圓錐曲線(橢圓-雙曲線-拋物線)的定義、方程和性質(zhì)知識(shí)總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)橢圓的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程1. 橢圓的定義：第一定義： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、 F2 的距離之和等于常數(shù)（大于F1 F2 ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。第二定義：動(dòng)點(diǎn) M 到定點(diǎn) F 的距離和它到定直線l 的距離之比等于常數(shù) e(0e 1) ，則動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn) F 是橢圓的焦點(diǎn)，定直線 l 叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e 叫做橢圓的離心率。說(shuō)明： 若常數(shù) 2a 等于 2c ，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段F1F2 。若常數(shù) 2a 小于 2c ，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)：x 2y21(ab 0) 中y 2x2

2、1(ab 0)標(biāo)準(zhǔn)方程a2b2a2b2x 軸上y 軸上心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在圖形范圍x a，y bx b，y aA1， 、A2，、A2，頂點(diǎn)a 0a 0A1 0 a0 a，、B2，B1， 、B2，B1 0 b0 bb 0b 0x 軸、 y 軸；x 軸、 y 軸；對(duì)稱軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng) 2b ；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng) 2b ；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上焦點(diǎn)F1c，0 、F2c，0F1 0， c 、F20，c焦距F1 F22 (0)F1 F22c(c0)c c離心率ec (0 e1)ec (0 e1)aa準(zhǔn)線xa2ya2cc參數(shù)方程x2y21的參數(shù)方程為y 2x21的參數(shù)方程為a2b2a2

3、b2與普通方xa cosya cos程為參數(shù)為參數(shù)yb sinxb sin學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)3. 焦半徑公式：橢圓上的任一點(diǎn)和焦點(diǎn)連結(jié)的線段長(zhǎng)稱為焦半徑。焦半徑公式：橢圓焦點(diǎn)在x 軸上時(shí)，設(shè) F1、 F2 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P x ，y0是0橢圓上任一點(diǎn)，則PF1 aex0 ， PF2aex0 。推導(dǎo)過(guò)程： 由第二定義得PF1e（ d1 為點(diǎn) P 到左準(zhǔn)線的距離） ，d1則 PF1 ed1a2aex0 ；同理得 PF2 a ex0 。e x0ex0 ac簡(jiǎn)記為：左“”右“”。由此可見(jiàn)，過(guò)焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)是一個(gè)僅與它的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)。x2y21 ； 若 焦 點(diǎn) 在 y 軸 上 ， 則

4、為y2x21。有時(shí)為了運(yùn)算方便，設(shè)a2b2a2b2mx 2ny 21(m 0, m n) 。雙曲線的定義、方程和性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)：1 定義（ 1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、 F2 的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)2a（小于 |F1 F2 |）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。說(shuō)明： |PF1|-|PF2|=2a（2a<|F1F2|）是雙曲線；若 2a=|F1F2|，軌跡是以F1、 F2 為端點(diǎn)的射線；2a>|F1F2|時(shí)無(wú)軌跡。設(shè) M是雙曲線上任意一點(diǎn)，若 M點(diǎn)在雙曲線右邊一支上，則|MF1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2 |=2a；若 M 在雙曲線的左支上，則 |MF 1|<|

5、MF 2 |，|MF 1|-|MF 2|=-2a，故 |MF 1|-|MF 2 |= ±2a，這是與橢圓不同的地方。（ 2）第二定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F 的距離與到定直線L 的距離之比是常數(shù)e（ e>1）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線L 叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)2 雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21(a 0,b 0)y2x21(a 0,b 0)a2b2a2b2圖形焦點(diǎn)F1（ -c， 0）， F2（ c， 0）F1（ 0， -c）， F2（0， c）頂點(diǎn)A 1 （ a， 0）， A2（ -a， 0）A1（ 0， a）， A 2（ 0， -a）對(duì)稱軸實(shí)軸 2a

6、，虛軸 2b，實(shí)軸在 x 軸上，實(shí)軸 2a，虛軸 2b，實(shí)軸在 y 軸上，c2=a2+b2c2=a2+b2離心率ec|MF2 |ec|MF2|a|MD |a|MD |l1a 2, l2 : xa2l1 : ya 2a 2: xc, l2 : yc準(zhǔn)線方程cc2a2準(zhǔn)線間距離為 2a 2準(zhǔn)線間距離為cc漸近線方程xy0, xy0xy0, xy0ababbaba3 幾個(gè)概念（ 1）等軸雙曲線：實(shí)、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=±x，離心率為 2 。（ 2）共軸雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：x 2y21的共軸雙曲線是x 2y 2

