衛(wèi)星在橢圓軌道上的速度和能量的一個(gè)推論

1、衛(wèi)星在橢圓軌道上的速度和能量的一個(gè)推論幾天前，收到了一位網(wǎng)友的信息，提到了下面的推論。圖1T表示衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期。345圖1給出了一個(gè)圓軌道和一個(gè)橢圓軌道，其中圓軌道的半徑與橢圓軌道的半長軸相等。P、Q兩點(diǎn)為兩軌道的交點(diǎn)。我們要說的推論是：在橢圓軌道上的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到 P或Q時(shí)，其速率等于在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的速率。這個(gè)命題的證明是簡單的。我可以設(shè)在兩個(gè)軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的質(zhì)量相等而不影響研 究它們的速度關(guān)系。這樣一來，由于圓軌道的半徑與橢圓軌道的半長軸相等，由“橢圓軌 道上的衛(wèi)星的速度和能量可以從百度文庫中找到一文得到的結(jié)論可知，兩物體在各自的軌道上運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒且二者的機(jī)械能相等。當(dāng)橢圓軌道

2、上的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)或Q點(diǎn)時(shí)，二者具有相同的重力勢能，因而具有相同的動(dòng)能，從而得到具有相同的速率。這個(gè)結(jié)論還可以從另外一個(gè)角度來證明。由“橢圓軌道上的衛(wèi)星的速度和能量中可 知，橢圓軌道上的衛(wèi)星的速度公式是：v = Ji -2ecos日 +e2 ep1式中的r2表示單位時(shí)間內(nèi)矢徑掃過的面積的2倍，因此有22 二 abrT其中a表示橢圓的半長軸，b表示橢圓軌道的半短軸, 由“橢圓軌道上的衛(wèi)星的速度和能量中可知ep1 -e2b =a 1 - e2由橢圓方程r ep 可得1 -ecos 日 ecos： M -epr由開普勒第三定律可知2至6式分別代入1式，有下面的計(jì)算過程abv =T丄浮HT epr2

3、二 ab2 2(repe p 丿令4二2k二GM，其中，M表示中心天體地球的質(zhì)量,G表示引力常量，繼續(xù)運(yùn)算GM2a-1GM2a 1r(7)當(dāng)橢圓軌道上的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到由上面的結(jié)果可以知道，此時(shí)v = JGM，這正是半徑為a.a的圓軌道上的衛(wèi)星的運(yùn)行速率。至此，我們證明了前面提到的推論。我們可以把7式的結(jié)論用文字表述為如圖1所示<1>當(dāng)衛(wèi)星在P、Q左邊半個(gè)橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí),由于 r : a，所以有v -GM，即大a于在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的速度。<2>當(dāng)衛(wèi)星經(jīng)過 P、Q點(diǎn)時(shí)，由于有由于 r =a，所以有v二GM ，即等于在圓軌道上a運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的速度。<3>當(dāng)衛(wèi)星在P、Q右邊半個(gè)橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于r a，所以有v ： GM，即小于在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的速度。我們還可以將7式繼續(xù)變形為:GM2a - rTaV r上式中出現(xiàn)的2a-r是衛(wèi)星到橢圓另一焦點(diǎn)的距離，如圖2所示，我們用r'來表示,有(9)一方面，用9式分析上面得到的三個(gè)結(jié)論將更加容易，另一方面，這個(gè)公式還表現(xiàn) 出了漂亮的對稱性。如圖 2所示，過長軸和短軸的直線是橢圓的兩條對稱軸，有<4>在關(guān)于