二次函數(shù)知識點(diǎn)梳理

1、二次函數(shù)的基礎(chǔ)一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧二次函數(shù)知識點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：21 . 一次函數(shù)的概念：一般地，形如 y ax bx c （a, b, c是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0 ,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2 .二次函數(shù)y ax2 bx c的結(jié)構(gòu)特征：等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a , b , c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向

2、上0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的 增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值0.a 0向下0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y隨x的 增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0.22. y ax c的性質(zhì)：上加下減a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的 增大而減?。粁 0時(shí)，y有最小值c .a 0向下0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減小；x 0時(shí)，y隨x的 增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c .23. y a x h的性質(zhì)：左加右減a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上h, 0X=hx h

3、時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨x的 增大而減??；x h時(shí)，y有最小值0 .a 0向下h, 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y隨x的 增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0.a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨x的 增大而減??；x h時(shí)，y有最小值k .a 0向下h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而減小；x h時(shí)，y隨x的 增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k .2k的性質(zhì):三、二次函數(shù)圖象的平移4. y a x h在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”. 概括成八個(gè)字“左加右減，上加下

4、減"方法二：22y axbx c沿y軸平移：向上(下)平移 m個(gè)單位，y axbx c變成22yaxbxc m (或 y ax bx cm)y ax2 bx c沿軸平移：向左(右)平移 m個(gè)單位，y ax2 bx c變成ya(xm)2 b(x m) c (或y a(xm)2b(x m) c)22四、一次函數(shù)y a x h k與y ax bx c的比較22從解析式上看，y a x h k與y ax2 bx c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得,222到前者，即y a x之竺c上，其中h 2, k皿2, 2a 4a2a 4a2五、一次函數(shù)y ax bx c圖象的回法22五點(diǎn)繪圖法：

5、利用配萬法將一次函數(shù)y ax bx c化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(x h) k,確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0, c、以及0, c關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn) 2h, c、與x軸的交點(diǎn) X , 0 , x2 , 0 (若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn))畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).1.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為xb2a頂點(diǎn)坐標(biāo)為2b 4ac b2a' 4a當(dāng)x 2時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x2a2有最小值4ac b .-b時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 2時(shí)，

6、y 2a2a4a六、二次函數(shù)y ax2 bx c的性質(zhì)2.當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為x_b ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為2aby隨x的增大而增大；當(dāng) x 時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng) x 2a七、二次函數(shù)解析式的表示方法21 . 一般式：y ax bx c (a, b, c 為常數(shù)，a 0)；22 .頂點(diǎn)式：y a(x h) k (a, h, k為常數(shù)，a 0)；3 .兩根式：y a(x x1)(x x2) ( a 0 , x1 , x2是拋物線與2.b 4ac b w b .一 ,.當(dāng) x 一 時(shí),2a 4a2a2攝時(shí)，y有最大值4a4abx軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo))注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般

7、式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只 有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析 式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù)a2一次函數(shù)y ax bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0.(1)當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越大；(2)當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小.2. 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了

8、拋物線的對稱軸.在a 0的前提下，b -當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對稱軸在 y軸左側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線對稱軸在 y軸的右側(cè).2a在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線對稱軸在 y軸的左側(cè).2a總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置.,bab的符號的判定：對稱軸x 在y軸左邊則ab 0,在y軸的右側(cè)則ab 0,概括的說 2a就是“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項(xiàng)c(1)當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋

9、物線與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來，c決定了拋物線與 y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根 據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1.2.3.4.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式; 已知拋物線與x軸

10、的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式； 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、二次函數(shù)圖象的對稱1.二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 關(guān)于x軸對稱2y axbxc關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是2axbxk關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是2.關(guān)于y軸對稱2y axbxc關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是2axbxk關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是3.關(guān)于原點(diǎn)對稱2y axbxc關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是2axbxc;k關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是4.關(guān)于頂點(diǎn)對稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。）2y axbxc關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是2 axbx2a5.k關(guān)于

11、頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是對稱根據(jù)對稱的性質(zhì),k關(guān)于點(diǎn) m , n對稱后，得到的解析式是h 2m顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此22n ka永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原 拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與2一兀一次方程axbx c 0是二次函數(shù)yx軸交點(diǎn)情況）：2ax bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):x2),

12、其中的x1 , x2是一xib 4ac_ 2b 4ac 0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn) A x1 , 0 , B x2, 0 (x12兀一次萬程ax bx c 0 a 0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離 AB當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).1'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0；2'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 .2一 一、2 .拋物線y ax bx c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0, c)；3 .二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：(1)求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式;根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2 bx c中a, b, c的符號，或由二次函數(shù)中a, b, c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)2與一次函數(shù)有關(guān)的還有一次二項(xiàng)式，一次二項(xiàng)式ax bx c(a 0)本