四邊形輔助線練習(xí)題

1、特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.一、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見(jiàn)的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線 構(gòu)造平行四邊形.1 利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1,已知點(diǎn)0是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形 OCD是平行四邊形. 求證:0E與AD互相平分.說(shuō)明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過(guò)添加輔助線構(gòu)造 平行四邊形.2利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例 2 如圖 2，在厶 AB

2、C中, E、F 為 AB 上兩點(diǎn)，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC 交 BC分別為 D，G.求證:ED+FG=AC.說(shuō)明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平行時(shí)，可通過(guò)作平行線構(gòu)造另一組對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問(wèn)題文檔3利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3女口圖3,已知 AD是 ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證BF=AC.當(dāng)已知二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問(wèn)題.例4如圖5,在厶ABC中，/ ACB=90，/ BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, E是AB上一點(diǎn)，且 AE=AC EF/BC 交AD

3、于點(diǎn)F,求證：四邊形 CDEF是菱形.A|K、Cr例5 如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證 EF+BF的最小值等于DE長(zhǎng).圖6說(shuō)明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題作輔助線的不是很多，常見(jiàn)的幾種輔 助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對(duì)角線.三、與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計(jì)算型題，一般通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問(wèn)題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問(wèn)題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例6 如圖7,已知矩形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=3, PB

4、=4, PC=5.求PD的長(zhǎng).圖7四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問(wèn)題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問(wèn)題的常用輔助線例7如圖8,過(guò)正方形 ABCD勺頂點(diǎn)B作BE/AC，且AE=AC又CF/AE.求證：/ BCF=2 / AEB.說(shuō)明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì).通過(guò)連接正方形的對(duì)角線構(gòu)造正方 形AHBO進(jìn)一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問(wèn)題.C類題2 .已知:ABC的邊BC的中點(diǎn)為N,過(guò)A的任一直線ADBD于d, CEAD于E.求證:與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法一

5、、有中線時(shí)可倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形.例1 已知：如圖，ad為 ABC中線，求證： AB AC 2AD.類題1.已知：如圖，AD為 ABC的中線，AE=EF求證：BF=AC.二、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍此線段，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形例2 已知：如圖，在ABC中， C 90 ，M為AB中點(diǎn)，P、Q分別在AC BC上,且PM QM2 2 2于 M.求證：PQ AP BQ .NE=ND.三、有中點(diǎn)時(shí)，可連結(jié)中位線.例3 .如圖，ABC中，D、E分別為AB AC上點(diǎn)，且BD=CE M N為BE、CD中點(diǎn)，連MN交AB AC于P、Q,求證：AP=AQ類題3.已知：如圖，E、F分

6、別為四邊形ABCD的對(duì)角線中點(diǎn)，ABCD求證：EF-AB CD2類題4 .如圖,ADEBCABC中，ad是高，ce為中線，DGCE，G為垂足，DC=BE求證：（1） G是CE的中點(diǎn)；（2） B 2 BCE.AC四、有底邊中點(diǎn)，連中線，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證題例4 已知：如圖，在Rt ABC中， BAC 90 ,AB=ACD為BC邊中點(diǎn)，P為BC 上 一點(diǎn)，PF AB 于 F，PE AC 于 E.求證：DF=DE.類題5.已知：如圖，矩形 ABCD E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 AC=CE F為AE中點(diǎn)，求證： BF FD 六、與梯形中點(diǎn)有關(guān)的輔助線：有腰中點(diǎn)時(shí),常見(jiàn)以下三種引輔助線法AB

7、CD中, AD/ BC, ABBC，M為CD的中點(diǎn).求證：AM=MB.AD于F.求證：S梯形abcd EF AD.類題6.已知：梯形 ABCD中, AB/ CD E為BC中點(diǎn)，EF【作業(yè)】1、已知 ABC和厶DBE為等腰直角三角形，/ ABC藝DBE=90 , A B、D在同一直線上，M N P分別是AD AC DE邊上的中點(diǎn)，試說(shuō)明 MP與MN的關(guān)系并證明。2、如果上題中A、B、D不在同一直線上，其余條件不變，上述結(jié)論是否發(fā)生變化？證明結(jié)論3、平行四邊形 ABCD對(duì)角線相交于點(diǎn) O, P、E、F分別是AD OB 0C的中點(diǎn)，AC=2AB求證：PE=EF4、等腰梯形 ABCD中，DC/ AB,

