(新高考)2020高考數(shù)學(xué)小題考法專訓(xùn)(十)導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、小題考法專訓(xùn)（十）導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用A級(jí)保分小題落實(shí)練一、選擇題1 .已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ' (x),且滿足f (x) = 2xf ' (1) + ln x,則f'等于()A. eB1C1De解析：選 B 因?yàn)?f (x) = 2xf ' (1) + In x,所以 f ' (x) = 2f ' (1) + 1，令 x = 1,得 f ' (1) x=2f ' (1) + 1,解得 f ' (1) =- 1.2.已知直線2x y+1=0與曲線y=aex+x相切(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)a 的值是()A. eB

2、. 2eC. 1D. 2解析：選 C 設(shè)切點(diǎn)為(x(o, aex(o+x0),由曲線y=aex+x,可得y' =aex+1,則切線的斜率k= y'I x= x0= aex0+1.令aex°+1 = 2 可得x0= In則曲線在點(diǎn)(x°,aexo+x0),即a垢；，1+ln ；處的切線方程為y -1 - In ；=2工In ； j,整理可得 2x yIn 1+1 = 0.結(jié)合題中所給的切線2x y+1 = 0,得In 1+1=1, . a= 1.a3 .已知直線y=kx + 1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)A(1,3),則b的值為()A. 3B. - 3C.

3、 5D. 5解析：選 A由題意知,3=k+1, . . k=2.又(x3+ax+b)' |x= (3x2+a)|x=1 = 3+a,3+a=2, a= 1,3= 1 1 + b,即 b= 3.4 . （2019 河北九校第二次聯(lián)考）函數(shù)y=x + '+2In x的單調(diào)遞減區(qū)間是（）xA. (-3,1)B. (0,1)C. (-1,3)D. (0,3)解析：選B令y' = 1H+2V0,得3vxv1,又x>0,故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 x x為(0,1),故選B.5 .已知函數(shù)y=xf ' （x）的圖象如圖所示（其中f' （x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)

4、），下面四個(gè)圖象中大致為y=f（x）的圖象的是（）解析：選 C 當(dāng) 0vxv1 時(shí)，xf ' (x) v 0,，f ' ( x) v 0,故 y= f (x)在(0,1)上為減函數(shù)； 當(dāng)x>l時(shí)，x(x) >0,，(x)>0,故y= f(x)在(1 , +8)上為增函數(shù)，因此排除A、日D,故選C.6 .若函數(shù)f(x)=kx 21n x在區(qū)間(1 , + °°)上單調(diào)遞增，則 k的取值范圍是()A. ( 一00, 一 2B. ( 一00, 一 1C. 1 , +°°)D. 2 ,+8)2 .斛析：選 D因?yàn)閒(x)=kx

5、21n x,所以f (x) = k-.因?yàn)閒 (x)在區(qū)間(1 , +°0)上 x,2 ，八 r2,、單調(diào)遞增，所以在區(qū)間(1, +8)上f ' (x)=k >0恒成立，即k>-恒成立，當(dāng)xC(1, 十 xx卻時(shí)，0<!< 2,所以修2,故選D.1,則a的取7.若函數(shù)f (x) = 1x2+ (a -1) x - aln x存在唯一的極值，且此極值不小于值范圍為()；3、；3、A. |2, 2JB.弓，+00)；3、芭、C. |0, 2D. (-1,0) U 5 +8 J解析：選B對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f' (x)=x+a_1_a=(x+aJx1)因?yàn)楹?/p>

6、數(shù)存在唯一的極 x x值，所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)大于0,故x=1是唯一的極值點(diǎn)，此時(shí)一a<0且f (1)13 ,=2 + a>l? a>2.故選 B.8. (2020屆高三武漢調(diào)研)設(shè)曲線 C: y=3x42x39x2+4,在曲線 C上一點(diǎn)M(1 ,4)處的切線記為l ,則切線l與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：選C y' = 12x3-6x2-18x,所以切線l的斜率k=y' | x=1 = 12,所以切線l的12x+y-8=0,432方程為 12x+ y8 = 0.聯(lián)立方程 jy_3x4 2x3 gx2+4消去 y，

