高中數(shù)學(xué)人教A版必修四教學(xué)案：2.4 平面向量的基數(shù)量積 含答案

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料第 1 課時(shí)平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義核心必知1預(yù)習(xí)教材,問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材 p103p105的內(nèi)容,回答下列問題觀察教材 p103圖 2.41 和圖 2.42,思考：(1)如何計(jì)算力 f 所做的功？提示：w|f|s|cos_.(2)力 f 在位移方向上的分力是多少？提示：|f|cos_.(3)力做功的大小與哪些量有關(guān)？提示：與力 f 的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān)2歸納總結(jié),核心必記(1)向量的數(shù)量積的定義已知條件向量 a,b 是非零向量,它們的夾角為定義數(shù)量|a|b|cos_叫做 a 與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積)記法ab|a|b|cos

2、_規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0(2)向量的數(shù)量積的幾何意義投影的概念：()向量 b 在 a 的方向上的投影為|b|cos_()向量 a 在 b 的方向上的投影為|a|cos_數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 ab 等于 a 的長(zhǎng)度|a|與 b 在 a 的方向上的投影|b|cos_的乘積(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè) a 與 b 都是非零向量,為 a 與 b 的夾角abab0當(dāng) a 與 b 同向時(shí),ab|a|b|,當(dāng) a 與 b 反向時(shí),ab|a|b|aa|a|2或|a| aa a2.cosab|a|b|.|ab|a|b|.(4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律abba(交換律)(a)b(ab)a(b)(結(jié)合律)(a

3、b)cacbc(分配律)問題思考(1)向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量的區(qū)別是什么？提示： 平面向量的數(shù)量積是關(guān)于兩個(gè)向量間的運(yùn)算,其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù),這個(gè)實(shí)數(shù)的符號(hào)由兩向量夾角的余弦值來確定向量的數(shù)乘是實(shí)數(shù)與向量間的運(yùn)算,其結(jié)果是一個(gè)向量,這個(gè)向量與原向量是共線向量(2)數(shù)量積 ab 與實(shí)數(shù)乘法 ab 的區(qū)別是什么？提示： 在實(shí)數(shù)中,若 a0,且 ab0,則 b0,但在數(shù)量積中,若 a0 且 ab0,不一定能推出 b0,這是因?yàn)閨b|cos_有可能為 0,即 ab.在實(shí)數(shù)中|ab|a|b|,但在向量中|ab|a|b|(3)ab 與 ab0 等價(jià)嗎？提示：當(dāng) a 與 b 為非零向量時(shí),兩者等價(jià)；當(dāng)其中

4、一個(gè)為零向量時(shí),兩者不等價(jià)(4)ab0,則a,b是鈍角嗎？提示：ab|a|b|cosa,b0,cosa,b0,a,b是鈍角或 180.(5)ab 中的“”能省略不寫嗎？提示：不能省略,也不能換成其它符號(hào),a 與 b 的數(shù)量積又稱 a 與 b 的點(diǎn)乘(6)對(duì)于向量 a,b,c,等式(ab)ca(bc)一定成立嗎？提示：不一定成立,若(ab)c0,其方向與 c 相同或相反,而 a(bc)0 時(shí)其方向與 a相同或相反,而 a 與 c 方向不一定相同,故該等式不一定成立課前反思(1)向量數(shù)量積的定義：；(2)向量數(shù)量積的幾何意義：；(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)：；(4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律：.思考 1要求 a

5、b,需要知道哪些量？名師指津：要求 ab,需要知道|a|、|b|、cos_思考 2你認(rèn)為,求平面向量數(shù)量積的步驟是什么？名師指津：求平面向量數(shù)量積的步驟為：(1)求 a 與 b 的夾角 ,0,；(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求 ab 的值講一講1(1)已知向量 a 與 b 的夾角為 120,且|a|4,|b|2,求：ab；(ab)(a2b)(2)設(shè)正三角形 abc 的邊長(zhǎng)為 2,求 abbcca.嘗試解答(1)由已知得 ab|a|b|cos42cos 1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c| 2,且 a 與 b、b 與 c、c 與 a 的夾角均

