二次函數(shù)專題訓練(三角形周長最值問題)含答案解析

1、二次函數(shù)專題訓練(三角形周長最值問題)1 .如圖所示，拋物線y=ax-+bx - 3與x軸交于A ( - 1» 0), B (3, 0)兩點，與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖所示，直線BC下方的拋物線上有一點P,過點P作PE_LBC于點E,作PF平行于x軸交直線BC 于點F,求4PEF周長的最大值：(3)已知點X是拋物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是坐標平面內(nèi)一點，若點P是拋物線上一點， 且位于拋物線的對稱軸右側(cè)，是否存在以P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形？若存在，直接寫出點 P的橫坐標：若不存在，說明理由.第1頁二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）2

2、.如圖，拋物線y= - £+2x+3與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C,點D, C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱， 直線AD與y軸相交于點E.（1）求直線AD的解析式；（2）如圖1,直線AD上方的拋物線上有一點F,過點F作FG_LAD于點G,作FH平行于x軸交直線AD于 點H,求FGH周長的最大值：（3）如圖2,點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一動點，點Q是坐標平面內(nèi)一點，四邊形APQM是以PY 為對角線的平行四邊形，點Q'與點Q關(guān)于直線AM對稱，連接MQ' , PQ'.當APM Q'與DAPQM重合 部分的面積是uAPQM面積的工時，求dAPQM面積.4

3、第1頁二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）3 .如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax'+bx+c （aWO）與x軸交于R, B兩點（點A在點B的左側(cè)）,與y軸交于點C,點A的坐標為（-1, 0）,且OC=OB, tanNACOq.（1）求拋物線的解析式；（2）若點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD下方的拋物線上有一點P,過點P作PHJ_AD于點H, 作PM平行于y軸交直線AD于點乩交x軸于點E,求PHM的周長的最大值：（3）在（2）的條件下，以點E為端點，在直線EP的右側(cè)作一條射線與拋物線交于點N,使得NNEP為銳 角，在線段EB上是否存在點G,使得以E, N, G為頂點的

4、三角形與（）：相似？如果存在，請求出點G的 坐標：如果不存在，請說明理由.二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）4 .如圖（1）,拋物線廠ax'+bx+c與x軸交于A （xu 0）、B （x：, 0）兩點（xiVOVxJ,與y軸交于點C （0, -3）,若拋物線的對稱軸為直線x=l,且tanN0AC=3.（1）求拋物線的函數(shù)解析式：（2若點D是拋物線BC段上的動點，且點D到直線BC距離為血，求點D的坐標（3）如圖（2）,若直線行mx+n經(jīng)過點A,交y軸于點E （0, -&）,點P是直線AE下方拋物線上一點， 3過點P作工軸的垂線交直線AE于點乩點N在線段AM延長線上，且PM=P

5、N,是否存在點P,使PMN的周 長有最大值？若存在，求出點P的坐標及PMN的周長的最大值：若不存在，請說明理由.圖圖第1貞二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）5 .已知：如圖，直線y=-x+2與x軸交于B點，與y軸交于C點，A點坐標為（-1, 0）.（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式.（2）在直線BC上方的拋物線上有一點D,過D作DE_LBC于E,作DFy軸交BC于F,求4DEF周長的最 大值.（3）在滿足第間的條件下，在線段BD上是否存在一點P,使NDFP二NDBC.若存在，求出點P的坐標： 若不存在，說明理由.第1貞二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）6 .如圖，拋物線y= -

6、x+ （m - 1） x+m （m>l）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于 點 C （0, 3）.（1）求拋物線的解析式；（2）點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點你F在直線AD上方的拋物線上，F(xiàn)G_LAD于G, FHx軸交 直線AD于H,求AFGH的周長的最大值；（3）點M是拋物線的頂點，直線1垂直于直線AM,與坐標軸交于P、Q兩點，點R在拋物線的對稱軸上，使得APOR是以PQ為斜邊的等腰直角三角形，求直線1的解析式.第1頁二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）7 .如圖，已知拋物線廠-x*2x+3與坐標軸交于A, B, C三點，拋物線上的點D與點C關(guān)于它的對稱軸對（

