1奇數(shù)與偶數(shù)1題庫(kù)教師版

1、_ -5-1奇數(shù)與偶數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)的定義整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被 2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。通常偶數(shù)可以用2k (k為整數(shù))表示，奇數(shù)則可以用2k+1 (k為整數(shù))表示。特別注意，因?yàn)?0能被2整除，所以0是偶數(shù)。二、奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1 :偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù)性質(zhì)2 :偶數(shù)土奇數(shù)=奇數(shù)性質(zhì)3:偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和或差是偶數(shù)性質(zhì)4 :奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和或差是奇數(shù)性質(zhì)5:偶數(shù)X奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)三、兩個(gè)實(shí)用的推論推論1 :在加減法中偶數(shù)不改變運(yùn)算結(jié)果奇偶性，奇數(shù)改變運(yùn)算結(jié)果的奇偶性。推論2 :對(duì)于任意2個(gè)整數(shù)a,b ,有a+b與

2、a-b同奇或同偶模塊一、奇數(shù)偶數(shù)基本概念及基本加減法運(yùn)算性質(zhì)【例1】1 2 31993的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？【解析】在1至1993中，共有1993個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中997個(gè)奇數(shù)，996個(gè)偶數(shù)，即共有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)， 那么原式的計(jì)算結(jié)果為奇數(shù) .【鞏固】29 30 3187 88得數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？【解析】偶數(shù)。原式中共有 60個(gè)連續(xù)自然數(shù)，奇數(shù)開(kāi)頭偶數(shù)結(jié)尾說(shuō)明有30個(gè)奇數(shù)，為偶數(shù)個(gè)?！眷柟獭?200 201 202 288) (151 152 153 233)得數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？【解析】200至288共89個(gè)數(shù)，其中偶數(shù)比奇數(shù)多1 , 44個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；151至233共83個(gè)數(shù)，奇數(shù)比偶數(shù)多1

3、, 42個(gè)奇數(shù)，為偶數(shù)；偶數(shù)減去偶數(shù)仍為偶數(shù)。【例2】1 2 3 4 5 6 7 | 98 99的計(jì)算結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)，為什么？【解析】特殊數(shù)字：“1”.在這個(gè)算式中，所有做乘法運(yùn)算的都是奇數(shù)偶數(shù)，所以它們的乘積都是偶數(shù)，這些偶數(shù)相加的結(jié)果還是偶數(shù)，只有 1是奇數(shù)，又因?yàn)槠鏀?shù) 偶數(shù)=奇數(shù)，所以這個(gè)題的計(jì)算結(jié) 果是奇數(shù).【鞏固】1 2 3 4 5 6 7 J" 99 100 99 98 97 96 川7 6 5 4 3 2 1的和是奇數(shù)還是 偶數(shù)？為什么？【解析】在算式中，1 99都出現(xiàn)了 2次，所以1 2 3 4 99 99 98 97 96 | 4 3 2 1是偶 數(shù)，而100也

4、是偶數(shù)，所以1 2 3 4 5 6 7 m 99 100 99 98 97 96 | 7 6 5 4 3 2 1 的和是偶數(shù).【鞏固】東東在做算術(shù)題時(shí)，寫(xiě)出了如下一個(gè)等式：1038 13 75 64,他做得對(duì)嗎？【解析】等式左邊是偶數(shù)，13 75是奇數(shù)，64是偶數(shù)，根據(jù)奇數(shù) 偶數(shù) 奇數(shù)，等式右邊是奇數(shù)，偶數(shù)不等于奇數(shù)，因此東東寫(xiě)出的等式是不對(duì)的.【例3】 能否在下式的“口”內(nèi)填入加號(hào)或減號(hào)，使等式成立，若能請(qǐng)?zhí)钊敕?hào)，不能請(qǐng)說(shuō)明理由(1)1 口 2 口 3 口 4 口 5 口 6 口 7 8 0 9 = 10(2)1 口 2 口 3 口 4 口 5 口 6 口 7 8 9 = 27【解析】不能

5、。很多學(xué)生拿到這個(gè)題就開(kāi)始試數(shù)，試了半天也試不出來(lái)因?yàn)?，這時(shí)給他講解，原式有5個(gè)奇數(shù)，無(wú)論經(jīng)加、減運(yùn)算后結(jié)果一定是奇數(shù)。本小題是一個(gè)典型的奇偶性質(zhì)“先定性分析后定量計(jì)算的題目" (2)可以。1 23456789 27 或 1 23456789 27【例4】 能否從四個(gè)3,三個(gè)5,兩個(gè)7中選出5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和等于22.【解析】 不能。因?yàn)椴徽撊绾芜x，選出的5個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，5個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，不可能等于22。【鞏固】能否從、四個(gè)6,三個(gè)10,兩個(gè)14中選出5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和等于44.【解析】 從性質(zhì)上看，選出5個(gè)偶數(shù)的和仍然是偶數(shù)。而從計(jì)算層面上考慮，假設(shè)等式可以成立，那么可