6、為 120,abbcca 2 2cos 12033.向量數(shù)量積的求法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積,首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角,其中準(zhǔn)確求出兩個(gè)向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算練一練1已知正方形 abcd 的邊長(zhǎng)為 2,分別求：思考如何求向量的模|a|?提示：|a| aa講一講2(1)已知向量 a,b 滿足 ab0,|a|1,|b|1,則|a3b|_(2)已知向量 a 與 b 夾角為 45,且|a|1,|2ab| 10,則|b|_嘗試解答(1)因?yàn)?ab0,|a|1,|b|1,所以|a3b| （a3b）2 a26ab9b2

7、 12912 10.(2)因?yàn)閨2ab| 10,所以(2ab)210,所以 4a24abb210,又因?yàn)橄蛄?a 與 b 的夾角為 45且|a|1,所以 41241|b|22|b|210,整理得|b|22 2|b|60,解得|b| 2或|b|3 2(舍去)答案：(1) 10(2) 2向量模的常見求法在求向量的模時(shí),直接運(yùn)用公式|a| aa,但計(jì)算兩向量的和與差的長(zhǎng)度用|ab|（ab）2 a22abb2.練一練2(1)已知非零向量 a2b2c,|b|c|1,若 a 與 b 的夾角為3,則|a|_；(2)已知向量 a、b 滿足|a|2,|b|3,|ab|4,則|ab|_解析：(1)由于 c12ab

8、,所以 c214|a|2|b|2212|a|b|12,整理得|a|22|a|0,所以|a|2 或|a|0(舍去)(2)由已知,|ab|4,|ab|242,a22abb216.(*)|a|2,|b|3,a2|a|24,b2|b|29,代入(*)式得 42ab916,即 2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910,|ab| 10答案：(1)2(2) 10思考 1如何求 a 與 b 的夾角？名師指津：利用 cos_ab|a|b|求出 cos_的值,然后借助0,求.思考 2兩非零向量 a 與 b 垂直的充要條件是什么？名師指津：兩非零向量 a 與 b 垂直的充要條件是 ab0.講一講3

9、(1)已知向量 a,b 滿足(a2b)(ab)6,且|a|1,|b|2,則 a 與 b 的夾角為_(2)已知非零向量 a,b 滿足 a3b 與 7a5b 互相垂直,a4b 與 7a2b 互相垂直,求 a 與b 的夾角嘗試解答(1)設(shè) a 與 b 的夾角為,依題意有：(a2b)(ab)a2ab2b272cos6,所以 cos12,因?yàn)?0,故3.(2)由已知條件得（a3b）（7a5b）0，（a4b）（7a2b）0，即7a216ab15b20，7a230ab8b20，得 23b246ab0,2abb2,代入得 a2b2,|a|b|,cosab|a|b|12b2|b|212.0,3.答案：(1)3求

10、向量 a,b 的夾角的思路(1)求向量的夾角的關(guān)鍵是計(jì)算ab及|a|b|,在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cosab|a|b|,最后借助0,求出值(2)在個(gè)別含有|a|,|b|與 ab 的等量關(guān)系式中,常利用消元思想計(jì)算 cos的值練一練3已知|a|3,|b|2,向量 a,b 的夾角為 60,c3a5b,dma3b,求當(dāng) m 為何值時(shí),c與 d 垂直？解：由已知得 ab32cos 603.由 cd,得 cd0,即 cd(3a5b)(ma3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870,m2914,即 m2914時(shí),c 與 d 垂直課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是向量數(shù)

11、量積的定義、幾何意義以及向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律,難點(diǎn)是向量數(shù)量積的幾何意義2要掌握與數(shù)量積相關(guān)的三個(gè)問題(1)數(shù)量積的計(jì)算,見講 1；(2)向量的模的計(jì)算,見講 2；(3)向量的夾角及垂直問題,見講 3.3要注意區(qū)分向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別(1)在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若 ab0,則 a 與 b 中至少有一個(gè)為 0.而在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,不能從 ab0 推出 a0 或 b0.實(shí)際上由 ab0 可推出以下四種結(jié)論：a0,b0；a0,b0；a0,b0；a0,b0,但 ab.(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若 a,br,則|ab|a|b|,但對(duì)于向量 a,b,卻有|ab|a|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)等號(hào)成立這是因?yàn)閨

