利息理論(第二版)-(第2章)

1、（Level Annuity）相同的時(shí)相同的時(shí)間間隔間間隔（Level Annuity）（annuity）(Annuity-certain)(Contingent annuity)（Period-certain annuity)（Perpetuity）(Level annuity)(Variable annuity)2.2.1 期末付定期年金（annuity-immediate）的現(xiàn)值單位貨幣期末付單位貨幣期末付n年年定期年金的現(xiàn)值定期年金的現(xiàn)值 (2-1)每期末支付每期末支付k元的元的n年定期年金的現(xiàn)值年定期年金的現(xiàn)值 的性質(zhì)：當(dāng)?shù)男再|(zhì)：當(dāng)n時(shí)時(shí), ；當(dāng)；當(dāng)i時(shí)時(shí), ； 。 計(jì)算公式的變形及

2、其意義計(jì)算公式的變形及其意義 (2-2) ivvvvvvvvannnnn11)1 (12|nnvia |1| naivkkakvkvkvkvnnnn1|12ina|ina|vaa| 1| 0, 0ina|注(2-1)：2.2.2 期初付定期年金（annuity-due）的現(xiàn)值單位貨幣期初單位貨幣期初付付n年年定期定期年金的現(xiàn)值年金的現(xiàn)值 (2-3) 每期初支付每期初支付k元元的的n年定期年定期年金的現(xiàn)值年金的現(xiàn)值 的性質(zhì)：當(dāng)?shù)男再|(zhì)：當(dāng)n時(shí)時(shí), ；當(dāng)；當(dāng)i時(shí)時(shí), ； 。 計(jì)算公式的變形及其意義計(jì)算公式的變形及其意義 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：1) (2-4) 2) (2-5) dvvvvvvannn

3、n111112| | na | na|,)1 (nnnnavaaia | 1|1nnaa | na nnad|1 dvkakkvkvkvknnn1|12 ina| ina| ina| 1, 0| 1| 0aa 【例22】某企業(yè)租用了一間倉(cāng)庫(kù)，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假設(shè)年實(shí)際利率為6，試計(jì)算如果每年初支付租金，該倉(cāng)庫(kù)的年租金應(yīng)該是多少？【解】設(shè)每年初的租金為設(shè)每年初的租金為A，則根據(jù)題意，可以建，則根據(jù)題意，可以建立下述方程：立下述方程： 因此每年初的租金為因此每年初的租金為即即 %)61 (50000%6 | 8%6 | 8AaaA )(759606. 12098. 65

4、0000%)61 (5000050000%6 | 8%6 | 8元aaA %6 | 8759650000a 【例22】思考題： 在倉(cāng)庫(kù)租賃市場(chǎng)上，實(shí)際的年租金一定是7596元嗎？ 如果實(shí)際的年租金不是7596元,會(huì)出現(xiàn)什么情況？ 此時(shí)倉(cāng)庫(kù)租賃市場(chǎng)處于?！纠?2】思考題：如果每年初支付租金如果每年初支付租金7000元可以租下這間元可以租下這間倉(cāng)庫(kù)，試設(shè)計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利方案。倉(cāng)庫(kù)，試設(shè)計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利方案。【解】 A7000元元7596元，則元，則套利方案：套利方案： 1）簽訂租賃合同）簽訂租賃合同1，每年初支付每年初支付7000元租金元租金租下這間倉(cāng)庫(kù)，租期租下這間倉(cāng)庫(kù)，租期8年；年； 2）簽訂租賃合同

5、）簽訂租賃合同2，出租這間倉(cāng)庫(kù)，租期，出租這間倉(cāng)庫(kù)，租期8年，要求對(duì)方年，要求對(duì)方一次性支付一次性支付50000元元租金租金；（？）；（？） 3）用用50000元進(jìn)行投資或貸放款元進(jìn)行投資或貸放款，在年實(shí)際利率，在年實(shí)際利率6之下，之下，8年內(nèi)每年初連本年內(nèi)每年初連本帶息可獲取帶息可獲取7596元元，每年可獲利，每年可獲利 75967000596（元）（元）50000 7596 7596 7596 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7000 7000 7000500005000075967000%6 | 8%6 | 8aa 【例22】思考題：如果每年初支付租金如果每年初支付租金8000800