6、以把題目中的數(shù)都除以 2.那么本題相當(dāng)于：能否從、四個(gè) 3,三個(gè)5,兩個(gè)7中選出5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和等于22.因?yàn)?, 5, 7都是奇數(shù)，而且 5個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，不可能等于偶數(shù)22 ,所以不能.【例5】一個(gè)自然數(shù)數(shù)分別與另外兩個(gè)相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個(gè)積相差150,那么這個(gè)數(shù)是多少？【解析】由定義知道，相鄰兩個(gè)奇數(shù)相差2,那么說(shuō)明150是這個(gè)未知自然數(shù)的兩倍，所以原自然數(shù)為75.【鞏固】一個(gè)偶數(shù)分別與其相鄰的兩個(gè)偶數(shù)相乘，所得的兩個(gè)乘積相差 80,那么這三個(gè)偶數(shù)的和是多少？【解析】由定義知道，相鄰兩個(gè)偶數(shù)相差2,那么80恰好是原偶數(shù)的4倍，即原來(lái)的偶數(shù)是 20。而由題意知道原來(lái)的三個(gè)偶數(shù)

7、分別18,20,22 ,它們的和是60。例6 多米諾骨牌是由塑料制成的 1X2長(zhǎng)方形，共28張，每張牌上的兩個(gè)1X1正方形中刻有“點(diǎn)”， 點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為0, 1, 2,，6個(gè)不等，其中7張牌兩端的點(diǎn)數(shù)一樣，即兩個(gè) 0,兩個(gè)1,， 兩個(gè)6;其余21張牌兩端的點(diǎn)數(shù)不一樣，所謂連牌規(guī)則是指：每相鄰兩張牌必須有一端的點(diǎn)數(shù) 相同，且以點(diǎn)數(shù)相同的端相連，例如：* > ,«*- *« 4 -4 « 塞 【解析】【鞏固】【解析】模塊二、【例7】【解析】【鞏固】【解析】【鞏固】【解析】例8 現(xiàn)將一付多米諾骨牌按連牌規(guī)則連成一條鏈，如果在鏈的一端為6點(diǎn)，那么在鏈的另一端為多少點(diǎn)

8、？并簡(jiǎn)述你的理由.由連牌規(guī)則可知，在鏈的內(nèi)部各種點(diǎn)數(shù)均成對(duì)相連，即所有點(diǎn)都有偶數(shù)個(gè)，而6點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8,所以在鏈的兩端一定有偶數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以鏈的另一端也應(yīng)為6.一條線段上分布著 n個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)的顏色不是黑的就是白的，它們將線段分為n+1段，已知線段兩端的兩個(gè)點(diǎn)都是黑的，而中間的每一個(gè)點(diǎn)的兩邊各有一黑一白.那么白點(diǎn)的數(shù)目是奇數(shù)還是偶數(shù)？因?yàn)橹虚g的每一個(gè)點(diǎn)的兩邊各有一黑一白，所以所有的點(diǎn)一定是兩個(gè)黑點(diǎn)、兩個(gè)白點(diǎn)依次相鄰(除了首尾可能出現(xiàn)一個(gè)黑點(diǎn))，所以白點(diǎn)都是成對(duì)出現(xiàn)的.所以白點(diǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù).奇偶運(yùn)算性質(zhì)綜合及代數(shù)分析法是否存在自然數(shù) a和b,使得ab(a + b)=115?不存在。此類問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生接

9、觸分類討論的基本思想，即 2個(gè)自然數(shù)在奇偶性的組合上只有3種情況，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分別討論發(fā)現(xiàn)均不成立。是否存在自然數(shù) a、b、c,使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327?不存在?？梢苑智闆r來(lái)討論：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比較繁瑣，可以根據(jù)45327是一個(gè)奇數(shù)，只有奇數(shù)乘以奇數(shù)才能得到，所以 a-b、b-c、a-c都為奇數(shù)，再根據(jù)奇偶性進(jìn)行判斷。a、b、c三個(gè)數(shù)的和與它們的積的和為奇數(shù)，問(wèn)這三個(gè)數(shù)中最多可以有幾個(gè)奇數(shù)？根據(jù)題目?jī)?nèi)容，可以列出所要討論的式子為a b c abc。則接下來(lái)可以分類討論 3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四種情況。

10、經(jīng)驗(yàn)證如果要滿足上式結(jié)果為奇數(shù)，那么可以發(fā)現(xiàn)最多只能有1個(gè)奇數(shù)。已知a,b,c 中有一個(gè)是 511, 一個(gè)是622, 一個(gè)是793。求證：(a 1)(b 2)(c 3)是一個(gè)偶數(shù)【解析】因?yàn)樵赼,b,c中有2個(gè)是奇數(shù)，1個(gè)是偶數(shù)，那么說(shuō)明a,c兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是奇數(shù)，那么(a 1)和(c 3)中至少有一個(gè)是偶數(shù)，所以(a 1)(b 2)(c 3)中至少有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，結(jié)果為偶數(shù).【鞏固】小紅寫(xiě)了四個(gè)不同的非零整數(shù) a,b,c,d,并且說(shuō)這四個(gè)整數(shù)滿足四個(gè)算式：abcda1991abcdb1993abcdc1995abcdd1997但是小明看過(guò)之后立刻說(shuō)小紅是錯(cuò)的，根不不存在這樣的四個(gè)數(shù)，你