12、ab|a|b|cos|,而|cos|1.(3)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律：若 bcca,c0,則有 ba.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若 abac(a0),則向量 c,b 在向量 a 方向上的投影相同,因此由 abac(a0)不能得到 bc.(4)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律,但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c 不一定等于 a(bc),這是由于(ab)c 表示一個(gè)與 c 共線的向量,而 a(bc)表示一個(gè)與 a 共線的向量,而 c 與 a 不一定共線課下能力提升(十九)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組 1向量數(shù)量積的運(yùn)算1下列命題：(1)若 a0,abac,則 bc；(2)(ab)ca(bc)對(duì)任意向量 a,b,

13、c 都成立；(3)對(duì)任一向量 a,有 a2|a|2.其中正確的有()a0 個(gè)b1 個(gè)c2 個(gè)d3 個(gè)解析：選 b(1)(2)不正確,(3)正確2已知|b|3,a 在 b 方向上的投影是32,則 ab 為()a.92b3c2d.12解析：選 a|a|cosa,b32,|b|3,ab|a|b|cosa,b33292.a.49b.43c43d49題組 2向量的模5若非零向量 a 與 b 的夾角為23,|b|4,(a2b)(ab)32,則向量 a 的模為()a2b4c6d12解析：選 a由已知得,a2ab2b232,|a|2|a|4cos2324232.解得|a|2 或|a|0(舍)6已知向量 a,b

14、 的夾角為 120,|a|1,|b|3,則|5ab|_解析：|5ab| |5ab|2 （5ab）2 25a2b210ab259101312 7.答案：77已知非零向量 a,b,滿足 ab,且 a2b 與 a2b 的夾角為 120,則|a|b|_解析：(a2b)(a2b)a24b2,ab,|a2b| a24b2,|a2b| a24b2.故 cos 120（a2b）（a2b）|a2b|a2b|a24b2（ a24b2）2a24b2a24b212,得a2b243,即|a|b|2 33.答案：2 33題組 3兩向量的夾角與垂直問題8若非零向量 a,b 滿足|a|b|,(2ab)b0,則 a 與 b 的

15、夾角為()a30b60c120d150解析： 選 c因?yàn)?2ab)b2abbb0,所以 ab12|b|2.設(shè) a 與 b 的夾角為,則 cosab|a|b|12|b|2|b|212,故120.9已知|a|b|1,a 與 b 的夾角是 90,c2a3b,dka4b,c 與 d 垂直,則 k 的值為()a6b6c3d3解析： 選 b由 cd 得 cd0,即(2a3b)(ka4b)0,即 2k|a|2(3k8)ab12|b|20,所以 2k(3k8)11cos 90120,即 k6.故選 b.10設(shè)向量 a,b 滿足|a|1,|b|1,且|kab| 3|akb|(k0)若 a 與 b 的夾角為60,

16、則 k_解析：|kab| 3|akb|,k2a2b22kab3(a2k2b22kab)k21k3(1k2k)即 k22k10,k1.答案：111已知|a|1,ab14,(ab)(ab)12.(1)求|b|的值；(2)求向量 ab 與 ab 夾角的余弦值解：(1)(ab)(ab)a2b212.|a|1,1|b|212,|b|22.(2)|ab|2a22abb21214122,|ab|2a22abb21214121,|ab| 2,|ab|1.令 ab 與 ab 的夾角為,則 cos（ab）（ab）|ab|ab|122124,即向量 ab 與 ab 夾角的余弦值是24.能力提升綜合練1已知|a|3,

17、|b|5,且 a 與 b 的夾角45,則向量 a 在向量 b 上的投影為()a.3 22b3c4d5解析： 選 a由已知|a|3,|b|5,coscos 4522,而向量 a 在向量 b 上的投影為|a|cos3223 22.2設(shè)向量 a,b 滿足|ab| 10,|ab| 6,則 ab()a1b2c3d5解析：選 a|ab| 10,(ab)210,即 a2b22ab10.|ab| 6,(ab)26,即 a2b22ab6.由可得 ab1,故選 a.a2 3b.32c.33d. 3解析：畫出圖形知abc 為直角三角形,且abc90,04545 5335 25.答案：255已知平面向量,|1,|2,

