統(tǒng)計(jì)與概率難點(diǎn)分析及教學(xué)建議

1、統(tǒng)計(jì)與概率難點(diǎn)分析及教學(xué)建議概率難點(diǎn)分析及教學(xué)建議河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 程?？y(tǒng)計(jì)與概率研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性。 對(duì)新課標(biāo) 教材中的統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容，就知識(shí)層面和方法 看，似乎不難。 但蘊(yùn)涵的概率觀點(diǎn)和統(tǒng)計(jì)思想?yún)s 不容易了解。 那么，概率的意義究竟是什么？概 率難在何處？統(tǒng)計(jì)推斷有什么特點(diǎn)？如何評(píng)價(jià) 統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)果？統(tǒng)計(jì)與概率的關(guān)系是什么？ 下面就這些問(wèn)題作一簡(jiǎn)單分析。一、概率的難點(diǎn)分析1概率的抽象性。概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可 能性的度量。像長(zhǎng)度和面積這些度量都比較直 觀，對(duì)溫度的高低在一定范圍我們可以感知。 而 事件發(fā)生的可能性大小的度量， 直觀看不見(jiàn)， 也 無(wú)法感知，太抽象了。2. 統(tǒng)

2、計(jì)規(guī)律的隱含性。隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性 的一面， 也有其必然性的一面， 這種必然性表現(xiàn) 為大量實(shí)驗(yàn)時(shí)， 事件頻率的穩(wěn)定性。 這種規(guī)律稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性頻率的穩(wěn)定性是概率論的理論基礎(chǔ)， 它說(shuō)明隨 機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是事件本身固有的、 不 隨人們的意志而改變的客觀屬性， 它是可以度量 的。同時(shí)它也給出了度量的一種方法?，F(xiàn)實(shí)中，只有個(gè)別特殊情形， 在合理的假設(shè)下 不需通過(guò)重復(fù)實(shí)驗(yàn)而直接計(jì)算概率， 而大量事件 的概率需要用頻率去估計(jì)。 由于統(tǒng)計(jì)規(guī)律是通過(guò) 大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)揭示的， 因此，只有深刻理解概率 與頻率的關(guān)系、 概率與頻率的本質(zhì)區(qū)別， 才能正 確理解概率的意義，利用概率思想進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決 策。對(duì)概率與頻

3、率的關(guān)系的認(rèn)識(shí)可以分三個(gè)層次 進(jìn)行教學(xué)。直觀認(rèn)識(shí) 。概率描述事件發(fā)生的可能性大小， 它是由事件本身唯一確定的一個(gè)常數(shù)； 頻率反映 在 n 次實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻繁程度。一般地， 如果一個(gè)事件的概率較大， 頻率也較大， 概率較 小，頻率也較小。反之也對(duì)。具體實(shí)驗(yàn) 。通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)， 借助圖形表示 頻率的穩(wěn)定性規(guī)律： 隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多， 頻率 的波動(dòng)越來(lái)越小， 逐漸穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近。 但 應(yīng)該認(rèn)識(shí)到頻率的不確定性， 即當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少 時(shí)，頻率的波動(dòng)可能比較大。精確刻畫(huà) 。有些資料這樣敘述： “實(shí)驗(yàn)次數(shù)越 多，用頻率估計(jì)概率越準(zhǔn)確”， 這樣的敘述嚴(yán)密 嗎？以擲硬幣為例， 已知“正面向上”的概率

4、為 0.5 ，擲兩次硬幣，可能頻率為是 0.5 ，用頻率估 計(jì)概率的誤差為 0；而擲100次硬幣， 也可能頻率 為0.2 ，誤差為0.3 。顯然上面的敘述不嚴(yán)密，太 絕對(duì)了。究竟如何精確地刻畫(huà)頻率的穩(wěn)定性呢？ 提供如下案例供參考（不需要學(xué)生了解計(jì)算方 法）。案例1 分別擲 100次、200次、1000次硬幣， 用“正面向上 ”的頻率估計(jì)概率， 在給定誤差范 圍內(nèi)，計(jì)算估計(jì)的可靠性。用 fn表示擲 n 次硬幣“正面向上”的頻率， fn的取值具有不確定性，用 EXCEL計(jì)算結(jié)果如下 表：比較嚴(yán)格的敘述為： “當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)， 用 頻率估計(jì)概率誤差較小的可能性較小， 實(shí)驗(yàn)次數(shù) 越多，用頻率估計(jì)概率