7、1）直接寫出點D的坐標和直線AD的解析式；（2）點E是拋物線上位于直線AD上方的動點，過點E分別作EFx軸，EGy軸并交直線AD于點F、G, 求aEFC周長的最大值：（3）若點P為y軸上的動點，則在拋物線上是否存在點Q,使得以A, D, P, Q為頂點的四邊形是平行四 邊形？若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.第1貞二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）8 .如圖，拋物線尸-L-L+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸與點D,已知點 22C （0,上）,連接AC.2（1）求直線AC的解析式；（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，過點P作PEy軸，交直線AC于點E

8、,過點P作PGJ_AC, 垂足為G,當4PEG周長最大時，在x軸上存在一點Q,使:QP-QCI的值最大，請求出這個最大值以及點P 的坐標；（3）當（2）題中QP-QG取得最大值時，直線PG交y軸于點M,把拋物線沿直線AD平移，平移后的拋 物線y'與直線AD相交的一個交點為A',在平移的過程中，是否存在點A',使得點A' , P, M三點構(gòu) 成的三角形為等腰三角形，若存在，直接寫出點A'的坐標：若不存在，請說明理由.第1貞二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）9.如圖，拋物線y二-線，區(qū)+3交x軸于R、B兩點，點A在點B的左側(cè)，交y軸于點C. 4 4（1）

9、求直線AC與直線BC的解析式；（2）如圖1, P為直線BC上方拋物線上的一點：過點P作PD_LBC于點D,作兇丫軸交直線BC于點乩當PDM的周長最大時，求P點坐標及周長最大 值：在的條件下，連接AP與y軸交于點E,拋物線的對稱軸與x軸交于點K,若S為直線BC上一動點，T 為直線AC上一動點，連接EK, KS, ST, TE,求四邊形EKST周長的最小值：（3）如圖2,將AOC順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AA' 0C',將AA' 0C'沿直線0C'平移，記平移中的4A' 0C' 閃XN O' C",直線A 0'與

10、x軸交于點F,將（）' C" F沿O' C"翻折得到（）' C" F',當（：（：" F' 為等腰三角形時，求此時F點的坐標.第1頁二次函數(shù)專題訓練(三角形周長最值問題)二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）參考答案與試題解析1.如圖所示，拋物線行ax'bx-3與x軸交于A （ - 1, 0）, B （3, 0）兩點，與y軸交于點C.（1）求拋物線的解析式；（2）如圖所示，直線BC下方的拋物線上有一點P,過點P作PELBC于點E,作PF平行于x軸交直線BC 于點F,求4PEF周長的最大值:（3）已知點M是拋

11、物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是坐標平面內(nèi)一點，若點P是拋物線上一點，且位于拋物線的對稱軸右側(cè)，是否存在以P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形？若存在，直接寫出點P的橫坐標；若不存在，說明理由.第1貞得至解得,【解答】解：（1）把A （-1, 0）, B （3, 0）兩點坐標代入拋物線y二ax、bx-3,-3二09a+3b-3-0 a=lb 二-2,拋物線的解析式為丫=-2乂-3.(2)如圖 1 中，連接 PB、PC.設(shè) P (m, #-2m-3),VB (3, 0), C (0, - 3),，0B=0C,A ZOBC=45° ，VPFZ/OB,A ZPFE=ZOBC=45&

12、#176; ,VPE1BC,A ZPEF=90° ,.PEF是等腰直角三角形，.PE最大時，APEF的面積中點，此時APBC的而積最大，則彳j Sapcc=Sapot+Sapoc - Sabcc=1- 3 ( - m"+2m+3) +3*m - (m )222228aPBC的面積最大，此時4PEF的面積也最大, 2此時P (且，-II),24;直線BC的解析式為y=x-3,，PF昌PEF是等腰直角三角形,AEF=EP-9, 8 .9.9V24 4(3)如圖2中， 當N與C重合時，點N關(guān)于對稱軸的對稱點P,此時思想MNQP是正方形，易知P(2, -3).點P橫坐標為2, 如圖

