2020年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)含答案解析

1、2020年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1 .復(fù)數(shù) z滿足 z （1+Ji） =1+Ji|,則 z 等于（）A. 1 - V5iB . 1C. -iD .i2 .有一個(gè)容量為概率是（）分組頻數(shù)66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的數(shù)據(jù)如下：估計(jì)數(shù)據(jù)落在11.5, 15.5)215.5, 19.5) 431.5, 35.5) 1219.5, 23.5) 935.5 , 39.5) 731.5, 43.5的23.5, 27.5)1839.5, 43.5)3分組27.5, 31.5)頻數(shù)11第1頁(yè)（共 21頁(yè)）3 .已知集合A=1 ,2,3,平面內(nèi)以（x

2、, v）為坐標(biāo)的點(diǎn)集合 B= （x, V）|x8, yA, x+y CA,則B的子集個(gè)數(shù)為（）A. 3B. 4C. 7D. 84 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1=1 ,公差d=2 , Sn+2 - Sn=36,則n=（）A. 5B. 6C. 7D. 85 .若某程序框圖如圖所示，則輸出的 P的值是（）JJlr MI(1滎A(yù). 22B. 27C. 31D. 56）y2=16x的準(zhǔn)線交于 A,B兩點(diǎn),6 .在 4ABC 中，AB=2. AC=3 ,屈?BC=1,則 BC=(A. V3 B. W C, 2/2D , V237 .等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線|AB|=4

3、Vs,則f 的實(shí)軸長(zhǎng)為()A. V2 B. 2V2 C. 4D . 88 . 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）9.惻視圖48+8 ttD. 48+12 兀已知 sin 產(chǎn)二，貝U cos （兀2”）=（）JA.D里10.已知a, bCR,下列四個(gè)條件中，使>1成立的必要不充分條件是A. a>b- 1B. a>b+1C. |a|>|b|D. (y)11 .已知實(shí)數(shù) 則()(a, b) A. 1B. 2C.a, b 滿足 a2+b2 - 4a+3=0,函數(shù) f (x) =asinx+bcosx+1 的最大值記為(a, b),的最小值為（V3HD. 312

4、 .已知函數(shù)f (x)=kx- 2r k>0Ln( - x) i x<0的圖象上有兩對(duì)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（A. (0, 1) B.1（°，看）C. (0+ 00)d. (0, e)二、填空題（共13 .設(shè)隨機(jī)變量4小題,每小題X滿足正態(tài)分布5分，滿分20分)X N ( 1,而，若 P ( 3 寂 W 1) =0.4,貝 U P ( 一 3 雙局)14 .若直線y=2x上存在點(diǎn)（xy）滿足約束條件,則實(shí)數(shù)m的取值范15 .如圖，半徑為 4的球。中有一內(nèi)接圓往，則圓柱的側(cè)面積最大值是16 .對(duì)于函數(shù)f (x),若存在區(qū)間 M=a , b,使得y|y=f

5、 (x)； xCM=M ,則稱函數(shù)f (x)具有性質(zhì)p,給出下列3個(gè)函數(shù)： f (x) =sinx f (x) =x3- 3x f (x) =lgx+3其中具有性質(zhì)p的函數(shù)是 (填入所有滿足條件函數(shù)的序號(hào)) 三、解答題(共5小題，滿分60分)17 .等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 2ai+3a2=1, 33=373 .(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；|sn+1 - Sn(n )設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bny,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.“3 ml18 .本著健康、低碳的生活理念，湛江市區(qū)采用公共自行車的人越來(lái)越多，使用年租卡租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2

6、元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).假設(shè)甲、乙兩人相互獨(dú)立地用年租卡每天租車一次.已知甲、乙不 超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為 g, 二 ；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為;4 22 4兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí).(I )分別求出甲、乙兩人某一天在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率.(n)記甲、乙兩人一天所付的租車費(fèi)用之和為占求E的分布列及數(shù)學(xué)期望.19 .如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為矩形，AD=PD=2仃，PB=AB=6，點(diǎn)P在 底面的正投影在DC上.(I)證明：BD XPA;(n )求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.22£ y20.如圖，已知橢圓 C1

