隨機信號的相關(guān)知識

1、第六章第六章 隨機信號分析隨機信號分析 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 隨機信號是一種不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來 描述的、無法預(yù)測未來時刻精確值的信號，也無 法用實驗的方法重復(fù)再現(xiàn)。 換言之，隨機信號是指不能用確定性的時間 函數(shù)來描述，只能用統(tǒng)計方法研究的信號。 其統(tǒng)計特性：概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)。 統(tǒng)計平均：均值、方差、相關(guān)。 隨機信號分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類。平穩(wěn)隨 機信號又分為各態(tài)歷經(jīng)和非各態(tài)歷經(jīng)。 各態(tài)歷經(jīng)信號指無限個樣本在某時刻所歷 經(jīng)的狀態(tài)，等同于某個樣本在無限時間里所經(jīng) 歷的狀態(tài)的信號。 平穩(wěn)隨機信號其均值和相關(guān)不隨時間變化。 NoteNote：各態(tài)歷經(jīng)信

2、號一定是平穩(wěn)隨機信號，反之 不然。 工程上的隨機信號一般均按各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨 機過程來處理。 僅在離散時間點上給出定義的隨機信號稱為 離散時間隨機信號，即隨機信號序列。 平穩(wěn)隨機過程在時間上是無始無終的，即它 的能量是無限的，只能用功率譜密度函數(shù)來描述 隨機信號的頻域特性。 6.1 隨機信號的數(shù)字特征 在研究無限長信號時，總是取某段有限長信 號作分析。這一有限長信號稱為一個樣本（或稱 子集），而無限長信號x(t)、x（n）稱為隨機信 號總體（或稱集）。各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程一 個樣本的時間均值和集平均值相等，因此一個樣 本統(tǒng)計特征可以代表隨機信號的總體，從而使研 究大大簡化。 常用的數(shù)字特征是各

3、種平均特性及相關(guān)函數(shù) 等。 6.1.1 均值、均方值、方差 若連續(xù)隨機信號x(t)是各態(tài)歷經(jīng)的，則隨機 信號x(t)的均值可表示為 ： 均值描述了隨機信號的靜態(tài)分量（直流）。 隨機信號x(t)的均方值表達(dá)式為： 表示信號的強度或功率。 0 1 ( )lim( ) T x T E x tx t dt T 22 0 1 lim( ) T x T x t dt T 2 x 隨機信號x(t)的均方根值表示為： 也是信號能量的一種描述。 隨機信號x(t)的方差表達(dá)式為： 是信號的幅值相對于均值分散程度的一種表 示，也是信號純波動分量（交流）大小的反映。 2 0 1 lim( ) T x T x t dt

4、 T x 222 0 1 () lim ( ) T xxx T E xx tdt T 2 x 隨機信號x(t)的均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）可表示為： 它和 意義相同。 平穩(wěn)隨機過程統(tǒng)計特征的計算要求信號x(t) 無限長，而實際上只能用一個樣本即有限長序列 來計算。因此所得的計算值不是隨機信號真正的 統(tǒng)計值，而僅僅是一種估計。 2 0 1 lim ( ) T xx T x tdt T 2 x 6.1.2 離散隨機信號 若x(n)是離散的各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機信號序 列，類似連續(xù)隨機信號，則其數(shù)字特征可用下面 式子來計算： 均值： 均方值： 方差： 1 0 1 ( )lim( ) N x N n E x nx

5、n N 1 22 0 1 ( )lim ( ) N x N n E x nx n N 1 222 0 1 ( ) lim ( ) N xxx N n E x nx n N 6.1.3 估 計 以上計算中，都是對無限長信號而言。而工 程實際中所取的信號是有限長的，計算中均無法 取 或 。 對于有限長模擬隨機信號，可用下式計算均值： 這里，均值 僅是一種對 的估計。當(dāng)T足夠長， 均值估計 能精確逼近真實均值 。對于周期信 號，常取T為一個周期，估計均值 就能完全代 表真實均值 。 T N 2 0 1 ( )( ) T x E x tx t dt T x x x x x x 對于有限長隨機信號序列，

