(完整word版)高考專題講解之二項式定理

1、高考專題講解之二項式定理1 1二項式定理：(a +b)n=C：an+棉叫 +川 +。冷丄$+|i+C：bn(N*),2.2. 基本概念：1二項式展開式：右邊的多項式叫做(a b)n的二項展開式。2二項式系數(shù)：展開式中各項的系數(shù)Cn(r =0,1,2,n). .3項數(shù)：共(r 1)項，是關(guān)于a與b的齊次多項式4通項：展開式中的第r 1項C；an-br叫做二項式展開式的通項。用 人*=cnanbr表示。3.3. 注意關(guān)鍵點：1項數(shù)：展開式中總共有(n1)項。2順序：注意正確選擇a, ,b, ,其順序不能更改。(a - b)n與(b - a)n是不同的。3指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0,是降幕排列。b

2、的指數(shù)從0逐項減到n，是升幕排列。各項的次數(shù)和等于n. .4系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是cnWC：,C；,C；.項的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項式系數(shù))。4.4. 常用的結(jié)論：令a =1,x, (1 x)n=C0C：x C(x2川CxrHl C；xn(n N )令a =1,b = x, (1x)n=C0Ux+Cfx2川+C：xr+|i+(1)nC；xn( n Nj5.5. 性質(zhì)：1二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C；二cn，Cn =CnJ2二項式系數(shù)和：令a =b =1,則二項式系數(shù)的和為c0+cn+C：竹|十cn十川+C；= 2n,

3、變形式cn +C：+川+C：+川+C：=2n-1。3奇數(shù)項的二項式系數(shù)和 = =偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令a =1,b = -1，則C -C；-Cn -c31 (-1)nc：= (1 -1)n= 0,從而得到：c0 +c2 +c4+靂+”“=4+。3+1樸+擴宀+ _=丄天2=2224奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和:nOnOlnl2n22nOn12n(a x)CnaxCna_xCna_xCna xa0a1xa2xanxnOOn 1n22n_2nnOn21(x a)CnaxCnax一CnaxCnaxanxa2xa1xa0令 x=1,則 a0- a1a2a3a (a 1)n- 令 x

4、 - -1,貝卩 a0_a1 a2_a3-丨樸an= (a _1)n 得，a0亠 a2玄4川an=卩（a1）（奇數(shù)項的系數(shù)和）2-得 *3PHI an二丄衛(wèi)偶數(shù)項的系數(shù)和）2n5二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的幕指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)Cn2取得最大值。n _1n 1如果二項式的幕指數(shù)n是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)cFcF同時取得最大值。6系數(shù)的最大項：求（a bx）n展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為A,A?,，人1，設(shè)第r 1項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出r來。I A A r 26 6二項式定理的十一種考題的解法：題型一：二項式定理的逆用；例：cn

5、Cn 6 c3-61 - Cn 6心=_.解：(1 +6)n=c0+cn +C：62+C；63+川+cn6n與已知的有一些差距，二cn +C：6+C；62+川+。；6nJ=-(C1 6+Cn 62+HI + C；6n)6= 1(Cn +cn6+C；”62+lii + Cnn-1)J(1+6)n-1 V(7n-1)6 6 6練：C13C29C31 - 3ndC；二_.解：設(shè)Sn=cn+3C：+9C；仙|+3n*c；，則3Sn=C：3C；32 C；33川-C；3COC：3C32C；33C；3n-1=(1 3)n-1題型二：利用通項公式求xn的系數(shù);例：在二項式（ +暢亍的展開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為

6、45，求含有x3的項的系數(shù)?解：由條件知C =45，即C -45,- n2 n -90 =0，解得n - -9（舍去）或 n -10，由(1 3)n-13n4 -11 2102心八10卞）-81,由題意一罟|r則含有x3的項是第7項T6C1（0 x210 x3,系數(shù)為210。1練：求（X2）9展開式中x9的系數(shù)?2x解:T-1=C；（x2）9（-丄）r=c9x18r（_1）rx2x2故x9的系數(shù)為c；（-丄）3- -21。題型三：利用通項公式求常數(shù)項； 例:=3,解得 r =6,二C；(-丄)rx18r，令18-3r=9,則r=32解:5-1r 20 r5只1-C10( ) x，令20 r =

7、 0，得r = 8，所以T?二G0()8 ,1)8245-256練:解:16求二項式（2x）6的展開式中的常數(shù)項？2xTr 1二c；（2x）6工（-1）r（丄）-=（-1）rCf；26（-）rx6r，令6-2 r =0，得r =3，所以T4= （-1）紀；=-202x2練:1若（x2）n的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則n二x解:T5二C：(X2)2(丄)4=c：x2n2，令2n -12 = 0,得n -6.x題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項;例：求二項式（.x -：x）9展開式中的有理項?1127解：Tr 1=C；(x2)9(x3)r=(1)rC；xF，令ZLILZ,( 0乞心9)得

8、r = 3 或 r =9，6所以當r=3時，=4，T4=(-1)3C；x4- -84x4，6當r -9時，27- =3，ho =(-1)3c9x3x3。6題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和;n展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為-256，求n.解：設(shè) （圧希）n展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為a。,an,求二項式（x2-10的展開式中的常數(shù)項?1=C；o(x2)10例：若cx 令 X - -1,則有aoaao,，令 x =1,則有a -aa(-1)冷.=2n,數(shù)最大的項為T11;有T1(1)12C112)410 x10=16896x10c；4 X將- -得：2(a1a3 a5宀)-2n, .a1a3

