數(shù)學(xué)選修2-2測(cè)試題Ⅰ

1、選編數(shù)學(xué)選修2-2測(cè)試題I單選題(共5道)1、k (k>3, kCN*)棱柱有f (k)個(gè)對(duì)角面，則(k+1)棱柱的對(duì)角面?zhèn)€ 數(shù)f (k+1)為Af (k) +k-1Bf (k) +k+1Cf (k) +kDf (k) +k-22、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一+葉；>： (n>2)時(shí)的過(guò)程中，由n=k到nw k+1時(shí)，不等式的左邊()A增加了一項(xiàng)許B增加了兩項(xiàng)-+_D增加了一項(xiàng)衣土，又減少了一項(xiàng)占3、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè) n=k (k>2,且k為 偶數(shù))時(shí)等式成立，則還需利用歸納假設(shè)再證()An=k+1時(shí)等式成立Bn=k+2時(shí)等式成立Cn=2k+2時(shí)

2、等式成立Dn=2 (k+2)時(shí)等式成立4、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 2n>n2時(shí)，第一步需要驗(yàn)證n0=()時(shí),不等式成立A5B2和4C3D15、函數(shù)y=x2cosx的導(dǎo)數(shù)為Ay' =2xcosx x2sinxBy' =2xcosx+x2sinxCy' =x2cosx 2xsinxDy' =xcosx x2sinx簡(jiǎn)答題（共5道）6、設(shè)函數(shù)/*/+；凱,（1）若曲線r-八可與x軸相切于異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，且函數(shù) 廣 的極小值 為-孑，求明。的值；（2）若 4口 且一+仃 匚 ，J=L +2 JL（ +1 X ，求證：求證：FGO在。D上存在極值點(diǎn).7、等比數(shù)列,，

3、的前n項(xiàng)和為|國(guó)，已知對(duì)任意的|近產(chǎn)，點(diǎn)的邑）均在函數(shù) （為?0且3，1, b, r均為常數(shù)）的圖像上。(1)求r的值;(2)當(dāng)b=2時(shí),記自41.%+一冬>、!用+1成立。4二可"14+1中=加)，證明：對(duì)任意的 談芹不等式8、已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1 = 1, b1 + b2+ - +b10= 145.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn；(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an= loga J+，：(其中a>0且aw 1).記Sn是數(shù)列an 的前n項(xiàng)和，試比較Sn與;logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.9、已知拋物線y=x2-4與直線y=x+2。(1)求兩曲線的交點(diǎn)；(2)求拋

4、物線在交點(diǎn)處的切線方程。10、設(shè)a>2,給定數(shù)列工丹L其中t 二立，工什 =_(口£中)求證: 21%-1)(1) xn>2,且 xn+1<xn (nCN*);(2)如果卜那么.褊£2.填空題(共5道)11、已知在區(qū)間(a, b)上，f (x) >0, f' (x) >0,對(duì)x軸上的任意兩 r j+ *2/(a I)+/(點(diǎn)(x1, 0), (x2, 0), (a<x1<x2<b)都有 f (7廣)>.若 S1 = +% f (x) dx, SZ="？山(b-a), S3=f (a) (b-a),貝U

5、S1、 S2、 S3的大小關(guān)系為.12、已知函數(shù)*")= j了mr打,則加>=.13、由曲線y=-,直線y=-x+：所圍成的封閉圖形的面積為 .14、由三條直線x=0, x=2, y=0和曲線y=x3所圍成的圖形的面積為 .15、匚 j|x+21dx= .1-答案：A2-答案：tc解：當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式為丁+占+，+；1, 當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代 數(shù)式為占+五=，故由n=k到nwk+1時(shí)，不等式的左邊增加了兩項(xiàng) 士 + “7,又減少了一項(xiàng)匕故選：C.3-答案：tc解：若已假設(shè)n=k （k>2, k為偶數(shù)）時(shí)命題為真，因?yàn)閚只能取偶數(shù)，所 以還需要證明n=k+2成立

