浙江省寧波市2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題(含解析)

1、寧波市 2019 屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1. 已知集合，則（）. a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】解出絕對(duì)值不等式得到集合，利用并集定義直接求解【詳解】集合，故選 b【點(diǎn)睛】本題主要考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題2. 已知平面，直線滿足，則“”是“”的（）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】 a 【解析】【分析】根據(jù)線面平行的定義和性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】，當(dāng)時(shí)，成立，即充分性成立，當(dāng)時(shí)，不一定成立，即必要性不成立，則“”是“

2、”的充分不必要條件，故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)線面平行的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題3. 已知存在導(dǎo)函數(shù)，若既是周期函數(shù)又是奇函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)（）a. 既是周期函數(shù)又是奇函數(shù)b. 既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)c. 不是周期函數(shù)但是奇函數(shù)d. 不是周期函數(shù)但是偶函數(shù)【答案】 b 【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義及周期函數(shù)的定義可以證明周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是周期函數(shù)，利用奇函數(shù)的概念及簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)證明奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)【詳解】若是周期函數(shù)，設(shè)其周期為，則所以周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是周期函數(shù)；若是奇函數(shù)，則，所以，即，所以奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，故選 b【點(diǎn)睛】本題主要考

3、查了導(dǎo)數(shù)的基本概念，考查了函數(shù)的周期性與函數(shù)的奇偶性，是基礎(chǔ)的概念題 . 4. 設(shè)，則（）. a. -4 b. -8 c. -12 d. -16 【答案】 c 【解析】【分析】根據(jù)，是展開式中的系數(shù)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得結(jié)果【詳解】，是展開式中的系數(shù)，故選 c【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題5. 關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）a. b. c. d. 【答案】 c 【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，要使平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，滿足，則只需點(diǎn)在直線的下方即可【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：若平面區(qū)域

4、內(nèi)存在點(diǎn)，滿足，則說明直線與區(qū)域有交點(diǎn)，即點(diǎn)位于直線的下方即可，則點(diǎn)在區(qū)域，即，得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選 c【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合判斷出點(diǎn)在直線的下方是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題. 6. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）a. b. c. d. 【答案】 d 【解析】【分析】根據(jù)已知可得該幾何體是一個(gè)四分之一圓錐，與三棱柱的組合體，分別求出它們的體積，相加可得答案【詳解】根據(jù)已知可得該幾何體是一個(gè)四分之一圓錐，與三棱柱的組合體，四分之一圓錐的底面半徑為1，高為 1，故體積為：，三棱柱的底面是兩直角邊分別為1 和 2 的直角三角形，高為1，故體積為：，

5、故組合體的體積，故選 d 【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，根據(jù)三視圖判斷出幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題. 7. 數(shù)列滿足，則數(shù)列的前 2018 項(xiàng)和（）. a. b. c. d. 【答案】 a 【解析】【分析】計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求和【詳解】數(shù)列滿足，可得，可得數(shù)列的前 2018 項(xiàng)和，故選 a【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題8. 已知是離散型隨機(jī)變量，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) a. b. c. d. 【答案】 d 【解析】【分析】利用概率、數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)直接求解【詳解】在a中，故

6、a正確；在 b中，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得，故 b正確；在 c中，由方差的性質(zhì)得，故 c正確；在 d中，故 d錯(cuò)誤故選 d. 【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查概率、數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題9. 已知橢圓的離心率的取值范圍為，直線交橢圓于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)且，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是（）a. b. c. d. 【答案】 c 【解析】【分析】根據(jù)題意， 聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理和斜率的數(shù)量積得，再根據(jù)離心率公式可得，化簡(jiǎn)變形即可得答案【詳解】聯(lián)立方程得，設(shè)，則，由，得，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，即橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為，故選 c【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及直線與

7、橢圓的位置關(guān)系，注意充分利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行分析，屬于中檔題10. 在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，則下列結(jié)論中不正確的是（）a. 的最小值為 -6 b. 的最大值為10 c. 最大值為d. 最小值為1 【答案】 b 【解析】【分析】根 據(jù) 題 意 可 設(shè)， 根 據(jù) 數(shù) 量 積 的 定 義 可 得，可判斷a，b；通過化簡(jiǎn)， 結(jié) 合 三 角 函 數(shù) 的 有 界 性 可 得 最 大 值 ，可得最小值，綜合得選項(xiàng). 【詳解】根據(jù)題意可設(shè)；則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 另一方面，當(dāng)時(shí)可以取到最大值，進(jìn)一步變形上式，令，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即最小值為1，綜上可得，選b. 【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查

