翻轉(zhuǎn)課堂討論題 (6組題)

1、第一組 討論題1.兩型線積分及兩型面積分的定義域計(jì)算有何異同點(diǎn)？兩者之間有有怎樣的聯(lián)系？解答內(nèi)容：第一型曲面積分也稱為對面積的曲面積分，其中稱為曲面面積元素，這種曲面積分對積分曲面沒有有向性的要求.第二型曲面積分也稱為對坐標(biāo)的曲面積分.設(shè)為一有向曲面,為一向量值函數(shù)，正側(cè)上的單位法向量，則由在上的第二型曲面積分的表達(dá)式 , (1)或 (2)就給出了兩類曲面積分的聯(lián)系.(1)式及(2)式的右端都是以第一型曲面積分的形式出現(xiàn)的，那么，積分曲面的有向性體現(xiàn)在哪里呢？我們說，的有向性體現(xiàn)在上，因?yàn)檫@里的是指有向曲面正側(cè)的單位法向量，是正側(cè)法向量的方向角.在(2)式中，記，它們分別是小塊有向曲面在、面的

2、投影，由此可將第二型曲面積分寫成一種常見形式. (3)有時(shí)候，利用上述兩類面積分的聯(lián)系，將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分來計(jì)算也是方便的.例如：例 計(jì)算，其中是錐面的下側(cè)在，的部分.解 本例雖然利用第二型曲面積分的計(jì)算法可計(jì)算，但化為第一型曲面積分來計(jì)算則較簡便.由于的法向量為,單位法向量為 , (4)這里究竟應(yīng)取“+”號還是取“”號呢？由于的正側(cè)是下側(cè)，從而有，因此，(4)式前面的符號應(yīng)取正號，于是得正側(cè)的單位法向量是.于是由(2)式得這就將化成了第一型曲面積分.現(xiàn)在利用第一型曲面積分來計(jì)算：將向面投影，投影域?yàn)榫匦斡颍海?曲面面積元素為.于是得.2. 設(shè)為柱面介于與之間的部分，在計(jì)算曲

3、面積分時(shí)，有人說：由于在面的投影域的面積為零，故.這個(gè)說法對嗎？正確的解法是什么？解答內(nèi)容：不對. 在面的投影是一條曲線：所以不能將化為面上投影域上的二重積分，正確的解法是應(yīng)將積分化為(或)面投影域上的二重積分. 在面上的投影域是：，在曲面：,及：上均有,于是有 .第二組 討論題3. 怎樣理解第二型曲面積分中的？怎樣計(jì)算積分？通過具體例加以子說明.解答內(nèi)容：按對坐標(biāo)的第二型曲面積分的定義，有 (1)其中是曲面正側(cè)單位法向量的第3個(gè)分量(其中，是正側(cè)法向量的3個(gè)方向角)，是曲面面積元素.設(shè)曲面的方程是，則曲面面積元素為 , (2)的法向量為,從而知的單位法向量為 , (3)于是得 , (4)由于

4、當(dāng)?shù)恼齻?cè)為上(下)側(cè)時(shí)，角為銳(鈍)角，有,所以，(3)式右端括號前符號的取法是：當(dāng)?shù)恼齻?cè)為上(下)側(cè)時(shí)，取負(fù)(正)號.將(2)、(4)式代入(1)式，便得 (5)注意是小塊曲面在面上投影區(qū)域的面積，而從(5)式的前二式知的絕對值就等于這個(gè)面積，因此我們稱為小塊有向曲面在面上的投影，其含意應(yīng)按(5)式來理解.弄清楚了的含意，也就不難理解第二型曲面積分的計(jì)算法了.這個(gè)計(jì)算法是將化為在面上投影域上的二重積分，即 以上討論實(shí)際上是在上不變號的條件下討論的.如果在上是變號的，則在計(jì)算積分時(shí)，應(yīng)將分片，使在每一片上不變號，然后分片求積分.4. 設(shè)是圓柱面的外側(cè)在的部分，是在的部分，有人利用對稱性得到下列

