泰勒公式和運(yùn)用

1、泰勒公式及其應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)091班趙菲【摘 要】 泰勒公式集中表達(dá)了微積分“逼近法的精髓 ,在微積分 學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用.在現(xiàn)行教材對(duì)泰勒公式證 明根底上,介紹泰勒公式的一種新的更為簡(jiǎn)單的證實(shí)方法 ,并歸納了其 在求極限與導(dǎo)數(shù)、判定級(jí)數(shù)與廣義積分?jǐn)可⑿浴⒉坏仁阶C實(shí)、定積分 證實(shí),行列式計(jì)算與中值公式、導(dǎo)數(shù)的中值估計(jì)、界的估計(jì)等方面的 應(yīng)用.1預(yù)備知識(shí)1. 1帶有Peano型余項(xiàng)的泰勒公式函數(shù)人工在a , b 上具亨n階導(dǎo)數(shù),那么Vx 6 a , b 有+ f 4工-力 +產(chǎn)*"陽(yáng)其中1- 兒力 _Q4國(guó)二必工同即叫工-針一1. 2帶有La

2、grange型余項(xiàng)的泰勒公式假設(shè)函數(shù)r在卜上連續(xù),網(wǎng)在開(kāi)區(qū)間a , b內(nèi)存在,那么 耳為在工與牛之間,使得下式成立就具干=«+D!7tMi£n,1士用=&+/公工-/+-+%喉乂八、總功小幣任.假設(shè)就中取E介于與0之間稱(chēng)之為 Maclaurin型余項(xiàng)1. 3常見(jiàn)的Maclaurin公式工/為L(zhǎng)agrange型余項(xiàng).(3)cosx=l-+_+(-5,13)1+Q1上這里G為任意實(shí)數(shù)；511 + 力=工!+_+-.7弓 +.82n2泰勒公式的證實(shí)兩種余項(xiàng)的泰勒公式所表達(dá)的根本思想就是怎樣用多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù).公式1非普通的等式,而是反映了極限性質(zhì)的漸進(jìn)等式,因此公式1在求

3、極限時(shí)很有用處,對(duì)余項(xiàng)可以提供充分小量的估計(jì). 公式2 的余項(xiàng)有確定表達(dá)式,當(dāng)然也有不確定因素,即有中值,但不阻礙定理 的使用,為近似計(jì)算的誤差估計(jì)提供了理論依據(jù).證實(shí)：設(shè)4國(guó)二陽(yáng)-工疝.現(xiàn)在只需要證lim 峋二 0.工"2r力 有關(guān)系式3可知,*11而-£/-4并易知&5=Q.瑜二一二成間%=00圓1二星由于#0,存在,所以在 點(diǎn)片的某個(gè)領(lǐng)域WQ內(nèi)f存在n-l介導(dǎo)函數(shù)/工,于是工且 工一片時(shí),允許接連使用洛必達(dá)法那么 股-1次,得到兒任型tkn =tan ；= n 一叫-g© 工.尸修3-#7(9-產(chǎn)(而乂工-巧)/b(h-B_2(兀-巧)產(chǎn)1產(chǎn)氣力一產(chǎn)

4、g 一m. I工一巧=0.注：滿足的條件與是唯一的.4.泰勒公式的應(yīng)用4.1 在求極限的問(wèn)題中,可以利用泰勒公式及皮亞諾余項(xiàng)計(jì)算.yfcn 2例4.1求 3解 由于等價(jià)無(wú)窮小可以知道,分母為 工.只要把COS工,曹方展開(kāi)到f即可.cnsx=l- + 4-o(x4) 24e-T +j 2工白一:就力1Ml T=! 1故 I. sh .vnx12注：由于對(duì)于函數(shù)多項(xiàng)式或有理分式的極限問(wèn)題的計(jì)算是十分簡(jiǎn) 單的,因此,對(duì)一些較復(fù)雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來(lái)較復(fù) 雜的函數(shù)極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類(lèi)似多項(xiàng)式或有理分式的極限問(wèn)題,因此滿足以下情況時(shí)可考慮用泰勒公式來(lái)求極限：i 用洛比達(dá)法那么時(shí),次數(shù)較多,且求導(dǎo)及化

