書人教育培訓(xùn)中心四年級(jí)春季班第三講行程問題講義(教師版)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第六講行程問題（一）我們把研究路程、速度、時(shí)間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.在對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些簡(jiǎn)單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到： 上述三個(gè)量之間存在這樣的基本關(guān)系：路程速度×時(shí)間. 因此，在這一講中，我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，主要來研究行程問題中較為復(fù)雜的一類問題反向運(yùn)動(dòng)問題，也即在同一道路上的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作方向相反的運(yùn)動(dòng)的問題. 它又包括相遇問題和相背問題 . 所謂相遇問題，指的就是上述兩個(gè)物體以不同的點(diǎn)作為起點(diǎn)作相向運(yùn)動(dòng)的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以同一點(diǎn)作為起點(diǎn)作背向運(yùn)動(dòng)的問題，下面，我們來具體看幾個(gè)例子.例

2、 1 甲、乙二人分別從相距30 千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6 千米，乙每小時(shí)走4 千米，問：二人幾小時(shí)后相遇？分析出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距30 千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短6 4 10（千米），即兩人的速度的和（簡(jiǎn)稱速度和），所以30 千米里有幾個(gè)10 千米就是幾小時(shí)相遇.解： 30÷（ 64） 30÷ 103（小時(shí)）答： 3 小時(shí)后兩人相遇. 例 1 是一個(gè)典型的相遇問題. 在相遇問題中有這樣一個(gè)基本數(shù)量關(guān)系：路程速度和×時(shí)間.例 2一列貨車早晨6 時(shí)從甲地開往乙地，平均每小時(shí)行45 千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時(shí)比貨車快15 千米，已知客

3、車比貨車遲發(fā)2 小時(shí)，中午12 時(shí)兩車同時(shí)經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問：當(dāng)客車到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地還有多少千米？分析貨車每小時(shí)行45 千米，客車每小時(shí)比貨車快15 千米，所以，客車速度為每小時(shí)（45 15）千米；中午12 點(diǎn)兩車相遇時(shí)，貨車已行了（126）小時(shí)，而客車已行（1262）小時(shí)，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程 . 最后，再來求當(dāng)客車行完全程到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地的距離.解：甲、乙兩地之間的距離是：45 ×（ 126）（ 4515）×（ 126 2） 45×6 60× 4 510（千米） .客車行完全程所需的時(shí)間是：510 ÷（

4、 45 15） 510 ÷608.5 （小時(shí)） .客車到甲地時(shí)，貨車離乙地的距離：510 45 ×（ 8.5 2） 510 472.5 37.5 （千米） .答：客車到甲地時(shí)，貨車離乙地還有37.5 千米 .例 3兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行36 千米，乙車每小時(shí)行54 千米 . 兩車錯(cuò)車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時(shí)開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14 秒，求乙車的車長(zhǎng).學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600 10（米），乙車的速度是每秒鐘54000÷ 360015（米） . 本題中， 甲車的運(yùn)動(dòng)實(shí)

5、際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10 米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車的運(yùn)動(dòng)則可以看作是乙車車頭的運(yùn)動(dòng)， 因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時(shí)刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動(dòng)14 秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（1015）米，因此，14 秒結(jié)束時(shí)，車頭與乘客之間的距離為（1015 ）× 14 350（米） . 又因?yàn)榧总嚦丝妥詈罂吹降氖且臆囓囄玻?，乙車車頭與甲車乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長(zhǎng)度，即：乙車車長(zhǎng)就等于甲、乙兩車在 14 秒內(nèi)所走的路程之和.解：（ 10 15）× 14350（米）答：乙車

6、的車長(zhǎng)為350 米.我們也可以把例3 稱為一個(gè)相背運(yùn)動(dòng)問題，對(duì)于相背問題而言，相遇問題中的基本關(guān)系仍然成立.例 4 甲、乙兩車同時(shí)從 A、B 兩地出發(fā)相向而行，兩車在離駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距少千米？B 地 64 千米處第一次相遇. 相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行A 地 48 千米處第二次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多3 個(gè)分析甲、乙兩車共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車走了64 千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時(shí)共走了AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3 個(gè) 64 千米，再由上圖可知：減去一個(gè)48 千米后，正好等于一個(gè) AB全程.解： AB 間的距離是64 

7、5;348192 48144（千米） .兩次相遇點(diǎn)的距離為144 4864 32（千米）.答：兩次相遇點(diǎn)的距離為32 千米.例 5 甲、乙二人從相距100 千米的 A、B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1 小時(shí) . 在出發(fā) 4 小時(shí)后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2 倍，且相遇時(shí)甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？分析甲的速度為乙的2 倍，因此，乙走4 小時(shí)的路，甲只要2 小時(shí)就可以了，因此，甲走100 千米所需的時(shí)間為（ 41 4÷2） 5 小時(shí) . 這樣就可求出甲的速度.解：甲的速度為：100 ÷（ 4 1

8、4÷2） 10O÷ 520（千米 / 小時(shí)） .乙的速度為：20÷ 210（千米 / 小時(shí)） .答：甲的速度為20 千米 / 小時(shí)，乙的速度為10千米/小時(shí).例 6某列車通過250 米長(zhǎng)的隧道用25 秒，通過210 米長(zhǎng)的隧道用23 秒，若該列車與另一列長(zhǎng)150 米 . 時(shí)速為72千米的列車相遇，錯(cuò)車而過需要幾秒鐘？學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析解這類應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車通過隧道指的是從車頭進(jìn)入隧道算起到車尾離開隧道為止因此，這個(gè)過程中列車所走的路程等于車長(zhǎng)加隧道長(zhǎng)；兩車相遇， 錯(cuò)車而過指的是從兩個(gè)列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個(gè)過程實(shí)際上是一個(gè)以車