6、.故選：B.4-答案：tc解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，首先要驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；結(jié)合 本題，要驗(yàn)證n=1時(shí)，左=21=2,右=12=1, 2n>n2不成立，n=2時(shí)，左=22=4, 右=22=4, 2n>n2 不成立，n=3 時(shí)，左=23=8,右=32=9, 2n>n2 不成立，n=4 時(shí)， 左=24=16,右=42=16, 2n>n2 不成立，n=5 時(shí)，左=25=32,右=52=25, 2n>n2 成立，因?yàn)閚>5成立，所以2n>n2何成立.故選A.5-答案：A1-答案：（1）（2） /（刈在也1）上是存在極值點(diǎn)試題分析：（1）分析題意,可

7、得該三次函數(shù)過(guò)原點(diǎn),根據(jù)函數(shù)與x軸相切,所以有個(gè)極值為 0且有一個(gè)重根，故可得函數(shù)有一個(gè)極大值0和一個(gè)極小值，有一個(gè)重根, 則對(duì)，區(qū)因式分解會(huì)得到完全平方式,即3提取x的公因式后,剩下二次式的判 別3 = 0,得到a,b之間的關(guān)系式，再根據(jù)極小值為 ，則求導(dǎo)求出極小值點(diǎn),得 到關(guān)于a,b的另外一個(gè)等式，即可求出a,b的值.（2）對(duì)打工1求導(dǎo)，帶入5京） 與已知條件六士聯(lián)立化簡(jiǎn)即可得到需要的不等式.求出尸了，裊口十 J t才A AI'FV討論a的取值范圍，證明門(mén)口其中必有兩者異號(hào)，則根據(jù)零點(diǎn)存在定 1 i1L f理，即可證明，有極值點(diǎn).試題解析：（1）&）-豺/+小一生當(dāng)，依據(jù)題

8、意得：興德久"沙，且2分八，得一點(diǎn)或卷 如圖，得小!=*, 5+方'-¥,。=業(yè)，代入冷一-得“T小r j.Qf （；廠<：J，磊M工吁卬舟+白*償|tx（j 十+ 2）8分尸®.1一2（! 八1）=1Y+占 若4 則一”>0由知"7J 77% j JL所以，'（工）在有零點(diǎn)，從而八幻在（0,1）上存在極值10分若。球，由知八一）*”又,工（| 一1'm-d- 吧字f-產(chǎn)產(chǎn)仁l,所以在 飛山有零點(diǎn),瀉j+*口Xj +1）惠|#1|十1從而/在1）上存在極值點(diǎn).12分若0<。，由知小'JA。， X| +1/

9、付=-1=更4辛22日，所以“刈在（鼻管有零點(diǎn)，從而在1）上存在極值點(diǎn).綜上知/（刈在（04）上是存在極值點(diǎn).14分2-答案：（1）解：尸=-1 ;（2）證明：當(dāng)b=2時(shí)，4-g-口b-涔昌-2也三11）-加暇尸十 】）-乳，則=/ , 所以 號(hào)笛鋁一要，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式?一?= Vj5日成立。當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊=E，因?yàn)?A止，所以不等式成立；假設(shè)當(dāng)擔(dān)=時(shí)，不等式成立，即=一?乎 =；?看 <也” 成立，則當(dāng) 庫(kù)二七+1時(shí)，下面證明 依=論+ 1時(shí)，不等式：瓦月 繪 褊 ' J成乂，左邊=句記一*】一4*1 如 *1_3 5 ? 2frl : 2fc + ?彳

10、K “瓦-£"- m2fr 2Jt I 2u 蔡岸嚴(yán)罷嚴(yán)-口許洛, 歷g，所以當(dāng)拓=*+i時(shí)，不等式也成立。3-答案：（1） bn=3n 2. （2）當(dāng) a>1 時(shí)，Sn>|logabn + 1,當(dāng) 0<a<11 、 H二時(shí)，Sn< logabn + 1（1）設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由題意得 飛十里1。二乙三1.修。(2； bn= 3n2.(2)由 bn = 3n2,知 Sn= loga(1 +1) + logai+； + loga ； = loga 十外1+而 1 logabn + 1 = loga ,于是，比較 Sn 與 1logabn+ 1