11、能證明小明的結(jié)論嗎？【解析】 由小紅的提出的等式組，我們可以得到a (bcd 1) 1991 , b (acd 1) 1993 ,c (abd 1) 1995, d (abc 1) 1997 ,發(fā)現(xiàn)如果每個(gè)等式的結(jié)果都是一個(gè)奇數(shù)，那么要求a,b,c,d四個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，因?yàn)橹挥衅鏀?shù)與奇數(shù)相乘才能得奇數(shù)，這樣a,b,c,d中任意三個(gè)數(shù)的乘積也為奇數(shù)，導(dǎo)致(abd 1)等四個(gè)差均為偶數(shù)，乘積結(jié)果只能得偶數(shù)，發(fā)生矛盾?！纠?】設(shè)a, b , c , d , e , f , g都是整數(shù)，試說(shuō)明：在a b,b c,c d,d e,e f, f g, g a中，必有奇數(shù)個(gè)偶數(shù).【解析】加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)決定和

12、的奇偶性，反過(guò)來(lái)，和的奇偶性由加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)決定，所以我們考慮這7個(gè)數(shù)的和.(ab)(b © (cd) (de) (e f) (fg)(ga)2( a b c d e f g),和是偶數(shù)，ab, b c , c d , de , e f , fg, ga中，必有偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，因而必有奇數(shù)個(gè)偶數(shù).【例10】有四個(gè)互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4,最小數(shù)與最大數(shù)的乘積是一個(gè)奇數(shù)，而這四個(gè)數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù).求這四個(gè)數(shù).【解析】入手點(diǎn)：最小的兩位奇數(shù)是11,最小數(shù)與最大數(shù)的乘積是一個(gè)奇數(shù)可得最小數(shù)和最大數(shù)都是奇數(shù).首先由這四個(gè)數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，可知這四個(gè)自然數(shù)的和是11

13、.其次，由最小數(shù)與最大數(shù)的乘積是一個(gè)奇數(shù)，可知最小數(shù)與最大數(shù)都是奇數(shù).由1 234 10 11, 2345 14 11,可以推導(dǎo)出這四個(gè)互不相等的自然數(shù)分別是：1, 2, 3, 5.【例11】甲、乙兩個(gè)哲人將正整數(shù) 5至11分別寫(xiě)在7張卡片上.他們將卡片背面朝上，任意混合之后, 甲取走三張，乙取走兩張.剩下的兩張卡片，他們誰(shuí)也沒(méi)看，就放到麻袋里去了.甲認(rèn)真研究試問(wèn)：甲手了自己手中的三張卡片之后，對(duì)乙說(shuō)：“我知道你的兩張卡片上的數(shù)的和是偶數(shù).中的三張卡片上都寫(xiě)了哪些數(shù)？答案是否唯一.【解析】甲手中的8張卡片上分別寫(xiě)了 6, 8和10.甲知道其余4張卡片上分別寫(xiě)了哪些數(shù)，但不知道它 們之中的哪兩張

14、落到了乙的手中.因此，只有在它們之中任何兩張卡片上的數(shù)的和都是偶數(shù)時(shí)， 甲才能說(shuō)出自己的斷言.而這就意味著，這4張卡片上所寫(xiě)的數(shù)的奇偶性相同，亦即或者都是偶數(shù)，或者都是奇數(shù).但是由于一共只有3張卡片上寫(xiě)的是偶數(shù)，所以它們不可能都是偶數(shù)，從而只能都是奇數(shù).于是 3張寫(xiě)著偶數(shù)的卡片全都落入甲的手中.答案是唯一的.【例12】甲同學(xué)一手握有寫(xiě)著 23的紙片，另一只手握有寫(xiě)著 32的紙片.乙同學(xué)請(qǐng)甲回答如下一個(gè)問(wèn)題： “請(qǐng)將左手中的數(shù)乘以 3,右手中的數(shù)乘以2,再將這兩個(gè)積相加，這個(gè)和是奇數(shù)還是偶數(shù)？”當(dāng)甲說(shuō)出和為奇數(shù)時(shí)，乙馬上就猜出寫(xiě)有 23的紙片握在甲的左手中.你能說(shuō)出是什么道理嗎？【解析】甲的兩張

