時(shí)間序列分析方法第章譜分析

1、譜分析S p e c t r a lAnal y s i s到目前為止，t時(shí)刻變量Yt的數(shù)值一般都表示成為一系列隨機(jī)擾動(dòng)的函數(shù)形式，一般的模型形式為：我們研究的重點(diǎn)在于，這個(gè)結(jié)構(gòu)對(duì)不同時(shí)點(diǎn)t和.上的變量Yt和Y的協(xié)方差具有什么樣的啟示。這種方法被稱為在時(shí)間域（time domain）上分析時(shí)間序列耳蘭的性質(zhì)。在本章中，我們討論如何利用型如cos（.t）和si n（，t）的周期函數(shù)的加權(quán)組合來描述時(shí)間序列Yt數(shù)值的方法，這里表示特定的頻率，表示形式為：上述分析的目的在于判斷不同頻率的周期在解釋時(shí)間序列Y二性質(zhì)時(shí)所發(fā)揮的重要程度如何。如此方法被稱為頻域分析 （frequency domain an

2、alysis）或者譜分析（spectral analysis） 。我們將要看到，時(shí)域分析和頻域分析之間不是相互排斥的，任何協(xié)方差平穩(wěn)過程既有時(shí)域表示，也有頻域表示，由一種表示可以描述的任何數(shù)據(jù)性質(zhì)，都可以利用另一種表示來加以體現(xiàn)。對(duì)某些性質(zhì)來說，時(shí)域表 示可能簡(jiǎn)單一些；而對(duì)另外一些性質(zhì)，可能頻域表示更為簡(jiǎn)單。§ 6.1 母體譜我們首先介紹母體譜，然后討論它的性質(zhì)。6.1.1 母體譜及性質(zhì)假設(shè)YtK-:是一個(gè)具有均值的協(xié)方差平穩(wěn)過程，第j個(gè)自協(xié)方差為：假設(shè)這些自協(xié)方差函數(shù)是絕對(duì)可加的，則自協(xié)方差生成函數(shù)為：這里z表示復(fù)變量。將上述函數(shù)除以2二，并將復(fù)數(shù)z表示成為指數(shù)虛數(shù)形式z=exp（

3、-i），i h匚1，貝V得到的結(jié)果（表達(dá)式）稱為變量Y的母體譜：注意到譜是的函數(shù)：給定任何特定的值和自協(xié)方差j的序列汀二，原則上都可以計(jì)算WC ）的數(shù)值。利用De Moivre定理，我們可以將e°'j表示成為：因此，譜函數(shù)可以等價(jià)地表示成為：注意到對(duì)于協(xié)方差平穩(wěn)過程而言，有：j =，因此上述譜函數(shù)化簡(jiǎn)為：利用三角函數(shù)的奇偶性，可以得到：假設(shè)自協(xié)方差序列 j二是絕對(duì)可加的，則可以證明上述譜函數(shù) sC ）存在，并且是的實(shí)值、 對(duì)稱、連續(xù)函數(shù)。由于對(duì)任意 2二k，有：sY ：ksYC ），因此sYC ）是周期函數(shù)，如果我們知 道了 0,二內(nèi)的所有SyC ）的值，我們可以獲得任意 時(shí)

4、的Sy（ ）值。§ 6.2 不同過程下母體譜的計(jì)算假設(shè)隨機(jī)過程Yt空服從MA（：）過程：這里：°°.°°CT2 S =t屮（L）=I：屮 jLj , Z |屮 j o , E（sW ,j =sj =e0, St根據(jù)前面關(guān)于MA（：）過程自協(xié)方差生成函數(shù)的推導(dǎo)：因此得到MAL）過程的母體譜為：例如，對(duì)白噪聲過程而言，< -1，這時(shí)它的母體譜函數(shù)是常數(shù)：下面我們考慮MA（1）過程，此時(shí):t (z) J VZ，則母體譜為:可以化簡(jiǎn)成為：顯然，當(dāng)h .0時(shí)，譜函數(shù)SyCJ在0,二內(nèi)是的單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)：0時(shí)，譜函數(shù)Sy(J在0,二 內(nèi)是的單調(diào)遞增

