八年級數(shù)學-二次根式的化簡求值-練習題及答案(0002)

1、八年級數(shù)學-二次根式的化簡求 值-練習題及答案二次根式的化簡求值練習題溫故而知新:分母有理化分母有理化是二次根式化簡的一種常用方法，通過分子、分母同乘一個式子把根號中的分 母化去或把分母中的根號化去叫分母有理化.計算：（1） （2萬3"的（2褥3取乖）；(2)(3y/22回(3722乖;；(3)a、a b aa % ab解析:（1）式進行簡單分組，然后利用平方差公式和完全平方公式計算；（2）利用平方差公式計算；（3）先將分子、分母在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，然后再約分答案：解：(1)原式= (2、3 <6 372)(2 33 疾 3v2) =(273 <6)2 (3<2)

2、2=12- 2 2 36+6-18= 12 2 .(2)原式=(3 2 2 3 3 2 2 3)(3 2 2 3 3 2 2 3) = 6 2 ( 4 3)=24 6.（3）原式=a( a b)( a b)a( a b)小結(jié)：（1）二次根式的混合運算常常用到幕的運算法則和乘法公式，有時題目中條件不明顯,要善于變形，使之符合乘法公式，幕的運算法則特點，從而簡化計算 .（2）二次根式的計算和化簡靈活運用因式分解能使計算簡便.舉一反三:i.若x = jm-、：n, y = jm+jn,貝Ux y的值是(A. 2 mB.2 nC. m + nD.m - n解析：x y=( m- n)( m+ n) =

3、 ( m)2 - ( n)2 = m - n .例2閱讀材料：“黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合璧，天下無敵.”這是武俠小說的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比.在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”， 如:（2+褥）（2-。）=1,（套+應）（&-J2）=3，它們的積不含根號，我們就說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式.于是，二次根式的除法可以這樣解：如3 2+=3_(2+ 3)2, 一=32- .3 (2- ;3)(2+ .,3)=7 + 4、,3，像這樣，通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化 （1）4

4、 +" 的有理化因式是 .解析：因為（4+"） （4-"） =42-（5）2=9,所以4+萬 的有理化因式是4-77.答案：解：原式=2- 3 + 3 3- 2 3=2.計算：|L +1+1 +L +1(V2012+1).B；2+1 73+72 R+pV2oi2+V2o11解析：L J L = L -而一 L = g - /，將各個分式分別分母有理化 n +1 + n ( n +1 + n)( n +1 - n)后再進行計算.答案：解：原式=(；2-1 +、；3-V2 + J4-J3+L +<2012- <2011) (72012+1) =(V2012

5、 -1) ( <2012 +1) = ( <2012) 2-12=2012-1=2011.(4)已知 a=+, b=省-噂，求：a2-3ab + b2 的值. 3- 23+%2解析：a=3+ 2 _(3+2)23- 2( 3- 2)( 3+2)=5 +276 ,同理 b二型-星=5- 26 ;3+ 2a + b= 5+2<6+ 5- 25/6 = 10, a b= ( 5+2%；6 ) ( 5-2捉)=1,然后將所要求值的式子用 a + b和ab表示，再整體代入求值即可.答案：解：因為 a=B2=5+2、E' b=3+f=5-2屁'所以 a + b= 5+2-

6、76+ 5- 276=10, a b= (5+2<6) (5- 2-/6) =1.所以 Va2 - 3ab + b2 = J(a +b)2 - 5ab = J102 - 5? 1 = W95.小結(jié)：分母有理化是我們處理二次根式問題時常用的一種方法，在有關(guān)二次根式化簡求值的 題目中我們經(jīng)常會用到.利用平方差公式進行分母有理化是常用方法.如：(4 + Jb )(.'a - b ) =a- b,( a+ - b )( a-、； b ) =a2-b, ( a +b)( a - b) =a-b 2.舉一反三:2.如圖，數(shù)軸上與1, 22對應的點分別為A, B,點B關(guān)于點A的對稱點為C,設(shè)點

7、C表示的數(shù)為 x,則 x- 22 | + 2= ()c A 8x 八II.L-"A. &B.2«2C. 3 2D. 2解析：因為點B和點C關(guān)于點A對稱，點A和點B所表示的數(shù)分別為1,0,所以點C表示的數(shù)為 2-，即 x=2-"，故 |x- 72 |+- =|2- J2 - 72 | +x=2 ：2 -2 + 2 + 2 =3 72 .2- 2例3 比較大小:(1) 布-點與癡-2; (2) 2&-75與布-J7 .解析：(1)用平方法比較大??；(2)用倒數(shù)法比較大小.答案：解：(1)(布-芯)2=11-2 XJvix <3 +3=14-2 &

