匯總(密)丨初中中考數(shù)學(xué)102條作幾何輔助線(xiàn)的規(guī)律

1、規(guī)律 1313匯總(密)丨 102102 條作幾何輔助線(xiàn)的規(guī)律【編】LHXLHX 和 WMOWMO線(xiàn)、角、相交線(xiàn)、平行線(xiàn)規(guī)律 1 1如果平面上有 n(nn(n 2)2)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線(xiàn)上，那么每?jī)牲c(diǎn)畫(huà)一 條直線(xiàn)，一共可以畫(huà)出 n(nn(n -1)1)條。規(guī)律 2 2平面上的 n n 條直線(xiàn)最多可把平面分成n(nn(n+1)+1+1)+1 丨個(gè)部分。規(guī)律 3 3如果一條直線(xiàn)上有 n n 個(gè)點(diǎn)，那么在這個(gè)圖形中共有線(xiàn)段的條數(shù)為 n(nn(n 1)1)條。規(guī)律 4 4線(xiàn)段(或延長(zhǎng)線(xiàn))上任一點(diǎn)分線(xiàn)段為兩段，這兩條線(xiàn)段的中點(diǎn)的距離等于線(xiàn)段長(zhǎng) 的一半。規(guī)律 5 5有公共端點(diǎn)的 n n 條射

2、線(xiàn)所構(gòu)成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一共有 n(nn(n 1)1)個(gè)。規(guī)律 6 6如果平面內(nèi)有 n n 條直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平角的角共有2n2n (n n- 1 1)個(gè)。規(guī)律 7 7如果平面內(nèi)有 n n 條直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則可構(gòu)成 n n (n n 1 1)對(duì)對(duì)頂角。規(guī)律 8 8平面上若有 n n (n n3 3)個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上，過(guò)任意三點(diǎn)作三角形 一共可作出n(nn(n 1)(n1)(n 2 2)個(gè)。規(guī)律 9 9互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角平分線(xiàn)所成的角的度數(shù)為9090。規(guī)律 1010平面上有 n n 條直線(xiàn)相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 n(nn(n 1)1)個(gè)。規(guī)律 1111互為補(bǔ)角中較小角

3、的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半。規(guī)律 1212當(dāng)兩直線(xiàn)平行時(shí)，同位角的角平分線(xiàn)互相平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線(xiàn)互相平行，同 旁?xún)?nèi)角的角平分線(xiàn)互相垂直。規(guī)律 1414成“8 8”字形的兩個(gè)三角形的一對(duì)內(nèi)角平分線(xiàn)相交所成的角等于另兩個(gè)內(nèi)角和的 一半。三角形部分規(guī)律 1515在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)， 如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或 延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再利用三邊 關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題。注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)， 常通過(guò)引輔助線(xiàn)，把求證的量(或 與求證有關(guān)的量)移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題。規(guī)律 1616三角形的一

4、個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)與一個(gè)外角平分線(xiàn)相交所成的銳角，等于第三個(gè)內(nèi)角的一半。已知 AB/AB/ DE,DE,如圖(6)(6), ,規(guī)律如下:ZOE= ZBCD* ZAK_ Ji： = 5：D 規(guī)律 1717三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)相交所成的鈍角等于9090。加上第三個(gè)內(nèi)角的一半。規(guī)律 1818三角形的兩個(gè)外角平分線(xiàn)相交所成的銳角等于90o90o 減去第三個(gè)內(nèi)角的一半。規(guī)律 1919從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高線(xiàn)和角平分線(xiàn)，它們所夾的角等于三角形另外兩個(gè)角差 （的絕對(duì)值）的一半。注意：同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換， 從而使自己通 過(guò)解一道題掌握一類(lèi)題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力。規(guī)律

5、2020在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外 角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題。規(guī)律 2121有角平分線(xiàn)時(shí)常在角兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 2222有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線(xiàn)段構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 2323在三角形中有中線(xiàn)時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 2424截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線(xiàn)的方法截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段等于較短線(xiàn)段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線(xiàn)段和較長(zhǎng)線(xiàn)段相等這兩種方法統(tǒng)稱(chēng)截長(zhǎng)補(bǔ)短法。當(dāng)已知或求證中涉及到線(xiàn)段 a a、b b、c

6、c、d d 有下列情況之一時(shí)用此種方法：1a a b b2a a b b = = c c3a a b b = = c c d d規(guī)律 2525證明兩條線(xiàn)段相等的步驟：1觀察要證線(xiàn)段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。2若圖中沒(méi)有全等三角形，可以把求證線(xiàn)段用和它相等的線(xiàn)段代換， 再證它們所 在的三角形全等。3如果沒(méi)有相等的線(xiàn)段代換，可設(shè)法作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 2626在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相等來(lái)證明兩個(gè)角 相等。規(guī)律 2727三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)的距離相等。規(guī)律 2828條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形。規(guī)律 2929連接

