北京大學量子力學課件第29講

1、第二十九講令 I.變分法eA.體系的哈密頓量在任一滿足物理要求©的試探波函數(shù)上的平均值必大于等于體系基©態(tài)能量« B. Ritz變分法®基本思想：根據(jù)物理上的考慮，給出含一組參量的試探波函數(shù)W（r,ai，（X2,）©派求出能量平均值"網(wǎng)6 _砧a )對cq,a2,，求極值，從而確定。上近,令顯然，吊&）,£） Eo （基態(tài)能量）© 例：求氮原子的基態(tài)能量（即外有兩個電子）氮原子的哈密頓量為（忽略1-S ）力 2力 24，2 ，2H = Vf+V；- -+ 2H2p- r( r2-r2© 從物理上考

2、慮，當二個電子在原子中運動， 它們互相屏蔽，使每個電子感受到原子核的作 e用不是兩個單位的正電荷，而是比它小。究竟 號是多少？很自然可把它當作待定參量，利用 Ritz變分法來求基態(tài)能量的近似值。©因類氫離子的基態(tài)波函數(shù)為0 2r，2 e2a =5 e =-|nze'_4 叫)C則(Pn(rA)滿足一方2融，2XV2(q)<pn(rA) = -一；2p r2aon4e所以，取試探波函數(shù)為=a%。Ka。顯然,力22從V.2-2九2 '2-)|/(k) = -叭入) 2aoao=F于是（V（X）dr|dr2口 一匚2. rtr _7 力_-2U(X) = (入- Vf

3、- V；- 2ja 2p而 e'2dk a0(2X-2(z-) = ()X = z16Ep = H(入=z = 77.38eV (實驗位為78.975eV)Ritz變分，是由給定V （函數(shù)形式給定 ）,即W（r,ai，（X2,）,僅改變參量四, 。2,-,使H取極?。ǖ瘮?shù)形式不變）， 所以只能得到近似的本征函數(shù)和本征值的上限。® II.量子躍遷© 要處理的問題是：體系原處于H0的本征態(tài) © (或疊加)，而后有一與t有關的微擾用作 e用到該體系。于是體系可能從一個態(tài)以一定幾率©躍遷到另一態(tài)，稱這一現(xiàn)象為量子躍遷。e處理這樣的問題就需要利用含時間的

4、微擾論®(1)含時間的微擾論© 口與t有關，體系的哈氏量原為H0(r,P),隨t有一微擾V(r,t)訪夏=.dtH(t) = H0-bV(r,t)© t = o時，體系處于自。的本征態(tài)9k(r), 臺相應的定態(tài)為%(r, 0 =(pk (r)e-1 e"力=外(1, t)=HTH = Ho + V（r,t）當然，中仍可按口（）的定態(tài)Wn展開。但由令于Wn不是自的定態(tài)，所以展開系數(shù)是與t有+。）=1>4）|/立，0nf©于是有哈n甲混ft = to時，體系處于Vk（r3o）= <Pk（r）e-，Ekt°2出%）= 1卜或心麻

5、時此 n lo 因此，在t時刻，測量發(fā)現(xiàn)體系處于令Wn（1，t）態(tài)的幾率為Pk-n = aM）（t=5 %k（tI）ei5mdIJtr1 0«（2）常微擾下的躍遷率：在某些實驗中,臺在作用時間內(nèi),微擾常常是不依賴于t的a% (t) =、J：Vnke®ktidt=沁1-e®kt®nk芯(0) = 0)Vnk = f9n(r)V(r)(Pk(r)dr單位時間躍遷幾率（稱為躍遷速率或躍遷令率）W = T|VnkPf（E； ）E曝 E；©它表明： 躍遷率與時間無關。通常稱為e Fermi黃金定則；©當t 一定大后，躍遷貢獻主©要是來

6、自同初態(tài)能量相同的末態(tài)。B.周期性微擾下的躍遷率設：微擾隨時間作周期性變化V = V0(r)cos(ot = (e,cot +e-,(0t)令Vo與t無關在一級近似下a出力嚴“網(wǎng)l_ei(8nk+s)t i_ei(8nk-8)t1)®nk + ®®nk-®«根據(jù)前面分析，當t足夠大時，引起體系從Ho的(Pk(r)態(tài)發(fā)生躍遷到H0的(Pn態(tài) 與的總躍遷率，是0很±82。.臺于是有躍遷率為2w =到，nk pf(E%困土方n 2"令C.輻射場下原子的躍遷率當微擾影響較小時，一級近似很好©現(xiàn)考慮原子被置于一個純輻射場中人

7、人A OH = （P+eAr + V02m©在原子區(qū)域中，無外電場9 = 0 oe 因©項)由于A A =。于是有(電磁場弱，忽略代人P2eH =+ Vo + AP2mm滿為弓蹩二。c2 6t2A = fA(a)e-iG)(t-0-r/c)d(Dn A（o） = 0*©且有A(to) = A (-0)(由于A為實)©在電磁波很弱的條件下，一級微擾很小，則Pkrn =三3dds(8)包摩糖kf力-m71©可以證明Pfi->k k>n©即受激輻射和退激發(fā)躍遷幾率相等。1叫圖小3叫.A(ne2力2m2匕/?m2e2力2m2I&q