7、： 2 +=1 （a>b>。）a b的半焦距為c,原點(diǎn)。到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（c、0）,(0, b)的直線的距離為相(/(0, 1),垂直于x軸的直線l與橢圓C1及圓C2： x2+y2=a2第7頁(yè)(共21頁(yè))均有兩個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)按其坐標(biāo)從大到小分別為A、B、C、D(I)當(dāng)入=上時(shí)，求倍的值；(n )設(shè)N (a, 0),若存在直線l使得BO / AN ,證明：0V入二 221 .設(shè)函數(shù) f (x) = (ax+1) e x (aCR)(I )當(dāng)a>0時(shí)，求f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(n )對(duì)任意xq。，+8), f (x)球+1恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.選彳4-1:幾何證明選講(

8、共1小題，滿分10分)22 .如圖，AE是。的直徑，4ABC內(nèi)接于。O, AB=BC , AD ±BC,垂足為 D.(I )求證：AE?AD=AC ?BC；(n )過(guò)點(diǎn)C作。O的切線交BA的延長(zhǎng)線于F,若AF=4, CF=6,求AC的長(zhǎng).選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程23 .在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(。為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的單位長(zhǎng)度，以原點(diǎn) 。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線 l的方程為psin (什)=2版(I )求圓C的極坐標(biāo)方程;(n )設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A , B,求|AB| .選彳4-5：不等式選講24.已知函數(shù) f (x) =|

9、x- 2|(1)解不等式 xf (x) +3>0;(2)對(duì)于任意的xC ( - 3, 3),不等式f (x) vm-兇恒成立，求 m的取值范圍.2020年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)1 .復(fù)數(shù) z滿足 z (1+Ji) =|1+-/3i|,則 z 等于()A. 1-B. 1C. -AD. -i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模.【分析】通過(guò)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求解即可.【解答】解：復(fù)數(shù)Z滿足z (1+Ji) =|1+-./3i|=2,2.有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的數(shù)據(jù)如下：估計(jì)數(shù)據(jù)落在 概率是()

10、分組11.5, 15.5)頻數(shù)227.5,31.5)1115.5, 19.5) 431.5, 35.5) 1219.5, 23.5) 935.5 , 39.5) 731.5 , 43.5的23.5, 27.5)1839.5, 43.5)3分組頻數(shù)12 D-【考點(diǎn)】頻率分布直方圖；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.I頻數(shù)【分析】根據(jù)頻率分布表，利用頻率 =樣本看量,計(jì)算頻率即可.【解答】解:所以數(shù)據(jù)落在數(shù)據(jù)落在31.5, 43.5的頻數(shù)是12+7+3=22,22 131.5, 43.5的概率是 P=g.故選：B.3.已知集合A=1 ,2,3,平面內(nèi)以(x, v)為坐標(biāo)的點(diǎn)集合 B= (x,

11、V)|x8, yA, x+y S,則B的子集個(gè)數(shù)為()A. 3B. 4C. 7D. 8【考點(diǎn)】子集與真子集.【分析】先求出B= (1, 1), (1, 2), (2, 1) ,由此能求出B的子集個(gè)數(shù).【解答】解：:集合A=1 , 2, 3,平面內(nèi)以(x, y)為坐標(biāo)的點(diǎn)集合 B= (x, y) |xA, y SA , x+y CA,B= (1,1), (1, 2), (2, 1) ,.B的子集個(gè)數(shù)為：23=8個(gè).故選：D.4 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若ai=1,公差d=2, Sn+2 - Sn=36,則n=()A. 5B. 6C. 7D. 8【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì).【分析】 由Sn+