6、可用下式計算其均值 估計 ： 當(dāng)序列長度足夠時， 能精確逼近真實值 。 類似地，可以寫出均方值和方差估計表達(dá)式。 在MATLAB工具箱中，沒有專門函數(shù)用來計算 均值、均方值和方差。但隨機信號的統(tǒng)計數(shù)字特 征值計算都可以通過MATLAB編程實現(xiàn)。 （P214) 0 1 ( )( ) N x n E x nx n N x x 函數(shù)STD調(diào)用格式為： s=std(x)；s=std(x,flag) 式中，x為向量或矩陣；s是標(biāo)準(zhǔn)差； flag是控制符，用來控制標(biāo)準(zhǔn)算法。 當(dāng)flag=0（或缺省）時，按下式計算無偏標(biāo)準(zhǔn)差： 當(dāng)flag=1時，按下式計算有偏標(biāo)準(zhǔn)差： 1 2 2 1 1 () 1 N ix

7、 i sx N 1 2 2 1 1 () N ix i sx N 6.2 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差 相關(guān)函數(shù)：即在時刻n、m的相關(guān)性。 自相關(guān)函數(shù)（一個隨機信號） 互相關(guān)函數(shù)（兩個隨機信號） 協(xié)方差：與相關(guān)函數(shù)有確定關(guān)系的函數(shù)。 自協(xié)方差函數(shù) 互協(xié)方差函數(shù) 6.2.1 自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差 對于隨機信號x(t)，自相關(guān)函數(shù)為： 式中，為時移。 若去掉x(t)的均值部分，則相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)稱 自協(xié)方差： 0 1 ( ) ( ) ()lim( ) () T x T RE x t x tx t x tdt T 2 ( ) ( ) ()( ) xxxxx CEx tx tR 2 (0) xx C 對于離散隨機

8、信號序列，x(n)的自相關(guān)函數(shù)和自 協(xié)方差為 ： 式中m為延遲。 1 0 1 ( ) ( ) ()lim( ) () N x N n R mE x n x nmx n x nm N 2 ( ) ( ) ()( ) xxxxx C mEx nx nmR m 6.2.2 互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差 對于兩個不同隨機信號x(t)，互相關(guān)函數(shù)為： 互協(xié)方差為： 0 1 ( ) ( ) ()lim( ) () T xy T RE x t y tx t y tdt T ( )( ) ()( ) xyxyxyxy CEx ty tR ( )() xyyx RR 對于離散隨機序列x(n)和y(n)，互相關(guān)函數(shù)和 互

9、協(xié)方差為 ： 注意，在上面公式中t(或N)。而工程中 信號是有限長，因此只能得到相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差 的估計值，當(dāng)t（或N）足夠長時，估計值能精確 地逼近真實值。 1 0 1 ( ) ( ) ()lim( ) () N xy N n RmE x n y nmx n y nm N ( )( ) ()( ) xyxyxyxy CmEx ny nmRm 6.2.3 MATLAB函數(shù) MATLAB信號處理工具箱提供計算隨機信號 相關(guān)函數(shù)的函數(shù)XCORR和協(xié)方差的函數(shù)XCOV。 函數(shù)XCORR用于計算隨機序列自相關(guān)和互相 關(guān)函數(shù)。調(diào)用格式為： c=xcorr(x,y) c=xcorr(x,y,option)

10、 c=xcorr(x,y,maxlags,option) c,lags=xcorr(x,y,maxlags,option) 式中，x，y為兩個獨立的隨機信號序列，長度N； c為x，y的互相關(guān)函數(shù)估計； option缺省時，函數(shù)xcorr計算非歸一化行相關(guān)。 option為選項： biased， 計算有偏互相關(guān)函數(shù)估計； unbiased，計算無偏互相關(guān)函數(shù)估計； coeff， 使零延遲的自相關(guān)函數(shù)為1； none， 缺省情況。 maxlags為x和y之間的最大延遲。 若該項缺省時，函數(shù)返回值c長度是2N-1； 若不缺省時，函數(shù)返回值c長度是2*maxlags+1。 該函數(shù)也可用于求一個隨機信號