15、紙片，23是奇數(shù)，32是偶數(shù).因此，只要能判斷出甲的左手中握的是奇數(shù)，即可知左手的是 23 .設(shè)甲左手握的數(shù)為a ,右手握的數(shù)為 b ,乙同學(xué)請(qǐng)甲計(jì)算所得結(jié)果為c ,則3 a 2 b c .若c為奇數(shù)，則3 a為奇數(shù)，所以左手握的數(shù) a是奇數(shù). 若c為偶數(shù)，則3 a為偶數(shù)，所以左手握的數(shù)a是偶數(shù).因此，從c的奇偶性就可以斷定左手握的數(shù) a的奇偶性， 從而確定左手握的數(shù)是 23還是32 .在本題中，c為奇數(shù)，因此合于第（1）種情況，a是奇數(shù)，即 左手中握的是23 .【例13】在一張9行9列的方格紙上，把每個(gè)方格所在的行數(shù)和列數(shù)加起來(lái)，填在這個(gè)方格中，例如a 5 3 8 .問(wèn)：填入的81個(gè)數(shù)字中是

16、奇數(shù)多還是偶數(shù)多?【解析】此題如果按步就班地把每個(gè)格子的數(shù)算出來(lái)，再去數(shù)一數(shù)奇數(shù)和偶數(shù)各有多少.然后得出奇數(shù)和偶數(shù)哪個(gè)多，哪個(gè)少的結(jié)論.顯然花時(shí)間很多，不能在口試搶答中取勝.我們應(yīng)該從整體上去比較奇偶數(shù)的多少.易知奇數(shù)行偶數(shù)多一個(gè)，偶數(shù)行奇數(shù)多1個(gè).所以前8行中奇偶數(shù)一樣，余下第9行奇數(shù)行，答案可脫口而出.偶數(shù)多.【鞏固】如果把每個(gè)方格所在的行數(shù)和列數(shù)乘起來(lái)，填在這個(gè)方格，例如：a 5 3 15.問(wèn)填入的81個(gè)數(shù)中是奇數(shù)多還是偶數(shù)多？【解析】奇數(shù)行奇數(shù)多1個(gè)，偶數(shù)行全是偶數(shù)，顯然偶數(shù)多。模塊三、奇偶模型與應(yīng)用題【例14】 試找出兩個(gè)整數(shù)， 使大數(shù)與小數(shù)之和加上大數(shù)與小數(shù)之差，再加上1000等于

17、1999 .如果找得出來(lái)，請(qǐng)寫(xiě)出這兩個(gè)數(shù)，如果找不出來(lái)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的和a b與兩個(gè)數(shù)的差a b的奇偶性相同，所以(a b) (a b)的和是偶數(shù).由結(jié)論三可知，這兩數(shù)之和與這兩數(shù)之差的和為偶數(shù)，再加 1000還是偶數(shù)，所以它們的和不能等于奇數(shù)1999 .【例15你能不能將自然數(shù)1到9分別填入3X3的方格表中，使得每一行中的三個(gè)數(shù)之和都是偶數(shù)【解析】不能。此題學(xué)生容易想到九宮格數(shù)陣問(wèn)題，其實(shí)不是。 1到9中共有5個(gè)奇數(shù)，分別分成3組后會(huì)分布在每一行里面，也就是說(shuō)要想實(shí)現(xiàn)每一行都是偶數(shù)，就需要每一行都有偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，從而需要三行奇數(shù)的和是偶數(shù)，但是現(xiàn)在僅有5個(gè)奇數(shù)，所以無(wú)法填入。

18、【鞏固】你能不能將整數(shù)數(shù) 0到8分別填入3X 3的方格表中，使得每一行中的三個(gè)數(shù)之和都是奇數(shù)？【解析】不能。分析過(guò)程與例 7類似?！纠?6】任意交換某個(gè)三位數(shù)的數(shù)字順序，得到一個(gè)新的三位數(shù)，原三位數(shù)與新三位數(shù)之和能否等于999?【解析】不能。2個(gè)三位數(shù)的和為999,說(shuō)明在兩個(gè)數(shù)相加時(shí)不產(chǎn)生任何進(jìn)位。如果不產(chǎn)生進(jìn)位說(shuō)明兩個(gè)三位數(shù)的數(shù)字之和相加求和，就會(huì)等于和的數(shù)字之和，這是一個(gè)今后在數(shù)字謎中的常用結(jié)論。那么999的數(shù)字之和是27,而原來(lái)的2個(gè)三位數(shù)經(jīng)調(diào)換數(shù)字順序后數(shù)字之和是不會(huì)變的，若以a記為其中一個(gè)三位數(shù)的數(shù)字之和，那么另一個(gè)也為a,則會(huì)有2a=27的矛盾式子出現(xiàn)。說(shuō)明原式不成立?！眷柟獭?jī)蓚€(gè)