12、2 - Sn=36,得an+1+an+2=36,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解n.【解答】解：由 Sn+2 - Sn=36,得：an+l+an+2=36 ,即 ai+nd+ai+ (n+1) d=36,又 ai=1, d=2 , .2+2n+2 (n+1) =36.解得：n=8.故選：D.5 .若某程序框圖如圖所示，則輸出的P的值是()/ = M= 1 I-n/寺/A. 22B. 27C. 31D. 56【考點(diǎn)】程序框圖.【分析】根據(jù)流程圖，先進(jìn)行判定條件，不滿足條件則運(yùn)行循環(huán)體，一直執(zhí)行到滿足條件即跳出循環(huán)體，輸出結(jié)果即可.【解答】 解：第一次運(yùn)行得：n=0, p=1,不滿足p> 20,則

13、繼續(xù)運(yùn)行第二次運(yùn)行得：n= - 1, p=2 ,不滿足p>20,則繼續(xù)運(yùn)行第三次運(yùn)行得：n= - 2, p=6 ,不滿足p>20,則繼續(xù)運(yùn)行第四次運(yùn)行得：n= -3, p=15,不滿足p>20,則繼續(xù)運(yùn)行第五次運(yùn)行得：n= - 4, p=31 ,滿足p>20,則停止運(yùn)行輸出p=31 .故選C.莘聲=L tt= 1/輯豆p/結(jié)束6 .在 4ABC 中，AB=2 , AC=3 ,處？BC=1,貝U BC=()A .近 B . W C. 2/D. V23【考點(diǎn)】 解三角形；向量在幾何中的應(yīng)用.【分析】設(shè)/B= %由凝痂=1 ,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，表示出co

14、s 0,再利用余弦定理表示出 cos。，兩者相等列出關(guān)于 BC的方程，求出方程的解即可得到 BC的 長(zhǎng).【解答】 解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：aE?BC=1,設(shè) / B=。，AB=2 ,貝 u Bc=jy7 .等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn)，|AB|=4>/3,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為()A .血 B . 2V2 C. 4D . 8【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合.【分析】設(shè)等軸雙曲線 C: x2- y2=a2 (a> 0), y2=16x的準(zhǔn)線l ： x= - 4,由C與拋物線y2=16x 的準(zhǔn)線交于A, B兩點(diǎn)，牌1二4值 能求出C的實(shí)

15、軸長(zhǎng).【解答】 解：設(shè)等軸雙曲線 C: x2-y2=a2 (a>0),y2=16x 的準(zhǔn)線 l ： x= - 4,.C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線l： x=-4交于A, B兩點(diǎn)，陛1=a1A （-4, 2-73）, B （-4, -23）,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得 相二（7產(chǎn)-（及'=4,a=2, 2a=4.故選C.8 . 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（第9頁(yè)(共21頁(yè))A. 64+8 田.48+12 tiC . 48+8 ttD. 48+12 ?！究键c(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】該幾何體為棱柱與圓柱的組合體，幾何體的表面積為棱柱的表面積加上圓柱的側(cè)面積.

16、【解答】解：由三視圖可知該幾何體的下部分是底面為邊長(zhǎng)是4,高是2的四棱柱，上部分是底面直徑為4,高為2的圓柱，.S=4 >4X2+4 >4X2+4 兀 2=64+8 兀.故選A .9 .已知 sin 爐一,貝U cos （兀2 a）=（）A考B-一色”乎【考點(diǎn)】 二倍角的余弦；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式求得 cos （兀-2a） = - cos2a進(jìn)而根據(jù)二倍角公式把 sin a的值代入 即可求得答案.【解答】解：:sinaq,2、 . cos （兀-2a） = - cos2a= - （1 - 2sin a）=".故選B.10.已知a, bCR,下列四個(gè)

17、條件中，使>1成立的必要不充分條件是A. a>b- 1B. a>b+1C. |a|> |b|D.【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】 對(duì)于二>1,當(dāng)b>0時(shí)，a>b>0;當(dāng)b<0時(shí)，a< b<0, - a> - b>0,可得管1? |a|> |b|,反之不成立.即可判斷出結(jié)論.【解答】解：對(duì)于/>1, ? b (a-b) >0.b當(dāng) b>0 時(shí)，a>b>0；當(dāng) b<0 時(shí)，a<b<0,-a>- b>0,.告>1? |a|>