8、向量的數(shù)量積、向量的模、三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，利用三角換元以及三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵，有一定難度二、填空題11. 設(shè) 為虛數(shù)單位，給定復(fù)數(shù)，則的虛部為 _；模為 _ 【答案】 (1). -1 (2). 【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案【詳解】，則 的虛部為，模為，故答案為. 【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題12. 已知實(shí)數(shù)且若，則_；若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由實(shí)數(shù)且，求出，由此能求出的值；由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，無解，由此

9、能求出的取值范圍【詳解】實(shí)數(shù)且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，無解，綜上的取值范圍是故答案為，【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查對(duì)數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題13. 將函數(shù)的圖像的每一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖像，則_；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 _ 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式， 再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得實(shí)數(shù) 的取值范圍【詳解】將函數(shù)的圖象的每一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，可得的圖象；再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，求得，則實(shí)數(shù)的

10、取值范圍是，故答案為，【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題，平移過程中需注意先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（）個(gè)單位，原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的14. 在中，為邊中點(diǎn)，經(jīng)過中點(diǎn)的直線交線段于點(diǎn)，若，則_；該直線將原三角形分成的兩部分，即三角形與四邊形面積之比的最小值是_ 【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】由向量共線定理可知，然后根據(jù)，可分別用，表示，根據(jù)與共線，結(jié)合向量共線定理可求，由，結(jié)合及基本不等式可求的最大值，進(jìn)而可求三角形與四邊形面積之比的最小值【詳解】 a

11、bc中， d為 bc邊的中點(diǎn)， e為 ad的中點(diǎn)，同理與共線，存在實(shí)數(shù)，使（） ，即，解得，；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)有最小值，則有 m ，n分別為 ab ，ac的中點(diǎn)，取得最小值，故答案為4， 【點(diǎn)睛】本題考查了向量三角形法則、平面向量基本定理、三角形法則、方程思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題15. 設(shè)等差數(shù)列的前 14 項(xiàng)和，已知均為正整數(shù)，則公差_. 【答案】 -1 【解析】【分析】由 已 知 可 求 出 公 差， 從 而， 由，均 為 正 整 數(shù) ，得，由此推導(dǎo)出，從而能求出公差【詳解】等差數(shù)列的前 14 項(xiàng)和，均為正整數(shù)，逐一代入，得，由，解得. 故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考

12、查等差數(shù)列的公差的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題16. 農(nóng)歷戊戌年即將結(jié)束，為了迎接新年，小康、小梁、小譚、小劉、小林每人寫了一張心愿卡，設(shè)計(jì)了一個(gè)與此心愿卡對(duì)應(yīng)的漂流瓶. 現(xiàn)每人隨機(jī)的選擇一個(gè)漂流瓶將心愿卡放入，則事件“至少有兩張心愿卡放入對(duì)應(yīng)的漂流瓶”的概率為_ 【答案】【解析】【分析】基本事件總數(shù)，事件“至少有兩張心愿卡放入對(duì)應(yīng)的漂流瓶”包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出事件“至少有兩張心愿卡放入對(duì)應(yīng)的漂流瓶”的概率【詳解】為了迎接新年，小康、小梁、小譚、小劉、小林每人寫了一張心愿卡，設(shè)計(jì)了一個(gè)與此心愿卡對(duì)應(yīng)的漂流瓶現(xiàn)每人隨機(jī)的選擇一個(gè)漂流瓶將心愿卡放入，基