19、四位數(shù)相加，第一個(gè)四位數(shù)每個(gè)數(shù)碼都小于5,第二個(gè)四位數(shù)僅僅是第一個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼調(diào)換了位置，兩個(gè)數(shù)的和可能是7356嗎？為什么？【解析】不能。本題為上一例題的拓展練習(xí)?！纠?7】 有一串?dāng)?shù)，最前面的四個(gè)數(shù)依次是1、9、8、7。從第五個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是它前面相鄰四個(gè)數(shù)之和的各位數(shù)字，那么在這一串?dāng)?shù)中，會(huì)依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個(gè)數(shù)嗎？【解析】不會(huì)。觀察前4個(gè)數(shù)，奇偶性排列次序?yàn)槠嫫媾计?，而一個(gè)數(shù)的奇偶性僅與它的個(gè)位數(shù)字有關(guān)，所以之后的第5個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第6個(gè)為偶數(shù)，第7個(gè)為奇數(shù)，第8個(gè)為奇數(shù)，整體的出現(xiàn)規(guī)律為奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶，所以不肯能有兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，所以 1、9、8、8不會(huì)出現(xiàn)。

20、【鞏固】數(shù)列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,的排列規(guī)律是前兩個(gè)數(shù)是 1,從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都是它前兩個(gè)數(shù)的和，這個(gè)數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列前2009個(gè)數(shù)中共有幾個(gè)偶數(shù)？【解析】三個(gè)一組三個(gè)一組看，可以發(fā)現(xiàn)奇數(shù)，偶數(shù)交替變化的規(guī)律.可以發(fā)現(xiàn)有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶一這樣的變化規(guī)律，因?yàn)?2009 3 669|2,所以前2009個(gè)數(shù)有669個(gè)偶數(shù).【鞏固】黑板上寫(xiě)著兩個(gè)數(shù)1和2,按下列規(guī)則增寫(xiě)新數(shù)，若黑板有兩個(gè)數(shù)a和b,則增寫(xiě)ax b + a+b這個(gè)數(shù)，比如可增寫(xiě) 5 （因?yàn)?X2+1+2=5）增寫(xiě)11 （因?yàn)?X5+1+5= 11）, 一直寫(xiě)

21、下去，問(wèn)能否得到2008,若不能，說(shuō)明理由，若能則說(shuō)出最少需要寫(xiě)幾次得到？【解析】黑板上的數(shù)起初為一奇一偶，按照規(guī)則增寫(xiě)出的第三個(gè)數(shù)一定是一個(gè)奇數(shù)，第四個(gè)數(shù)如果選擇仍由一奇一偶寫(xiě)出來(lái)的，那么仍然是奇數(shù)；另一種可以選擇兩個(gè)奇數(shù)開(kāi)始，那么“奇X奇+奇+奇=奇"，所以不論如何增寫(xiě)，新增的數(shù)一定是奇數(shù)，所以不可能出現(xiàn)2008。“不論【例18】在一次聚會(huì)時(shí)，朋友們陸續(xù)到來(lái)，見(jiàn)面時(shí)，有些人互相握手問(wèn)好.主人很高興，笑著說(shuō):”請(qǐng)你想一想，主人為什么這么說(shuō)，偶數(shù)次人數(shù)偶數(shù)即偶偶偶，而偶奇數(shù)次人數(shù)你們?cè)鯓游帐?，你們之中，握過(guò)奇數(shù)次手的人必定有偶數(shù)個(gè). 他有什么理由呢？【解析】 握偶數(shù)次手的人：不管奇數(shù)

22、個(gè)人還是偶數(shù)個(gè)人.總次數(shù)握奇數(shù)次手的總次數(shù)握手總次數(shù)偶數(shù)次握手總次數(shù),人數(shù)為偶數(shù)，由此證明.【鞏固】元旦前夕，同學(xué)們相互送賀年卡. 每人只要接到對(duì)方賀年卡就一定回贈(zèng)賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么?【解析】此題初看似乎缺總?cè)藬?shù).但解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上，因此與總?cè)藬?shù)無(wú)關(guān).由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次.那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被2整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù).送賀年卡的人可以分為兩種：一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數(shù).另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)所有人送出的賀年卡總數(shù) -所有送出了偶

23、數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)偶數(shù) 偶數(shù) 偶數(shù).他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù).所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)【例19】桌子上有6只開(kāi)口向上的杯子，每次同時(shí)翻動(dòng)其中的5只杯子，問(wèn)能否經(jīng)過(guò)若干次翻動(dòng)，使得全部杯子的開(kāi)口全都向下？【解析】杯子要翻過(guò)來(lái)得翻奇數(shù)次，6個(gè)杯子都要翻過(guò)來(lái)，則總共需要翻動(dòng)（6X奇數(shù)）偶數(shù)次杯子；按規(guī)定每次同時(shí)翻動(dòng) 5只杯子，因?yàn)?是奇數(shù)，由奇數(shù) 偶數(shù)=偶數(shù)可知，要想翻動(dòng)總次數(shù)也是偶數(shù)，需要將5只杯子翻動(dòng)偶數(shù)次.因此有可能經(jīng)過(guò)有限次翻動(dòng)，使得全部杯子的開(kāi)口全都向下.【鞏固】桌子上有5個(gè)開(kāi)口向上的杯子， 現(xiàn)在允許每次同時(shí)翻動(dòng)其中的4個(gè)，問(wèn)能否經(jīng)過(guò)