5、結(jié)果：(1) ； (2) ；(3) .其中是在的部分.試判斷上述運(yùn)算是否正確？解答內(nèi)容：都不正確.事實(shí)上，記在的部分和在的部分分別為和，則在上有，且為銳角，從而有；在上有，且為鈍角，從而有.顯然，和在面的投影域?yàn)橥粎^(qū)域：，.于是由第二型曲面積分的計(jì)算法可得(1).(2) =. (3).所以，問題中給出的三個(gè)結(jié)果都是錯(cuò)誤的.產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因主要在于沒有理解第二型面積分中的是什么.我們知道，并非二重積分中的面積元素，而是小塊有向曲面在面的投影，即.故當(dāng)時(shí)，等于在面上投影域的面積，即；當(dāng)時(shí)，等于在面上投影域的面積的負(fù)值，即.所以，在關(guān)于坐標(biāo)的第二型面積分中，雖然積分曲面關(guān)于面對稱，被積函數(shù)關(guān)于具有奇

6、偶性，我們也不能將重積分中利用對稱性簡化計(jì)算的有關(guān)結(jié)果照搬到這里來，否則就可能導(dǎo)致錯(cuò)誤.5. 舉例說明在第二型曲線、曲面積分中怎樣利用“字母輪換性”簡化計(jì)算？解答內(nèi)容：我們用下面的兩個(gè)例子來說明何謂“字母輪換性”以及怎樣利用這種性質(zhì)簡化某些計(jì)算.例1 計(jì)算曲線積分,其中為球面在第一卦限部分的邊界曲線，其方向與球面在第一卦限的外法線方向構(gòu)成右手系.解 直接計(jì)算，就要分別計(jì)算三個(gè)積分：，.如果注意到字母在積分曲線中處于對稱地位，以及三個(gè)積分中字母的關(guān)系，則可作如下字母輪換：將換成，將換成，將換成.顯然，在此變換下，積分曲線沒有改變，而表達(dá)式變成了，因此，在此變換下就將變成了.即有=，同理有，.于是

7、，可將積分簡化為. 例2 計(jì)算曲面積分,其中為由平面所圍四面體的表面的外側(cè).解 直接計(jì)算，則要分別計(jì)算下列三個(gè)積分：，.注意中的處于對稱地位，因此作字母輪換：將換成，將換成z，將換成，則沒有改變，而表達(dá)式變成了，于是在此變換下，有=.同理有 ，.因此的計(jì)算可簡化為.在以上兩例中，我們都作了變換：，由于是字母位置的一種“輪換”，而積分變量用什么字母并不是本質(zhì)問題，因此稱這種性質(zhì)為“字母輪換性”.注意,使用這種方法簡化積分計(jì)算的條件是字母在積分曲線(曲面)中處于對稱地位.第三組 討論題6.教材P274頁（B）1.格林公式的兩種形式有什么關(guān)聯(lián)？7. 設(shè)是橢圓的正向，有人求曲線積分如下：因?yàn)?，所以由?/p>

8、林公式得，其中為所圍閉區(qū)域. 上述解法是否正確？如果錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？正確的解法是什么？此解法錯(cuò)誤.由于內(nèi)包含函數(shù)及的不連續(xù)點(diǎn)，所以，格林公式的條件不滿足，因而不能應(yīng)用格林公式.正確的解法是利用復(fù)連通域上的格林公式：在內(nèi)作一圓周：(為足夠小的正常數(shù))，其方向?yàn)轫槙r(shí)針方向.記由與所圍閉區(qū)域?yàn)?，則函數(shù)均在上連續(xù)，于是由復(fù)連通域上的格林公式可得,從而得 .其中指正向圓周，為所圍閉區(qū)域.8.設(shè)是不通過原點(diǎn)的任一簡單平面閉曲線的正向，怎樣如下計(jì)算曲線積分？解答內(nèi)容： 計(jì)算積分曲線不確定的平面第二型曲線積分，一般需要格林公式，或利用與路徑無關(guān)的曲線積分的計(jì)算法。在本題中，當(dāng)包圍原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)、及，在內(nèi)存在不連

9、續(xù)點(diǎn)，因而不能直接應(yīng)用格林公式. 所以應(yīng)當(dāng)是對是否包圍原點(diǎn)作出討論，分別求解：(1) 如果不包圍原點(diǎn)，則格林公式的條件是滿足的.且由于在所圍成的域上恒成立，于是由格林公式得. (2) 如果包圍原點(diǎn)，則在內(nèi)作一包圍原點(diǎn)的閉曲線：，其中是一正常數(shù)，的正向?yàn)轫槙r(shí)針方向，并記由與所圍成的(在之內(nèi)，在之外)閉區(qū)域?yàn)?，則函數(shù)，均在上連續(xù)，于是由復(fù)連域上的格林公式，得,由此得 ,所以， (應(yīng)用格林公式) .其是是指逆時(shí)針方向的橢圓，為所圍的平面閉區(qū)域.第四組 討論題9.積分與路徑無關(guān)的等價(jià)命題是什么？怎樣判別平面曲線積分是否與路徑無關(guān)？怎樣判定空間曲線積分是否與路徑無關(guān)？ 解答內(nèi)容：這里有兩個(gè)定理：定理1