18、(2),則|2|的值是_解析：|1,|2,由(2),知(2)0,21,所以|2|2424242410,故|2| 10.答案： 106已知 a,b 是兩個(gè)非零向量,同時(shí)滿足|a|b|ab|,求 a 與 ab 的夾角解：根據(jù)|a|b|,有|a|2|b|2,又由|b|ab|,得|b|2|a|22ab|b|2,ab12|a|2.而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2,|ab| 3|a|.設(shè) a 與 ab 的夾角為.則 cosa（ab）|a|ab|a|212|a|2|a| 3|a|32.30.7已知 a,b 是非零向量,t 為實(shí)數(shù),設(shè) uatb.(1)當(dāng)|u|取最小值時(shí),求實(shí)數(shù) t 的值；(2)當(dāng)

19、|u|取最小值時(shí),向量 b 與 u 是否垂直？解：(1)|u|2|atb|2(atb)(atb)|b|2t22(ab)t|a|2|b|2tab|b|22|a|2（ab）2|b|2.b 是非零向量,|b|0,當(dāng) tab|b|2時(shí),|u|atb|的值最小(2)b(atb)abt|b|2abab|b|2|b|2abab0,b(atb),即 bu.第 2 課時(shí)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角核心必知1預(yù)習(xí)教材,問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材 p106p107的內(nèi)容,回答下列問題已知兩個(gè)向量 a(x1,y1),b(x2,y2)(1)若 i,j 是兩個(gè)互相垂直且分別與 x 軸、y 軸的正半軸同向的單位向

20、量,則 a,b 如何用 i,j表示？提示：ax1iy1j,bx2iy2j.(2)|a|,|b|分別用坐標(biāo)怎樣表示？提示：|a| （x1iy1j）2 x21y21；|b| （x2iy2j）2 x22y22.(3)能用 a,b 的坐標(biāo)表示 ab 嗎？提示：ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.2歸納總結(jié),核心必記(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若 a(x1,y1),b(x2,y2),則 abx1x2y1y2,即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和(2)兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)兩個(gè)非零向量 a(x1,y1),b(x2,y2),則 a

21、bx1x2y1y20(3)三個(gè)重要公式向量模的公式：設(shè) a(x1,y1),則|a| x21y21.兩點(diǎn)間的距離公式：若 a(x1,y1),b(x2,y2),則|ab| （x2x1）2（y2y1）2向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量 a(x1,y1),b(x2,y2),a 與 b 的夾角為,則 cosx1x2y1y2x21y21x22y22.問題思考(1)已知向量a(x,y),你知道與a共線的單位向量的坐標(biāo)是什么嗎？與a垂直的單位向量的坐標(biāo)又是什么？提示：設(shè)與 a 共線的單位向量為 a0,則 a01|a|ax|a|，y|a| xx2y2，yx2y2,其中正號(hào),負(fù)號(hào)分別表示與 a 同向和反向易知 b(y

22、,x)和 a(x,y)垂直,與 a 垂直的單位向量 b0的坐標(biāo)為yx2y2，xx2y2,其中正,負(fù)號(hào)表示不同的方向(2)你能用向量法推導(dǎo)兩點(diǎn)間距離公式|ab| （x2x1）2（y2y1）2嗎？課前反思(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：；(2)兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示：；(3)向量模的公式：；(4)向量的夾角公式：講一講1(1)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,已知(1,t),(2,2),若abo90,則實(shí)數(shù) t的值為_(2)已知向量 a(1,3),b(2,5),c(2,1),求：2a(ba)；(a2b)c.(2)法一：2a2(1,3)(2,6),ba(2,5)(1,3)(1,2),2a(ba)(2,6

23、)(1,2)216214.a2b(1,3)2(2,5)(1,3)(4,10)(5,13),(a2b)c(5,13)(2,1)5213123.法二：2a(ba)2ab2a22(1235)2(19)14.(a2b)cac2bc12312(2251)23.答案：(1)5數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算,前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示,直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開,再依據(jù)已知計(jì)算(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目,只需把握?qǐng)D形的特征,并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解練一練1已知向量 a 與 b 同向,b(