11、序列x(n)的自相 關(guān)函數(shù)，調(diào)用格式為： c=xcorr(x) c=xcorr(x,maxlags) （P217) 含有周期成分和干擾噪聲信號的自相關(guān)函數(shù)在=0 時 具有最大值，且在較大時仍具有明顯周期性，且頻率 和周期成分的頻率相同；而不含周期成分純噪聲信號在 =0時也具有最大值，但在稍大時明顯衰減至零。自 相關(guān)函數(shù)的這一性質(zhì)被用來識別隨機信號中是否含有周 期信號成分和它們的頻率。 （P218) 兩個均值為零且具有相同頻率的周期信號， 其互相關(guān)函數(shù)Rxy()保留原信號頻率、相位差 和幅值信息。 若信號x(t)和信號y(t)是同類信號且有時移， 用互相關(guān)函數(shù)可以準(zhǔn)確地計算出兩個信號時移大 小。

12、這種特性使得互相關(guān)函數(shù)廣泛的應(yīng)用于測量 技術(shù)中。 （P220) 6.3 功率譜估計 功率譜估計目的是根據(jù)有限數(shù)據(jù)組尋 找信號、隨機過程或系統(tǒng)的頻率成分的描 述。上節(jié)所述的相關(guān)分析是時域內(nèi)在噪聲 背景下提取有用信息的途徑，而功率譜是 頻域內(nèi)提取在噪聲淹沒下信號的有用信息。 功率譜又稱功率譜密度，定義為自相 關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。 6.3.1 功率譜密度 假如隨機信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)為Rx()， Rx()的傅里葉變換為： 則定義Sx(f)為x(t)的自功率譜密度或稱為 自功率譜。 自功率譜Sx(f)包含Rx()的全部信息。 2 ( )( ) jf xx SfRed 若隨機信號x(t)的自功率譜為

13、Sx(f)，則 兩個隨機信號x(t)和y(t)的相互關(guān)系 的頻率特性可用互功率譜密度來描述，互 功率譜密度和互相關(guān)函數(shù)也是一組傅里葉 變換對： 2 ( )( ) jf xx RSf edf 2 2 ( )( ) ( )( ) jf xyxy jf xyxy SfRed RSf edf 對于離散隨機序列x(n)，自功率譜密 度Sx(f)和自相關(guān)函數(shù)Rx(m)的關(guān)系為： 對于離散隨機序列x(n)和y(n)，互功 率譜密度Sxy(f)和互相關(guān)函數(shù)Rxy(m)關(guān)系為： 2 ( )( ) s jfnT xx n SfR n e 2 ( )( ) s jfnT xyxy n SfRn e 且有： 實際工程

14、中隨機序列長度均為有限長， 因此利用有限長隨機序列計算的自功率譜 密度和互功率譜密度只是真實值的估計。 功率譜估計方法一般可分兩類： 參數(shù) 估計和非參數(shù)估計。 功率譜密度非參數(shù)估 計方法有：Welch法，MTM法，MUSIC法；參 數(shù)估計方法有：MEM法。 2 ()( ) ( )( )( ) xyyx xyxy SfSf Sf SfSf 6.3.2 周期圖法（Welch法） 周期圖法是直接將信號的采樣數(shù)據(jù)x(n) 進(jìn)行傅里葉變換求取功率譜密度。 一、基本方法一、基本方法 假設(shè)有限長隨機信號序列x(m)。其傅 里葉變換和功率變密度估計存在下面關(guān)系： 2 1 ( )| ( )| x Sfx f N