10、設(shè)為一平面區(qū)域(可以不是單連通區(qū)域)，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則下列三個(gè)命題等價(jià)：(1) 沿內(nèi)任一分段光滑的簡單閉曲線，都有；(2) 在內(nèi)，曲線積分與積分路徑無關(guān)；(3) 被積式在內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即.定理2 設(shè)為一平面單連通區(qū)域，函數(shù)均在內(nèi)連續(xù)，則定理1中的三個(gè)條件與下述條件等價(jià)：(4) 在內(nèi)恒成立. 上面兩個(gè)定理中的條件(1)、(3)、(4)都可用于判別平面曲線積分是否與路徑無關(guān).其中，較常用的是條件(3)和(4).特別是條件(4)應(yīng)用最為方便，因而也最為常用，但必須注意應(yīng)用條件(4)的條件，它不僅要求區(qū)域?yàn)閱芜B通域，還要求函數(shù)在內(nèi)連續(xù).在利用條件(4)判別平面曲線積分是否與路徑無關(guān)時(shí)，我們

11、必(2)這里有一個(gè)定理：設(shè)為一空間一維單連域(如果對于空間區(qū)域內(nèi)的任何簡單閉曲線，都可以作出一張以為邊界而完全屬于的曲面，則稱域?yàn)榭臻g一維單連域)，函數(shù)，都在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列三個(gè)條件都是在內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件：(1) 是一無旋場，即在內(nèi)恒有；(2) 沿內(nèi)任一簡單閉曲線，均有=；(3) 存在三元函數(shù)，使在內(nèi)恒有. 由此定理知，定理中的三個(gè)條件都可用于判定空間曲線積分是否與路徑無關(guān)，但通常最方便最常用的是利用條件(1)進(jìn)行判定. 10. 設(shè)為擺線, 從到的一段，有人計(jì)算曲線積分如下：作法 1：可驗(yàn)證，故這是一個(gè)與路徑無關(guān)的線積分，于是可取積分路徑為(從變到)，因?yàn)樵谟?，故?

12、作法 2：由于，于是由原函數(shù)法得，作法3：可驗(yàn)證這是一個(gè)與路徑無關(guān)的線積分，因此取積分路徑為下半圓周：(從變到0)，得.問以上作法是否正確？如不正確，錯(cuò)在何處？正確的解法是什么？11. 計(jì)算曲線積分，其中L分別為：（1）沿逆時(shí)針方向的分段光滑閉曲線，原點(diǎn)不在曲線所圍成的區(qū)域中；（2）沿逆時(shí)針方向的分段光滑閉曲線，原點(diǎn)在曲線所圍成的區(qū)域中；（3）沿逆時(shí)針方向的過原點(diǎn)（但是不包括原點(diǎn)）的分段光滑閉曲線。第五組 討論題12.三大公式各自的條件與結(jié)論分別是什么？有何重要意義？有何共性？13. 設(shè)是不經(jīng)過原點(diǎn)的任意閉合曲面的外側(cè)，有人計(jì)算曲面積分如下：由于，于是由高斯公式得.這個(gè)解法是否正確？如果錯(cuò)誤，

13、錯(cuò)在何處？正確的解法是什么？解答內(nèi)容：這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗雎粤藨?yīng)用高斯公式的條件：函數(shù)在閉合曲面所包圍的閉區(qū)域上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).而本題中的函數(shù)，在原點(diǎn)處不連續(xù)，因此當(dāng)包圍原點(diǎn)時(shí)就不能應(yīng)用高斯公式.所以應(yīng)該對是否包圍原點(diǎn)給以討論.正確解答如下：(1) 若不包圍原點(diǎn)，則函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在所包圍的閉區(qū)域上連續(xù)，滿足高斯公式的條件，應(yīng)用高斯公式得.(2) 若是包圍原點(diǎn)的球面：，則因?yàn)樵谏嫌?，故可將被積式中的=提出來，得。對上式右端的曲面積分再應(yīng)用高斯公式，得.(3) 若是包圍原點(diǎn)的任何閉合曲面，則不能直接應(yīng)用高斯公式.我們在內(nèi)作一個(gè)包圍原點(diǎn)的閉合曲面：(為足夠小的正常數(shù))，其方向指內(nèi)側(cè)，然后在由