7、得 3x42x39x2+12x 4 =0,所以(x+2)(3 x-2)( x-1)2=0,所以 Xi=- 2, x2=|, x3=1,所以切線 l 與曲線 C有 33個(gè)公共點(diǎn)，故選C.a的取值范9.已知函數(shù)f(x)=xln xae (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 圍是()1ejB. (0 , e)C1! e)D. ( 8, e)e .一 ln x+1解析：選 A f( x)= lnx ae + 1,令 f( x)= 0,彳導(dǎo)a =x.右函數(shù)f (x) = xlnxe1_ _ ln x_ 1xln x+1x一 ae 有兩個(gè)極值點(diǎn)，則y=a和g(x)=x 在(0,+8)上有 2個(gè)交點(diǎn)，

8、g' ( x) =xee(x>0).令 h(x) = - ln x- 1,則 hz (x) = - A-< 0, h(x)在(0 , +°°)上單調(diào)遞減 而 xx xh(1) =0,故 x (0,1)時(shí)，h(x) >0,即 g' (x)>0, g(x)單調(diào)遞增，xC (1 , +8)時(shí)，h(x)< 0,即 g' (x)V0, g(x)單調(diào)遞減，故 g( x) max= g(1) =1,而 x-0 時(shí)，g(x) 一一0°, x 一十 °0 e, 一 ln x+1 , 1時(shí)，g(x)一0.右y=a和g(x

9、) = -e在(0 , +8)上有2個(gè)交點(diǎn)，只需 0vavg10.已知函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，當(dāng)xC(1,十°°)時(shí)，函數(shù) f(x) = sin x-x,設(shè) a= fb=f(3) , c=f(0),則a, b, c的大小關(guān)系為()B. c< a< bD. a< bv cA. b< a< cC. bvcva5-2解析：選 A .函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1對(duì)稱，a=b=f(3) , c=f(0) =f(2).又當(dāng) xC(1, +8)時(shí)，函數(shù) f(x) = sin x-x,當(dāng) x C (1 ,+8)時(shí)，f'

10、; (x) = cos x 1W0,即 f (x) = sin x-x 在(1 , + 00)上為減函數(shù)， bv a< c.11.設(shè)函數(shù)f (x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f' (x),對(duì)任意的實(shí)數(shù) x都有f (x) = 4x2f ( x), ,1_1 當(dāng) xC(8, 0時(shí)，f (x)+2<4x,右 f (m 1)wf(m) + 4m 2,則頭數(shù) m 的取值氾圍是 ()；1、： 3)A.2，+°° jB. | 2， +°° JC. 1 , +°°)D. 2,+8)解析：選 A 令 F(x) =f (x)-2x2,因?yàn)?F(

11、x)+F(x)=f(x)+f(x)4x2=0,所以 R x) =F(x),故 F(x) = f (x) 2x2 是奇函數(shù).則當(dāng) xC(8, 0時(shí)，F(xiàn)，(x) =f ' (x) 4xv 1 22<0,所以函數(shù)F(x) = f(x) 2x在(8, 0上單調(diào)遞減，故函數(shù) F(x)在R上單調(diào)遞減.不等式 f(m l)wf(m) + 4* 2 等價(jià)于 f(m+ 1) - 2( mu 1) & f( m) 2m2,即 F( m+1) < F(- _1 ,m),由函數(shù)的單倜性可得1 >- mi即mt> 2.故選A.12. (2019 福州模擬)已知函數(shù)f (x) =x

12、3- 2ex2+ mx- In x,若f(x)>x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. 'e2 + e+ 1, +°° JB. '0, e2+ e+ 1 'C. 1 -°°, e2+；+11D. (一°°, e2+J解析：選 A 由 f(x)>x 恒成立，得 x32ex2+mx- In x>x 恒成立，即 x3- 2ex2 + ( m-1)xIn x>0恒成立，因?yàn)閤>0,所以兩邊同時(shí)除以 x,得x2-2ex+(m- 1)">0,則xln x 2,人In x 2，1