5、函數(shù)。對(duì) AR(1)過程而言，有：這時(shí)只要：1，則有：-：(z) =1心z)，因此譜函數(shù)為:該譜函數(shù)的性質(zhì)為：當(dāng)0時(shí)， 譜函數(shù)sY(co)在0,兀內(nèi)是co的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)© <0時(shí)，譜函數(shù)SyCJ在0,二內(nèi)是的單調(diào)遞減函數(shù)。一般地，對(duì) ARMA(p,q)過程而言：則母體譜函數(shù)為：如果移動(dòng)平均和自回歸算子多項(xiàng)式可以進(jìn)行下述因式分解：則母體譜函數(shù)可以表示為：從母體譜函數(shù)中計(jì)算自協(xié)方差如果我們知道了自協(xié)方差序列 j二，原則上我們就可以計(jì)算出任意的譜函數(shù)sY ()的數(shù)值。反過來也是對(duì)的：如果對(duì)所有在 0,二內(nèi)的，已知譜函數(shù)sY( )的數(shù)值，則對(duì)任意給定的整數(shù) k，我 們也能夠計(jì)算k階

6、自協(xié)方差k。這意味著母體譜函數(shù)SyCO和自協(xié)方差序列 j二包含著相同的信息。 其中任何一個(gè)都無(wú)法為我們提供另外一個(gè)無(wú)法給出的推斷。下面的命題為從譜函數(shù)計(jì)算自協(xié)方差提供了一個(gè)有用的公式：命題6.1 假設(shè))二是絕對(duì)可加的自協(xié)方差序列，貝y母體譜函數(shù)與自協(xié)方差之間的關(guān)系為：上述公式也可以等價(jià)地表示為：利用上述譜公式，可以實(shí)現(xiàn)譜函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。解釋母體譜函數(shù)假設(shè)k =0 ,則利用命題6.1可以得到時(shí)間序列的方差，即0，計(jì)算公式為：根據(jù)定積分的幾何意義，上式說明母體譜函數(shù)在區(qū)間-二，二內(nèi)的面積就是 0，也就是過程的方差。更一般的，由于譜函數(shù)SyCJ是非負(fù)的，對(duì)任意 宀訂。,二，如果我們能夠

7、計(jì)算：這個(gè)積分結(jié)果也是一個(gè)正的數(shù)值，可以解釋為Yt的方差中與頻率的絕對(duì)值小于的成分相關(guān)的部分。注意到譜函數(shù)也是對(duì)稱的，因此也可以表示為：這個(gè)積分表示頻率小于-的隨機(jī)成分對(duì)Yt方差的貢獻(xiàn)。但是，頻率小于 i的隨機(jī)成分對(duì)Yt方差的貢獻(xiàn)意味著什么？為了探索這個(gè)問題，我們考慮更為 特殊一些的時(shí)間序列模型：這里j和：j是零均值的隨機(jī)變量，這意味著對(duì)所有時(shí)間t，有EYt =0。進(jìn)一步假設(shè)序列- j Mm和；片 是序列不相關(guān)和相互不相關(guān)的：斫，j =k ,0, j - kE(jk)=j, E(jk)“0, j kE( jQ =0，對(duì)所有的j和k這時(shí)Yt的方差是：因此，對(duì)這個(gè)過程來說，具有頻率j的周期成分對(duì)Y

8、t的方差的貢獻(xiàn)部分是 匚2。如果頻率是有順序的： 0龍創(chuàng)VC02成<n，貝V Yt 的方差中由頻率小于或者等于.j的周期形成的部分是：2 2 2:亠 2 亠.亠1 j。這種情形下Yt的k階自協(xié)方差為：因?yàn)檫^程YJ的均值和自協(xié)方差函數(shù)都不是時(shí)間的函數(shù)，因此這個(gè)過程是協(xié)方差平穩(wěn)過程。但是,可以驗(yàn)證此時(shí)的自協(xié)方差序列 kk/不是絕對(duì)可加的。雖然在上述過程中，我們已經(jīng)過程的方差分解為頻率低于某種程度的周期成分的貢獻(xiàn)，我們能夠 這樣做的原因在于這個(gè)過程是比較特殊的。對(duì)于一般的情形，著名的譜表示定理(the spectralreprese ntation theorem)說明：任何協(xié)方差平穩(wěn)過程都可

