pp第12章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 12.1概述概述 12.2虛功原理虛功原理 12.3荷載作用下結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式荷載作用下結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式 12.4荷載作用下結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式的實(shí)際應(yīng)用荷載作用下結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式的實(shí)際應(yīng)用 12.5圖乘法圖乘法 12.6溫度變化、支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算溫度變化、支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算 12.7線彈性系的互等定理線彈性系的互等定理 學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) （1 1）了解靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算的相關(guān)概念。）了解靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算的相關(guān)概念。 （2 2）理解并掌握虛功原理、位移計(jì)算的一般公式、單位荷載法、）理解并掌握虛功原理、位移計(jì)算的一般公式、單位荷載法、 圖乘法。圖乘法。 （3 3）能夠

2、求解結(jié)構(gòu)的位移。）能夠求解結(jié)構(gòu)的位移。 （4 4）了解結(jié)構(gòu)由于溫度變化、支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算）了解結(jié)構(gòu)由于溫度變化、支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算 和線彈性體系的互等定理。和線彈性體系的互等定理。12.1.112.1.1位位移移的的概概念念截面的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱為截面的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱為位移位移。 截面轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為該截面的截面轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為該截面的角位移角位移。截面形心移動(dòng)的距離稱為該截面的截面形心移動(dòng)的距離稱為該截面的線位移線位移；點(diǎn)的線位移AA位移點(diǎn)的水平 線A Ax點(diǎn)的豎向線位移AAy點(diǎn)的角位移AA12.1.112.1.1位位移移的的概概念念截面的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱為截面的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱為位移位移。 截面轉(zhuǎn)

3、動(dòng)的角度稱為該截面的截面轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為該截面的角位移角位移。截面形心移動(dòng)的距離稱為該截面的截面形心移動(dòng)的距離稱為該截面的線位移線位移；點(diǎn)的線位移AA位移點(diǎn)的水平 線A Ax點(diǎn)的豎向線位移AAy點(diǎn)的角位移AAAAAPAxAyAt 12.1.112.1.1位位移移的的概概念念12.1.212.1.2計(jì)計(jì)算算靜靜定定結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)位位移移的的目目的的（1 1）對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行剛度校核。結(jié)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行剛度校核。結(jié)構(gòu)除了要滿足強(qiáng)度要求外構(gòu)除了要滿足強(qiáng)度要求外,還要還要具有足夠的剛度具有足夠的剛度,以便將結(jié)構(gòu)的以便將結(jié)構(gòu)的變形或位移限制在一定的范圍變形或位移限制在一定的范圍之內(nèi)。之內(nèi)。（2 2）為解決超靜定問(wèn)題打下）為

4、解決超靜定問(wèn)題打下基礎(chǔ)。在分析超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)基礎(chǔ)。在分析超靜定結(jié)構(gòu)時(shí), ,只考慮靜力平衡條件是不夠只考慮靜力平衡條件是不夠的的, ,還必須根據(jù)結(jié)構(gòu)的位移條還必須根據(jù)結(jié)構(gòu)的位移條件建立補(bǔ)充方程件建立補(bǔ)充方程, ,才能獲得正才能獲得正確的解答。確的解答。（3 3）為生產(chǎn)使用提）為生產(chǎn)使用提供依據(jù)。在結(jié)構(gòu)的制供依據(jù)。在結(jié)構(gòu)的制作、安裝過(guò)程中常要作、安裝過(guò)程中常要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況情況, ,以便采取一定以便采取一定的施工措施的施工措施, ,因此也因此也要進(jìn)行位移計(jì)算。要進(jìn)行位移計(jì)算。12.2.112.2.1功功的的概概念念1.1.功功力力作用點(diǎn)沿力方向上的位移力力作用點(diǎn)沿力方向上的