24、若干次翻動(dòng)， 使得5個(gè)杯子的開(kāi)口全都向下？【解析】不能，杯子要翻過(guò)來(lái)得翻奇數(shù)次，5個(gè)杯子都要翻過(guò)來(lái)，要把所有杯子都翻過(guò)來(lái)則總共需要翻動(dòng)奇數(shù)次杯子，而每次同時(shí)翻動(dòng) 4個(gè)，那總次數(shù)是偶數(shù)，奇數(shù)不可能等于偶數(shù)，因此不能把5個(gè)杯子的開(kāi)口全都向下.【鞏固】桌子上有6只開(kāi)口向上的杯子， 每次同時(shí)翻動(dòng)其中的 4只杯子，問(wèn)能否經(jīng)過(guò)若干次翻動(dòng)，使得全部杯子的開(kāi)口全都向下？【解析】杯子要翻過(guò)來(lái)得翻奇數(shù)次，6個(gè)杯子都要翻過(guò)來(lái)，則總共需要翻動(dòng)（6X奇數(shù)）偶數(shù)次杯子；按規(guī)定每次同時(shí)翻動(dòng) 4只杯子，因?yàn)?是偶數(shù)，所以翻動(dòng)有限次后，翻動(dòng)次數(shù)的總和也是偶數(shù).因此 有可能經(jīng)過(guò)有限次翻動(dòng)，使得全部杯子的開(kāi)口全都向下.【例20】在

25、8個(gè)房間中，有7個(gè)房間開(kāi)著燈，1個(gè)房間關(guān)著燈.如果每次撥動(dòng)4個(gè)不同房間的開(kāi)關(guān)，能不能把全部房間的燈都關(guān)上？為什么？【解析】按要求每次撥動(dòng)4個(gè)不同房間的開(kāi)關(guān)，而 4是偶數(shù)，所以，這樣的一次操作，撥動(dòng)房間開(kāi)關(guān)次數(shù) 是偶數(shù).那么經(jīng)過(guò)有限次撥動(dòng)后，撥動(dòng)各房間開(kāi)關(guān)次數(shù)總和是偶數(shù).可是，要使7個(gè)房間的燈由開(kāi)變?yōu)殛P(guān)，需要撥動(dòng)各個(gè)房間開(kāi)關(guān)奇數(shù)次；第 8個(gè)房間的開(kāi)關(guān)仍為關(guān)，需要這個(gè)房間撥動(dòng)開(kāi)關(guān)偶 數(shù)次.這樣，需要撥動(dòng)開(kāi)關(guān)的總次數(shù)是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的和，是奇數(shù).所以按照要求不能把全部房間的燈關(guān)上.【鞏固】沿著河岸長(zhǎng)著8叢植物，相鄰兩叢植物上所結(jié)的漿果數(shù)目相差1個(gè).問(wèn)：8叢植物上能否一共結(jié)有225個(gè)漿果？說(shuō)明理

26、由.【解析】不能。本題為俄羅斯小學(xué)生奧數(shù)競(jìng)賽題，可以給學(xué)生介紹。相鄰的兩個(gè)植物果實(shí)數(shù)目差1個(gè)意味著相鄰2個(gè)植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果實(shí)為奇數(shù)個(gè)，總和一定為偶數(shù)，不能為225.【例21】四個(gè)人一道去郊游，他們年齡的和是97歲，最小的一人只有 10歲，他與年齡最大的人的歲數(shù)和比另外兩人歲數(shù)的和大 7歲.問(wèn)： 年齡最大的人是多少歲？另外兩人的歲數(shù)的奇偶性相同嗎？【解析】先將四個(gè)人的歲數(shù)暫時(shí)分為兩組進(jìn)行分析，如果將 97歲減去7歲，則兩組人的歲數(shù)和相等（可 以按照和差問(wèn)題求出大小數(shù)），然后再求出年齡最大的人的歲數(shù)，再說(shuō)明另外兩人的歲數(shù)的奇偶 性. 另外兩人的歲數(shù)和是：（97 7） 2 4

27、5 （歲）年齡最大的人的歲數(shù)：45 7 10 42 （歲） 因?yàn)榱硗鈨扇说哪挲g和是 45歲，是一個(gè)奇數(shù)，那么他們中一個(gè)的歲數(shù)是奇數(shù)，另一個(gè)人的歲 數(shù)是偶數(shù)，也就是他們的歲數(shù)的奇偶性不同.【例22】在“8 8”的方格中放棋子，每格至多放枚棋子.若要求8行、8列、30條斜線（如圖所示）上的棋子數(shù)均為偶數(shù).那么“8 8”的方格中最多可以放多少枚棋子？第11題【解析】如圖，觀察向左下傾斜的 15條斜線，其中的方格數(shù)依次是：1, 2, 3, -，7, 8, 7,，3,2,1,其中有8個(gè)奇數(shù)，表明有8條斜線中必須至少缺一個(gè)棋子.同理右下傾斜的斜線中，也有8條必須缺一個(gè)棋子.這樣，總共至少缺16個(gè)子.下圖表