7、四邊形的對(duì)角線(xiàn)，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)解決問(wèn)題。規(guī)律 3030有和角平分線(xiàn)垂直的線(xiàn)段時(shí)，通常把這條線(xiàn)段延長(zhǎng)。可歸結(jié)為“角分垂等腰歸”規(guī)律 3131當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 3232當(dāng)證題缺少線(xiàn)段相等的條件時(shí)，可取某條線(xiàn)段中點(diǎn)，為證題提供條件。規(guī)律 3333有角平分線(xiàn)時(shí)，常過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向角兩邊做垂線(xiàn)， 利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角 兩邊距離相等證題。規(guī)律 3434有等腰三角形時(shí)常用的輔助線(xiàn)作頂角的平分線(xiàn)，底邊中線(xiàn)，底邊高線(xiàn)有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線(xiàn)將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線(xiàn)常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做底

8、的平行線(xiàn)常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形規(guī)律 3535有二倍角時(shí)常用的輔助線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角平分二倍角加倍小角規(guī)律 3636有垂直平分線(xiàn)時(shí)常把垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與線(xiàn)段兩端點(diǎn)連結(jié)起來(lái)。規(guī)律 3737有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線(xiàn)。規(guī)律 3838有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線(xiàn)。規(guī)律 3939當(dāng)涉及到線(xiàn)段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題。規(guī)律 4040條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中。四邊形部分規(guī)律 4141平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半。規(guī)律 4242平行四邊形被對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之

9、 差。規(guī)律 4343有平行線(xiàn)時(shí)常作平行線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形。規(guī)律 4444有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)常延長(zhǎng)此線(xiàn)段。規(guī)律 4545平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)到一組對(duì)邊距離相等。規(guī)律 4646平行四邊形一邊（或這邊所在的直線(xiàn)）上的任意一點(diǎn)與對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)所 構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半。規(guī)律 4747平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)所構(gòu)成的四個(gè)三角形中，不相鄰的兩個(gè)三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半。規(guī)律 4848任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線(xiàn)中，不相鄰的兩條線(xiàn)段的平方和相等。規(guī)律 4949平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)所圍成的四邊形為矩形。規(guī)律 5050有垂直時(shí)可

10、作垂線(xiàn)構(gòu)造矩形或平行線(xiàn)。規(guī)律 5151直角三角形常用輔助線(xiàn)方法：作斜邊上的高作斜邊中線(xiàn)，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線(xiàn)：1有斜邊中點(diǎn)時(shí)2有和斜邊倍分關(guān)系的線(xiàn)段時(shí)規(guī)律 5252正方形一條對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)到另一條對(duì)角線(xiàn)上的兩端距離相等。規(guī)律 5353有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn)。規(guī)律 5454利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)， 可以把圖形的某部 分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線(xiàn)方法。旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過(guò)旋轉(zhuǎn)集中起來(lái)， 從而為證題創(chuàng) 造必要的條件。旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中。規(guī)律 5555有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，常把

11、這條線(xiàn)段延長(zhǎng)，構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 5656從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線(xiàn)，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形。規(guī)律 5757從梯形同一底的兩端作另一底所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)三 角形。規(guī)律 5858從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線(xiàn)的平行線(xiàn)，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形。規(guī)律 5959延長(zhǎng)梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形。規(guī)律 6060有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)此中點(diǎn)作另一腰的平行線(xiàn)，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。規(guī)律 6161有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)與另一底的延長(zhǎng)線(xiàn)相 交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形。規(guī)律 6262梯形有底的中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)做兩腰的平行線(xiàn)。

12、規(guī)律 6363任意四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直時(shí)，它們的面積都等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半。規(guī)律 6464有線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)作平行線(xiàn)，利用平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理的推論證題。規(guī)律 6565有下列情況時(shí)常作三角形中位線(xiàn)。有一邊中點(diǎn)；有線(xiàn)段倍分關(guān)系；有兩邊（或兩邊以上）中點(diǎn)。規(guī)律 6666有下列情況時(shí)常構(gòu)造梯形中位線(xiàn)有一腰中點(diǎn)有兩腰中點(diǎn)涉及梯形上、下底和規(guī)律 6767連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為平行四邊形。規(guī)律 6868連結(jié)對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形中點(diǎn)所得的四邊形為菱形。規(guī)律 6969連結(jié)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形。規(guī)律 7070連結(jié)對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為正方形

