淺析向量的數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用

1、淺析向量的數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用王華標(biāo)（岳西職教中心）隨著高中新課程改革，高中數(shù)學(xué)教材引入了許多新的內(nèi)容 , 比如空間向量 , 其目的也很明確：為研究函數(shù)、空間圖形，提供新的研究手段，即充分體現(xiàn)它們的工具性 , 關(guān)于空間向量的數(shù)量積有這樣三條性質(zhì)：（1） a e | a | cosa,e，（2） aba b0 ，（3） | a |2a a 。利用這些性質(zhì)可以解決空間的角度和距離問題 , 下面就這些方面談?wù)勏蛄康臄?shù)量積的應(yīng)用 .首先它是空間三大角（即線線角、線面角、二面角的平面角）用向量法求解的“對接點(diǎn)” 。( 一) 用向量求空間的線線角(0,)2我們把這兩條線賦予恰當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)向量，問題就化歸為兩個(gè)

2、向量的夾角（兩個(gè)向量 所成的角的范圍為0,）， 即cos| cos a,b | |a b | a b | , 我們能否加以重新認(rèn)識這個(gè)公式| a | b | a | b |呢？如圖，1| OB1 |B|OB1 |BBcos|OB| b |bbb，AO(B 1)aAOa B 1AB 1O a此時(shí)OB1 可 以 看 作 是 b 與 a 方 向 上 的 單 位 向 量 e 的 數(shù) 量 積b e(其中 ea ) ，這就是由數(shù)量積這條性質(zhì)滋生而成的；故此結(jié)論| a | ba|重新可以理解為： cos| a |（這里剛好滿足三角函數(shù)中余弦的| b |定義：鄰邊比斜邊）。(二)用向量求空間的線面角(0, )

3、2P| PA n |nsin| cos PA, n | PA | n |AO（其中 n 為平面的一個(gè)法向量），此結(jié)論重新可以理解為： sin|OP | OP | ，此時(shí) OP又可以看作是 PA|PA|PA|在 n 上的投影，即PA 與 n 方向上的單位向量 e 的數(shù)量積 PA e ，| PAnn|(其中 e) ，故 sin| n | （這里剛好滿足三角函數(shù)中正弦的| n |PA|定義：對邊比斜邊）。2( 三)用向量求空間的二面角的平面角F(0,)n1n2| cos | | cos n1,n2| = | n1n2 |En1（其中 n1與n2 是DC| n1 | n2 |兩二面角所在平面的各一個(gè)法

4、向量） 此結(jié)論AB重新可以理解為：| nn2| nn1 |12| n1 | （這里剛好滿足三角函數(shù)中余弦的定| c|os | n2 | n1 | n2 |義：鄰邊比斜邊）。三大角的統(tǒng)一理解：| ba| PAn| nn2| | nn1|12cos| a |、 sin| n |、 | cos | n2| n1|、| b |PA| n1 | n2 |其從上述梳理完全可以看出其本質(zhì)特征：這里的“空間角”的求法，完全與直角三角形中的三角函數(shù)的“正弦或余弦的定義”發(fā)生了對接對邊或鄰邊就是斜邊的向量在此邊向量上的投影，即斜邊向量與對邊或鄰邊方向上的單位向量的數(shù)量積，而理解與掌握這里的“空間角”的直角三角形的

5、構(gòu)圖，學(xué)生完全可以達(dá)到“系統(tǒng)化”和“自主化”，因?yàn)橹苯侨切沃械娜呛瘮?shù)定義，他們太熟悉了！即將知識的“生長點(diǎn)”建立在學(xué)生認(rèn)知水平的“最近發(fā)展區(qū)”，那3學(xué)習(xí)就會水到渠成！其次它又是空間三大距離（即點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、異面直線間距離）用向量法求解的“聯(lián)系點(diǎn)” 。空間中有七大距離 （除球面上兩點(diǎn)間的距離外）基本上可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距，而點(diǎn)線距和點(diǎn)面距又是重中之重！另外兩異面直線間的距離， 高考考綱中明確要求：對于異面直線的距離，只要求會計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離。因此對異面直線間的距離的考查有著特殊的身份。 教材按排中引進(jìn)了向量法來解決距離問題，也給問題的解決帶來新的活力！不用作出

6、（或找出）所求的距離了。( 一) 用向量求空間點(diǎn)面距離d | PO | | PA | sin| PA | | nPA | n PA |（其中 n 為平面的一個(gè)| n|PA | n |法向量），此結(jié)論重新可以理解為：Pnd| PAn|，即 PA 在 n 上的投影，即 PA 與| n |AOn 方 向 上 的 單 位 向 量 e 的 數(shù) 量 積PA e(其中 en ) 。| n |4( 二) 用向量求空間的點(diǎn)線距離1）如圖，若存在有一條與l 相交的直線時(shí)，就可以先求出由這兩條相交直線確P定的平面的一個(gè)法向量n ，則點(diǎn)P 到 l的距離 d | PAn|。AlO| n|2）若不存在有一條與l 相交的直

