泰勒公式和運用

1、泰勒公式及其應用數(shù)學與計算機科學學院數(shù)學與應用數(shù)學數(shù)學091班趙菲【摘 要】 泰勒公式集中表達了微積分“逼近法的精髓 ,在微積分 學及相關領域的各個方面都有重要的應用.在現(xiàn)行教材對泰勒公式證 明根底上,介紹泰勒公式的一種新的更為簡單的證實方法 ,并歸納了其 在求極限與導數(shù)、判定級數(shù)與廣義積分斂散性、不等式證實、定積分 證實,行列式計算與中值公式、導數(shù)的中值估計、界的估計等方面的 應用.1預備知識1. 1帶有Peano型余項的泰勒公式函數(shù)人工在a , b 上具亨n階導數(shù),那么Vx 6 a , b 有+ f 4工-力 +產(chǎn)*"陽其中1- 兒力 _Q4國二必工同即叫工-針一1. 2帶有La

2、grange型余項的泰勒公式假設函數(shù)r在卜上連續(xù),網(wǎng)在開區(qū)間a , b內(nèi)存在,那么 耳為在工與牛之間,使得下式成立就具干=«+D!7tMi£n,1士用=&+/公工-/+-+%喉乂八、總功小幣任.假設就中取E介于與0之間稱之為 Maclaurin型余項1. 3常見的Maclaurin公式工/為Lagrange型余項.(3)cosx=l-+_+(-5,13)1+Q1上這里G為任意實數(shù)；511 + 力=工!+_+-.7弓 +.82n2泰勒公式的證實兩種余項的泰勒公式所表達的根本思想就是怎樣用多項式來逼近函數(shù).公式1非普通的等式,而是反映了極限性質(zhì)的漸進等式,因此公式1在求

3、極限時很有用處,對余項可以提供充分小量的估計. 公式2 的余項有確定表達式,當然也有不確定因素,即有中值,但不阻礙定理 的使用,為近似計算的誤差估計提供了理論依據(jù).證實：設4國二陽-工疝.現(xiàn)在只需要證lim 峋二 0.工"2r力 有關系式3可知,*11而-£/-4并易知&5=Q.瑜二一二成間%=00圓1二星由于#0,存在,所以在 點片的某個領域WQ內(nèi)f存在n-l介導函數(shù)/工,于是工且 工一片時,允許接連使用洛必達法那么 股-1次,得到兒任型tkn =tan ；= n 一叫-g© 工.尸修3-#7(9-產(chǎn)(而乂工-巧)/b(h-B_2(兀-巧)產(chǎn)1產(chǎn)氣力一產(chǎn)

4、g 一m. I工一巧=0.注：滿足的條件與是唯一的.4.泰勒公式的應用4.1 在求極限的問題中,可以利用泰勒公式及皮亞諾余項計算.yfcn 2例4.1求 3解 由于等價無窮小可以知道,分母為 工.只要把COS工,曹方展開到f即可.cnsx=l- + 4-o(x4) 24e-T +j 2工白一:就力1Ml T=! 1故 I. sh .vnx12注：由于對于函數(shù)多項式或有理分式的極限問題的計算是十分簡 單的,因此,對一些較復雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來較復 雜的函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為類似多項式或有理分式的極限問題,因此滿足以下情況時可考慮用泰勒公式來求極限：i 用洛比達法那么時,次數(shù)較多,且求導及化

5、簡過程較繁.ii分子或分母中有無窮小的差,且此差不容易轉(zhuǎn)化為等價無 窮小替代形式.也所遇到的函數(shù)展開為泰勒公式不難.當確定了要用泰勒公式求極限時,關鍵是確定展開的階數(shù).如果分母 或分子是n 階,就將分子或分母展開為n階麥克勞林公式.如果分子,分 母都需要展開,可分別展開到其同階無窮小的階數(shù) ,即合弁后的 首個非零項的窯次的次數(shù)4.2 泰勒公式在微分方程方面的應用.H例4.2 解微分方程y +廣0 o解顯然網(wǎng)力二與力T在二°的領域內(nèi)可展開成窯數(shù),故方程的解為4)帶入原方程并整理得由于各次窯系數(shù)都等于零,所以5£ +-) + O1(X-X5 + X +_)*“7-0 +2 工+

6、34)j?+_+M+1)(h + ?)%h二0/四= 一一/ =、 6»4»277*5»3帶入所設方程解中的原方程的通解為這里為任意常數(shù)注當微分方程的解不用初等函數(shù)或其積分表達時,常常采用泰勒級數(shù)解決,如微分方程/+力江+?力/=.,當面由妖力在領域遇內(nèi) 可以展開成伍的泰勒級數(shù)或哥級數(shù)時,方程在 迎鐘內(nèi)必有形/,的解4.3 泰勒公式在近似值計算上的應用例4.3 計算e的值使得誤差不超過ict6 ；解 由上面公式1,當x=1時有1 11*.«=1+1+-+-+_+-+2! 3ri (片+D!"邛R+D!當n=9時便有號J二<10工個 10!