5、誤差較小的可能性越 大”。3. 概率定義的復(fù)雜性。概率事件發(fā)生的可能 性大小的度量。 這是概率的描述性定義， 它雖然 揭示了概率的本質(zhì)， 但對(duì)概率具有那些性質(zhì)， 如 何計(jì)算或估計(jì)事件的概率都沒(méi)有幫助。 概率是頻 率的穩(wěn)定值。 這是概率的統(tǒng)計(jì)定義。 它給出了估 計(jì)事件概率的一種方法， 而且明確了概率作為一 種度量，應(yīng)該具有非負(fù)性、規(guī)范性和可加性。但 頻率還有隨機(jī)性的特征，特別當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)不大 時(shí)，很難知道這個(gè)穩(wěn)定值是什么。為了能較好地理解概率的意義， 我們應(yīng)該采用 由具體到抽象， 由簡(jiǎn)單到復(fù)雜， 由特殊到一般的 方式。先認(rèn)識(shí)頻率及其性質(zhì)， 頻率和概率的關(guān)系； 然后討論古典概率， 幾何概率這些具體簡(jiǎn)

6、單的模 型；從中歸納概率的本質(zhì)特征， 最后給出概率的 公理化定義（高中階段不作要求） 。案例2美國(guó)的一個(gè)電視游戲節(jié)目有三扇門， 其中一扇門后面是一輛轎車， 另兩 扇門后面各有一只羊。 給你一次猜的機(jī)會(huì)。猜中 羊可以牽走羊，猜中車可以開(kāi)走車。當(dāng)然大家都 希望能開(kāi)走汽車。 現(xiàn)在假如你猜 1號(hào)門后面是車， 然后主持人把無(wú)車的一扇門 （比如 2號(hào)門）打開(kāi)。 現(xiàn)在再給你一次機(jī)會(huì)，請(qǐng)問(wèn)你是否要換 3號(hào)門？這是一個(gè)概率決策問(wèn)題，結(jié)論只有換與不換 兩個(gè)。在當(dāng)時(shí)引起了人們極大的興趣， 眾說(shuō)紛紜， 各種各樣的觀點(diǎn)都有。 足以看出概率問(wèn)題是有一 定難度的。觀點(diǎn)一 一位數(shù)學(xué)博士說(shuō)：美國(guó)公民的數(shù)學(xué)水 平也太差了，這三扇

7、門后面有車的可能性是一樣 的，都是 1/3 ，所以不必?fù)Q。觀點(diǎn)二 假定主持人打開(kāi)的是 2號(hào)門，既然 2號(hào) 門后面沒(méi)有車，那么車要么在 1號(hào)門后面，要么 在3號(hào)門后面，概率各是 1/2 ，所以不必?fù)Q。觀點(diǎn)三車在1號(hào)門后面的概率是 1/3 ，于是在 2 號(hào)門或3號(hào)門后面的概率就是 2/3 ，現(xiàn)在既然 2 號(hào)門后面沒(méi)有車，所以車在 3號(hào)門后面的概率為 2/3 ，因此應(yīng)該換。哈佛大學(xué)概率教授( Diaconis )應(yīng)電視臺(tái)邀 請(qǐng)，進(jìn)行了表演。以一張紅桃撲克牌表示車，兩 張黑桃撲克牌表示羊。按照規(guī)則要求，演示了 8 次，結(jié)果是有 6次顯示應(yīng)當(dāng)換。Diaconis 教授說(shuō)：概率的判斷是依靠大量 試驗(yàn)才獲得

8、的。 如果這個(gè)游戲允許多次重復(fù)， 那 一定是“ 換”為好。如果只給你一次機(jī)會(huì)， 那是 很難說(shuō)的。分析由于隨機(jī)性，如果1號(hào)門后面確實(shí)是車， 你猜對(duì)了，此時(shí)要換反而得不到車。如果 1號(hào)門 后面沒(méi)有車， 此時(shí)換就得到車。 那么換與不換應(yīng) 該依據(jù)什么為準(zhǔn)則？在此問(wèn)題中， 以得到車的概 率最大為準(zhǔn)則 。三種觀點(diǎn)在應(yīng)用概率思想方面都 是正確的，造成不同結(jié)果的原因在于對(duì)概率大小 的判斷上。首先注意的一點(diǎn)是，主持人是知道汽車在哪 扇門后的。 換的結(jié)果是將汽車換成羊， 或?qū)⒀驌Q 成汽車。選擇 1號(hào)門，得到汽車的概率為 1/3 ，得 到羊的概率為 2/3 。如果換 3號(hào)門，得到羊的概率 為1/3 ，得到汽車的概率