8、uot; J曹。一”/ +C0)t, d(DA(co). (ke-心® 匚 c)Qn)*21 dcoA* (一 co)(k 記-儂c,P|nV2-f* dt j Je-|( dco A * ( cd) . (k |elco( D!：/c 1P n)一同樣可以證明在弱輻射場長波近似 輻射是非極化的（極化各向同性,C等幾率）條件下：0單位時間躍遷幾率，即躍遷率=H = -i-VxAcNo其中u（0nk）為能量密度分布，即光強度分布。cuCck）為單位時間通過垂直傳播方向上的單位面積的能量分布。e （3）磁共振均勻磁場畫（在Z方向），將使電子©的簡并態(tài)（自旋TA ）發(fā)生分裂，其能

9、量差AE = E+ -E_ =' a）。= 2|ibBo令其中 &pB =e0/2m當電子吸收一光子力s ,則將電子激發(fā)到©較高能級，即自旋向上的態(tài)。© A.躍遷幾率和躍遷率© 設：有一垂直于靜場Bo的磁場。于是，總磁場為一By = b cos cot />By =bsincotBZ=BO® 若振蕩場比靜場小b «B0®電子的總哈密頓量在印表象，即在3表;象中（昨帆）+（的（Ho） =Pb®o0（小）=0 、 - HbBo, 口、 0 設t=時刻，電子自旋態(tài)的本征值為© -方/2。在一級近似下

10、，從本征值為-方/2的自與旋態(tài)躍遷到本征值為勿2的自旋態(tài)的幾率= _Ljp方2 M1收3'二和叫e5,sin|(co-co0)t0 (co CD0)t® 若1（0）為單位頻率中的態(tài)密度，則總的躍遷幾率為Q-T+=7l®P-T+dCD0=Jl(cosin(co-co()t-(D-G)0)t嚀Mb)?陰tnn©（若t足夠大或I（CD）在共振區(qū)變化很緩慢）© 所以，單位時間的躍遷幾率（躍遷率）為力li號舊H 印B,兩能級間的震蕩電子的總哈密頓量在見表象，即在用表參象中為(»)=PbBo出8檢項 -Hb®0 >設t時刻，電子狀態(tài)

11、或稱自旋態(tài)的表示為（砍）代h dtC|<C2>HbB。院一心,©于是有i/7Cj =gBBoCi+RBbe-lcotc2訪©2=心加心1 - HbB（）C22一 一力 Cj + i/z（7/©pigBg + ibBq ）cj+ 力cojibBo （同1>廣一（|1bBo）ci =。©令 q=eW方2片 + 方2癡-(piBBo)2 一方SNbBo + 31由)2 = 0一力3 孑+ 4(hbB0)2 一力9 內(nèi)10 + (gBb)2一方 g)+、(2|j，bBo 方(d) +4(|j，Bb)M)= J©所以，九="時

12、，有解=-2|iBBo+/)+7(2NBBo-/>8)2+4(NBb)2 3門© 入=九十時，有解i8%IX+t(w.)= ", = -2pBB0+/(D-A/(2pBB0-/co)2+4(pBb)2于是有eiCDteIXj（+）= ； = _2rbB（）+ 力3 -一力co/+4（RBb）2 C2j普遍解為（v（t）=Ac+BcfM+Bc"2aK-VK2+4a2aC + BeiX+t elOt©其中K = 2|iBB0/z-co =（o0 -co,a =內(nèi)力/力s 若t=o ,電子處于H()本征值為-Bo 臺的本征態(tài)，其表示即為0、貝像求A +

13、B3=0-K-VK2+4a2_akJ+b=12a令所以， 廠2a K-VhK + 7K2+4a2:27KF+4a2t>/= 1K + VK24-4a2B K4-VK24-4a22Vk2+4a2a 2a K + VK2+4a2-K + 7K2+4a2 2VK2+4a2aVK2+4a2最后有解M0)=Ac；+Bc：、2 +Be；,a 3一 a 州i，K2 14a2VK2+4aa K-VK24-4a2 elx_t + K + Jk-cc，VK2+4a2 2az7K24-4a2-2ia © x/-in 的四%vK2 4-4a22力 i u . '9+修6 7 £/<K2+4a2z iKsin(t) + VK +4a cos(-t)VK2+4a22 力2 力t時刻，處于店o本征值為NbB（的本征黔態(tài)，其表示即為的幾率為4a 二+4a"K2+4a22方e仍處于Ho本征值為"與B。的本征態(tài)，其表示即為的幾率為= cos2(JK2+4a+力卑還 t)K2+4a22%® 我們直接看到，電子所處的態(tài)隨時間在這®兩個態(tài)之間以一定的幾率震蕩。©C. 一級近似公式的精確性®我們能直接看到，在atvvl時，精確解令和一級近似解才符合.§