5、簡(jiǎn)過(guò)程較繁.ii分子或分母中有無(wú)窮小的差,且此差不容易轉(zhuǎn)化為等價(jià)無(wú) 窮小替代形式.也所遇到的函數(shù)展開(kāi)為泰勒公式不難.當(dāng)確定了要用泰勒公式求極限時(shí),關(guān)鍵是確定展開(kāi)的階數(shù).如果分母 或分子是n 階,就將分子或分母展開(kāi)為n階麥克勞林公式.如果分子,分 母都需要展開(kāi),可分別展開(kāi)到其同階無(wú)窮小的階數(shù) ,即合弁后的 首個(gè)非零項(xiàng)的窯次的次數(shù)4.2 泰勒公式在微分方程方面的應(yīng)用.H例4.2 解微分方程y +廣0 o解顯然網(wǎng)力二與力T在二°的領(lǐng)域內(nèi)可展開(kāi)成窯數(shù),故方程的解為4)帶入原方程并整理得由于各次窯系數(shù)都等于零,所以5£ +-) + O1(X-X5 + X +_)*“7-0 +2 工+

6、34)j?+_+M+1)(h + ?)%h二0/四= 一一/ =、 6»4»277*5»3帶入所設(shè)方程解中的原方程的通解為這里為任意常數(shù)注當(dāng)微分方程的解不用初等函數(shù)或其積分表達(dá)時(shí),常常采用泰勒級(jí)數(shù)解決,如微分方程/+力江+?力/=.,當(dāng)面由妖力在領(lǐng)域遇內(nèi) 可以展開(kāi)成伍的泰勒級(jí)數(shù)或哥級(jí)數(shù)時(shí),方程在 迎鐘內(nèi)必有形/,的解4.3 泰勒公式在近似值計(jì)算上的應(yīng)用例4.3 計(jì)算e的值使得誤差不超過(guò)ict6 ；解 由上面公式1,當(dāng)x=1時(shí)有1 11*.«=1+1+-+-+_+-+2! 3ri (片+D!"邛R+D!當(dāng)n=9時(shí)便有號(hào)J二<10工個(gè) 10!

7、 3628800從而略去而得e的近似值4.4 泰勒公式在判定級(jí)數(shù)斂散性方面的應(yīng)用例 4.4 在級(jí)數(shù)斂 散性理論中,要判斷一個(gè)正級(jí)數(shù)nnZ Pn =£ ；p>0,可有比擬判別法來(lái)判定,那么在實(shí)際應(yīng)用中較困n 1n T n1難的問(wèn)題是如何選取恰當(dāng)?shù)腪 4p>0中P的值? pn T n考慮以下情況(1) 假設(shè)p=2,此時(shí)£ ；收斂,但是lima = f nd nn > T2n(ii ) 假設(shè)p=1,此時(shí)£1收斂,但是lim包=0,這里我們無(wú)法判定nj nn1二1n£an的斂散性,為了有效的選取£；(p>0)中p的值,可以 n

8、4n J n用泰勒公式研究anT0的階,據(jù)此選取恰當(dāng)?shù)膒的值,使得lim 1 =1 ,并且保證0 <1 < +8 ,再有比擬判別法就可以判定 n .1n p9can的斂散性.n 4例4.4判定級(jí)數(shù) fan =? (；- Jn(1+3)的斂散性.n 1 n 1 :n n解利用泰勒公式展開(kāi)有an一( n 2n(1-1o()2n1o(1)(1-故有n1%=-no(n 2)收)時(shí)是口階的,與L性,所以Z an收斂注：泰勒公式研究序列無(wú)窮小量an的階,然后與恰當(dāng)?shù)腷n(如t,p>0)去比擬,有的放矢的求出 P的值再求出極限值,那么np可順利解決問(wèn)題.4.5 泰勒公式在導(dǎo)數(shù)方面的應(yīng)用例

9、4.5 設(shè) f(x)在 xo 處 n 次可導(dǎo),且nn 1f(x) =£ ak(x -Xo)k +0(x 一*0)»證實(shí)£,)=£ ak+(k +1)(x x°)k +o(x x.)",) k 'k =0.n證 由于 f(x)在 xo 處 n 次可導(dǎo),且 f(x) =z ak(x-xo)k+o(x-xo)n)故k=0由泰勒局部公式的唯一性可知,ak =4,(k= 0,1,2,n)即且知k!f(x)在xo點(diǎn)n-1次可導(dǎo).在xo的某領(lǐng)域內(nèi)具有n-2階導(dǎo)數(shù),故有n 1泰 勒局部 公式,f'(x) = g(x) =£