28、明缺16個(gè)棋子的時(shí)候是可以辦到的，其中黑點(diǎn)占據(jù)的空格表示不放棋子的空格.【例23】 有8個(gè)棱長(zhǎng)是1的小正方體，每個(gè)小正方體有三組相對(duì)的面，第一組相對(duì)的面上都寫(xiě)著數(shù)字1 ,第二組相對(duì)的面上都寫(xiě)著數(shù)字2,第三組相對(duì)的面上都寫(xiě)著數(shù)字3（如圖）.現(xiàn)在把這8個(gè)小正方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)是 2的大正方體.o問(wèn)：是否有一種拼合方式，使得大正方體每一個(gè)面上的4個(gè)數(shù)字之和恰好組成 6個(gè)連續(xù)的自然數(shù)？【解析】假設(shè)滿足條件的大正方體 ABCD EFGH可以拼成(見(jiàn)圖2),即它的每個(gè)面上的 4個(gè)數(shù)字之和恰 好組成6個(gè)連續(xù)的自然數(shù).那么這個(gè)大正方體的六個(gè)面上的24個(gè)數(shù)字之和S就等于這6個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和.又因?yàn)椋?個(gè)連續(xù)自然數(shù)

29、之中必有三個(gè)偶數(shù)、三個(gè)奇數(shù)，所以6個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和必是奇數(shù)，即S是奇數(shù).另一方面，考慮大正方體的8個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、H,它們分別是一個(gè)小正方體的頂點(diǎn).由于，交于這些頂點(diǎn)的小正方體的三個(gè)面互不相對(duì)，因此，在這 三個(gè)面上所寫(xiě)的 3個(gè)數(shù)字分別為1、2、3.這樣大正方體的六個(gè)面上的24個(gè)數(shù)之和S=8 X(1 +2+ 3)=48 .即S又應(yīng)該是偶數(shù).所以這是不可能的.【例24】圓桌旁坐著2k個(gè)人，其中有k個(gè)物理學(xué)家和k個(gè)化學(xué)家，并且其中有些人總說(shuō)真話，有些人 則總說(shuō)假話.今知物理學(xué)家中說(shuō)假話的人同化學(xué)家中說(shuō)假話的人一樣多.又當(dāng)問(wèn)及：“你的右鄰是什么人”時(shí)，大家全部回答：“是化學(xué)家.&qu

30、ot;那么請(qǐng)你證明：k為偶數(shù).【解析】由題目條件可發(fā)現(xiàn)不僅物理學(xué)家與化學(xué)家總?cè)藬?shù)相同，其中說(shuō)真話與說(shuō)假話的人數(shù)也分別相同， 如果有a個(gè)物理學(xué)家說(shuō)謊，同時(shí)也會(huì)有a個(gè)化學(xué)家說(shuō)謊。所以總共有 2a個(gè)人說(shuō)謊。而最后發(fā)現(xiàn)有k個(gè)物理學(xué)家的身份被說(shuō)謊的人改變了，每一個(gè)人只能影響有右鄰的人，說(shuō)明有k個(gè)說(shuō)謊的人，那么k=2a ,則說(shuō)明k是偶數(shù)?！纠?5】 有一個(gè)袋子里邊裝著紅、黃、藍(lán)三種顏色的球，現(xiàn)在小峰每次從口袋中取出3個(gè)球，如果發(fā)現(xiàn)三個(gè)球中有兩個(gè)球的顏色相同，就將第三個(gè)球放還回口袋，如果三個(gè)球的顏色各不相同，就往 口袋中放一個(gè)黃球，已知原來(lái)有紅球42個(gè)、黃球23個(gè)、藍(lán)球43,那么取到不能再取的時(shí)候，口袋里還

31、有藍(lán)球，那么藍(lán)球有多少個(gè)？【解析】一共有108個(gè)球，每次取 3還1,所以取到不能再取的時(shí)候還剩下2個(gè)球，對(duì)于每次取 3個(gè)球,如果3個(gè)球顏色中有兩個(gè)相同，那么第三個(gè)球還回去后，實(shí)際上取走了兩個(gè)相同的球，如果每次 取3個(gè)不同顏色的球，那么還回一個(gè)黃球，實(shí)際上黃球并沒(méi)有被去掉，所以對(duì)于黃球來(lái)說(shuō)每次都取 掉偶數(shù)個(gè)黃球，到最后剩下的球中只剩下 1個(gè)黃球，那么剩下兩個(gè)球中另一個(gè)球一定是藍(lán)球.所以藍(lán)球的個(gè)數(shù)為1.模塊四、整數(shù)的奇偶性分析法【例26】一個(gè)圖書(shū)館分東西兩個(gè)閱覽室.東閱覽室里每張桌子上有2盞燈.西閱覽室里每張桌子上有3盞燈.現(xiàn)在知道兩個(gè)閱覽室里的總的桌子數(shù)和燈數(shù)都是奇數(shù).問(wèn)：哪個(gè)閱覽室的桌子數(shù)是奇