24、1,2),ab10.(1)求向量 a 的坐標(biāo)；(2)若 c(2,1),求(bc)a.解：(1)因?yàn)?a 與 b 同向,又 b(1,2),所以 ab(,2)又 ab10,所以 12210,解得20.因?yàn)? 符合 a 與 b 同向的條件,所以 a(2,4)(2)因?yàn)?bc122(1)0,所以(bc)a0a0.思考向量的模與兩點(diǎn)間的距離有什么關(guān)系？名師指津：向量的模即為向量的長(zhǎng)度,其大小應(yīng)為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離,如 a(x,y),則在平面直角坐標(biāo)系中,一定存在點(diǎn) a(x,y),使得a(x,y),|a|x2y2,即|a|為點(diǎn) a 到原點(diǎn)的距離同樣若 a(x1,y1),b(x2,y2),則(x2

25、x1,y2y1),| （x2x1）2（y2y1）2,即平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)間的距離公式由此可知向量的模的運(yùn)算實(shí)質(zhì)即為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離的運(yùn)算講一講2(1)若向量 a(2x1,3x),b(1x,2x1),則|ab|的最小值為_(2)若向量 a 的始點(diǎn)為 a(2,4),終點(diǎn)為 b(2,1),求：向量 a 的模；與 a 平行的單位向量的坐標(biāo)；與 a 垂直的單位向量的坐標(biāo)嘗試解答(1)a(2x1,3x),b(1x,2x1),ab(2x1,3x)(1x,2x1)(3x2,43x),|ab| （3x2）2（43x）2 18x236x20 18（x1）22.當(dāng) x1 時(shí),|ab|取最小值為 2

26、.(2)aab (2,1)(2,4)(4,3),|a| 42（3）25.與 a 平行的單位向量是a|a|15(4,3),即坐標(biāo)為45，35 或45，35 .設(shè)與 a 垂直的單位向量為 e(m,n),則 ae4m3n0,mn34.又|e|1,m2n21.解得m35，n45，或m35，n45，e35，45 或35，45 .答案：(1) 2求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算：利用|a|2a2,將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算：若 a(x,y),則 aaa2|a|2x2y2,于是有|a| x2y2.練一練2已知向量 a( 3,1)和 b(1, 3),若 a

27、cbc,試求模為 2的向量 c 的坐標(biāo)解：法一：設(shè) c(x,y),則 ac( 3,1)(x,y) 3xy,bc(1, 3)(x,y)x 3y,由 acbc 及|c| 2,得3xyx 3y，x2y22，解得x312，y312，或x312，y312，所以 c312，312或 c312，312.法二：由于 ab 31(1) 30,且|a|b|2,從而以 a,b 為鄰邊的平行四邊形是正方形,且由于 acbc,所以 c 與 a,b 的夾角相等,從而 c 與正方形的對(duì)角線共線此外,由于|c| 2,即其長(zhǎng)度為正方形對(duì)角線長(zhǎng)度( 2|b|2 2)的一半,故 c12(ab)312，312或 c12(ab)312

28、，312.思考當(dāng) a 與 b 是非坐標(biāo)形式時(shí),如何求 a 與 b 的夾角？如果 a 與 b 是坐標(biāo)形式時(shí),又如何求 a 與 b 的夾角？名師指津： (1)當(dāng) a,b 是非坐標(biāo)形式時(shí),求 a 與 b 的夾角,需求出 ab,|a|和|b|或直接得出它們之間的關(guān)系(2)若 a,b 是坐標(biāo)形式,則可直接利用公式 cosx1x2y1y2x21y21 x22y22求解講一講3已知平面向量 a(3,4),b(9,x),c(4,y),且 ab,ac.(1)求 b 與 c；(2)若 m2ab,nac,求向量 m,n 的夾角的大小嘗試解答(1)ab,3x49,x12.ac,344y0,y3,b(9,12),c(4

29、,3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3,4),nac(3,4)(4,3)(7,1)設(shè) m、n 的夾角為,則 cosmn|m|n|37（4）1（3）2（4）272122525 222.0,34,即 m、n 的夾角為34.解決向量夾角問題的方法及注意事項(xiàng)(1)先利用平面向量的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積 ab 以及|a|b|,再由 cosab|a|b|求出cos,也可由坐標(biāo)表示cosx1x2y1y2x21y21x22y22直接求出cos.由三角函數(shù)值cos求角時(shí),應(yīng)注意角的取值范圍是 0.(2)由于 0,所以利用 cosab|a|b|來判斷角時(shí),要注意 cos0 也有兩種情況：一是為銳角