9、為 2/3 。從概率決策的角 度應(yīng)該換，觀點(diǎn)三是正確的。如果主持人也不知道那扇門后面是車， 而是 任意選擇一扇門， 此時(shí)換與不換等價(jià)于抽簽時(shí)是 先抽還是后抽。 我們知道抽簽不分次序先后， 得 到車的概率都是 1/3 。但現(xiàn)在的問(wèn)題是：主持人 打開(kāi)的一定是無(wú)車的門，所以觀點(diǎn)一是錯(cuò)誤的。當(dāng)主持人打開(kāi)無(wú)車的 2號(hào)門時(shí)，如果讓你在 1 號(hào)門和 3號(hào)門之間重新任選一扇門，得到車和羊 的概率都是 1/2 ?，F(xiàn)在不是讓你重新任選一扇門，而是問(wèn)你是否要換。 重新選擇和交換結(jié)果是不同 的，所以觀點(diǎn)二也是錯(cuò)誤的。Diaconis 教授的觀點(diǎn)是正確的。既然在概率 大小的判斷上有分歧， 通過(guò)重復(fù)模擬實(shí)驗(yàn)， 借助 頻率

10、的大小來(lái)判斷最有說(shuō)服力。 但遺憾的是重復(fù) 實(shí)驗(yàn)次數(shù)太少，頻率的值很不穩(wěn)定， 說(shuō)服力不強(qiáng)， 當(dāng)時(shí)并沒(méi)有消除爭(zhēng)議。二、統(tǒng)計(jì)的難點(diǎn)分析真實(shí)的數(shù)據(jù)能提供科學(xué)信息， 數(shù)據(jù)能幫助我們 了解世界，許多科學(xué)結(jié)論都是通過(guò)分析數(shù)據(jù)而得 到的，借助數(shù)據(jù)提供的信息作出的判斷才比較可 信。因此，“運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷”的思考方法已 成為現(xiàn)代社會(huì)普遍應(yīng)用而且高效的思維模式， 而 “用樣本推斷總體”又是統(tǒng)計(jì)最核心的思想方 法。統(tǒng)計(jì)學(xué)已有 2000多年的歷史，按其發(fā)展的歷史 階段和統(tǒng)計(jì)方法的構(gòu)成看， 統(tǒng)計(jì)學(xué)可以描述統(tǒng)計(jì) 和推斷統(tǒng)計(jì)。描述統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容包括統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)收集 的方法、 數(shù)據(jù)的加工和整理方法、 用圖表表示數(shù) 據(jù)的方法、數(shù)據(jù)分布

11、特征的概括與分析方法等。 推斷統(tǒng)計(jì)研究如何依據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體的數(shù) 量特征的方法， 它以樣本數(shù)據(jù)信息為依據(jù)， 以概 率論為理論基礎(chǔ)， 對(duì)總體未知的數(shù)量特征作出以 概率形式表述 的推斷。那么統(tǒng)計(jì)內(nèi)容學(xué)習(xí)的難點(diǎn)在那里呢？1傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維模式對(duì)統(tǒng)計(jì)思維方法的影 響統(tǒng)計(jì)是以樣本數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的整 理、描述和分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的特征或規(guī)律，從而 對(duì)總體的特征作出推斷。它所采用的是歸納推 理，屬于合情推理范疇。帶有很強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)性。確定性數(shù)學(xué)主要運(yùn)用演繹推理的方式， 即從已 有的事實(shí)（包括定義、公理、定理）出發(fā)，按照 規(guī)定的法則證明結(jié)論， 或揭示數(shù)學(xué)規(guī)律。 研究確 定性數(shù)學(xué)，是不能用個(gè)別舉例或驗(yàn)證代替一般

12、的 證明的。 比如可以通過(guò)測(cè)量或拼接的方法， 歸納 得出“三角形內(nèi)角和等于 180”，但是，哪怕 你度量了 100次，只能說(shuō)發(fā)現(xiàn)了這一結(jié)論，未經(jīng)證明之前仍不能作為定理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)，這種思維方式的轉(zhuǎn)變需要一個(gè)過(guò) 程。2. 統(tǒng)計(jì)方法的評(píng)價(jià)與統(tǒng)計(jì)結(jié)果的解釋確定性數(shù)學(xué)在確定的條件下， 結(jié)論是完全確定 的。對(duì)其結(jié)果可以用“對(duì)”和“錯(cuò)”來(lái)評(píng)判。 用 樣本推斷總體，由于樣本數(shù)據(jù)和總體的不一致 性，會(huì)產(chǎn)生代表性誤差，由于樣本的隨機(jī)性，會(huì) 產(chǎn)生隨機(jī)誤差，從而造成估計(jì)的結(jié)論也具有不確 定性。因此，評(píng)價(jià)一種估計(jì)方法的好壞，不能僅 依一次估計(jì)的誤差大小來(lái)衡量， 而應(yīng)考慮所有可 能樣本的情況下， 整體誤差的大小。 對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)