13、。規(guī)律 7171連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形分別為 平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形。規(guī)律 7272等腰梯形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直時(shí)，梯形的高等于兩底和的一半（或中位線(xiàn)的長(zhǎng)）。規(guī)律 7373等腰梯形的對(duì)角線(xiàn)與底構(gòu)成的兩個(gè)三角形為等腰三角形。規(guī)律 7474如果矩形對(duì)角線(xiàn)相交所成的鈍角為 120120 o o，則矩形較短邊是對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半。規(guī)律 7575梯形的面積等于一腰的中點(diǎn)到另一腰的距離與另一腰的乘積。規(guī)律 7676若菱形有一內(nèi)角為 120120 ,則菱形的周長(zhǎng)是較短對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的 4 4 倍相似形和解直角三角形部分規(guī)律 7777當(dāng)圖形中有叉線(xiàn)（基本圖形如下）時(shí)，

14、常作平行線(xiàn)。規(guī)律 7878有中線(xiàn)時(shí)延長(zhǎng)中線(xiàn)（有時(shí)也可在中線(xiàn)上截取線(xiàn)段）構(gòu)造平行四邊形規(guī)律 7979當(dāng)已知或求證中，涉及到以下情況時(shí)，常構(gòu)造直角三角形。有特殊角時(shí)，如有 3030、4545、6060、120120、135135角時(shí). .涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時(shí). .構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過(guò)作垂線(xiàn)來(lái)實(shí)現(xiàn). .規(guī)律 80800 0、3030 、4545、6060、9090角的三角函數(shù)值表。MFsin12T雖rX2cos J門(mén)X-T20ttan.A門(mén)1/3 e T羽一cot -2卩J(K另外：0 0、3030 、4545、6060、9090的正弦、余弦、正切值也可用下面的口訣 來(lái)記憶：0 0 可記為北京

15、電話(huà)區(qū)號(hào)不存在，即：010010 不存在，9090正好相反3030、4545、6060 可記為：1 1、 2 2、 3 3、 3 3、 2 2、 1 1，3 3、 9 9、 2727，弦比 2 2,切比 3 3，分子根號(hào)別忘添. .其中余切值可利用正切與余切互為倒數(shù)求得。規(guī)律 8181同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：（1 1）. .平方關(guān)系：sinsin 2 2a+cos2+cos2a=1=1(2)(2). .倒數(shù)關(guān)系：tantana cotcota=1=1(3)(3). .商數(shù)關(guān)系：COS (Zcot(7 =-規(guī)律 8282任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意銳角的余弦值等于它的余角的正 弦

16、值。規(guī)律 8383任意銳角的正切值等于它的余角的余切值； 任意銳角的余切值等于它的余角的正 切值。規(guī)律 8484三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的一半。規(guī)律 8585等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)等于直角邊的V2 2 倍。規(guī)律 8686在含有 3030 角的直角三角形中，60o60o 角所對(duì)的直角邊是 3030角所對(duì)的直角邊的V3 3 倍。(即 3030角所對(duì)的直角邊是幾，另一條直角邊就是幾倍V3 3。)規(guī)律 8787直角三角形中，如果較長(zhǎng)直角邊是較短直角邊的 2 2 倍，則斜邊是較短直角邊的V5 5 倍。圓部分規(guī)律 8888圓中解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，常常需要作出圓心到弦的垂線(xiàn)段 (即弦心距)

17、這一輔 助線(xiàn)，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件， 二是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定 理解題。規(guī)律 8989有等弧或證弧等時(shí)常連等弧所對(duì)的弦或作等弧所對(duì)的圓心角 規(guī)律 9090有弦中點(diǎn)時(shí)常連弦心距 規(guī)律 9191證明弦相等或已知弦相等時(shí)常作弦心距。規(guī)律 9292 有弧中點(diǎn)(或證明是弧中點(diǎn))時(shí)，常有以下幾種引輔助線(xiàn)的方法:連結(jié)過(guò)弧中點(diǎn)的半徑連結(jié)等弧所對(duì)的弦連結(jié)等弧所對(duì)的圓心角規(guī)律 9393圓內(nèi)角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧與它對(duì)頂角所對(duì)的弧的度數(shù)之和的一半。規(guī)律 9494圓外角的度數(shù)等于它所截兩條弧的度數(shù)之差的一半。規(guī)律 9595有直徑時(shí)常作直徑所對(duì)的圓周角，再利用直徑所對(duì)的圓周角為直角證題。規(guī)律 9696有垂直弦時(shí)也常作直徑所對(duì)的圓周角。規(guī)律 9797有等弧時(shí)常作輔助線(xiàn)有以下