7、1。a 2b2a 2b2 雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；雙曲線和它的共軸雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓周上。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l 為拋物線的準(zhǔn)線。注： 定義可歸結(jié)為“一動(dòng)三定” ：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為 M ；一定點(diǎn) F （即焦點(diǎn)）；一定直線 l （即準(zhǔn)線）；一定值 1（即動(dòng)點(diǎn) M 到定點(diǎn) F 的距離與它到定直線 l 的距離之比 1）學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn) 定義中的隱含條件：焦點(diǎn)F 不在準(zhǔn)線 l 上。若 F 在 l 上，拋物線退化為過(guò)F 且

8、垂直于l 的一條直線 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F 和定直線 l 的距離之比為常數(shù)e 的點(diǎn)的軌跡，當(dāng) 0 e 1時(shí)，表示橢圓；當(dāng) e 1 時(shí)，表示雙曲線；當(dāng) e 1 時(shí)，表示拋物線。 拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離 （稱焦半徑） 與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互化， 與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)， 通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點(diǎn)：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系， 這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱性， 而且曲線過(guò)原點(diǎn)， 方程不含常數(shù)項(xiàng)， 形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用。2四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與

9、區(qū)別：由于選取坐標(biāo)系時(shí)，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為：y22 px p0 ，x 22 py p0 ，其中： 參數(shù) p 的幾何意義：焦參數(shù) p 是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以 p 恒為正值； p 值越大，張口越大； p 等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離。2標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：方程的左邊是某變量的平方項(xiàng)，右邊是另一變量的一次項(xiàng)，方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向，即對(duì)稱軸為 x 軸時(shí)，方程中的一次項(xiàng)變量就是x ， 若 x 的一次項(xiàng)前符號(hào)為正，則開(kāi)口向右， 若 x 的一次項(xiàng)前符號(hào)為負(fù)，則開(kāi)口向左；若對(duì)稱軸

10、為y 軸時(shí)，方程中的一次項(xiàng)變量就是y ， 當(dāng) y 的一次項(xiàng)前符號(hào)為正，則開(kāi)口向上，若y 的一次項(xiàng)前符號(hào)為負(fù)，則開(kāi)口向下。三、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程時(shí)， 要依據(jù)題設(shè)條件， 弄清拋物線的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向， 正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 . 待定系數(shù)法：因拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個(gè)條件就能解出待定系數(shù) p ，因此要做到“先定位，再定值” 。注：當(dāng)求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線時(shí)，若不知開(kāi)口方向，可設(shè)為y 2ax 或x 2ay ，這樣可避免討論。 拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)式；若不確定是否是標(biāo)準(zhǔn)式，由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用

11、軌跡法求之。四、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)方程設(shè)拋物線 y22 px p0焦點(diǎn)范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線通徑性質(zhì)px 0關(guān)于 x原點(diǎn)e 1xp2 pF,022軸對(duì)稱注： 焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的1 ；4 對(duì)于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關(guān)特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從整體上認(rèn)識(shí)拋物線及其性質(zhì)。學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)五、直線與拋物線有關(guān)問(wèn)題1直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷：直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去x 或 y 化得形如 ax 2bxc0 （ * ）的式子： 當(dāng) a0時(shí)，（ * ）式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線

12、不是相切，而是與拋物線對(duì)稱軸平行或重合； 當(dāng) a0 時(shí)，若 0（ * ）式方程有兩組不同的實(shí)數(shù)解直線與拋物線相交；若 =0（ * ）式方程有兩組相同的實(shí)數(shù)解直線與拋物線相切；若 0（ * ）式方程無(wú)實(shí)數(shù)解直線與拋物線相離 .2直線與拋物線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題A x1 , y1, B x2 , y2，則AB1kAB2 弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線交拋物線于xA xB或 AB11yAyB .k 2 若直線與拋物線相交所得弦為焦點(diǎn)弦時(shí),借助于焦半徑公式處理：拋物線y 22 px p 0上一點(diǎn) M x0 , y0的焦半徑長(zhǎng)是MFx0p ，拋物線p2x 22 py p0上一點(diǎn)Mx0 , y0的焦半徑長(zhǎng)是MFy02六、拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè) AB 為過(guò)拋物線y22 px p0 焦點(diǎn)的弦， 設(shè) A x1 , y1, B x2 , y2，直線 AB 的傾斜角為，則 x1 x2p 2, y1 y2p 2 ；4AB2px1 x2p ；sin 2以 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；p 2弦兩端點(diǎn)與頂點(diǎn)所成三角形的面積S AOB；2 sin112FAFB；p 焦點(diǎn)F 對(duì) A 、