù)列定義：即(n2)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(n1)推導(dǎo)出公式：以學(xué)習(xí)小組為單位，在學(xué)習(xí)小組中，各自歸納自己對這堂課的收獲，后由小組代表總結(jié)歸納。學(xué)生自己小結(jié)，使學(xué)生對自己所學(xué)知識有更深刻的認(rèn)識。評價(jià)設(shè)計(jì)1、已知是等差數(shù)列. 是否成立？呢？為什么？ 是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？ 是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？2、已知等差數(shù)列的公差為d.求證：作業(yè)是課