6、0元才能租下這間倉(cāng)元才能租下這間倉(cāng)庫(kù)，試設(shè)計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利方案。庫(kù)，試設(shè)計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利方案。【解】 A80008000元元75967596元，則元，則套利方案：套利方案： 1 1）向銀行借款向銀行借款5000050000元元，期限，期限8 8年，在年實(shí)際利率年，在年實(shí)際利率6 6之下，之下，每年初分期還款每年初分期還款75967596元元； 2 2）簽訂租賃合同）簽訂租賃合同1 1，一次性支付一次性支付5000050000元租金元租金租下這間倉(cāng)庫(kù)，租期租下這間倉(cāng)庫(kù)，租期8 8年；年； 3 3）簽訂租賃合同）簽訂租賃合同2 2，出租這間倉(cāng)庫(kù)，租期，出租這間倉(cāng)庫(kù)，租期8 8年，要求對(duì)方年，要求對(duì)方每年初

7、支付每年初支付80008000元元租金租金，其中，其中75967596元還銀行，每年可獲利元還銀行，每年可獲利 8000800075967596404404（元）。（元）。50000 8000 8000 8000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7596 7596 7596500005000075968000%6 | 8%6 | 8aa 2.2.3 期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值 永續(xù)年金永續(xù)年金（perpetuity）及其現(xiàn)值的概念及其現(xiàn)值的概念 永續(xù)年金永續(xù)年金是指可以無(wú)限期地支付下去的年金（付款次是指可以無(wú)限期地支付下去的年金（付款次數(shù)是無(wú)窮大，付款期限是無(wú)窮長(zhǎng)）。數(shù)是無(wú)窮大，付款期限是無(wú)窮長(zhǎng)

8、）。永續(xù)年金的現(xiàn)值永續(xù)年金的現(xiàn)值等等于定期年金的現(xiàn)值當(dāng)支付期限于定期年金的現(xiàn)值當(dāng)支付期限n時(shí)的極限。時(shí)的極限。 單位貨幣期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值單位貨幣期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值 (2-6)每期末支付每期末支付k元的永續(xù)年金的現(xiàn)值元的永續(xù)年金的現(xiàn)值 iinnnnaa11|limlimikinnnnkkaka1|limlim1|ia2.2.4 期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值單位貨幣期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值單位貨幣期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值 (2-7) 每期初支付每期初支付k元的永續(xù)年金的現(xiàn)值元的永續(xù)年金的現(xiàn)值 與與 的關(guān)系：的關(guān)系： (2-8) ddnnnnaa11limlim| |a |a|,)1 (avaaia dkdn

9、nnnkakak1|limlim |1aa 1|ad 2.3.1 期末付定期年金的終值單位貨幣期末付單位貨幣期末付n年年定期年金的終值定期年金的終值 每期末支付每期末支付k元的元的n年年定期年金的終值定期年金的終值 的性質(zhì)：當(dāng)?shù)男再|(zhì)：當(dāng)n時(shí)時(shí), ；當(dāng)；當(dāng)i時(shí)時(shí), ； 。 計(jì)算公式的變形及其意義計(jì)算公式的變形及其意義 (2-9)|1)1 (nnisi| nsiiiiiiiisnnnnn1)1 ()1 (1)1 (1)1 ()1 ()1 ()1 (1122|iikksikikikikknnnn1)1 ()1 ()1 ()1 ()1 (|122ins|ins|1, 0| 1| 0ssins|2.3.

10、2 期初付定期年金的終值單位貨幣期初單位貨幣期初付付n年年定期定期年金的終值年金的終值 每期初支付每期初支付k元元的的n年年定期定期年金的終值年金的終值 的性質(zhì)：當(dāng)?shù)男再|(zhì)：當(dāng)n時(shí)時(shí), ；當(dāng)；當(dāng)i時(shí)時(shí), ； 。 計(jì)算計(jì)算公式的變形及其意義公式的變形及其意義 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：1) 2)(注注)：永續(xù)年金不存在終值。永續(xù)年金不存在終值。 | ns | ns|,)1 (nnnnsvssis 1| 1|nnss diviiiiiiiisnnnnnn1)1 (11)1 ()1 (1)1 (1)1 ()1 ()1 ()1 ()1 (12| |1)1 (nnsdi | ns dikskikikikikn