11、的大小 比較(1 + 1)什1).1+ 與胸口的大小.取n= 1,有1+1 =浜>阻=用不,取 n = 2,有(1 +1) 1+：；>私>.尸.推測(cè)(1 +1) 1+- 1+& >同，(*)當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立；假設(shè)n = k(k>1"H(*)式成立，即(1+1)汁；>0+上) >/口，則當(dāng)n = k+1時(shí)，(1 +1)業(yè)+” 映+4映+講 取+4（醒+】）：1>0,空汝口)>3有5 +1 ,從而(1 +1)J+舒（1+Kh白-加計(jì)即當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）式成立.由知（*）式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.于是，當(dāng)a>

12、;1時(shí)，Sn>； logabn + 1,當(dāng)0<a< 1 時(shí)，Sn< j logabn + 1fy = -1-24-答案：解：(1)由 人 尸求得交點(diǎn)A (-2, 0), B (3, 5)。(2)因?yàn)閥' =2x,則y' |x=-2=-4 , y' |x=3=6,所以拋物線在A, B處的 切線方程分別為 y=-4 (x+2)與 y-5=6 (x-3) 即 4x+y+8=0與 6x-y-13=0。5-答案：證明：（1）使用數(shù)學(xué)歸納法證明xn>2當(dāng)n=1時(shí)，x1=a>2命題成立；假設(shè)當(dāng)n=k (kCN*)時(shí)命題成立，即xk>2,且xk

13、+1<xk.當(dāng)n=k+1時(shí),7,2“+|-二='_-2工>0 即 xk+1>2綜上對(duì)一切 nCN*,有xn>2. （4分）I1 Ix什_i 當(dāng) xn>2 時(shí)，=t1 i 1 =l xn+1<xn'% 耳D MJ- AF(nCN*) (6分)(2)因?yàn)閤n>2,所以 J；"二l一=三門(mén)，1).故 %一 工情一1Hl =!口網(wǎng)-2)'"7Kl "2"力 6r" J2(xti-) 2 xN-l 2(10 分)由此可得2 與1(河_ -2百(5_2-2)£.£(居-2

14、) - = (a2)；2彳杵-I彳7一0一21金十一當(dāng)2<a<3時(shí)，卜產(chǎn)+不系£*) 個(gè)用一I7”1 J(12 分)證明：(1)使用數(shù)學(xué)歸納法證明xn>2當(dāng)n=1時(shí)，x1=a>2命題成立；假設(shè)2當(dāng) n=k(kC N*)時(shí)命題成立，即 xk>2,且xk+1 <xk.當(dāng) n=k+1 時(shí)，以十 |-2 =- )2（<i- 1） xn+1<xn>0即xk+1 >2綜上對(duì)一切nCN*,有xn>2. (4分)當(dāng)xn>2時(shí),(nCN*) (6分)x -2(2)因?yàn)?xn>2,所以=7二 I-；j"£(

15、。，I).故(10 分)由此可得心1 -？匿”(工時(shí)_匕Eli -2- S-2 I丹。一七當(dāng)2<a03時(shí)，4”2+9"三"7（12 分）1-答案：S1>S2>S3ba-解析：根據(jù)定積分的幾何意義知：S1為f (x)的圖象與直線x=a, x=b及x軸圍成的曲邊梯形的面積，而s2為梯形的面積，s3為矩形的面積，所以結(jié)合題意并畫(huà)出圖形可得S1>S2>S3.故答案為：S1>S2 >S3.2-答案：1-cos1n nitn解：./舊)=卜imxdH . . 丁 = J 2心=-COSxl 2 =-1 .川(彳U =f (-1)=-0 £inTdt=COSx' =1-cos1 故答案為：1-cos1-1 1- 13-答案:15T-21n2解：曲線y1，直線y=-x+£聯(lián)立，可得交點(diǎn)坐標(biāo)為(, 2)、(2;)，曲 X|52線y=-,