5、位移xFFWcosMdFdFddW00恒力恒力F F作功作功力偶作功力偶作功12.2.112.2.1功功的的概概念念力矩對(duì)物體所作的功：力矩對(duì)物體所作的功： MW 為力矩M過(guò)的角度為物體在力矩作用下轉(zhuǎn)當(dāng)力與位移垂直，功為零。當(dāng)力與位移垂直，功為零。功是代數(shù)量，可正、可負(fù)、也可為零。功是代數(shù)量，可正、可負(fù)、也可為零。當(dāng)力與位移方向相同，功為正；當(dāng)力與位移方向相同，功為正；當(dāng)力與位移方向相反，功為負(fù)；當(dāng)力與位移方向相反，功為負(fù)；功的量綱為力與長(zhǎng)度的乘積功的量綱為力與長(zhǎng)度的乘積, ,單位為單位為 : : mNmkN或或 12.2.112.2.1功功的的概概念念2.2.廣義力與廣義位移廣義力與廣義位移

6、 FWF稱為稱為廣義力廣義力: : 單個(gè)集中力、集中力偶或一對(duì)力單個(gè)集中力、集中力偶或一對(duì)力 及一對(duì)力偶；及一對(duì)力偶； 稱為稱為廣廣義義位移位移，可以是，可以是線線位移或角位移。位移或角位移。 廣義力作功須與廣義位移一一對(duì)應(yīng)。廣義力作功須與廣義位移一一對(duì)應(yīng)。 12.2.212.2.2實(shí)實(shí)功功與與虛虛功功力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功1111121FW12112 FW第一個(gè)腳標(biāo)表示位移發(fā)生的位置和方向，第一個(gè)腳標(biāo)表示位移發(fā)生的位置和方向，第二個(gè)腳標(biāo)表示位移發(fā)生的原因。第二個(gè)腳標(biāo)表示位移發(fā)生的原因。 虛功

7、要求作虛功要求作功的力和位功的力和位移屬于同一移屬于同一體系的兩個(gè)體系的兩個(gè)獨(dú)立無(wú)關(guān)的獨(dú)立無(wú)關(guān)的狀態(tài)，因此狀態(tài)，因此作虛功必須作虛功必須具備兩種毫具備兩種毫不相關(guān)的狀不相關(guān)的狀態(tài)。態(tài)。 12.2.312.2.3剛剛體體虛虛功功原原理理 剛體處于平衡狀態(tài)的充分與必要條件是：外力剛體處于平衡狀態(tài)的充分與必要條件是：外力所作的虛功之和恒等于零。所作的虛功之和恒等于零。 0外W （1）用虛位移用虛位移法求未知力。虛位移法求未知力。虛位移法就是虛設(shè)位移法就是虛設(shè)位移狀態(tài)狀態(tài),利用虛功利用虛功方程求未知方程求未知力。這種形力。這種形式的應(yīng)用式的應(yīng)用,即即為虛位移原理。為虛位移原理。（2）用虛荷載法求用虛荷

8、載法求未知位移。虛荷載法未知位移。虛荷載法就是虛設(shè)力狀態(tài)就是虛設(shè)力狀態(tài),利用利用虛功方程求位移。這虛功方程求位移。這種形式的應(yīng)用種形式的應(yīng)用,即為虛即為虛荷載原理。荷載原理。剛體虛功剛體虛功原理應(yīng)用原理應(yīng)用12.2.312.2.3剛剛體體虛虛功功原原理理【例【例12-112-1】如圖12-6(a)所示,當(dāng)外伸梁在支座B處向上移動(dòng)距離a時(shí),求C點(diǎn)的豎向位移Cy。圖12-612.2.312.2.3剛剛體體虛虛功功原原理理 在在C C點(diǎn)虛加一單位力點(diǎn)虛加一單位力1P建立虛設(shè)力系與給定位移之間的虛功：建立虛設(shè)力系與給定位移之間的虛功：0aRPByCy由平衡方程可求出：由平衡方程可求出： lbRByBy