8、 / AOB=60 , E、F、M分別是OD OA BC的中點(diǎn) 求證： EFM是等邊三角形。B5、如圖，在四邊形 ABCD中, AB=CD M N、P、Q分別是AD BC BD AC的中點(diǎn)。求證：MN與PQ互相垂 直平分。MQPC6、如圖，在 ABC中, E是AB的中點(diǎn)，CD平分/ ACB AD丄CD,垂足為點(diǎn) D,求證：2DE=BC-AC47、BD CE分別為 ABC外角平分線，AML BD于M ANL CE于N,探究MN與AB BG AC的關(guān)系附加題：(1) 若將上題中BD改為/ ABC的平分線，其它條件不變，則上題結(jié)論是否成立。(2) 若BD CE分別為/ ABC和/ ACB的平分線，其

9、它條件不變，以上結(jié)論是否成立？(畫圖、證明)8 ABC中, AB=AC / BAC=，在AB AC上截取 AD AE,且AD=AE連結(jié)D呂如圖1所示，則易證 BD=CE如圖2所示，將 ADE逆時(shí)針針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，連結(jié)BD CE(1) 判斷BD與CE的數(shù)量關(guān)系及BD CE延長(zhǎng)線所夾銳角的度數(shù)。(2 )點(diǎn)G F分別是等腰 ABCABBE等腰 ADE底邊的中點(diǎn)，/ BAC=/ DAE=，點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn)，試探索/ GPF與 的關(guān)系，并加以證明B G9、我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1) 寫出一個(gè)你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱

10、；(2) 如圖1,在厶ABC中，AB=AC點(diǎn)D在BC上，且CD=CA點(diǎn)E、F分別為BC AD的中點(diǎn)，連接 EF并延 長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.求證：四邊形 AGEC是等鄰角四邊形；(3) 如圖2,若點(diǎn)D在厶ABC的內(nèi)部，(2)中的其他條件不變，EF與CD交于點(diǎn)H.圖中是否存在等鄰角 四邊形，若存在，指出是哪個(gè)四邊形，不必證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.EF，F(xiàn)G, GH H呂1、在四邊形 ABCD中，E,F,G,H分別是AB, BC, CD, DA的中點(diǎn)，順次連結(jié)(1)請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明；(2 )試添加一個(gè)條件，使四邊形 EFGH是菱形，并說(shuō)明理由。D2、如圖，在四邊形ABC中,AB=A

11、D,CB=CD點(diǎn)M,N,P,Q分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，求證：四邊形MNP(是矩形.小結(jié)：中點(diǎn)四邊形：對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形(1) 順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 .(2) 順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 .(3) 順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 .順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 .(5)順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 練習(xí)題：1、順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)，所得圖形一定是()A.矩形B直角梯形C菱形D正方形2、如圖，小區(qū)的一角

12、有一塊形狀為等梯形的空地，為了美化小區(qū)，社區(qū)居委會(huì)計(jì)劃在空地上建一個(gè)四邊形 的水池，使水池的四個(gè)頂點(diǎn)恰好在梯形各邊的中點(diǎn)上，則水池的形狀一定是A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形3、.順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)，得到了一個(gè)矩形，則下列四邊形滿足條件的是(平行四邊形菱形等腰梯形對(duì)角線互相垂直的四邊形A.B.C.D.4、順次連接四邊形 ABC各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABC一定是A.菱形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對(duì)角線相等的四邊形AB/CD AD=BC點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC，CD, DA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正5.如圖，在梯形 ABCD中 確的是（）.A

13、. ZHGF = ZGHEC. ZHEF = ZEFGB. ZGHE = ZHEFD. ZHGF = ZHEF6、如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按7、我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形.若一個(gè)四邊形 ABCD的中點(diǎn)四邊形是一個(gè)矩形，則四邊形 ABCD可以是.8如圖，點(diǎn)E、F、G H分別是任意四邊形 ABCD中 AD BD BC CA的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形 ABCD的邊至少滿足 條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形.AD2DiA1C2BBCiAX/B3B2 ”D9、如圖，四邊形ABCD中 ,AC=a,BD=b,且ACLBD順次連接四邊形 ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形 ABQD,再順次 連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到