18、1b|,反之不成立，例如：取 a=2, b= - 1. |a|> |b|是使>1成立的必要不充分條件.故選：C.11,已知實(shí)數(shù) a, b 滿足 a2+b2 - 4a+3=0,函數(shù) f (x) =asinx+bcosx+1 的最大值記為(a, b),則4 (a, b)的最小值為()A. 1B. 2C. V3+1 D. 3【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的最值.【分析】 點(diǎn)(a, b)在圓 (a-2) 2+b2=1上，函數(shù)f (x) =asinx+bcosx+1的最大值為 4(a，b) =/+卜2+1,表示原點(diǎn)到點(diǎn)(a, b)的距離加1,求出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為1,從而求得4 (a, b)

19、的最小值.【解答】解：:實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2-4a+3=0,(a-2)2+b2=1,表示以(2,0)為圓心，以1為半徑的圓.,函數(shù)f (x) =asinx+bcosx+1的最大值為()(a, b) =J屋+ b?+1，它的幾何意義為原點(diǎn)到點(diǎn)(a, b)的距離加1.再由點(diǎn)(a, b)在圓a2+b2-4a+3=0上，原點(diǎn)到圓心(2, 0)的距離等于2,故圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為1,所以(f)(a, b)的最小值為2,故選B.12.已知函數(shù)f (x)=kx - 2, k>0"Ln( - x) i x<0的圖象上有兩對(duì)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()1A.

20、 (0, 1) B. (0, 丁)C. (0, +00) D. (0, e)【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.【分析】 求出x>0時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)g (x) =lnx ,由題意可得g (x)的圖象和y=kx-2 (x>0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)出直線y=kx - 2與y=g (x)相切的切點(diǎn)為(m, lnm),求出g (x)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)和k的值，由圖象即可得到所求范圍.【解答】解：當(dāng)XV0時(shí)，f (x) =-ln (- x),由f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得g (x) =lnx (x>0),由題意可得g (x)的圖象和y=kx - 2 (x>0)的

21、圖象有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)直線y=kx-2與y=g (x)相切的切點(diǎn)為(m, lnm),由g (x)的導(dǎo)數(shù)為g' (x)=,即有切線的斜率為-=k,rn又 lnm=km 2,解得 m=, k=e,e由圖象可得0vkve時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn).二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)13.設(shè)隨機(jī)變量X滿足正態(tài)分布XN(- 1,肩，若P (-3寂w-1) =0.4,則P (- 3雙局) =0.8 .【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線關(guān)于 x=- 1對(duì)稱，可得P (- 3<x<- 1) =P (- 1a司)，即可得 出結(jié)論.【解答】 解：由正態(tài)分布曲線的

22、對(duì)稱性得：P (-3蟲w- 1) =P (- 1a司)， .P (- 3在詞)=2P (- 3»W- 1) =0.8.故答案為：0.8.&了 - 3<014.若直線y=2x上存在點(diǎn)(x,y)滿足約束條件2y-340,則實(shí)數(shù)m的取值范圍(-22 1【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.產(chǎn)【分析】先根據(jù)c C，確定交點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 2）要使直線y=2x上存在點(diǎn)（x, y）滿s+y 一- 3<0由此可得結(jié)論.足約束條件 k- 2y-3<0, 則mW , t支）口【解答】解：由題意，由,可求得交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）第13頁(yè)（共 21頁(yè)）要使直線y=2x上存在點(diǎn)（x, y）滿足約束條件