13、3中，當四邊形PXQN是正方形時，作PF_Ly軸于N, ME工軸，PEy輒易知PFNgZPELPF=PE,設(shè) P (m, m:-2m-3),VM (b -4),/. m=m' - 2m - 3 - (-4),.m自漁或三(舍棄)，22.P點橫坐標為生應(yīng)2所以滿足條件的點P的橫坐標為2或世匹 2二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）2.如圖，拋物線產(chǎn)-+2x+3與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C,點D, C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,直線AD與y軸相交于點E.（1）求直線AD的解析式；（2）如圖1,直線AD上方的拋物線上有一點F,過點F作FGJ_AD于點G,作FH平行于x軸交直線AD于

14、點H,求FGH周長的最大值：（3）如圖2,點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一動點，點Q是坐標平面內(nèi)一點，四邊形APQM是以PY 為對角線的平行四邊形，點Q'與點Q關(guān)于直線AM對稱，連接MQ' , PQ'.當APM Q'與DAPQM重合【解答】解：(1)令-x'+2x+3=0,解得xk-l, x33,A A ( - 1, 0), C (0, 3),.點D, C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，AD (2, 3),.直線AD的解析式為：y=x+l：(2)設(shè)點 F (x, -x斗2x+3),FHx 軸,AH (- x+2x+2, - x"+2x+3),.* F

15、H= - x+2x+2 - x=-(x " ) "+ 24FH的最大值為旦，4由直線AD的解析式為：y=x+l可知NDAB=45° ,A ZFHG=ZDAB=45° , fg=GH=. x 9 = 94 224 8故aFGH周長的最大值為雙2x24包”返:844(3)當P點在AM下方時，如圖1,圖】設(shè) P (0, p),易知 M (1, 4),從而 Q (2, 4+p),/ APM Q'與qAPQM重合部分的面積是dAPQM面積的工4，PQ'必過 AM 中點 N (0, 2),，可知Q'在y軸上，易知QQ'的中點T的橫坐標

16、為1,而點T必在直線AM上,故T (1, 4),從而T、M重合，.qAPQX是矩形，.易得直線AM解析式為：y=2x+2,VMQ1AM,直線QQ，：廠-+旦，2 24+p=-Lx2+222解得：p二-工，22/. S：w=2S.,3=4Saaxp=4 xl»X PXX A0=4 xXx-X 1=5：22 2當P點在AM上方時，如圖2,二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）設(shè) P (0, P),易知 M (1, 4),從而 Q (2, 4+p), PM Q'與。APQM重合部分的面積是口APQY面積的工4y= - i工+p+5,2PQ'必過QM中點R 邑 4+3 易得直

17、線QQ 22ry=2x+2聯(lián)立1,解得：X皇為，y空也y=F"x+p+555£乙AH （星空，22+他）,1為QQ'中點, 55故易得Q'（壁, 24+3p）, 55由P （0, p）. R （a，4+艮）易得直線PR解析式為：尸（區(qū)-R） x+p, 223 3將q' （&曳，24+32）代入到尸（區(qū)-豆）x+p得：2人亞二（8_, P.）x2+4p_+p,553 35335整理得：p2 - 9p+14=0,解得5=7, p：=2 （與AM中點N重合，舍去）,AP (0, 7),APN=5,，S：g=2S52xLxPNX x«- x

18、a =2x1x5X2=10.22綜上所述，口APQX面積為5或10.第1貞二次函數(shù)專題訓練(三角形周長最值問題)3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax'+bx+c (aWO)與x軸交于R, B兩點(點A在點B的左側(cè)), 與y軸交于點C,點A的坐標為(-1, 0),且OC=OB, tanNACO3.(1)求拋物線的解析式；(2)若點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD下方的拋物線上有一點P,過點P作PHJ_AD于點H, 作PM平行于y軸交直線AD于點乩交x軸于點E,求PHM的周長的最大值：(3)在(2)的條件下，以點E為端點，在直線EP的右側(cè)作一條射線與拋物線交于點N,使得NN