30、,二是0.練一練3已知 a(1,2),b(1,),求滿足下列條件的實(shí)數(shù)的取值范圍(1)a 與 b 的夾角為 90.(2)a 與 b 的夾角為銳角解：(1)設(shè) a 與 b 的夾角為.|a| 1222 5,|b| 12,ab(1,2)(1,)12.因?yàn)?ab,所以 ab0,所以 120,所以12.(2)因?yàn)?a 與 b 的夾角為銳角,所以 cos0,且 cos1,所以 ab0 且 a 與 b 不同向因此 120,所以12.又 a 與 b 共線且同向時(shí),2.所以 a 與 b 的夾角為銳角時(shí),的取值范圍為12，2(2,)課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是向量的坐標(biāo)表示以及用向量的坐標(biāo)解決模、夾角、垂直等

31、問題2要掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用(1)求平面向量的數(shù)量積,見講 1；(2)解決向量模的問題,見講 2；(3)解決向量的夾角與垂直問題,見講 3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)解決兩向量的夾角問題時(shí),易忽視夾角為 0 或的特殊情況,如練 3.課下能力提升(二十)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組 1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算1已知向量 a(1,1),b(2,x)若 ab1,則 x()a1b12c.12d1解析：選 dab(1,1)(2,x)2x1x1.2已知向量 a(0,2 3),b(1, 3),則向量 a 在 b 方向上的投影為()a. 3b3c 3d3解析：選 d向量 a 在 b 方向上的投影為ab|b|623.

32、選 d.3已知向量 a( 3,1),b 是不平行于 x 軸的單位向量,且 ab 3,則 b()a.32，12b.12，32c.14，3 34d(1,0)解析：選 b法一：設(shè) b(x,y),其中 y0,則 ab 3xy 3.由x2y21，3xy 3y0，,解得x12，y32，即 b12，32 .故選 b.法二：利用排除法d 中,y0,d 不符合題意；c 中,向量14，3 34不是單位向量,c 不符合題意；a 中,向量32，12 使得 ab2,a 不符合題意故選 b.題組 2向量模的問題4已知平面向量 a(2,4),b(1,2),若 ca(ab)b,則|c|等于()a4 2b2 5c8d8 2解析

33、：選 d易得 ab2(1)426,所以 c(2,4)6(1,2)(8,8),所以|c| 82（8）28 2.5設(shè)平面向量 a(1,2),b(2,y),若 ab,則|3ab|等于_解析：ab,則 2(2)1y0,解得 y4,從而 3ab(1,2),|3ab| 5.答案： 56 已知在直角梯形 abcd 中,adbc,adc90,ad2,bc1,p 是腰 dc 上的動(dòng)點(diǎn),則|的最小值為_解析： 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè) dch,則 a(2,0),b(1,h) 設(shè) p(0,y)(0yh),則(2,y),(1,hy),| 25（3h4y）2 255.故|的最小值為 5.答案：5題組 3向量的夾

34、角與垂直問題7設(shè)向量 a(1,0),b12，12 ,則下列結(jié)論中正確的是()a|a|b|bab22cab 與 b 垂直dab解析： 選 c由題意知|a| 12021,|b|12212222,ab11201212,(ab)bab|b|212120,故 ab 與 b 垂直8已知向量 a(1,2),b(2,3),若向量 c 滿足(ca)b,c(ab),則 c 等于()a.79，73b.73，79c.73，79d.79，73解析：選 d設(shè) c(m,n),則 ac(1m,2n),ab(3,1),由(ca)b,得3(1m)2(2n),又 c(ab),得 3mn0,故 m79,n73.9 以原點(diǎn) o 和點(diǎn) a(5,2)為頂點(diǎn)作等腰直角三角形 oab,使b90,求點(diǎn) b 和向量的坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn) b 坐標(biāo)為(x,y),則(x,y),(x5,y2),