10、bk(x x0)k+o(x xo)n)且k=0(k)(k 1),、bk =g (xo)=f_(o,k=o,1,2n-1 將 f(k 用(x0) = ak 書(shū)(k + 1)!代入上k!k!n 1式即得 bk =a*k +1)所以 f (x) =£ ak書(shū)(k +1)(x -x0)k +o(x - xo)n) k =0注1.此題用到泰勒局部公式的條件與唯一性等知識(shí).2.由此題證實(shí)可見(jiàn),雖然證實(shí)是由對(duì)f'(x)直接應(yīng)用,泰勒局部公式弁利用f(x)在xo點(diǎn)泰勒局部公式唯一性得到的結(jié)論,但效果上看,掐相當(dāng)于在f(x)的泰勒公式兩端關(guān)于x求導(dǎo)所得結(jié)果.4.6泰勒公式在無(wú)窮小中的應(yīng)用例4.

11、6確定常數(shù)a,b,使得當(dāng)x=0時(shí)f(x) = ex-上國(guó)1 bx1 ax1 bx=(1 ax)(1 bx)1=(1 ax) 1 -bx b2x2 -b3 x3 o(x3)'為x的3階無(wú)窮小.=1 (a -b)x (b3 -ab)x2 (ab2 -bex = 1 x o(x3) 2!3!)x3 o(x3)所以f(x')=d-a +b)x +(2 -b221n(1 x); x 一工7x - - ,02 二 x +ab)x2 +(3-ab2+b23(1)22)x3 +o(x3)為了在XT 0時(shí)使f(x)為x的3階無(wú)窮小,應(yīng)選那么常數(shù),a,b.使得 丁22»-ab山1 a .

12、 .2即；3 解得 i 既有 ex -.= -x3 +o(x3)2 b(aMb韋2 -x 12注 根據(jù)無(wú)窮小界的概念,這里應(yīng)在極限式1M曾=口¥0的條件x >0 xk下確定a,b (k是指定階數(shù)),此題的解法雖沒(méi)有出現(xiàn)此極限式,但實(shí)際上正是從這一極限式中 a,0的要求下進(jìn)行的,及當(dāng)且僅當(dāng) f(x)的泰勒局部展式中低于 k階的系數(shù)等于0, k階系數(shù)中0時(shí), 有0(¥0,為此,f(x)的佩亞諾余項(xiàng)應(yīng)為o(xk),這也是解決問(wèn)題的 一般方法1.4.6關(guān)于界的估計(jì)例4.6設(shè)f(x)在b,11上有二階導(dǎo)數(shù),0<xwi時(shí)|f(x) Mi, f''(x)父2試

13、 證：當(dāng) 0MxM1 時(shí),f'(x) <3o1 "2f(1) = f(x) = f (x)(1 -x) f ( )(1 -x),21 "2f(0) = f(x) f (x)(-x)f ( )(-x)2所以f'(x) <|f(1)| +|f (0) +:|f "(D(1x)2 +-1|f"C1)x2 <2 + (1-x)2 + x2 <1+2 = 34.8 泰勒公式證實(shí)不等式2例 4.8 證實(shí)：Vx >0,x - <1n(1 +x) <x 2證實(shí)1x2Vx > Q 而 1n(1 + x) =

14、x < x,0 < < x2(11)12故 yx > 0,有 x< ln(1 + x) < x 證畢2可見(jiàn),用泰勒公式證實(shí)不等式是一種很好的方法.4.9 泰勒公式證實(shí)中值公式例4.9 設(shè)f (x)在a,b】上三次可導(dǎo),試證：三cw(a,b)使得f(b) = f(a) + /(審)f'''(c)(b a)3) (1)證(待定系數(shù)法)設(shè)k為使下式成立的實(shí)數(shù)；,a b1f (b) - f (a) - f (2")(b -a) - k(b - a) =0 這時(shí),我們的問(wèn)題歸為證實(shí)：號(hào)c*a,b),使得k = f .(3)令 g(x)= f(x) - f (a) - f'(ayxXx - a)7(x - a)3 (4)那么 g(a)=g(b)=0 根據(jù) Rolle定理,五 w (a,b)使得 g0) = 0由(4)式,即：f,(O-f,(aF)-f11(£r)()( -a) = 0(5)這是關(guān)于k的方程,注意到f在點(diǎn)上處的泰勒2/1'a