19、EP為銳 角，在線段EB上是否存在點G,使得以E, N, G為頂點的三角形與()<：相似？如果存在，請求出點G的 坐標：如果不存在，請說明理由.【解答】解：(1) 1點A的坐標為0),.OA=1.又tan NACO，4A0C=4.：.C (0> -4).VOC=OB>A0B=4AB (4, 0).設(shè)拋物線的解析式為y=a (x+1) (x-4).將 x=0, y=-4 代入得:-4a=-4,解得 a=l,拋物線的解析式為y=x二-3x-4.(2) ,拋物線的對稱軸為x二-二旦，C (0, -4),點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱, 2X1 2，D (3, -4).設(shè)直線AD的

20、解析式為y=kx+b.VW A ( - 1, 0)、D (3, -4)代入得："k+b=° ,解得 k=- 1, b=-1,3k+b=-4第1頁二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）直線AD的解析式尸-x - L.直線AD的一次項系數(shù)k=- 1,A ZBAD=45Q .；PM平行于y軸,A ZAEP=900 .A ZPN(H=ZAME=45° .的周長二PM-MH+PH=PM+返MP+退PM=(1+72)PM.22設(shè) P (a. a，- 3a - 4), M ( - a - 1),則 PM= - a - 1 - (a-3a-4)=- a'+2a+3

21、7;PM=-a'+2a+3=-(a - 1) 3+4,當a=l時，PM有最大值,最大值為4.YPH 的周長的最大值=4X (1+V2)=4+42.設(shè)點G的坐標為(a, 0),則N(a, £-3a-4).V ZEGN=ZA0C=90° ,OA 二EG 時,A0Cs/iEGX.OC GN/.: 1把叫!得：a*+a - 8=0.-a +3a+4 4解得：&-1+浮(負值已舍去).2，點G的坐標為(T+店,0).2如圖2所示：當NEGN=90°.設(shè)點G的坐標為（a, 0）,則N （a, £-3a-4）.V ZEGN=ZA0C=90°

22、,時,aaocANGE.OC EG/.； 1=4,整理得：4a- - 11a - 17-0.-a +3a+4解得：a-1"遮面（負值已舍去）.8，點G的坐標為（上乜1更，0）.8 EN在EP的右面, /. ZNEG<900 .x 17,51+177393'15128如圖3所示：當NENG' =90°時,J1+V393. I) 448 點G'的橫坐標里?舉之 12871794-17V39303>4,128 點G,不在EG上.故此種情況不成立.綜上所述，點G的坐標為（T+療,0） 2第1貞二次函數(shù)專題訓練(三角形周長最值問題)4.如圖(1),

23、拋物線廠ax'+bx+c與x軸交于A (xu 0)、B (x：, 0)兩點(xiVOVxJ,與y軸交于點C (0, -3),若拋物線的對稱軸為直線x=l,且tan/0AC=3.(1)求拋物線的函數(shù)解析式：(2若點D是拋物線BC段上的動點，且點D到直線BC距離為血，求點D的坐標(3)如圖(2),若直線行mx+n經(jīng)過點A,交y軸于點E (0, -4),點P是直線AE下方拋物線上一點， 3過點P作工軸的垂線交直線AE于點乩點N在線段AM延長線上，且PM=PN,是否存在點P,使PMN的周 長有最大值？若存在，求出點P的坐標及PMN的周長的最大值：若不存在，請說明理由.圖(1)圖(2)【解答】解

24、：(1)在 RtZkAOC 中，tanZAOC=3,且003, 0AAOA=b 則 A ( - 1, 0),:拋物線的對稱軸為直線工二1,則點A(-l, 0)關(guān)于直線x=l的對稱點B的坐標為(3, 0),設(shè)拋物線的表達式為尸a (x-3) (x+1),將點C(0, -3)代入上式得-3a=-3,解得：a=l,，拋物線的解析式為y=(x - 3) (x+1) =xs - 2x - 3：(2) ;點 B (3, 0)、C (0, - 3),則BC=3我，ASakbX3V2><V2=3, 2設(shè) D (x, x'-2x-3),連接 0D,第1貞二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）