13、論 也不能用“對(duì)”和“錯(cuò)”來(lái)解釋， 而應(yīng)指出在多 大的置信度下，誤差有多大。對(duì)某種統(tǒng)計(jì)方法，既讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到方法的合 理性，又體會(huì)到結(jié)果的不確定性， 這是滲透統(tǒng)計(jì) 思想不可缺少的。 問(wèn)題是， 在學(xué)生沒(méi)有或具有很 少的概率知識(shí)背景下， 在教學(xué)中應(yīng)該如何處理？ 這肯定是一個(gè)難點(diǎn)。3統(tǒng)計(jì)原理的理解與運(yùn)用統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)是一些統(tǒng)計(jì)原理。例如，統(tǒng) 計(jì)估計(jì)依據(jù)的極大似然原理， 假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)依據(jù)小 概率原理， 回歸分析依據(jù)最小二乘原理等。 它們 都是人們?cè)陂L(zhǎng)期的社會(huì)實(shí)踐中歸納出來(lái)的一般 原理。它們不同于數(shù)學(xué)公理或定理， 公理是大家 公認(rèn)的事實(shí)， 是絕對(duì)正確的； 定理是經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的 邏輯證明是正確的事實(shí)。 而統(tǒng)計(jì)原理

14、本身并不是 絕對(duì)正確的，利用這些原理進(jìn)行推斷肯定會(huì)犯錯(cuò) 誤。如何理解這些原理， 并將其運(yùn)用到統(tǒng)計(jì)推理 中，這是又一個(gè)難點(diǎn)。案例 3 目前流行的甲型 H1N1流感傳染性很 強(qiáng)，假設(shè)在人群中的感染率為 20%?，F(xiàn)有 ， 兩種疫苗，疫苗 對(duì)8個(gè)健康的人進(jìn)行注射，最 后結(jié)果為無(wú)一人感染。 疫苗 對(duì)25個(gè)健康的人進(jìn) 行注射，最后結(jié)果為有一人感染。你認(rèn)為這兩種 疫苗哪個(gè)更有效？直觀分析 ：如果不考慮概率， 注射疫苗后感 染率為 0，注射疫苗后感染率為 4%，似乎疫苗 更有效些。而實(shí)際上感染率只有 20%，并非 100%。假設(shè)疫苗完全無(wú)效，“ 8人注射無(wú)一人 感染”仍有較大的可能性。 假設(shè)疫苗無(wú)效的條 件下

15、，“ 25人注射有 1人感染”的可能性要小的 多。依據(jù)小概率原理， 判斷疫苗比疫苗可能 更有效些。推理過(guò)程：設(shè)事件 A=“ 8人注射無(wú)一人感染”， B=“25人注射有 1人感染”，假設(shè)疫苗無(wú)效，A 發(fā)生的可能性較大，沒(méi)有充足的證據(jù)說(shuō)明苗有效。假設(shè)疫苗無(wú)效，B 是一個(gè)小概率事件， 依據(jù)小概率原理， 認(rèn)為 B 在一次 實(shí)驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的， 但現(xiàn)在竟然發(fā)生了， 和統(tǒng) 計(jì)原理相違背，從而否定假設(shè)，認(rèn)為疫苗有效。這種推理稱為假設(shè)檢驗(yàn)。 所運(yùn)用的推理方式類 似于數(shù)學(xué)反證法。 應(yīng)用數(shù)學(xué)反證法， 當(dāng)推出和已 知事實(shí)矛盾的結(jié)果時(shí)， 否定假設(shè)。 假設(shè)檢驗(yàn)是一 旦小概率事件發(fā)生， 就否定假設(shè)。 但小概率原理 不是絕