32、數(shù)？【解析】根據(jù)兩個(gè)閱覽室里總的桌子數(shù)和燈數(shù)都是奇數(shù)，想一想可以確定哪個(gè)閱覽室桌子數(shù)、燈數(shù)的奇偶性呢？由于東閱覽室里每張桌子上有2盞燈，因此東閱覽室的燈的總數(shù)一定是偶數(shù).由于兩個(gè)閱覽室里燈的總數(shù)是奇數(shù)，因此西閱覽室的燈的總數(shù)一定是奇數(shù).又因?yàn)槲鏖営[室里每張桌子上有3盞燈，可知西閱覽室的桌子數(shù)是奇數(shù).由于兩個(gè)閱覽室里的總的桌子數(shù)是奇數(shù)，因此東閱覽室 的桌子數(shù)是偶數(shù).所以，只有西閱覽室的桌子數(shù)是奇數(shù).【鞏固】四年級(jí)一班同學(xué)參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試題共 50道，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)一道給3分，不答給1分，答錯(cuò)倒扣1分.請(qǐng)你說(shuō)明：該班同學(xué)的得分總和一定是偶數(shù).【解析】因?yàn)轭}目中沒(méi)有說(shuō)明該班的人數(shù)，說(shuō)明該班人

33、數(shù)的多少與總分的奇偶性無(wú)關(guān)，所以要說(shuō)明總分是 偶數(shù)，只需要說(shuō)明每人得分必為偶數(shù)就可以了.對(duì)于一名參賽同學(xué)來(lái)說(shuō)，如果他全部答對(duì)，他的 成績(jī)將是3 50 150,是偶數(shù)；有一道題未答，則他將丟2分，也是偶數(shù)；答錯(cuò)一道題，則他將丟4分，還是偶數(shù)；所以不論這位同學(xué)答的情況如何，他的成績(jī)將是150減一個(gè)偶數(shù)，還將是偶數(shù).所以，全班同學(xué)得分總和一定是偶數(shù).【例27】師傅與徒弟加工同一種零件，各人把產(chǎn)品放在自己的夢(mèng)筐里，師傅的產(chǎn)量是徒弟的2倍，師傅的產(chǎn)品放在4只夢(mèng)筐中，徒弟的產(chǎn)品放在2只夢(mèng)筐中，每只夢(mèng)筐都標(biāo)明了產(chǎn)品的只數(shù)：78只，94只，86只，87只，82只，80只.根據(jù)上面的條件，你能找出哪兩只筐的產(chǎn)品

34、是徒弟制造的 嗎？【解析】注意到所給出的6個(gè)數(shù)只有一個(gè)為奇數(shù)，它肯定是徒弟制造的.原因是：師傅的產(chǎn)量是徒弟的2倍，一定是偶數(shù)，它是 4只夢(mèng)筐中產(chǎn)品數(shù)的和，在題目條件下只能為四個(gè)偶數(shù)的和.徒弟的另一 筐產(chǎn)品可以利用求解“和倍問(wèn)題”的方法來(lái)得出，求出徒弟加工零件總數(shù)為：（78 94 86 87 82 80） （2 1） 169,那另一筐放有產(chǎn)品 169 87 82 （只）.所以，標(biāo)明 “82 只”和“ 87只”這兩筐中的產(chǎn)品是徒弟制造的.【例28】在黑板上寫(xiě)出三個(gè)整數(shù)，然后擦去一個(gè)換成其它兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到66,88, 237.問(wèn)：原來(lái)寫(xiě)的三個(gè)整數(shù)能否為1, 3, 5?【解析】此

35、題單從具體的數(shù)來(lái)，無(wú)從下手.但抓住其操作過(guò)程中奇偶變化規(guī)律，問(wèn)題就變得很簡(jiǎn)單了 .如 果原來(lái)三個(gè)數(shù)為1,3,5,為三奇數(shù)，無(wú)論怎樣，操作一次后一定為二奇一偶，再往后操作，可 能有以下兩種情況：一是擦去一奇數(shù)，剩下一奇一偶，其和為奇，因此換上去的仍為奇數(shù)；二是 擦去一偶數(shù)，剩下兩奇，其和為偶，因此，換上去的仍為偶數(shù).總之，無(wú)論怎樣操作，總是兩奇 一偶，而66 , 88, 237是兩偶一奇，這就發(fā)生矛盾.所以，原來(lái)寫(xiě)的不可能為1, 3, 5.【例29】蘋(píng)果，梨，橘子三種水果都有許多，混在一起合成一大堆.最少要分成多少堆（每堆都有蘋(píng)果，梨子和橘子三種水果）才能保證找到這樣的兩堆，把這兩堆合并后這三種水果的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)？【解析】由于有三種水果，我們首先來(lái)分析一下這三種水果分堆后每一堆中水果數(shù)的奇偶性的搭配狀 態(tài).因?yàn)?/p>