25、第1貞圖 S A3CB=S .aOCd+SADOO - S/.BOC(-x:+2x+3)-1.X3X32,-3 x2+9x,2，解得x=l或x=2.則點D的坐標為（1, -4）或（2, -3）：（3）設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,將點A （ - 1, 0）、E （0,-魚）代入得:3-k+b=O ,4 b=T解得：b=4則直線ae解析式為尸-a, 33AE=J12 + （，）號設(shè) P (t, t'-2t-3),則 X (t,-里t-里)， 33(t,-2t-3) =-t、2t+且333 3作 PGLMN 于 G,由 PM=PN 得 MG=NGMN,2圖由pmgsaaeo 由 mg 二

26、 pm EO AB.MG=ApM=NG, 5，C八*PM+PN+MN出PM庫(-t'+2t+旦)=-皿'+11+6二-阻(t-L)二+四, 553 355535.當t時，c，a取得最大值£2,此時P(L, -22).35395.已知：如圖，直線y=-x+2與x軸交于B點，與y軸交于C點，A點坐標為（-1, 0）.（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式.（2）在直線BC上方的拋物線上有一點D,過D作DE_LBC于E,作DFy軸交BC于F,求4DEF周長的最 大值.（3）在滿足第問的條件下，在線段BD上是否存在一點P,使NDFP二NDBC.若存在，求出點P的坐標：【解答

27、】解：（1）直線行-x+2與x軸交于B （2, 0）,與y釉交于C點（0, 2）,設(shè)過A、B、C的拋物線的解析式為y=ax'+bx+c,把 A （ - 1, 0）、B （2, 0）、C （0, 2）的坐標代入， a= - 1, b-19 c=2,，拋物線的解析式為：y=-x'+x+2,(2)設(shè) D (x, -x+x+2), F (x, -x+2),二次函數(shù)專題訓練(三角形周長最值問題)DF= ( - x"+x+2) - ( - x+2) = - x.+2x,所以 x=l 時,DF «x=bVOB=OC,/. AOBC為等腰直角三角形，VDE1BC, DFy

28、軸，.DEF為等腰直角三角形，DEF周長的最大值為1-6當aDEF周長最大時，D (1, 2), F (1, 1).延長DF交x軸于H,作PXLDF于X, 則 DB=«, DH=2, OH=1當NDFP=NDBC 時，DFPsDBF,.DF DB"DP -DF,-.dp=2/1,5 PM DM DP_1 ' '=BH DH DB 5PM，Dm455，P點的橫坐標為OH+PM=1二巨，5 5P點的縱坐標為DH - DM=2 - 2二”5 5.P &, &).5 56.如圖，拋物線y=-x'+ (m - 1) x+m (m>l)與工

29、軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于 點 C (0, 3).(1)求拋物線的解析式；(2)點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點你F在直線AD上方的拋物線上，F(xiàn)G_LAD于G, FHx軸交 第1頁二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）直線AD于H,求4FGH的周長的最大值；（3）點M是拋物線的頂點，直線1垂直于直線AM,與坐標軸交于P、Q兩點，點R在拋物線的對稱軸上, 使得APQR是以PQ為斜邊的等腰直角三角形，求直線1的解析式.【解答】解：（1）把C （0, 3）代入產(chǎn)-f+ （m- 1） x+m得m=3,，拋物線的解析式為：y=-x'+2x+3,(2)令 y=-x'