9、以表示成為不同頻率周期成分的和形式。對(duì)任意給定的固定頻率.0,二，我們定義隨機(jī)變量(.)和、：(.)，并假設(shè)可以將一個(gè)具有絕對(duì)可加自協(xié)方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程表示為：這里需要對(duì)隨機(jī)變量:C .)和：(.)的相關(guān)性給出更為具體的假設(shè)，但是上述公式便是譜表示定理 的一般形式。§ 6.2 樣本周期圖 Sample Periodogram對(duì)一個(gè)具有絕對(duì)可加自協(xié)方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程Yt，我們已經(jīng)定義在頻率-處的譜函數(shù)值為：1 1 :Sy()二丁 gY(e')二' je 八，廣 E(Yt)(Yt_j)2兀2兀j注意到母體譜是利用 jj；表示的，而 jj：表示的是母體的二階矩性質(zhì)。給定

10、由 , y2，,y表示的T個(gè)樣本，我們可以利用下述公式計(jì)算直到 (T -1)階的樣本自協(xié)方差： (T - j)，(yt -y)(yt_j -y), j =0,1, ,t -11 t?j =t，f yI t A?_j,j=-1,2； ,T1對(duì)于給定的，我們可以獲得母體譜密度對(duì)應(yīng)的樣本情形，我們稱其為樣本周期圖：樣本周期圖也可以表示成為如下形式：類似地，我們可以證明樣本周期圖下的面積等于樣本方差：樣本周期圖也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，因此也有：更為重要的是，譜表示定理在樣本情形也有類似的表示。我們將要說明，對(duì)于平穩(wěn)過程的任意一個(gè)容量為T的觀測(cè)值序列y1,y2，M ,存在頻率1,叫，們m和系數(shù)建，昭,圏,惑

11、m，呂，禺,，況 使得t期的y值可以表示成為:其中：當(dāng) j - k 時(shí)，:?j cos j (t -1)與:?k cos k(t -1)不相關(guān)； 當(dāng) j -k 時(shí)，?jSin j(t -1)與?kSin , -1)不相關(guān)； 對(duì)于所有的j和k， :?j cos j (t -1)與sink (t -1)不相關(guān)。y的樣本方差是T ''仁(yt -可2，該方差中可以歸因于頻率為 j的周期成分的部分由樣本周期 圖SyCJ給出。我們對(duì)樣本容量是奇數(shù)的情形展開討論上述譜表示模式這時(shí)yt可以表示成為由M三(T-1)/2個(gè)不同頻率構(gòu)成的周期函數(shù)，頻率2 二2M 二T因此最咼頻率為:我們考慮yt基

12、于常數(shù)項(xiàng)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的線性回歸：將這個(gè)回歸方程表示成為下述方式：其中：xt =1, cos dt -1), sin '!(t -1),|(, cos M (t - 1),sin乜(t -1)，這是一個(gè)具有 (2M1) =T個(gè)解釋變量的回歸方程，因此解釋變量與觀測(cè)值是一樣多的。我們將證明解釋變量之間是線性無(wú)關(guān)的，這意味著 yt基于Xt回歸的OLS估計(jì)具有惟一解。該回歸方程的系數(shù)具有顯著的統(tǒng)計(jì)意義：(？2，黑)/?表示yt中可以歸因于頻率.j的周期成分的那部分。這就是說，任意觀測(cè)到的序列 yi, y2，yT ,它都可以利用上述周期函數(shù)形式表示，并且不同頻率的周期成分對(duì)方差的貢獻(xiàn)都可

13、以 在樣本周期圖中找到。命題6.2 假設(shè)樣本容量是奇數(shù)，定義 M =仃一1)/2，并設(shè)定 .j =2二i/T , j =1,2,M，假設(shè) 解釋變量為：則有：進(jìn)一步，假設(shè)y1, y2 / , yT是任意T個(gè)實(shí)數(shù)，則下述推斷成立：(a) 過程yt可以表示為：這里：? = Y， ?jyt cosL j(t -1) , ?yt sin j(t-1)T t 4T y(b) yt的樣本方差可以表示為：樣本方差可以歸因于頻率為的周期成分的部分為(：?2 、?2)/2。(c) yt的樣本方差中可以歸因于頻率為 j的周期成分的部分還可以表示為：其中sy(v)是樣本周期圖在頻率-j處的值。T上述結(jié)果說明，'