8、lt;33 ,(<10-2) 2=10-2 義 而 X 2+4=14-2 V40 .v 33<40,扁<癡，. .-2 而>-2 而，.14-2>/33>14-2 而，( <11-點)2> ( <10-2) 2.又.石-<3 >0,10-2>0, .711 -V3>J10-2.(2) J _ =272+® = 2f2 +752.2- 。5 (2五-函(2 ¥2+Y5)3'1_10 + 7_ 10+ 710 - 7( 10- 7)( 10+ 7)3.A. a>b>cB.c>

9、b>aC. b>a>cD. b>c>a解析：1 a120142013<2014 6013 ,.22+5_8+5/10+ 73一331<1一13醫(yī)<、麗-丁 22-5>10-7.小結(jié)：比較兩個二次根式大小的方法很多，最常用的是平方法和取倒數(shù)法，還可以將根號外因 子移到根號內(nèi)比較，但這時要注意：(1)負號不能移到根號內(nèi)；(2)根號外正因子要平方后才能 從根號外移到根號內(nèi).3.已知 a <2014 <2013, b*'2015 J2014, c <2016 2015,則下列結(jié)論中正確的是120162015<2016

10、 J2015 ;>1<2015、2014 , 120152014c0< 1 1 1, . a>b>c. a b c例4 (2013 襄陽)先化簡，再求化 ab- 2ab b a ,其中a 1 V2 , b 1 J2 .答案：解：原式=(a b)(a b) a2ab b2 a2 _ (a b)(a b) a aa(a b)2a b=a b. a 1 22, b 1 <2,a+b=2, a-b=2j2).原式=2 =2 .2 22例 5 已知實數(shù) x, y 滿足(x- Jx2- 2012)(y- Jy2- 2012) = 2012,貝U 3x2-2y2+3x-3

11、y-2011 的值為()A.-2012B.2012C.-1D.1解析：觀察所給等式特點可將等式變形為 x- Jx2- 2012 =產(chǎn),將等式右邊分母有y- y2 - 2012理化得 x- &2- 2012= y + qy2- 2012 ；同理可得 y- Jy2- 2012=x +&- 2012 ; + 得，x2-2012 +、'y2- 2012=0,所以 x2 = y2 =2012；-得x- y = 0,所以x = y；3x2-2y2+3x-3y-2011=3x2- 2x2+3x-3x-2011=x2-2011= 2012-2011= 1.答案：D小結(jié)：本題有一定的技巧

12、性，解題關(guān)鍵在于對所給等式進行變形，然后對變形所得到的兩個 等式進行簡單的加減運算便可得到我們所需要的條件.本題也可以根據(jù)變形得到的兩個等式的特點得出x=y的結(jié)論，然后代入原來的等式，進而求出 x, y的值，最后帶入求值.舉一反三：5 .觀察分析下列數(shù)據(jù),尋找規(guī)律：0,、:3,、；6 ,3,2 P，g 372 ,那么第10個數(shù)據(jù)應是解析：0=、,門，J3=y'F3, 、6 =、T3 , 3 = CT3 , 2X3=12=V4?3 , 115 = x53 , 3<2 = v 18 = x/6?3，；3(n- 1),所以第 10 個數(shù)據(jù)是 <9?3 3兔.6 . (2013 孝

13、感)先化簡,再求化 ,31 ,其中x=73。，v=P ”.x y y x例 6 已知 m=1 +J2, n=1-J2,且(7 m2-14m+a)(3 n2-6n-7) =8,貝 a 的值等于()A.-5B.5C.-9D.9解析：由m=1 + *'2可得m-1= <2, 兩邊平方得m2- 2m+1 =2,所以m2-2m=1;7m2-14m+a=7 (m2-2m) +a=7+a；同理可得 n2-2n=1, 3n2-6 n-7 =3 (n2-2n) -7 =3-7=-4;所以(7+a)X(-4) =8,解得 a=-9.答案：C小結(jié)：觀察所給等式和 m, n的值，我們可以發(fā)現(xiàn)，對 m, n稍作變形便可整體代入.整體思 想是解決這類較復雜求值問題常用的思想方法.當然我們也可以直接把 m, n的值直接代入，然后解方程求出a的值，這樣計算量要大很多.舉一反三：4.設(shè) a