30、;+2x+3 =0,解得：xk-1, x>3, A A ( - b 0), B (3, 0), C (0, 3),點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，AD (b 2), AD的解析式廠x+1,設(shè)AD與y軸交于E,.0A=0E=l,ZEAO=45° ,VFH/7AB,A ZFHA=ZEA0=45° ,VFG1AH,.FGH是等腰直角三角形，設(shè)點 F 坐標(m, -nT+2m+3),工點 H 坐標(-m：+2m+2, -2m+3),；FH=-nf+m+2,FGH 的周長二(-m:+m+2) +2X亞(-mW2)=-(1+72)(m-!)斗部迎 224FGH的周長最大值為9+

31、為歷：4（3） 拋物線y=-x”2x+3的定點坐標為（1, 4）,直線AM的解析式為y=2x+2,:直線1垂直于直線AM，A設(shè)直線1的解析式為y= - L+b, 2與坐標軸交于P、Q兩點，,直線1的解析式為尸-L+b與y軸的交點P (0, b),與工軸的交點Q (2b, 0), 2設(shè) R (b a),APR：= ( - 1) s+ (a-b) s, QRJ (2b- 1) 3+a% PQ：=b：+ (2b) =5b2,PQR是以PQ為斜邊的等腰直角三角形，/PR=QR 即(-1) s+ (a- b) =QR= (2b - 1) s+a,- 2a=3b - 4,APR:+QR:=PQ即(-1)

32、2+ (a - b) 4 (2b - 1) "+a'=5b:>/2a2 - 2ab - 4b+2=0,r 3=1聯(lián)立解得：2， H ，直線1的解析式為y= - L+2或y= - Lx+2.2 327.如圖，已知拋物線行-x*2x+3與坐標軸交于A, B, C三點，拋物線上的點D與點C關(guān)于它的對稱軸對（1）直接寫出點D的坐標和直線AD的解析式；（2）點E是拋物線上位于直線AD上方的動點，過點E分別作EF工軸，EGy軸并交直線AD于點F、G,求4EFG周長的最大值：第1貞二次函數(shù)專題訓練(三角形周長最值問題)(3)若點P為y軸上的動點，則在拋物線上是否存在點Q,使得以A,

33、D, P, Q為頂點的四邊形是平行四 邊形？若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.【解答】解：(1)將x=0代入得y=3,：.C (0, 3).;拋物線的對稱釉為x二-上二1, C (0, 3),2aAD (2, 3).把y=0代入拋物線的解析式得：0= - x3+2x+3,解得x=3或x= - LA A ( - 1, 0).設(shè)直線AD的解析式為廠kx+b,將點A和點D的坐標代入得：17+b=0,解得：k=l, b=l,2k+b=3，直線AD的解析式為y=x+L(2)如圖1所示:;直線AD的解析式為y=x+l,A ZDAB=450 . EFx 軸，EGy 軸，A ZGEF=90

34、76; , NGFE=NDAB=45°.EFG是等腰直角三角形. EFG 的周長二EF-FG+EG=(2+72)EG.依題意,設(shè) E(t, - t2+2t+3),則 G(t, t+1).AEG= - tc+2t+3 - (t+1) = - (t - -) £+.24AEG的最大值為旦.4 EFG的周長的最大值為且+亞2.2 4(3)存在.第1貞二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）以AD為平行四邊形的邊時，PQAD, PQ=AD. A, D兩點間的水平距離為3, P, Q兩點間的水平距離也為3. 點Q的橫坐標為3或-3.將x=3和工=-3分別代入y= - x:+2x+3得y

35、=0或y= - 12.：.Q （3, 0）或（-3, - 12）.當AD為平行四邊形的對角線時，設(shè)AD的中點為X,VA （ - 1, 0）, D （2, 3）, M 為 AD 的中點,設(shè)點Q的橫坐標為x,則肝。-1，解得x=l, 2 2 點Q的橫坐標為1.將 x=l 代入 y= - x2+2x+3 得 y=4. 這時點Q的坐標為（L 4）.綜上所述，當點Q的坐標為Q <3, 0）或（-3, -12）或（1, 4）時，以A, D, P, Q為頂點的四邊形是平行四邊形.8.如圖，拋物線尸-工二-工+3與工軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸與點D,已知點 22C （0,2），連接A