14、;、XtXt是對(duì)角矩陣，這意味著包含在向量Xt中的向量之間是相互正交的。這個(gè)t =1命題斷言：任何奇數(shù)個(gè)觀測(cè)到的時(shí)間序列y1,y2 / ,yT可以表示成為一個(gè)常數(shù)加上具有仃-1)/2個(gè)不同頻率的(T -1)個(gè)周期成分的加權(quán)和。當(dāng) T是偶數(shù)整數(shù)的時(shí)候，類似的結(jié)果也是成立的。因此，這個(gè) 命題給出了類似譜表示定理的有限樣本的類似情況。這個(gè)命題進(jìn)一步表明了樣本周期圖的特征是將y的方差按部分分解為不同頻率的周期成分的貢獻(xiàn)。注意到解釋y的方差的頻率都落在區(qū)間0,二中。為什么不使用負(fù)的頻率 <0 ?假設(shè)數(shù)據(jù)確實(shí)是由上述過程的一種特殊情形生成的：這里-< 0代表某個(gè)特殊的負(fù)頻率，和：是零均值的隨機(jī)

15、變量，利用三角函數(shù)的奇偶性，可以 將Yt表示為：因此，利用上述式子無(wú)法從數(shù)據(jù)中識(shí)別數(shù)據(jù)是從正發(fā)頻率還是負(fù)的頻率生成的。這時(shí)一種簡(jiǎn)單的 方式是假設(shè)數(shù)據(jù)是從具有正的頻率中生成的。為什么只考慮 用=庶作為最大的頻率呢？假設(shè)數(shù)據(jù)真的是從頻率二的周期函數(shù)中生成的，例如=3二/2 :這時(shí)正弦和余弦函數(shù)的周期性質(zhì)表明，上式可以表示成為：因此，根據(jù)以前的討論，具有頻率川=3二/2的周期在觀測(cè)值上等價(jià)于具有頻率用=恵/2的周期。注意到頻率和周期之間的關(guān)系，頻率對(duì)應(yīng)的周期為2二/ 。由于我們考慮的最高頻率為 =-：，因此我們所觀測(cè)到的能夠自己重復(fù)的最短階段是2J =2。如果 =：/2，則周期是每4/3階段重復(fù)自己

16、。但是，如果數(shù)據(jù)是整數(shù)階段觀測(cè)的，因此數(shù)據(jù)可以觀測(cè)的時(shí)間間隔仍然是每4個(gè)階段觀測(cè)到，這對(duì)應(yīng)著周期頻率是 川=M/2。例如，函數(shù)cos(二/2)t和函數(shù)cos(3： /2)t在整數(shù)的時(shí)間間隔上，它 們的觀測(cè)值是一致的。命題6.2也為計(jì)算在頻率 .j =2二i/T ( j =1, 2,，M )上的樣本周期圖的數(shù)值提供了方法。定義: 這里：2 T2 T?jyt cos .j(t -1)， ?jyt s in (t1)T t二T t -1因此可以得到：§ 6.3 估計(jì)總本譜 Estimating the Population Spectrum上面我們介紹了母體譜的意義和性質(zhì)，下面我們面對(duì)的問

17、題是：獲得了觀測(cè)樣本y1,y2,，yT以后，如何估計(jì)母體譜函數(shù) syCO ？樣本周期圖的大樣本性質(zhì)個(gè)顯然的方法是利用樣本周期圖Sy®)去估計(jì)母體譜函數(shù)SY)。但是，這種方法具有顯著的限制。假靈設(shè)對(duì)于無(wú)限移動(dòng)平均過程而言：這里系數(shù)'打二是絕對(duì)可加的， ；Jt紅是具有均值E(;J=0和方差var(；t)=；2的獨(dú)立同分布序 列，假設(shè)SyCJ是如上定義的母體譜函數(shù)，且對(duì)所有的，都有sy( ) 0。假設(shè)?y( )是如上定義的樣本譜函數(shù)，F(xiàn)uller (1976) 證明了，對(duì)-0和充分大的樣本容量 T，樣本周期圖與母體譜函數(shù)之 比的二倍具有下述漸近分布：進(jìn)一步，如果，也有：并且上述兩個(gè)漸近分布的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。注意到皆(n)的均值等于自由度，因此有：因?yàn)閟Y C )是母體數(shù)量，不是一個(gè)隨機(jī)變量，因此上式也可以表示成為：因此，對(duì)充分大的樣本容量，樣本周期函數(shù)為母體譜提供了一個(gè)漸近無(wú)偏估計(jì)。母體譜的參數(shù)化估計(jì)假設(shè)我們認(rèn)為數(shù)據(jù)可以由ARMA(p, q)模型表示：這里；t是具有方差匚2的白噪聲。這時(shí)一個(gè)估計(jì)母體譜的出色方法是先利用前面介紹的極