9、頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問題，這兩個(gè)列車在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車長(zhǎng)之和. 因此，錯(cuò)車時(shí)間就等于車長(zhǎng)之和除以速度之和.列車通過250 米的隧道用25 秒，通過 210 米長(zhǎng)的隧道用23 秒，所以列車行駛的路程為（250210 ）米時(shí)，所用的時(shí)間為（ 25 23）秒 . 由此可求得列車的車速為（250 210）÷（ 25 23） 20 （米 / 秒） . 再根據(jù)前面的分析可知：列車在25 秒內(nèi)所走的路程等于隧道長(zhǎng)加上車長(zhǎng)，因此，這個(gè)列車的車長(zhǎng)為20×25250 250（米），從而可求出錯(cuò)車時(shí)間.解：根據(jù)另一個(gè)列車每小時(shí)走72 千米，所以，它的速度為：72000

10、÷360020（米 / 秒），某列車的速度為：（25O210）÷（ 25 23） 40÷2 20（米 / 秒）某列車的車長(zhǎng)為：20×25-250 500-250 250（米），兩列車的錯(cuò)車時(shí)間為：（250 150）÷（ 20 20） 400÷ 4010（秒） .答：錯(cuò)車時(shí)間為10 秒.例 7 甲、乙、丙三輛車同時(shí)從面開來的卡車分別在它們出發(fā)后的A 地出發(fā)到 B 地去，甲、乙兩車的速度分別為每小時(shí)60 千米和 48 千米，有一輛迎5 小時(shí) .6 小時(shí)， 8 小時(shí)先后與甲、乙、丙三輛車相遇，求丙車的速度.分析甲車每小時(shí)比乙車快60-48

11、12（千米） . 則 5 小時(shí)后，甲比乙多走的路程為12×560（千米） . 也即在卡車與甲相遇時(shí)，卡車與乙的距離為60 千米，又因?yàn)榭ㄜ嚺c乙在卡車與甲相遇的6-5 1 小時(shí)后相遇， 所以，可求出卡車的速度為60÷1-48 12（千米 / 小時(shí)）卡車在與甲相遇后，再走 8-5 3（小時(shí)）才能與丙相遇，而此時(shí)丙已走了 8 個(gè)小時(shí)，因此，卡車的路程與丙 8 小時(shí)所走的路程之和就等于甲 5 小時(shí)所走的路程 . 由此，丙的速度也可求得，應(yīng)為：3 小時(shí)所走（ 60×5-12 × 3）÷ 8 33（千米 / 小時(shí)） .解：卡車的速度：（ 60-48 ）&#

12、215; 5÷（ 6 5） 4812（千米 / 小時(shí)），丙車的速度：（60×512×3）÷ 8 33（千米 / 小時(shí)），答：丙車的速度為每小時(shí)33 千米 .注：在本講中出現(xiàn)的“米/ 秒”、“千米 / 小時(shí)”等都是速度單位，如5米 / 秒表示為每秒鐘走5 米習(xí)題六1.甲、乙兩車分別從相距 240 千米的 A、B 兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，已知甲車到達(dá)B 城需4 小時(shí)，乙車到達(dá)A 城需6 小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？2.東、西鎮(zhèn)相距 45 千米，甲、乙二人分別從兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相向而行，甲比乙每小時(shí)多行1千米， 5 小時(shí)后兩人相遇，問兩人的速度各是多少？學(xué)習(xí)

13、必備歡迎下載3. 甲、乙二人以均勻的速度分別從A、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A 地 4 千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B 地 3 千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.4. 甲、乙二人從相距100 千米的 A、B 兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā)1 小時(shí) . 他們二人在乙出后的4 小時(shí)相遇，又已知甲比乙每小時(shí)快2 千米，求甲、乙二人的速度.5. 一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長(zhǎng)是280 米，慢車的車長(zhǎng)為385 米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時(shí)間是11 秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時(shí)間是多少？6. 前進(jìn)鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90

14、 千米的礦山運(yùn)礦石，現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時(shí)出發(fā)相向而行， 速度分別為每小時(shí) 40 千米和 50 千米，到達(dá)目的地后立即返回， 如此反復(fù)運(yùn)行多次， 如果不計(jì)裝卸時(shí)間，且兩車不作任何停留，則兩車在第三次相遇時(shí)，距礦山多少千米？習(xí)題六解答1. 解： 240 ÷（ 240÷4240÷6） 2.4 （小時(shí)） .2. 解：甲、乙的速度和 45÷5 9（千米 / 小時(shí)） .甲的速度：（91）÷ 25（千米 / 小時(shí)） .乙的速度： 9 54（千米 / 小時(shí)） .3. 解： A、B 兩地間的距離：4 × 339（千米） .兩次相遇點(diǎn)的距離：9 43 2（千米） .4. 解：乙的速度為： 1002×（ 41）÷（ 4× 21） 10（千米 / 小時(shí)） .甲的速度為：10212（千米 / 小時(shí)） .提示：甲比乙每小時(shí)快2 千米，則（ 4 1）小時(shí)快 2×（ 4 1） 10（千米），因此，相當(dāng)于乙走100 10 90 千米的