11、nnn1)1 ()1 ()1 ()1 ()1 (|12 ins| ins| ins| iss1, 0| 1| 0 【思考題】某人在某人在1010年后需要為其子女支付上大學(xué)的年后需要為其子女支付上大學(xué)的學(xué)費(fèi)，預(yù)計(jì)學(xué)費(fèi)，預(yù)計(jì)大學(xué)大學(xué)4 4年間每年初支付年間每年初支付1000010000元學(xué)費(fèi)元學(xué)費(fèi)，為此，為此他打算從現(xiàn)在開始每年初往一種基金存入一筆錢。如他打算從現(xiàn)在開始每年初往一種基金存入一筆錢。如果該基金的年實(shí)際利率為果該基金的年實(shí)際利率為6 6，那么他每年應(yīng)該存入，那么他每年應(yīng)該存入多少錢，才能保證可以支付子女的學(xué)費(fèi)？多少錢，才能保證可以支付子女的學(xué)費(fèi)？【解】假設(shè)假設(shè)每年初需要存入每年初需要存

12、入A元，則根據(jù)題意可以建元，則根據(jù)題意可以建立下述方程：立下述方程： 因此有因此有 10000 100000 1 2 8 9 10 11 12 13 14 A A A A A%6 | 4%6 |1010000asA )(91.2628180795.13465106. 310000%)61 (%)61 (1000010000%6 |10%6 | 4%6 |10%6 | 4元sasaA 2.4.1 年金現(xiàn)值與終值之間的換算關(guān)系 與 的關(guān)系： (2-11) 與 的關(guān)系： (2-12)2.4.2 年金現(xiàn)值與終值之間的倒數(shù)關(guān)系 與 之間的倒數(shù)關(guān)系： (2-13) 與 之間的倒數(shù)關(guān)系： (2-14)nnn

13、nnnvsaias|,)1 (| ns| na| ns | na nnnnnnvsaias|,)1 ( | ns| na| ns | na isann|11dsann|11 2.5.1 年金在支付期限開始前任意時(shí)點(diǎn)上的值延期年金（deferred annuity）：推遲若干時(shí)期后才開始付款的年金。年金在支付期限開始前任意時(shí)點(diǎn)上的值，可以看做為一個(gè)延期年金的現(xiàn)值延期年金的現(xiàn)值。推遲m個(gè)時(shí)期，且隨后有n個(gè)時(shí)期的定期年金可看作一個(gè)mn期定期年金扣除一個(gè)m期的定期年金。延期延期m個(gè)時(shí)期的個(gè)時(shí)期的期末付期末付n年年定期年金的現(xiàn)值定期年金的現(xiàn)值 (1) (2-15) (2) (2-16) 延期延期m個(gè)時(shí)期

14、的個(gè)時(shí)期的期初付期初付n年年定期年金的現(xiàn)值定期年金的現(xiàn)值 (1) (2-17) (2) mnmnnmvaiaa|)1 (|mnmnmaaamnmnnmvaiaa|)1 ( |mnmnmaaa |nmmnmaaa|nmmnmaaa ;1(1)對(duì)（2-15）式的解釋：后 期，每期末支付1元，這些1元在A時(shí)刻的現(xiàn)值為而A時(shí)刻的值在 時(shí)刻的現(xiàn)值又為nmnnnaaOai2.5.1 年金在支付期限開始前任意時(shí)點(diǎn)上的值延期延期m個(gè)時(shí)期的個(gè)時(shí)期的期末付期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值永續(xù)年金的現(xiàn)值 (1) (2)延期延期m個(gè)時(shí)期的個(gè)時(shí)期的期初付期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值永續(xù)年金的現(xiàn)值 (1) (2)的計(jì)算方法與一般年金終值的計(jì)

15、算方的計(jì)算方法與一般年金終值的計(jì)算方法相似，其終值的大小與延期期限無(wú)關(guān)。法相似，其終值的大小與延期期限無(wú)關(guān)。ivvavaaammmnnnmnm|limlim|1)(limlimmmmnmnnmnmaiaaaaaadvvavaaammmnnnmnm|limlim |1)(limlimmmmnmnnmnmadaaaaaa |aaamm|aaamm 【例】某人留下遺產(chǎn)10萬(wàn)元。第一個(gè)10年將每年的利息付給受益人A，第二個(gè)10年將每年的利息付給受益人B，二十年后將每年的利息付給慈善機(jī)構(gòu)C。若此項(xiàng)財(cái)產(chǎn)的年實(shí)際收益率為7，確定三個(gè)受益者的相對(duì)受益比例?！窘狻?0萬(wàn)元每年產(chǎn)生的利息是7000元。 A所占的份