23、如圖所示.可得 m<則實(shí)數(shù)m的取值范圍 （-8,1.故答案為：（-1.=0/4 5工r-3 =015 .如圖，半徑為 4的球。中有一內(nèi)接圓往，則圓柱的側(cè)面積最大值是32?！究键c(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）.【分析】設(shè)出圓柱的上底面半徑為r,球的半徑與上底面夾角為“，求出圓柱的側(cè)面積表達(dá)式，求出最大值【解答】解：二設(shè)圓柱的上底面半徑為r,球的半徑與上底面夾角為a,則r=4cosa,圓柱的高為8sin a,TT，圓柱的側(cè)面積為：32廟所2”，當(dāng)且僅當(dāng)“一“時(shí)，sin2 a=1,圓柱的側(cè)面積最大，.二圓柱的側(cè)面積的最大值為：32 7t.故答案為：32 7t.16 .對(duì)于函數(shù)f (x),若存在區(qū)

24、間 M=a , b,使得y|y=f (x); xCM=M ,則稱函數(shù)f (x) 具有性質(zhì)p,給出下列3個(gè)函數(shù)： f (x) =sinx f (x) =x3- 3x f (x) =lgx+3其中具有性質(zhì)p的函數(shù)是(填入所有滿足條件函數(shù)的序號(hào))【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法.【分析】對(duì)于函數(shù)f (x) =sinx,根據(jù)其在-?,：上是單調(diào)增函數(shù)，通過(guò)分析方程X 兀Isinx=x在-二廠上僅有一解，判斷即可；通過(guò)對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo)，分析出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，找到極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，并求出極大值b和極小值a,而求得的f (a)與f (b)在a, b范圍內(nèi)，滿足性質(zhì) P; 根據(jù) 性質(zhì)P”的定義，函數(shù)存在區(qū)間

25、M ”，只要舉出一個(gè)符合定義的區(qū)間M即可，但要說(shuō)明函數(shù)沒(méi)有區(qū)間P”，判斷即可【解答】 解： 對(duì)于函數(shù)f (x) =sinx,若正弦函數(shù)存在等值區(qū)間a, b,貝U在區(qū)間a, b上有 sina=a, sinb=b ,由正弦函數(shù)的值域知道a, b? -1, 1,但在區(qū)間?-1, 1上僅有sin0=0,所以函數(shù)f (x) =sinx不具有性質(zhì)P；對(duì)于函數(shù) f (x) =x3- 3x, f' (x) =3x2-3=3 (x- 1) (x+1 ).當(dāng) xC ( 1 , 1)時(shí)，f' (x) 0.所以函數(shù)f (x) =x3-3x的增區(qū)間是(- 8, 1), (1, +oo),減區(qū)間是(-1,

26、1).取 M= 2, 2,此時(shí) f (2) =- 2, f ( 1) =2, f (1) = 2, f (2) =2.所以函數(shù)f (x) =x3- 3x在M=-2, 2上的值域也為-2, 2,則具有性質(zhì)P； 對(duì)于f (x) =lgx+3,若存在 穩(wěn)定區(qū)間”a, b,由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有八_ . ,即方程lgx+3=x有兩個(gè)解，這與y=lgx+3和y=x的圖象相切相矛盾.Lgbt3=b故不具有性質(zhì)P.故答案為：.三、解答題(共5小題，滿分60分)17.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 2a1+3a2=1, a3=3/a5 .(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 一一 . ,、， 一一(II

27、)設(shè)Sn為數(shù)列an的刖n項(xiàng)和，bn=,求數(shù)列bn的刖n項(xiàng)和Tn.【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【分析】(I)由等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組求出首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.c L 門 1 、Sn+1 - Sn 1_1（n ）先出Sn=- Cl 蕊），從而bn-Z-T=2（1 _ ” i飛支1），由此利用裂-33力占/11J 1 J項(xiàng)求和法能求出數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.【解答】解：（I ） ;等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 2ai+3a2=1, a3=%/d2 aLl ,2 aI+3日也=1a。*二，力 q，q5 ,解得 口> 01"q>0. 數(shù)列

28、an的通項(xiàng)公式nV（n ） ，為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,-Sn 2-'-bn=T=2（1-3n】_尸）n+1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和：_1_11 _ 1 I 1 -1Tn=2 （?父苗函+1-3丘一391）1 _ 1=2 （石 »-工）18.本著健康、低碳的生活理念，湛江市區(qū)采用公共自行車的人越來(lái)越多，使用年租卡租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.假設(shè)甲、乙兩人相互獨(dú)立地用年租卡每天租車一次.已知甲、乙不 超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為 "，;兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為;兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四