9、R單位力作用下支座單位力作用下支座B B 的約束力的約束力 albCy則則： 這一沿所求位移這一沿所求位移方向虛設(shè)單位荷方向虛設(shè)單位荷載的方法稱為載的方法稱為虛虛單位荷載法單位荷載法。12.2.412.2.4剛剛體體虛虛功功原原理理 變形體處于平衡狀態(tài)的必要與充分條件是：外力在對(duì)外力在對(duì)應(yīng)的位移上所作的外力虛功總和等于各微段上的內(nèi)力在應(yīng)的位移上所作的外力虛功總和等于各微段上的內(nèi)力在其對(duì)應(yīng)的變形上所作的內(nèi)力虛功總和其對(duì)應(yīng)的變形上所作的內(nèi)力虛功總和，即內(nèi)外WW內(nèi)力在其本身引起的變形上所作的功稱為內(nèi)力實(shí)功內(nèi)力實(shí)功；內(nèi)力在其他原因引起的變形上所作的功稱為內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功。 第一組外力P1在第二組外力P

10、2所引起的位移上所作的外力虛功，等于第一組內(nèi)力在第二組內(nèi)力所引起的變形上所作的內(nèi)力虛功。 求D點(diǎn)的水平位移在D點(diǎn)作用一單位水平力P1P1外W力狀態(tài) 外力功 支座無(wú)移動(dòng)，支座反力不做功 位移狀態(tài) 在結(jié)構(gòu)桿上任取一微段dsdsddsddsd1 微段因?qū)嶋H荷載作用而引起的變形為 此微段上由虛設(shè)力引起的內(nèi)力在實(shí)際荷載引起的變形上所做的虛功 dsMdsFdsFdWSN1其中 EAFPNGAFSPEIMP1為剪應(yīng)力不均勻系數(shù)，其值與截面的形狀有關(guān) 矩形截面2 . 1圓形截面910工字型截面AA在整根桿上內(nèi)力虛功為：lllPPSSNPNdsEIMMdsGAFFdsEAFFW整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力功的總和為：lllP

11、SPSPNNdsEIMMdsGAFFdsEAFFW結(jié)構(gòu)在荷載作用下任一點(diǎn)位移的計(jì)算公式 lllPSPSPNNdsEIMMdsGAFFdsEAFFNFSFM單位力作用下的內(nèi)力 PSPNPMFF,實(shí)際荷載作用下引起的結(jié)構(gòu)的內(nèi)力 任何符合胡克定律的桿件結(jié)構(gòu)，無(wú)論是梁、桁架、剛架、拱或由它們組合而成的組合結(jié)構(gòu)都可以用此式計(jì)算。 本質(zhì)上是計(jì)算功的公式。 為負(fù)值， 方向應(yīng)與虛設(shè)的力的方向相反。 計(jì)算相對(duì)位移時(shí)虛設(shè)單位力: 求結(jié)構(gòu)上某兩點(diǎn) A、B間的相對(duì)位移求某一截面轉(zhuǎn)角 求某桿轉(zhuǎn)角 求鉸兩側(cè)的相對(duì)轉(zhuǎn)角 求兩桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角 1.1.梁和剛架梁和剛架lPdxEIMM軸力和剪力所引起的位移則較小，可略去不計(jì) 各桿

12、均為直桿 2.2.桁架桁架EAlFFNPN3.3.組合結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu)4.4.拱拱LPNNPEAlFFdxEIMMLLNPNPdsEAFFdsEIMM【例【例12-212-2】求圖12-10(a)所示的懸臂梁B端截面的轉(zhuǎn)角B和撓度yB,EI為常數(shù)。圖12-10 【例【例12-312-3】試求圖12-11(a)所示的剛架結(jié)點(diǎn)B的水平位移Bx及角位移B。圖12-11 【例【例12-412-4】試求圖12-12(a)所示的桁架下弦中間結(jié)點(diǎn)B的撓度。設(shè)各桿的EA均相等。圖12-12 【例【例12-512-5】試求圖12-13(a)所示半徑為R的1/4圓周形等截面曲梁B點(diǎn)的豎向位移Bx。設(shè)E、A、G、已知,