16、對(duì)正確的事實(shí)，所以推理有可能犯錯(cuò)誤。 我們追求的是使犯錯(cuò)誤的概率盡可能小。三、對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的幾點(diǎn)建議1突出核心思想，把握重點(diǎn)和難點(diǎn)。對(duì)概率 意義和統(tǒng)計(jì)思想的理解， 是教學(xué)的重點(diǎn)， 也是難 點(diǎn)。不要把概率教學(xué)變成復(fù)雜的概率計(jì)算； 把統(tǒng) 計(jì)教學(xué)變成單純的數(shù)據(jù)處理和計(jì)算技巧； 不要糾 纏一些無(wú)關(guān)緊要的細(xì)節(jié)而干擾主題?，F(xiàn)在的情況是，許多學(xué)生（包括數(shù)學(xué)專業(yè)的 大學(xué)生），可以計(jì)算很復(fù)雜的概率，但面對(duì)需要 用概率和統(tǒng)計(jì)思想解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)， 顯的束手無(wú) 策。這說(shuō)明在教學(xué)中， 過(guò)多的關(guān)注了知識(shí)技能的 學(xué)習(xí)，忽視思想方法的理解。2. 恰當(dāng)?shù)念惐群苡行А８怕逝c頻率的關(guān)系、 總體的數(shù)字特征與樣本的數(shù)字特征之間的關(guān)

17、系， 都比較抽象。可以用某物體長(zhǎng)度真值和測(cè)量值來(lái) 類比。黑板的長(zhǎng)度 a 是客觀存在的，但未知。可以通過(guò)測(cè)量來(lái)了解； 而測(cè)量結(jié)果總會(huì)有誤差， 為減 少誤差，可以用多次測(cè)量值的平均數(shù)估計(jì) a。事件的概率 p 是客觀存在的， 但未知，可以用 頻率估計(jì)； 頻率具有不確定性， 估計(jì)的誤差不可 避免，為減少誤差，可以增加重復(fù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)?？傮w指標(biāo) X的平均值（數(shù)學(xué)期望） 是一個(gè)確定 的數(shù)值， 可以用樣本的平均值去估計(jì)； 隨機(jī)抽取 的樣本具有隨機(jī)性， 所以樣本的平均值也具有隨 機(jī)性，要想估計(jì)的更準(zhǔn)確些， 可以適當(dāng)增大樣本 容量。又比如， 如果樣本的代表性好， 用樣本的特征 推斷總體的特征就比較準(zhǔn)確。 可以用“

18、要想知道 一鍋湯是否夠咸， 在充分?jǐn)噭驎r(shí)， 只需嘗一小勺 即可”類比。3必要的操作實(shí)驗(yàn)不可省。概率的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 性本身就是通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的， 用樣本推斷總體的 方法，可以認(rèn)為是實(shí)驗(yàn)科學(xué)。在高中階段，由于 課時(shí)以及學(xué)生認(rèn)知水平的限制， 我們不可能也沒(méi) 有必要用嚴(yán)密的方法揭示一些穩(wěn)定性規(guī)律， 評(píng)價(jià) 統(tǒng)計(jì)方法的優(yōu)劣。 設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)， 直觀認(rèn)識(shí)隨 機(jī)性規(guī)律、 樹(shù)立概率觀點(diǎn)、 理解統(tǒng)計(jì)思想是必要 的，也是可行的。在一些具體問(wèn)題中，可以通過(guò) 實(shí)驗(yàn)糾正對(duì)概率判斷上錯(cuò)誤觀點(diǎn)， 統(tǒng)一認(rèn)識(shí)， 消 除爭(zhēng)議。4. 重視反例和極端特例的作用。在揭示數(shù)學(xué) 概念的本質(zhì)、 探索數(shù)學(xué)定理成立的條件時(shí)， 反例 具有重要的作用。同樣

19、，在統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中， 一些極端的特例有時(shí)會(huì)發(fā)揮意想不到的作用。例 用頻率估計(jì)概率，有人認(rèn)為“實(shí)驗(yàn)次 數(shù)越大，估計(jì)的就越準(zhǔn)確”。極端特例：擲兩枚硬幣，有 50%的可能得到頻 率為1/2 ，而擲 1000次硬幣，理論上仍有可能得 到頻率為 1。說(shuō)明“實(shí)驗(yàn)次數(shù)越大，估計(jì)的就越 準(zhǔn)確”，這樣的表述不嚴(yán)密。例 從包含 100個(gè)學(xué)生的總體中，隨機(jī)抽取 10名學(xué)生作為樣本，估計(jì)全體學(xué)生的平均身高。 分別采用不放回抽樣和有放回抽樣， 哪種抽樣方 式下估計(jì)的更準(zhǔn)確些？大多數(shù)人認(rèn)為有放回抽樣下估計(jì)的更準(zhǔn)確， 實(shí)際上恰恰相反。 要想說(shuō)服他們， 我們不可能用 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一套理論， 通過(guò)計(jì)算概率或期望和方 差，作出判斷。以下兩個(gè)極端特例都能說(shuō)明問(wèn)題。特例1：采用有放回抽樣，有可能