13、 In x,m- 1 >x- x + 2ex恒成立.令g(x) =x- x +2ex,貝Ug( x)=x 2x+2e,當(dāng) 01 In x一一,1 In xvxve 時(shí)，2>0,2e -2x>0,所以 g (x)>0;當(dāng) x>e 時(shí)，2v0,2e2xv0,xx所以 g' (x)<0.所以當(dāng) x=e 時(shí)，g(x)max=-+ e2,則 m- 1>-+ e2,所以 m>e2+-+ 1,故選 eeeA.二、填空題 -,兀 .一 ,解析：因?yàn)?f' (x)=sin x+xcos x,所以 f'13.右曲線f (x) = xsin x

14、+1在x= 2處的切線與直線 ax+2y+1 = 0相互垂直，則實(shí)數(shù) 兀 兀兀/4sin - 十 萬(wàn) cos -2"=1.又直線 ax-a !；= - 1,解得 a= 2.一 一、. a 一一，+ 2y+1 = 0的斜率為一萬(wàn)，所以1X答案：214.已知函數(shù) f (x) =sin x-3x, x 0 , % , cos xo=1, xo 0 ,兀.f(x)的最大值為f(x。)；f(x)的最小值為f(xo)；f(x)在0 , Xo上是減函數(shù);f(x)在Xo,兀上是減函數(shù).那么上面命題中真命題的序號(hào)是 .解析：f ' (x) =cos x-1,由廣(x) =0,得 cos x =

15、 1,即 X = X0.因?yàn)?xe 0 ,兀，當(dāng) 330VXVX0 時(shí)，f' (x)>0;當(dāng) XoVXVtt 時(shí)，f' (X)v0,所以 f(x)的最大值為 f (Xo) , f(x)在 X0,兀上是減函數(shù).答案：1215.若函數(shù)f(x) = ln x-2ax2-2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .解析：f' (x)=1ax 2= aX +：X_1. XX因?yàn)楹瘮?shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f ' (X)W0有解.又因?yàn)楹瘮?shù)f(X)的定義域?yàn)?0, +8),所以ax2+ 2x-1 >0在(0 , 十00)上有解.當(dāng)a>0時(shí)，y =

16、ax2+2x 1為開(kāi)口向上的拋物線，A=4+4a>0恒成立，所以ax2+2x1>0在(0 , +8)上有解恒成立；當(dāng)a<0時(shí)，y=ax2+2x1為開(kāi)口向下的拋物線，ax2+2x-1 >0在(0 , +°0)上恒有A =4 + 4a>0,解，則11解得1v a<0；a>0,當(dāng)a=0時(shí)，顯然符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1, +8).答案：( 1, +8)16. (2019 江西七校第一次聯(lián)考 )定義：如果函數(shù)f (x)在a, b上存在X1, X2(aX1X2<功滿足£'門(mén)1) =(X2)=羋盧歲)則稱函數(shù)f(x

17、)是a, b上的“中值函數(shù)”.已知函 ba數(shù)f(x) = 1x31x2+m是0, m上的“中值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .32解析：由題意，知f' (x) = x2X在區(qū)間0 , m上存在X1 , X2(0 VX1 VX2m ,滿足f ' ( X1)=f' (X2) =f何二f(0)= ?n2gm,所以方程 x2x = ；mi ；m在區(qū)間(0 , m)上有兩個(gè)不相等的解. III 3232令 g( x) =x2x gn2+Jrm0 < x< m), 32r A = 1 + *-2m> 0,3I g(0 尸則1g(m .-mi+ -m> 032

18、|m2；m> 0,-33解得4 V mK 較安.33日木，g 2 !B級(jí)一一拔高小題提能練1 .多選題已知函數(shù) y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f' (x)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是()A.函數(shù)y = f(x)在區(qū)間13, -2 ,為單調(diào)遞增B.當(dāng)x= 2時(shí)，函數(shù)y=f(x)取得極小值C.函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(一2,2)內(nèi)單調(diào)遞增D.當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y=f(x)有極小值解析：選BC對(duì)于A,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間13, -2 j內(nèi)有增有減，故 A不正確；對(duì)于B, 當(dāng)x= 2時(shí)，函數(shù)y=f(x)取得極小值，故 B正確；對(duì)于C,當(dāng)x (-2,2)時(shí)，恒有f' (x) >