16、額是 B所占的份額是 C所占的份額是請(qǐng)用Excel計(jì)算上述年金的值。從現(xiàn)值的角度看，從現(xiàn)值的角度看，A、B、C三個(gè)受益者的受益比例近似為三個(gè)受益者的受益比例近似為49，25和和26。C的受益也可以看作在20年末一次性得到10萬(wàn)元，其現(xiàn)值等于；元)(491650236. 770007000%7 |10a；元)(24993)0236. 75940.10(7000)(70007000%7 |10%7 |20%7 |1010aaa。元)(25842)5940.10%71(7000)(70007000%7 |20%7 |%7 |20aaa。元)(25842100000%)71 (1202.5.2 年金在

17、支付期限內(nèi)任意時(shí)點(diǎn)上的值計(jì)算原理計(jì)算原理(1)(1)將原來(lái)的年金分解成兩個(gè)新的年金：將原來(lái)的年金分解成兩個(gè)新的年金： 一個(gè)由該時(shí)點(diǎn)之前的付款組成；一個(gè)由該時(shí)點(diǎn)之前的付款組成； 另一個(gè)由該時(shí)點(diǎn)之后的付款組成。另一個(gè)由該時(shí)點(diǎn)之后的付款組成。(2) (2) 計(jì)算模型計(jì)算模型tnntntntsiaas|)1 (tnntntntsiaas|)1 ( 2.5.3 年金在支付期限結(jié)束后任意時(shí)點(diǎn)上的值 計(jì)算原理計(jì)算原理(1)(1)計(jì)算該年金的終值；計(jì)算該年金的終值；(2)(2)按年金支付期限末到該時(shí)點(diǎn)的時(shí)間長(zhǎng)度，計(jì)算此年按年金支付期限末到該時(shí)點(diǎn)的時(shí)間長(zhǎng)度，計(jì)算此年金終值的復(fù)利累積值。金終值的復(fù)利累積值。計(jì)算模

18、型計(jì)算模型1|)1 ()1 (tntnisis tnis)1 (| 本節(jié)討論的主題：利率在各個(gè)時(shí)期不完全相同利率在各個(gè)時(shí)期不完全相同的情況下，年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算問題。的情況下，年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算問題。2.6.1 每筆款項(xiàng)都以其支付時(shí)的利率計(jì)算的可變利率年金現(xiàn)值和終值問題（ nniii)1 ()1 ()1 (2211)1(12211)1 ()1 ()1 (1nniii1221)1 ()1 ()1 (1nnniiinnniii)1 ()1 ()1 (1212.6.2 每筆款項(xiàng)經(jīng)歷哪個(gè)時(shí)期，就以哪個(gè)時(shí)期的利率計(jì)算的可變利率年金現(xiàn)值和終值問題 11121111211)1 ()1 ()1 ()1 (

19、)1 ()1 (iiiiiin111211111211)1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1iiiiiin)1)(1 ()1 ()1)(1 ()1 (1121nnnnniiiiii)1)(1 ()1 ()1)(1 ()1 (111nnnnniiiiii【解】 利率轉(zhuǎn)換：i(2)= 6%，年實(shí)際利率i=(1+i(2)/2)2-1， i(12)=12(1+i)1/12-1， 月實(shí)際利率為 i(12)/12=(1+i)1/12-1=(1+i(2)/2)1/6-1=(1+3%)1/6-1=0.49386%； 計(jì)算每月末的付款金額： 設(shè)每月末的付款金額為X，則有 所以%49386. 0 |6

20、050000Xa（元）96550000%49386. 0 |60aX【例】一筆50000元的貸款，計(jì)劃在今后的5年內(nèi)按月償還，如果每年結(jié)轉(zhuǎn)兩次利息的年名義利率為6%，試計(jì)算每月末的付款金額。 （應(yīng)用基本公式） 1)實(shí)際每次付款實(shí)際每次付款1/m元，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期中付款元，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期中付款m次，因次，因此每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的付款此每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的付款1元。在應(yīng)用上述公式時(shí)，一定要元。在應(yīng)用上述公式時(shí)，一定要注意它是注意它是的。的。(后面的公后面的公式與此類似式與此類似) 2)如果如果m=1，則，則i(m)=i , ,所以所以 , , 。|)()(1111121)(|1 1)1(11)(1