13、均為常數(shù)。圖12-13 12.5.112.5.1圖圖乘乘法法的的計(jì)計(jì)算算公公式式結(jié)構(gòu)和荷載滿足條件結(jié)構(gòu)和荷載滿足條件： M（1）EIEI沿桿長(zhǎng)度不變，即沿桿長(zhǎng)度不變，即EIEI為常數(shù)；為常數(shù)；（2 2）桿件為直桿；）桿件為直桿；圖和圖和M MP P圖中至少有一個(gè)為直線圖形圖中至少有一個(gè)為直線圖形. . （3 3）AB為直桿為直桿 dsMMEIdsEIMMBAPBAP1x x截面截面 tanxM 12.5.112.5.1圖圖乘乘法法的的計(jì)計(jì)算算公公式式dxMxdsMMPBABAPtan常數(shù)tanBAcPxdxxMtanBAcPxdxMM則：則： CCyxtanCyMP圖的形心C對(duì)應(yīng)的 M圖上的y

14、坐標(biāo). CCyxtan則：則： EIyC兩個(gè)圖形相乘的積，等于其中一個(gè)圖兩個(gè)圖形相乘的積，等于其中一個(gè)圖形的面積形的面積（通常取曲線圖形的面積（通常取曲線圖形的面積）乘以此圖的形心所對(duì)應(yīng)的另一圖形）乘以此圖的形心所對(duì)應(yīng)的另一圖形（必須是直線圖形）的縱坐標(biāo)（必須是直線圖形）的縱坐標(biāo)y yc c BACPydxMM所以：所以： 12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用 （1 1）必須滿足前述的三個(gè)條件，若必須滿足前述的三個(gè)條件，若EIEI為分段常數(shù)，應(yīng)分為分段常數(shù)，應(yīng)分段計(jì)算段計(jì)算。 （2 2）面積面積 與與y yc c在桿的同側(cè)時(shí)，二者乘積取正號(hào)；反之，在桿的同側(cè)時(shí)，二者乘積取正

15、號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。取負(fù)號(hào)。 （3 3）ycyc必須取自直線圖中，而必須取自直線圖中，而 則為另一圖形面則為另一圖形面積積。 （4 4）如果某一個(gè)圖形是由幾段直線組成的折線，如果某一個(gè)圖形是由幾段直線組成的折線，則應(yīng)分段計(jì)算。則應(yīng)分段計(jì)算。 12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用332211yyydxMMP （5 5）不便確定形心的復(fù)雜圖形，可應(yīng)用疊加原理，不便確定形心的復(fù)雜圖形，可應(yīng)用疊加原理，把圖形分解后圖乘，再將結(jié)果代數(shù)和。把圖形分解后圖乘，再將結(jié)果代數(shù)和。 12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用)22(1)(1212211yblyalEIyyEIdxE

16、IMMPdcy31321dcy32312式中：式中：12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用)22(121yalyalEIdxEIMMPdcy31321cdy31322 式中：式中： （6 6）對(duì)于圖所示一均布荷載作用的部分，對(duì)于圖所示一均布荷載作用的部分， MMP P圖圖可視為同一簡(jiǎn)支梁兩端受力偶作用下的彎矩圖與均可視為同一簡(jiǎn)支梁兩端受力偶作用下的彎矩圖與均布荷載作用下的彎矩圖的疊加結(jié)果。計(jì)算時(shí)可分別布荷載作用下的彎矩圖的疊加結(jié)果。計(jì)算時(shí)可分別圖乘，再求出其代數(shù)和即可。圖乘，再求出其代數(shù)和即可。 12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用標(biāo)準(zhǔn)拋物線標(biāo)準(zhǔn)拋物線是指

17、頂點(diǎn)在圖形的中點(diǎn)或端點(diǎn)的拋物線。是指頂點(diǎn)在圖形的中點(diǎn)或端點(diǎn)的拋物線。 拋物線的頂點(diǎn)是指切線平行于基線的點(diǎn) 12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用【例【例12-612-6】已知EI為常數(shù),試求圖12-20(a)所示簡(jiǎn)支梁A端的角位移A和梁中點(diǎn)C的豎向位移Cy。圖12-2012.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用 畫荷載彎矩圖和兩個(gè)單位彎矩圖畫荷載彎矩圖和兩個(gè)單位彎矩圖 EIqlqllEIEIyCA2421832132EIqllqllEIEIyCCy384524858232142A A端的角位移端的角位移點(diǎn)點(diǎn)