13、本事件總數(shù)，事件“至少有兩張心愿卡放入對(duì)應(yīng)的漂流瓶”包含的基本事件個(gè)數(shù)，事件“至少有兩張心愿卡放入對(duì)應(yīng)的漂流瓶”的概率為，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題17. 已知不等式對(duì)任意正整數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍 _ 【答案】【解析】【分析】首先利用轉(zhuǎn)換思想把分式不等式轉(zhuǎn)換為整式不等式，進(jìn)一步利用賦值法和集合法求出實(shí)數(shù)的范圍【詳解】由，得：，記. 則或；或；或；或；當(dāng)時(shí)，或. 所求范圍為. 【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：分式不等式的解法及應(yīng)用，數(shù)列的關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題三、解答題。18. 如圖所示，已知是半徑

14、為1，圓心角為的扇形，是坐標(biāo)原點(diǎn)，落在軸非負(fù)半軸上，點(diǎn)在第一象限，是扇形弧上的一點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形. （1）當(dāng)是扇形弧上的四等分點(diǎn)（靠近）時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（2）當(dāng)在扇形弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求矩形面積的最大值. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用四等分點(diǎn)的條件求出，進(jìn)一步求出結(jié)果； （2）設(shè)，將面積表示為關(guān)于的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】（1）根據(jù)題意：當(dāng)是扇形弧上的四等分點(diǎn)（靠近）時(shí)，所以，的縱坐標(biāo)為；（2）設(shè)，矩形的面積設(shè)為，則. ，. ，當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值 . 【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性

15、質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型19. 如圖所示，四面體中，是正三角形，是直角三角形，是的中點(diǎn)，且. （1）求證：平面；（2）過的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值 . 【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）首先利用三角形全等得到，推導(dǎo)出，利用勾股定理得到，由此能證明平面； （2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值【詳解】（1）如圖所示，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由，得，所以，即為等腰直角三角形，從而為直角，又為底邊中點(diǎn)，所以. 令，則，易得，所以，從而，又為平面

16、內(nèi)兩相交直線，所以平面. （2）由題意可知，即到平面的距離相等，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為 軸正方向，為 軸正方向，為 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，則，易得. 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，?。?，取，設(shè)二面角的大小為，易知為銳角，則，所以二面角的余弦值為. 【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過程圍繞著線面垂直這個(gè)核心而展開，這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在，考查二面角的余弦值的求法，兩個(gè)半平面所成的角與平面的法向量所成的角之間相等或互補(bǔ)，主要根據(jù)圖形來確定最后的結(jié)果，是中檔題20. 古希臘人常用小石子在

17、沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1 中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2 中的1,4,9,16,，這樣的數(shù)為正方形數(shù). 某同學(xué)模仿先賢用石子擺出了如下圖3 的圖形，圖3 中的 2,5,7,9,，這些數(shù)能夠表示成梯形，將其稱為梯形數(shù). （1）請(qǐng)寫出梯形數(shù)的通項(xiàng)公式（不要求證明） ，并求數(shù)列的前項(xiàng)和; （2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求證：. 【答案】 (1) ， (2) 見證明【解析】【分析】（ 1）由觀察法可得，應(yīng)用等差數(shù)列的求和公式可得所求和；（ 2）求得，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證【詳解】（1）根據(jù)觀察可歸納得：，

18、進(jìn)一步：；（2）易知，則. 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，考查數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題21. 過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線在處的切線交于. （1）求證：；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的面積的最小值 . 【答案】 (1) 見證明； (2) 【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程中，根據(jù)韋達(dá)定理和直線的斜率公式，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求出點(diǎn)e 的坐標(biāo)，根據(jù)斜率的關(guān)系即可證明；（2）根據(jù)向量結(jié)合韋達(dá)定理可得，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求三角形的面積公式表示出，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值【詳解】（1）顯然斜率存在，設(shè)直線的方程，代入拋物線方程中，得，設(shè)，由韋達(dá)定理得到，直線的斜率為，易知切線方程，切線的方程，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立求得：，故，. ，又當(dāng)時(shí)，顯然有. 所以. （2）由，得，結(jié)合韋達(dá)定理，從而，又，由于在區(qū)間上為減函數(shù)，因此當(dāng)有最小值. 【點(diǎn)睛】本題考查切線方程的求法，弦長(zhǎng)公式，直線與直線的位置關(guān)系，三角形的面積計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題屬于難題22. 已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù) . （1）若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的解析式；（2）若，且， 為函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的取值范圍 . 【答案】 (1) (2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)