29、小時(shí).（I ）分別求出甲、乙兩人某一天在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率.（n）記甲、乙兩人一天所付的租車費(fèi)用之和為E求E的分布列及數(shù)學(xué)期望.【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.【分析】（I）根據(jù)題意，由全部基本事件的概率之和為1,利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式求解即可.(n)由題意E的可能取值為0, 2, 4, 6, 8,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出E的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解答】 解：(I )甲在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率為1乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率為 1 一二一. 二. 42 4(n)由已知得E的可能取值為0, 2, 4, 6, 8,p(30)

30、=Lx 工 aP()gx*1P(E 蔣*暇，1 門 _ 1 _ 1 % 工門 _ 1 - 1 1 3p(衿為了萬(wàn)伯】4亍囑P(2 =(1一呆小卜亭士,一. E的分布列為：46531616?16516正十"正"1r8盜存.19.如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為矩形，AD=PD=2舍，PB=AB=6，點(diǎn)P在 底面的正投影在DC上.(I)證明：BDXPA；(II )求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；直線與平面垂直的性質(zhì).【分析】(I )取AP中點(diǎn)O,連結(jié)DO、BO,推導(dǎo)出PA,平面BDO,由此能證明BDXPA. (n )過(guò)P作PEL

31、平面ABCD，交DC于E,以E為原點(diǎn)，過(guò) E作DA的平行線為x軸，EC為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AP與平面PBC所成角的正弦值.【解答】 證明：(I )取AP中點(diǎn)O,連結(jié)DO、BO,-，AD=PD=2 V3, PB=AB=6 , .1.DOXPA, BOXPA,又 DOABO=O,，PA，平面 BDO,. BD?平面 BDO , BD ±PA.解：(n) 底面ABCD為矩形，AD=PD=2j, PB=AB=6 ,點(diǎn)P在底面的正投影在 DC上過(guò) P 作 PE，平面 ABCD ,交 DC 于 E, PC=J36 - 12 =怖,，pd2+pc2=cd2,

32、 - pdipc,，pe=20' 又2n6 =哂,de=J1 2-8 =2, ce=6-2=4,6以E為原點(diǎn)，過(guò)E作DA的平行線為x軸，EC為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，士 （26，-2, 0）, P （0, 26），B （2/3, 4,吃 C（0, 4, 0）, PA= （2。1,2, - 2舊），而=（2</3, 4,一公乃），司=（0, 4, 2/2）,設(shè)面PBC的法向量曲二（x, y, z）,則(n 曲=2«甚+4廠2t/2z-0正二知一 2五工二0，取 z=/2，得=(。,1,也,設(shè)直線AP與平面PBC所成角為”,| -2-41則 sin =干L|P

33、k|-|n| WW3V52，直線AP與平面PBC所成角的正弦值為20.如圖，已知橢圓C1：b3=1(a> b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（c、0）,(0, b)的直線的距離為 相(入C (0, 1),垂直于x軸的直線l與橢圓Ci及圓C2： x2+y2=a2均有兩個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)按其坐標(biāo)從大到小分別為A、B、C、D(I)當(dāng)入="求圖的值；(n )設(shè)N (a, 0),若存在直線l使得BO / AN ,證明:y【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】（I ）求出過(guò)兩點(diǎn)（c、0）, （0, b）的直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式可得b=?a,取仁士，求得橢圓方程，然后分別聯(lián)立直線