18、C C的豎向位移的豎向位移12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用【例【例12-712-7】求圖所示外伸梁A端的角位移和C端的豎向位移。圖12-2125mkN102 . 1EI12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用 畫荷載彎矩圖和兩個(gè)單位彎矩圖畫荷載彎矩圖和兩個(gè)單位彎矩圖 A A端的角位移端的角位移5102 . 1300316300211EIEIyCArad0025. 0C C端的豎向位移端的豎向位移11122300 6445 6 323CCyyEIEIEI 5.55(cm)m0555. 0102 . 1666066605EI （）注意注意: :MP圖中圖中C

19、點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn) , ,即該圖不是即該圖不是標(biāo)準(zhǔn)的拋物線，可將它看成是虛線與軸線標(biāo)準(zhǔn)的拋物線，可將它看成是虛線與軸線BC連成連成的三角形與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的均布荷載作用下的標(biāo)準(zhǔn)的三角形與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的均布荷載作用下的標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形疊加而成。上述各部分分別圖乘后疊加拋物線圖形疊加而成。上述各部分分別圖乘后疊加. . 12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用【例【例12-812-8】試求剛架B點(diǎn)的水平位移。E為常數(shù)。圖12-22 2224112112212322338225()48BxqlqlllqlllllEIE

20、IqlEI作MP圖和M圖,如圖12-22(b)、(c)所示,分段圖乘時(shí),可將BC段視為虛線與曲線之間包含的部分疊加而成,將上述各部分分別圖乘后疊加得12.5.212.5.2圖圖乘乘法法公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用12.6.112.6.1溫溫度度改改變變而而引引起起的的位位移移當(dāng)溫度變化時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)因沒(méi)有多余約束，所當(dāng)溫度變化時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)因沒(méi)有多余約束，所以各截面都不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力，支座也不會(huì)產(chǎn)生反力。以各截面都不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力，支座也不會(huì)產(chǎn)生反力。但靜定結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生變形，其各截面會(huì)產(chǎn)生位移。但靜定結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生變形，其各截面會(huì)產(chǎn)生位移。studd0表示當(dāng)溫度變化1 時(shí)桿所產(chǎn)生的相對(duì)變形 線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù)0t軸線

21、處溫度的升高值。軸線處溫度的升高值。 假定溫度變化是均勻的，即每一根桿上各截面的溫度變化是相同的，沿桿截面高度溫度按線性規(guī)律變化。12tt 12.6.112.6.1溫溫度度改改變變而而引引起起的的位位移移21hh 11012ddddhststhststhhthtt12210221hhh(1)(2)2210tttshthststdddd1212ttt微段兩側(cè)溫度改變之差。 12.6.112.6.1溫溫度度改改變變而而引引起起的的位位移移求k點(diǎn)位移 1P在K截面處施加一單位力 uFMdd1N shtMstFdd0Nstudd0shthststdddd12其中: 當(dāng)結(jié)構(gòu)中每一桿件沿其全長(zhǎng)溫度改變相同且截面等高，則上式可改寫為 N0FMthtM虛設(shè)單位力所引起的彎矩圖的面積 NF虛設(shè)單位力所引起的軸力圖的面積 式中的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：若虛擬狀態(tài)的內(nèi)力的方向與溫度改變所引起的變形方向一致，則取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。 12.6.112.6.1溫溫度度改改變變而而引引起起的的位位移移【例【例12-912-9】如圖所示的結(jié)構(gòu)中,內(nèi)部溫度上升10 ,外部下降20 ,l=4 m,各桿截面均為矩形截面,截面高度h=40cm,截面形心位于截面高度1/2處，=110-5,求C點(diǎn)的豎向位移Cy。12.6.112.6.1溫溫度度改改變變而而引引起起的的