15、 式中，N為隨機信號序列x(n)長度，在離散 的頻率點 ，可得： 由于DFTx(n)的周期為N，求得的功率 譜估計也是以N為周期，故這種方法稱為周 期圖法。 （P222) ()f k f 22 11 ( )|( )| ( )| ,0,1,1 x S kX kDFT x nkN NN 用有限長樣本序列的DFT來表示隨機 序列的功率譜只是一種估計或近似，不可 避免存在誤差。為了減小誤差，使功率譜 估計更加平滑，可采用以下方法加以改進(jìn)。 二、分段平均周期圖法二、分段平均周期圖法 將信號序列x(n)，0nN-1，分成互 不重疊的P個小段，每小段有m個采樣值， 則mP=N。對每小段信號序列進(jìn)行功率譜估

16、計，然后求它們的平均值，作為整個序列 x(n)的功率譜估計。 平均周期圖法還可以對信號x(n)進(jìn)行 重疊分段，一般效果會好些。 （P224) 平均周期圖法功率譜估計較之基本DFT法具 有明顯改進(jìn)效果。 分段平均周期法功率譜估計可以減小 估計誤差和波動，但由于這種方法將長信 號分段成短信號從而使譜分辨率下降。下 面的加窗平均周期法可以克服這一不足。 三、加窗平均周期圖法三、加窗平均周期圖法 加窗平均周期圖法是對分段平均周期 圖法的改進(jìn)。在信號序列x(n)分段后，用 非矩形窗口對每一小段信號序列進(jìn)行預(yù)處 理，再采用前述分段平均周期法進(jìn)行整個 信號序列x(n)的功率譜估計。 采用合適的非矩形窗口對信

17、號進(jìn)行處 理可減小“頻率泄漏”，同時可增加頻峰 的 寬度，從而提高頻譜分辨率。 （P226) 四、四、WelchWelch法估計及法估計及MATLABMATLAB函數(shù)函數(shù) Welch功率譜密度就是用改進(jìn)的平均周 期圖法來求取隨機信號的功率譜密度估計 的。Welch法采用信號重疊分段，加窗函數(shù) 和FFT算法等計算一個信號序列的自功率譜 估計（PSD）和兩個信號序列的互功率譜估 計（CSD）。 MATLAB信號處理工具箱提供專門函數(shù) PSD和CSD自動實現(xiàn)Welch法估計。 （1）函數(shù)函數(shù)PSDPSD利用welch法估計一個信號自 功率譜密度。函數(shù)調(diào)用格式為： Pxx=psd(x) Pxx=psd

18、(x, Nfft) Pxx=psd(x, Nfft, Fs) Pxx=psd(x, Nfft, Fs, window) Pxx=psd(x,Nfft,Fs,window,Noverlap) Pxx=psd(x, dflag) 其中， x 為信號序列； Nfft 為采用的FFT長度； Fs 為采樣頻率； window 定義窗函數(shù)和x分段序列的長度； Noverlap 為分段序列重疊的采樣點數(shù)； dflag 為去除信號趨勢分量的選擇項。 linear，去除直線趨勢分量 mean， 去除均值分量 none， 不作去除趨勢處理 Pxx 為信號x的自功率譜密度估計。 在Pxx=psd(x)調(diào)用格式中，缺

19、省值為： Nfft = min(256, length(x) Fs= 2 Hz window = hanning(Nfft) noverlap = 0 若x是實序列，函數(shù)psd僅計算頻率為正的功 率譜估計。 函數(shù)輸出Pxx長度；當(dāng)Nfft為偶數(shù)時，Nfft/2+1； Nfft為奇數(shù)時，(Nfft+1)/2。 若x是復(fù)序列，函數(shù)psd計算正負(fù)頻率的功率譜估 計。 函數(shù)的另一種調(diào)用格式為： Pxx,f=psd(x,Nfft,Fs,window,Noverlap) 其中，f為返回的頻率向量，它和Pxx 一一對應(yīng)。 利用plot(f,Pxx)可方便地繪出功率譜密度曲線。 （P229) 函數(shù)psd還有一