7、線時(shí)，我們可以先取 l 上的一個(gè)向量 n ，再利用 | PO |2 | PA |2 | OA |2 來解，即：d 2 | PA |2 | OA |2 , 而數(shù)量可以理解為 PA 在 l 上的向量 n 的投影，也即為： | OA | | PAn|。| n |( 三) 用向量求異面直線間距離從這幾年的高考考綱說明觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)，對異面直線間距離的考查本意不能太難， 但若出現(xiàn)難一點(diǎn)的考題，命題者又能自圓其說的新情況。實(shí)際上，這種自圓其說法歸根到底在于高考考綱中的說法：只要求會計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距 離。那也就是說，在不要作出公垂線（也許學(xué)生作不出！ ）的情況下，也可以求出它們的距離的

8、！那就是用向量法！5如圖所示：若直線 l 1 與直線 l2 是兩異面直線，求兩異面直線的距離。Cl1略解：在兩直線上分別任取兩點(diǎn)A、AC、B、D，構(gòu)造三個(gè)向量 AC, BD , CD ，l 2記與兩直線的公垂線共線的向量為BDn , 則由 AC n 0與BD n 0 , 得 n , 則CDn它們的距離就可以理解為：在上的投影的絕對值，即：nd | CDn |。| n |三大距離的統(tǒng)一理解:d | PAn |d | CDn |（異面距）、d | PAn |（點(diǎn)面距）、| n |（點(diǎn)線| n | n |距之一）、d 2| PA |2| OA |2 且 | OA | | PAn |（點(diǎn)線距之二）、|

9、 n |其本質(zhì)特征是： 一個(gè)向量在其所求的距離所在直線的一個(gè)向量上的投影，也即數(shù)量積此性質(zhì)的直接應(yīng)用。下面通過例題來說明向量的具體的應(yīng)用A1D1例1 如圖，已知長方體FADB 1C 1E6BCABCDA1 B1C1 D1, AB2, AA11,直線 BD 與平面 AA1 B1B 所成的角為 30 ， AE 垂直 BD 于E， F 為 A1B1的中點(diǎn) .（ I ）求異面直線 AE 與 BF 所成的角；（ II ）求平面 BDF 與平面 AA1B 所成的二面角；（ III ）求點(diǎn) A 到平面 BDF 的距離 .解：在長方體 ABCDA1 B1C1D1 中，以 AB 所在的直線為x 軸，以 AD 所

10、在的直線為 y 軸，AA1 所在的直線為 z 軸建立zA1D1如圖示空間直角坐標(biāo)系；FDA由已知 ABB 1C 1y2, AA11, 可得 A(0, 0, 0),B (2, 0, 0)，EF (1,0,1) ，又 AD平面 AA1B1B ，從而 BD 與平 x BC面 AA1 B1B所成的角為DBA30，又 AB2，AEBD ，AE 1, AD2 3 ，從而易得E 1 ,3 ,0,D 0,2 3,03223（I）因?yàn)?AE1 ,3,0 ,BF1,0,1 所以 cos AE, BFAEBF22|BF|12 2 ，易知異面直線 AE、BF 所成的角為 arccos 2244（II）易知平面 AA1

11、B 的一個(gè)法向量 m(0,1,0) ，設(shè) n( x, y, z) 是 平 面 B D F的 一 個(gè) 法 向 量 ， BD( 2,2 3,0) 由37nBFn BF0xz0zx3,12x23 y 0即 n 1,nBDn BD03x y3所以 cosm, nn15m5| n |即平面 BDF 與平面 AA1B 所成的二面角的大小（銳角）為arccos 155（III ）點(diǎn) A 到平面 BDF 的距離，即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的絕對值，所以距離 d | ABnAB n2 5 所以點(diǎn) A到平面| =| n |n5BDF 的距離為 2 55例 2 如圖，在三棱柱 ABC A1B1

12、C1 中， AB 側(cè)面 BB1C1C，E 為棱 CC1 上異于 C、C1的一點(diǎn)， EAEB1，已知 AB= 2 ，BB 1=2，BC=1， BCC1=，求：3（）異面直線AB 與 EB1 的距離；（）二面角 AEB1A1 的平面角的正切值 .解：（I ）以 B 為原點(diǎn)， BB1 、 BA 分別為 y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于 BC=1，BB1=2，AB=2 ， BCC1=，3在三棱柱 ABC A1B1C1 中有8B（0，0，0），A（0，0，2 ），B1（0，2，0），A1（0，2，2 ）C( 3,1 ,0), C1 (3 , 3,0) ，設(shè) E(3 , a,0),22222由EAEB1

13、, 得 EA EB10,即0 (3 , a, 2 ) (3 ,2 a,0)3a(a 2)a 22a3 ,2244得 ( a1)( a3)0, 即 a1 或 a3(舍去 ), 故 E(3,1,0)；222222所以 BA(0,0,2),A E(3 ,3 ,2 )122設(shè) nx yz所在的直線與 AB與B E都垂直，( , ,)1則 nBA0得， n(3,1,0) （令 y=1），故 d| AB1n | =1nA1E0| n |（II ）由已知有 EA EB1 , B1 A1EB1 ,故二面角 AEB1A1 的兩個(gè) 半平 面的 法向 量為B1 A1與EA。因 B ABA(0,0, 2), EA(3 ,1 ,2),1122EAB1A1故 cos| B1A1 | | EA|EAB1A122|EA|。| B1A1 |, 所以 tan23通過上述例題的分