14、和所包圍的閉區(qū)域上應(yīng)用復(fù)連通域上的高斯公式，得，由此得 其中指閉合曲面的外側(cè)，再對上式右端的積分利用(2)的結(jié)果，便得. 從上述(3)的解法可見，若在空間中除一點(diǎn)(或一小區(qū)域)外處處有，則包圍這一點(diǎn)(或這一小區(qū)域)的任意同向閉合曲面上的曲面積分都相等.第六組 討論題14. 舉例說明對于給定的向量值函數(shù)，怎樣判斷是否存在勢函數(shù)，使得？如果存在這樣的，怎樣求勢函數(shù)？解答內(nèi)容：滿足的函數(shù)稱為的勢函數(shù).由于為有勢場為無旋場，所以判定是否為有勢場的常用方法是檢驗(yàn)是否為零.至于求有勢場的勢函數(shù)的求法，同平面情形一樣，也有三種方法，即：湊微分法：偏積分法；沿特殊路徑求線積分法. 我們用下面的例子具體說明這種

15、問題的求解方法.例 設(shè)，判斷是否存在函數(shù)，使得；如果存在，求出.解 由于的旋度 ,即是無旋場，所以是有勢場. 以下用幾種方法求的勢函數(shù)： 方法1 用湊微分法，由于，所以有勢函數(shù).方法2 用偏積分法，設(shè)，即 ; (1); (2). (3)由(1)式知 , (4)由(4)式對求導(dǎo)并與(2)式對比得，由此得，于是得 ， (5)由(5)式對求導(dǎo)并與(3)式對比得，由此得 ,所以(為任意常數(shù))，從而由(5)式得，代入(4),得的勢函數(shù).解法3 利用特殊路徑求線積分的方法. 的勢函數(shù)可取為 ,上式右端是與路徑無關(guān)的線積分，取積分路徑為如圖所示的與坐標(biāo)軸平行的有向折線，得.15. 設(shè)是錐面在的部分的外表面，

16、.計(jì)算曲面積分主要有哪些方法?解答內(nèi)容：第二型曲面積分是多元積分學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，計(jì)算時(shí)不僅要考慮怎樣化為重積分，還要特別注意積分曲面的方向.本例是一個(gè)利用各種積分的聯(lián)系和對稱性計(jì)算第二型曲面積分的例子，希望讀者仔細(xì)體會這些方法，進(jìn)而掌握這些方法并加深對各種積分聯(lián)系的理解.解法1 注意是一個(gè)旋度場，因而是一個(gè)無源場，所以可考慮用高斯公式來解本題.由于不是閉合曲面，我們補(bǔ)一個(gè)面：的下側(cè)，則在由和所圍閉區(qū)域上利用高斯公式(可驗(yàn)證應(yīng)用高斯公式的條件滿足)，得，由此得 ， (1)由于 ， (2)故由(1)式得.解法2 由斯托克斯公式，有 (3)其中為曲面的邊界曲線的正向(從0變到).將的參數(shù)方程代入(3)

17、式右端，得.解法3 化為第一型曲面積分來求.由的方程得上的法向量為，的正側(cè)為下側(cè)，故得正側(cè)的單位法向量為，于是得， (4)在面上的投影域?yàn)閳A域：，上的曲面面積元素，于是由(4)式得 (5)注意平面區(qū)域關(guān)于軸對稱，而(5)式被積函數(shù)的第一項(xiàng)關(guān)于是奇函數(shù)，從而得.解法4 用第二型曲面積分的直接計(jì)算法來計(jì)算.將(2)式代入,得 ，其中，.現(xiàn)在分別來計(jì)算.為計(jì)算，若將曲面分為兩片：，其正法線與軸正向的夾角為銳角；：，其正法線與軸正向的夾角為鈍角，則與在面的投影域均為三角形區(qū)域：，于是得 ,上式最后一步利用了區(qū)域關(guān)于軸對稱，而被積函數(shù)是的奇函數(shù)，從而得積分為零. 同理可得.于是得.解答內(nèi)容：這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗雎粤藨?yīng)用高斯公式的條件：函數(shù)在閉合曲面所包圍的閉區(qū)域上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).而本題中的函數(shù)，在原點(diǎn)處不連續(xù)，因此當(dāng)包圍原點(diǎn)時(shí)就不能應(yīng)用高斯公式.所以應(yīng)該對是否包圍原點(diǎn)給以討論.正確解答如下：(1) 若不包圍原點(diǎn)，則函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在所包圍的閉區(qū)