34、x=m （- avmva）與橢圓與圓方程，求出點(diǎn)的（n）聯(lián)立直線方程和橢圓方程、直線方程和圓的方程，求出加 I1得 IEFF a,結(jié)合-avmv0 即可證得 0V X<-i.【解答】（I ）解：過(guò)兩點(diǎn)（c、0）, （0, b）的直線方程為A, B的坐標(biāo)，由斜率相等可即 bx+cy bc=0,由原點(diǎn)O到直線bx+cy - bc=0的距離為入c (入C (0,即b=后,第17頁(yè)(共21頁(yè))當(dāng)=*"時(shí)，b=1-4、J 9y此時(shí)橢圓方程為一一1 設(shè)直線l的方程為x=m （ - av mva）,B (m, y7a2 - m2),C (m,一家屋-m?）聯(lián)立 22£ ,解得 A

35、(m,4曉孫), D (m, - 42.2),m +v =a（n）證明：如圖，由（I ）得，A （m,-犯2）,聯(lián)立y2 ，得B (m,也3T需),_ a 兒莊又 N (a, 0),?由 BO / AN ,- m= X (m a),即- a< m< 0,.£0>-a,即白之>o,解得：A> 1 (舍)或工<片,又於(0, 1),ll 0< X<y.21.設(shè)函數(shù) f (x) = (ax+1) e x (aCR)(I )當(dāng)a>0時(shí)，求f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(n )對(duì)任意xq。，+8), f (x)a+1恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍

36、.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(I )求導(dǎo)，當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x) >0,解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；瞽-1(n ) x0, +8),由題意可知將f (x)寂+1恒成立，轉(zhuǎn)化為a<ex+z, x0, +°°)恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)l /、 xT卜一F (x) =e +, g (x)=,求導(dǎo),XXF (x)在 x q0, +8)上單調(diào)遞增，由在 x=0處極限，比巳 1 =1,可求得F (x)的最小值，求得 a的取值 J* Uav【解答】 f ' (x)解：(I ) f (x) = (ax+1) e x

37、(aCR)定義域?yàn)镽,令 f' (x)=e x( _ ax+a - 1)=0,解得：x=1 -f' (x) >0,解得 x< 1,aOO當(dāng)a>。時(shí)，求f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(n )由 xq。，+8), f (x)a+1 恒成立，即(ax+1) e xx+i,可轉(zhuǎn)化為 aex+£ xqo, +8)恒成立,設(shè) F (x) =ex+巳- 1，-I)/+1g (x)=-一，貝U g (x) ,令 h (x) = (x 1) ex+i ,貝U h' (x) =ex+ex (x 1) =xex, 當(dāng) x>0 時(shí)，h' (x) =xex&

38、gt;0,1 h (x)是上的增函數(shù)，h (x) > h (0) =0,，g' (x) = “ >0, x即函數(shù)g (x)是(0, +8)上的增函數(shù). .F (x)在(0, +8)上的增函數(shù).=1 +F (x)在x=0處取最小值，即:明(ex+土工)由洛必達(dá)法則可知：史;e - 1 =1,5t o X故F ( x)的最小值為2,a <2,實(shí)數(shù)a的取值范圍(-8, +2.選彳4-1:幾何證明選講(共1小題，滿分10分)22.如圖，AE是。的直徑，4ABC內(nèi)接于。O, AB=BC , AD ±BC,垂足為D.(I )求證：AE?AD=AC ?BC;(n )過(guò)點(diǎn)C

39、作。的切線交BA的延長(zhǎng)線于F,若AF=4, CF=6,求AC的長(zhǎng).【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段.【分析】(I )連接BE,由直徑所對(duì)圓周角為直角得到ZABE=90 °,由三角形相似的條件得到ACDsaeb ,再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得AE?AD=AC ?BC；第23頁(yè)（共 21頁(yè)）（n ）由切割弦定理可得 CF2=AF?BF,然后再由三角形相似求得AC的值.【解答】（I ）證明：連接BE,AE為圓O的直徑，/ ABE=90 °,. AD ±BC,/ ADC=90 °,/ ABE= / ADC ,又 Z ACD= Z AEB ,.ACDAAEB ,AD AC"AB -AE ?又 AB=BC ,.AE?ED=AC ?BC;（n）解：.95是圓O的切線， .CF2=AF?B