36、C.2（1）求直線AC的解析式；（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，過點P作PEy軸，交直線AC于點E,過點P作PG_LAC, 垂足為G,當4PEG周長最大時，在x軸上存在一點Q,使QP-QCI的值最大，請求出這個最大值以及點P 的坐標；（3）當（2）題中QP-QG取得最大值時，直線PG交y軸于點M,把拋物線沿直線AD平移，平移后的拋 物線y'與直線AD相交的一個交點為A',在平移的過程中，是否存在點A',使得點A' , P, M三點構(gòu) 成的三角形為等腰三角形，若存在，直接寫出點A'的坐標；若不存在，請說明理由.A A ( -3, 0), B (2

37、, 0).-3k+b=0設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將點A和點C的坐標代入得：，匕二解得：k，b二， 22A直線AC的解析式為yx+二. 2 2(2)延長PE交0A與點F,貝IJPFL0A.VPF10A, PG_LAC,工 ZEFA=ZPGE.又丁 NPEG二NFEA,工 NEAF二NEPG.,0C'，A0=3,2二 t an Z GPE=t an Z E AF=-i-.2 AsinZGPE-> cosZGPE-.55.PG-2隗PE, EG«£P.55二PEG 的周長=PE+PG+EG=(1+5.) PE.5第1貞二次函數(shù)專題訓練(三角形周長最值問題)

38、.當PE取得最大值時，APEC的周長最大.設(shè)點P的坐標為(t, -ir-A.t+3),則點E的坐標為(t, L+&). 222 2點P在點E的上方，APE= - -tz - -1+3 - dt+J.)=-工-t+-(t+1) :+2.222 2222當t二-1時，PE取得最大值，此時4PGE的周長取得最大值.點P(-l, 3),點E的坐標為(-1, - 1).PE=3 - 1=2.APG_2VpE_4V5_ 55根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊可知：當點P、G、Q三點共線時，IQP-QG的值最大，此時QP-QG 二PgA醫(yī) 5(3)如圖所示：V ZPGE=ZPFN, ZP=ZP,PEGs

39、ZPF,產(chǎn)二FG,即工2,解得FN=1.5.FN EG FN，點N的坐標為(，0).2r-k+b=3設(shè)PN的解析式為產(chǎn)kx+b,將點P和點N的坐標代入得：1，解得：k=-2, b=l.5k+b = 0AM (0, 1).設(shè)直線AD的解析式為y=mx+3,將點A的坐標代入得：-3m+3=0,解得由1,.直線AD的解析式為y=x+3.設(shè)點A'的坐標為(x, x+3).當 PM=PA'時，Vl2+(3-l)2+(x+3-3) 2* 整理得：x:+x-2=0,解得 x=l 或 x=-2,工點H的坐標為(1, 4)或(-2, 1).第1貞二次函數(shù)專題訓練（三角形周長最值問題）當 PM二M

40、A，時，V12-F（3-1）Nx2+（k+3-1）2,整理得：2-+4x-1=0,解得：或 x二不殳, 22點A'的坐標為（-2+強 如昆）或（一2飛,土法）.2222當 A' P=A' M 時，J（x+1）2+（x+33）5+（x+3-1）2,整理得：-2x=3,解得：x二年 乙:A'（-3,3）.2 2綜上所述，點A'的坐標為（1, 4）或（-2, 1）或（2+，6, W6）或（土也，±2Li）或（-2,222229.如圖，拋物線尸-/號+3交x軸于A、B兩點，點A在點B的左側(cè)，交y軸于點C.（1）求直線AC與直線BC的解析式；（2）如圖1, P為直線BC上方拋物線上的一點：過點P作PD_LBC于點D,作1丫軸交直線BC于點M,當PDM的周長最大時，求P點坐標及周長最大 值：在的條件下，連接AP與y軸交于點E,拋物線的對稱軸與x軸交于點K,若S為直線BC上一動點，T 為直線AC上一動點，連接EK, KS, ST, TE,求四邊形EKST周長的最小值；（3）如圖2,將AAOC順時針