21、1)(1nmmnmnmmnmmmmnmmnmmmnaiiivimvvvvmvvvvma)(|)(|)()(|)(|1)1 ()1 ()1 (mnnmnmnmnnmniisiiaiiiais|)(|nmnaa|)(|nmnss|)()(|nmmnaida |)()(|nmmnsids |)()(/ 1/ 1/ 1121)(|1)1 (1 11)(11)1 (1nmmnmnmmnmmmnmmmnadddvdmvvvmvvvma )(|)(|)()(|)(|1)1 ()1 ()1 (mnnmnmnmnnmndisddaddiais |)(|nmnaa |)(|nmnss )(|/ 1)(|)1 (m

22、nmmnaia )(|/ 1)(|)1 (mnmmnsis |)()(|nmmnadia |)()(|nmmnsdis )(|)(|)(|)()(|)(|1limlimlimmmnnmnmnmnnmiaiiaiiaiiaa)(|)(|)(|)()(|)(|1limlimlimmmnnmnmnmnnmdaddaddaddaa )(|/ 1)(|)1 (mmmaia midaammmm111)()()(|)(| 【例2-17】投資者現(xiàn)在投資20000元，希望在今后的每月末領(lǐng)取100元，并無(wú)限期地領(lǐng)下去，年實(shí)際利率應(yīng)該為多少？【解】 假設(shè)年實(shí)際利率為i，則年名義利率為i(12)=12(1+i)1/1

23、2-1 ，月實(shí)際利率為i月=i(12) /12 。 根據(jù)題意，有價(jià)值等式所以， ， 。 1)1(121200120012/1001001002000012/11212|iiiiai）（）（月月20011)1 (12/1i%1678. 61)20011 (12i011limimnnxmmivv dxm（continuously payable annuity）nnnnnttnvivvvvvdtva1)1ln(1ln1ln00|tvnmnmmnmnvdvaa11limlim)()(| |nnnadaia nnea1|1lim|nnaa1.9.3()()11limlimnnmmnnmmvvaai1)

24、1 ()1ln(1)1 ()1ln()1 ()1 (00|nnnnttniiiiidtis1)1 (1)1 (limlim)()(|nmnmmnmniiiss1)1 (1)1 (limlim)()(|nmnmmnmnidiss |nnnsdsis 1|nnes|)1 (nnnais等額年金公式小結(jié)等額年金公式小結(jié)等額年金公式小結(jié)等額年金公式小結(jié)等額年金公式小結(jié)等額年金公式小結(jié)年金問題的基本變量(1) 年金的現(xiàn)值年金的現(xiàn)值a或終值或終值s；(2) 年金的支付次數(shù)年金的支付次數(shù)n；(3) 利率利率i；(4) 每期付款額每期付款額PMT。需要求解的相關(guān)問題： (1)年金現(xiàn)值問題或年金累積值問題； (

25、2)投資時(shí)期投資時(shí)期問題(時(shí)間問題)； (3)利率利率問題； (4)每期付款額問題。價(jià)值方程：（equation of value） 是連接年金問題的4類基本變量的重要關(guān)系式。 是求解以上4類相關(guān)問題的基本工具。 在價(jià)值方程中，要求現(xiàn)金流入的現(xiàn)值現(xiàn)金流入的現(xiàn)值= =現(xiàn)金流出的現(xiàn)值現(xiàn)金流出的現(xiàn)值，或者現(xiàn)金流入的終值現(xiàn)金流入的終值= =現(xiàn)金流出的終值現(xiàn)金流出的終值。2.9.1 2.9.1 討論的主題：已知年金的現(xiàn)值已知年金的現(xiàn)值a(或終值或終值s) )，每期付款額每期付款額PMT以及利率以及利率i，要求計(jì)算，要求計(jì)算。常見年金的支付次數(shù)問題 根據(jù)上面公式計(jì)算出的時(shí)間根據(jù)上面公式計(jì)算出的時(shí)間。 年金的現(xiàn)值或終值年金的現(xiàn)值或終值 年金的支付次數(shù)年金的支付次數(shù)n期末付年金現(xiàn)值期末付年金現(xiàn)值期末付年金終值期末付年金終值期初付年金現(xiàn)值期初付年金現(xiàn)值期初付年金終值期初付年金終值iiann)1 (1|)1ln()1ln(|iianniisnn1)1 (|)1ln()1ln(|iisnniiiann