9、a- -2nJ有題意得，_2n=-256 = -28，n = 9。；2）n的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024，求它的中間項。解：；C： C： C：二C： C； c；r 1=2n，21024，解得n =111若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求（- 2x）n的展開式中系數(shù)最大的項?所以中間兩個項分別為n =6, n=7,T5c61練：若（x()5=462 x，T6462 x卞數(shù)最大的項為T11;有T1(1)12C112)410 x10=16896x10c；4 X題型六：最大系數(shù)，最大項;1已知（？2x）n，若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最

10、大項的系數(shù)是多少?7Cn c：=2cni,. n2-21 n *98=0,解出n = 7或n =14，當n=7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是1351T4和 T5.T4的系數(shù)-C-）423,，T5的系數(shù) 二 C；q）324=70,當n = 14時，展開式中二項式系數(shù)1最大的項是T8，. T8的系數(shù)二 C；4（）727=3432。2在（a b）2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少?2例:解:練:解:二項式的幕指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項的二項式系數(shù)最大，即T汀Tn1，也就是第n 1項。數(shù)最大的項為T11;有T1(1)12C112)410 x10=16896x10c；4 X13_）n的展開式中，

11、只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少?. x343434T4- -C7a b的系數(shù)最小，T5-C7a b系數(shù)最大。從一民二C；24C；2：4；，化簡得到9.4乞心10.4，又：打汨2，r =10，ArAr 2CM，一酩場練:在（x2解: 只有第5項的二項式最大，則 -5，即n=8,=8,所以展開式中常數(shù)項為第七項等于2%)2例: 寫出在（a -b）7的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項?解:因為二項式的從而有例:解: 由住+C：+C：=79,解出12, ,假設(shè)Tr+項最大,2吋pm a2展開式中系練：在(12x)10的展開式中系數(shù)最大的項是多少?解：假設(shè)Tr 1項最大，：Tr 1

12、=C；02rxrfTpr 4 r 4Ar 1ArC102 C1022(11 -r) rrr二 C101011解得(八，化簡得到6.3乞k豈7.3，又：0汀豈10,Ar 1 Ar .2C；02r_C；0d2r,r 1 一 2(10 - r).r=7，展開式中系數(shù)最大的項為T8-C1o27x15360 x7.題型七：含有三項變兩項；例：求當(x23x 2)5的展開式中x的一次項的系數(shù)？解法：(x23x2)5=(x22)3x5，Tr1=C5(x22)5 r(3x)r，當且僅當r -1時，T1的展開式中才有 x x 的一次項，此時Tr* =T2=C；(x2+2)43X，所以x得一次項為C；C：243X

13、它的系數(shù)為C；C：243 =240。解法：255505145051455(x +3x+2) =(x+1)(x+2) =(C5X +C5X + + C5XC5X+C5X 2+ 92 )故展開式中含x的項為C；xC；25，C；x24=240 x，故展開式中x的系數(shù)為 240.240.13練：求式子(X +廠-2)3的常數(shù)項?lxl得6-2r=0, ,r=3, ,. T31=(-1)3C；=-20. .題型八：兩個二項式相乘；例：求(1 2X)3(1-X)4展開式中 x2的系數(shù).解：(1 2x)3的展開式的通項是 Cm(2x)m2mxm,(1-x)4的展開式的通項是 C4(-x)C4-1nxn,其中

14、 m = 0,1,23 n = 0,1,23 4,令 m n =2,則 m =0 且 n =2,m =1 且門=1,m 二 2 且 n = 0,因此(1 2x)3(1 - x)4的展開式中 X2的系數(shù)等于 C? 20C：(1)2+c321c4(H+C；22C(1)0= 6. .練：求(13匸)6(1 41)10展開式中的常數(shù)項vxmC6xyC；x 仁 cm-C；x12解：(xX-2：)6，設(shè)第r 1項為常數(shù)項，則Tr d二c；1)x (x)r6 r I6r= (-1)C6x，4m-3 n解:m = 0,m = 3,m = 6,其中 m =0,1,2,6 ,n =0,1,2,10,當且僅當 4m

15、 = 3n,艮卩或或n = 0,n = 4,n = 8,時得展開式中的常數(shù)項為C；Cw - C3C；0 V；Cw = 4246. .練:已知(1+x +x )(x+-r)的展開式中沒有常數(shù)項，n N 且 2wn 8,則門=x解:(XAT展開式的通項為 cn乂二 cnf 通項分別與前面的三項相乘可得xcnficnxn，ri,cn丄”2,：展開式中不含常數(shù)項，2 乞8.n = 4r 且 n 嚴 4r -1 且 n 嚴 4r 2,即卩 n =4,8 且 n 嚴 3,7 且 n =2,6,. n = 5.題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和;例:在(x-厲)2006的二項展開式中，含 x 的奇次幕的

16、項之和為 S,當 x = 時,S=.解:設(shè)（x2）玄 *x V2X V3XIH a2006X - （x 2）=a。qxa2xa3xl| a26X - -得 2（盼 a3X3a5X5I a205X2005） =（x -2006-（x 遷）2006.（X-、2）2006展開式的奇次幕項之和為 S（x） = 1【（x -、_2）2006-（x, 2）20063 2006當 x-2 時,s（&）J（&i2）2006-（EQ）2006 2 2一 230082 2題型十：賦值法;例:A設(shè)二項式(3奴+ )n的展開式的各項系數(shù)的和為p，所有二項式系數(shù)的和為s,若Xp + s -272,則n等于多少？解:若（3坂 +1）n= a0+3X +a2x2+ + anxn，有P = a。+a1 + ，S = C；+ -+C； =2，X令x=1得p =4