19、0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,2)內(nèi)單調(diào)遞增，故 C正確；對(duì)于D,當(dāng)x=3時(shí)，f' (x)w0, 故D不正確.2.多選題已知函數(shù)y = f(x)在R上可導(dǎo)且f(0) =1,其導(dǎo)函數(shù)f' (x)滿足f g二f(x) x I>0,對(duì)于函數(shù)g(x)="x-下列結(jié)論正確的是()eA.函數(shù)g(x)在(1 , +°°)上為單調(diào)遞增函數(shù)B. x= 1是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)C.函數(shù)g( x)至多有兩個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)x<0時(shí)，不等式f(x)Wex恒成立解析：選 ABC g(x)=fex-1則 g' (x) = f(x)7f(x),當(dāng) x>

20、 1 時(shí)，由 (：J；fP b 0 可 得f ' (x) -f(x)>0,則g' (x) >0,故y = g(x)在(1 , +8)上單調(diào)遞增，故 A正確；當(dāng)x<1 時(shí)，由 f(x 匚f(x 卜。可得 f' (x) f(x) <0,則 g' (x)<0,故 y= g(x)在(一8, I)上單 x 1調(diào)遞減，故x= 1是函數(shù)y=g(x)的極小值點(diǎn)，故B正確；若g(1) <0,則函數(shù)y=g(x)有2個(gè) 零點(diǎn)，若g(1) =0,則函數(shù)y = g(x)有1個(gè)零點(diǎn)，若g(1) >0,則函數(shù)y= g(x)沒(méi)有零點(diǎn)，故C 正確；因?yàn)閥

21、=g(x)在(一00, 1)上單調(diào)遞減，所以y=g(x)在(一00, 0)上單調(diào)遞減，由g(0)岑=1 ,得當(dāng) x<0 時(shí)，g(x) >g(0), 即故f (x) >ex,故D錯(cuò)誤.3.已知函數(shù) f(x) = aln xbx2, a, be R.若不等式 f (x) > x對(duì)所有的 be (-0°, 0 , x (e , e2都成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()2,e)A. e , +8)B,與，+°° J滴2 12c.12，e JD. e , +8)解析：選 B f (x) > x 對(duì)所有的 bC(一0 , x C (e , e2都成

22、立，即 aln x-x> bx2 對(duì) 所有的be (巴 0, xC(e, e2都成立，因?yàn)閎e (巴 0, xC(e, e2,所以bx2的最大 值為0,所以aln x-x>0在xC (e , e2時(shí)恒成立，所以a>x在xC (e , e2時(shí)恒成立，令ln xx9ln x 1x9g(x)=Mx，xC(e, e,則 g' (x)= 1n 2x >0 恒成立,所以 g(x) =nx在(e , e 上單調(diào)22遞增，所以當(dāng)x = e2時(shí)，g(x)取得最大值j,所以a>|,故選B.23124. (2019 石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=aax + ?2F，aCR,當(dāng)x

23、C 0,1時(shí)，函數(shù)f(x)僅在x= 1處取得最大值，則 a的取值范圍為解析：= f(x)=2ax3+ a2 x2 .f(x) =2ax + (2 a - 1) x,-0<x<1,a<0 時(shí)，f ' (x)<0,二.函數(shù)f (x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，x=1時(shí)，f(x)取得最小值，與題意不符，a>0.由 f' (x) =2ax2+(2a1)x=0,得 x=0 或 x = 21. 2a,f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，f (x)當(dāng) J1W0,即 a1 時(shí)，f' (x)>0(x 0,1) 2a2僅在x=1處取得最大值，符合題意.即Wav2時(shí)，令 f' (x)<