20、種缺省返回值的調(diào)用格式， 用于直接繪制信號序列x的功率譜估計曲線。 psd(x,) 函數(shù)還可以計算帶有置信區(qū)間的功率譜估計， 調(diào)用格式為： Pxx, Pxxc, f = psd( x, Nfft, Fs, window, Noverlap, p ) 其中，p為置信度區(qū)間，0p1。 （P231) （2）函數(shù)函數(shù)CSD利用welch法估計兩個信號的互功 率譜密度。函數(shù)調(diào)用格式為： Pxy=csd(x, y) Pxy=csd(x, y, Nfft) Pxy=csd(x, y, Nfft, Fs, window) Pxy=csd(x, y, Nfft, Fs, window, noverlap) Px

21、y=csd(x, y, dflag) Pxy,f=csd(x, y, Nfft, Fs, window, noverlap) csd (x,y,) Pxy, Pxyc,f=csd(x, y, Nfft, Fs, window, noverlap, p) 其中，x,y 為兩個信號序列； Pxy 為x,y的互功率譜估計； 其他參數(shù)的意義同自功率譜函數(shù)psd。 6.3.3 多窗口法（MTM法） 多窗口法（multitaper method 簡稱MTM法） 利用多個正交窗口（tapers）獲得各自獨立 的近似功率譜估計，然后綜合這些估計最 終得到的一個序列的功率譜估計。 MTM法簡單地采用一個參數(shù)：時

22、間帶寬 積（time-bandwidth product）NW，這個 參數(shù)用以定義計算功率譜所用窗的數(shù)目為 2*NW-1。 MATLAB信號處理工具箱中函數(shù)PMTM 就是采用MTM法估計功率譜密度。 函數(shù)調(diào)用格式： Pxx=pmtm(x) Pxx=pmtm(x, nw) Pxx=pmtm(x, nw, Nfft) Pxx, f=pmtm(x, nw, Nfft, Fs) 其中， x 為信號序列； nw 為時間帶寬積，缺省值=4； Nfft 為FFT長度； Fs 為采樣頻率。 函數(shù)的基本用法和函數(shù)psd和csd相似 。 函數(shù)還可以計算帶有置信區(qū)間的功率譜 估計。 若調(diào)用格式為： pmtm (x,

23、 nw, Nfft, Fs, option, p) 則繪制帶置信區(qū)間的功率譜密度估計曲線， p為置信度區(qū)間， 0p1。 （P233) 6.3.4 最大熵法（MEM法） 最大熵功率譜估計的目的是最大限度 地保留截斷后丟失的“窗口”以外的信號 的 信息，使估計譜的熵最大。主要方法是以 已知的自相關(guān)序列rxx(0), rxx(1), rxx(p) 為基礎(chǔ)外推自相關(guān)序列 rxx(p+1), rxx(p+2), rxx(p+3), ，保證信息熵最大。 最大熵功率譜估計法假定隨機過程是 平穩(wěn)高斯過程。 MATLAB信號處理工具箱提供最大熵功率譜 估計函數(shù)PMEM，其調(diào)用格式為： Pxx, f=pmem(x, p) Pxx, f=pmem(x, p, Nfft, Fs,corr) Pxx, f, a=pmem(x, p, Nfft, Fs,corr) 其中，x 為輸入信號序列或輸入相關(guān)矩陣； p 為全極點濾波器階次； a 為全極點濾波器模型系數(shù)向量； corr把x認(rèn)為是相關(guān)矩陣； 其他參數(shù)和函數(shù)psd基本相同。 （P234) 6.3.5 特征值向量法（MUSIC法） MATLAB信號處理工具箱還提供另一 種功率譜估計函數(shù)PMUSIC，該函數(shù)執(zhí)行 兩種相關(guān)的頻譜分析方法： 多信號分類法 （MUSI