7、 3628800從而略去而得e的近似值4.4 泰勒公式在判定級數(shù)斂散性方面的應用例 4.4 在級數(shù)斂 散性理論中,要判斷一個正級數(shù)nnZ Pn =£ ；p>0,可有比擬判別法來判定,那么在實際應用中較困n 1n T n1難的問題是如何選取恰當?shù)腪 4p>0中P的值? pn T n考慮以下情況(1) 假設p=2,此時£ ；收斂,但是lima = f nd nn > T2n(ii ) 假設p=1,此時£1收斂,但是lim包=0,這里我們無法判定nj nn1二1n£an的斂散性,為了有效的選取£；(p>0)中p的值,可以 n

8、4n J n用泰勒公式研究anT0的階,據(jù)此選取恰當?shù)膒的值,使得lim 1 =1 ,并且保證0 <1 < +8 ,再有比擬判別法就可以判定 n .1n p9can的斂散性.n 4例4.4判定級數(shù) fan =? (；- Jn(1+3)的斂散性.n 1 n 1 :n n解利用泰勒公式展開有an一( n 2n(1-1o()2n1o(1)(1-故有n1%=-no(n 2)收)時是口階的,與L性,所以Z an收斂注：泰勒公式研究序列無窮小量an的階,然后與恰當?shù)腷n(如t,p>0)去比擬,有的放矢的求出 P的值再求出極限值,那么np可順利解決問題.4.5 泰勒公式在導數(shù)方面的應用例

9、4.5 設 f(x)在 xo 處 n 次可導,且nn 1f(x) =£ ak(x -Xo)k +0(x 一*0)»證實£,)=£ ak+(k +1)(x x°)k +o(x x.)",) k 'k =0.n證 由于 f(x)在 xo 處 n 次可導,且 f(x) =z ak(x-xo)k+o(x-xo)n)故k=0由泰勒局部公式的唯一性可知,ak =4,(k= 0,1,2,n)即且知k!f(x)在xo點n-1次可導.在xo的某領域內(nèi)具有n-2階導數(shù),故有n 1泰 勒局部 公式,f'(x) = g(x) =£

10、bk(x x0)k+o(x xo)n)且k=0(k)(k 1),、bk =g (xo)=f_(o,k=o,1,2n-1 將 f(k 用(x0) = ak 書(k + 1)!代入上k!k!n 1式即得 bk =a*k +1)所以 f (x) =£ ak書(k +1)(x -x0)k +o(x - xo)n) k =0注1.此題用到泰勒局部公式的條件與唯一性等知識.2.由此題證實可見,雖然證實是由對f'(x)直接應用,泰勒局部公式弁利用f(x)在xo點泰勒局部公式唯一性得到的結(jié)論,但效果上看,掐相當于在f(x)的泰勒公式兩端關于x求導所得結(jié)果.4.6泰勒公式在無窮小中的應用例4.

11、6確定常數(shù)a,b,使得當x=0時f(x) = ex-上國1 bx1 ax1 bx=(1 ax)(1 bx)1=(1 ax) 1 -bx b2x2 -b3 x3 o(x3)'為x的3階無窮小.=1 (a -b)x (b3 -ab)x2 (ab2 -bex = 1 x o(x3) 2!3!)x3 o(x3)所以f(x')=d-a +b)x +(2 -b221n(1 x); x 一工7x - - ,02 二 x +ab)x2 +(3-ab2+b23(1)22)x3 +o(x3)為了在XT 0時使f(x)為x的3階無窮小,應選那么常數(shù),a,b.使得 丁22»-ab山1 a .

12、 .2即；3 解得 i 既有 ex -.= -x3 +o(x3)2 b(aMb韋2 -x 12注 根據(jù)無窮小界的概念,這里應在極限式1M曾=口¥0的條件x >0 xk下確定a,b (k是指定階數(shù)),此題的解法雖沒有出現(xiàn)此極限式,但實際上正是從這一極限式中 a,0的要求下進行的,及當且僅當 f(x)的泰勒局部展式中低于 k階的系數(shù)等于0, k階系數(shù)中0時, 有0(¥0,為此,f(x)的佩亞諾余項應為o(xk),這也是解決問題的 一般方法1.4.6關于界的估計例4.6設f(x)在b,11上有二階導數(shù),0<xwi時|f(x) Mi, f''(x)父2試

13、 證：當 0MxM1 時,f'(x) <3o1 "2f(1) = f(x) = f (x)(1 -x) f ( )(1 -x),21 "2f(0) = f(x) f (x)(-x)f ( )(-x)2所以f'(x) <|f(1)| +|f (0) +:|f "(D(1x)2 +-1|f"C1)x2 <2 + (1-x)2 + x2 <1+2 = 34.8 泰勒公式證實不等式2例 4.8 證實：Vx >0,x - <1n(1 +x) <x 2證實1x2Vx > Q 而 1n(1 + x) =

14、x < x,0 < < x2(11)12故 yx > 0,有 x< ln(1 + x) < x 證畢2可見,用泰勒公式證實不等式是一種很好的方法.4.9 泰勒公式證實中值公式例4.9 設f (x)在a,b】上三次可導,試證：三cw(a,b)使得f(b) = f(a) + /(審)f'''(c)(b a)3) (1)證(待定系數(shù)法)設k為使下式成立的實數(shù)；,a b1f (b) - f (a) - f (2")(b -a) - k(b - a) =0 這時,我們的問題歸為證實：號c*a,b),使得k = f .(3)令 g(x)= f(x) - f (a) - f'(ayxXx - a)7(x - a)3 (4)那么 g(a)=g(b)=0 根據(jù) Rolle定理,五 w (a,b)使得 g0) = 0由(4)式,即：f,(O-f,(aF)-f11(£r)()( -a) = 0(5)這是關于k的方程,注意到f在點上處的泰勒2/1'a