必修一第一章復(fù)習(xí)知識點

1、高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：(1) 元素的確定性如：世界上最高的山元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y(3)元素的無序性：女口： a,b,c和a,c,b是表示同一個集合3. 集合的表示：女口： 我校的籃球隊員 , 太平洋，大西洋,印度洋，北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N正整數(shù)集 N*或N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q實數(shù)集R1) 列舉法：a,b,c2) 描述法

2、：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。x R| x-3>2 ,x| x-3>23) 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4) Venn 圖：4、集合的分類：(1) 有限集含有有限個元素的集合(2) 無限集含有無限個元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：x|x 2= 5二、集合間的基本關(guān)系 1“包含”關(guān)系一子集注意：AB有兩種可能(1) A是B的一部分，；(2) A與B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2. “相等”關(guān)系：A=B (5 > 5，且 5 < 5，則 5=5)2實例：設(shè) A=x|

3、x-仁0 B=-1,1“元素相同則兩集合相等”即: 任何一個集合是它本身的子集。A A 真子集：如果A B,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記C作A芒B(或B工A) 如果A B, B C ,那么A C 如果A B同時B A那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算類型交集并集補集疋義由所有屬于A且屬 于B的元素所組成 的集合，叫做A,B的 交集.記作A 玫讀 作A交B'）,即卩 A B= x|x A,且 x B.由所有屬于集合A或 屬于集合B的元素所

4、組成的集合，叫做A,B 的并集.記作：A B（讀作 A并B'）, 即 A B =x|x A, 或 x B）.設(shè)S是一個集合，A是 S的一個子集，由S中 所有不屬于A的元素組 成的集合，叫做S中子 集A的補集（或余集） 記作CsA，即CA=x|x S且x A韋 恩 圖 示圖1CA圖2性質(zhì)A A=AA 二A B=B AABAABBA A=AA =AA B=B AA B AABB(CuA)(C uB)=Cu (AB)(CuA)(C uB)=Cu(AB)A (C uA)=UA (C uA)=.例題:1下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（）A某班所有高個子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書 D倒數(shù)等于

5、它自身的實數(shù)2集合a，b, c 的真子集共有個3若集合 M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x > 0，貝U M 與 N 的關(guān)系是4設(shè)集合A= x1 x 2 , B= xx a，若a b,則a的取值范圍是5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有 40人，化學(xué)實驗做得正確得有31人，兩種實驗都做錯得有 4人，則這兩種實驗都做對的有人。6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=7. 已知集合 A=x|x2+2x-8=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 B A Cm ，A A C=Q, 求 m 的值 二、

6、函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)的概念：設(shè) A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合 A中的任意一個數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f: At B為從集 合A到集合B的一個函數(shù).記作： y=f(x) , x A .其中，x叫做自變量，x的取值范圍A 叫做函數(shù)的定義域；與 x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)| x A 叫做函 數(shù)的值域.1. 定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。 求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指

7、數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 .(6) 指數(shù)為零底不可以等于零,(7) 實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān))；定義域一致(兩點必須同時具備 )(見課本 21頁相關(guān)例 2)2. 值域 : 先考慮其定義域(1) 觀察法(2) 配方法(3) 代換法3. 函數(shù)圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x) , (x A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x, y)的集合C,叫做函數(shù)y=

8、f(x),(x A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x, y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x, y)，均在C上.(2) 畫法 描點法： 圖象變換法 常用變換方法有三種 平移變換 伸縮變換 對稱變換4. 區(qū)間的概念( 1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間( 2)無窮區(qū)間(3) 區(qū)間的數(shù)軸表示.5. 映射一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng) f: A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“ f (對應(yīng)關(guān)系)：A (原象)B

9、 (象)”對于映射f: At B來說，則應(yīng)滿足：(1) 集合 A 中的每一個元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中對應(yīng)的象可以是同一個；(3) 不要求集合 B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象。6. 分段函數(shù)(1) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。(2) 各部分的自變量的取值情況(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集補充：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),則 y=fg(x)=F(x)(x A) 稱為 f、g 的復(fù)合函數(shù)。二函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性 (局部性質(zhì) )( 1)

10、增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量 x1, x2 , 當(dāng) x1<x2 時，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就說 f(x) 在區(qū)間 D 上是增函數(shù) .區(qū)間 D 稱為 y=f(x) 的單 調(diào)增區(qū)間 .如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值xl, x2,當(dāng)x1<x2時，都有f(x1) >f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2) 圖象的特點如果函數(shù) y=f(x) 在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)， 那么說函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間上具有 (嚴(yán)

11、格的 ) 單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3) .函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：CD 任取 x1 , x2 D，且 x1<x2 ;作差 f(x1) f(x2);C3 變形(通常是因式分解和配方)；C4 定號(即判斷差 f(x1) f(x2) 的正負)；C5 下結(jié)論(指出函數(shù) f(x) 在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性)(B) 圖象法(從圖象上看升降)(C) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x), y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意： 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能

12、把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集 .8函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))( 1 )偶函數(shù)一般地，對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f( x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).( 2)奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f( x)= f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).(3) 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征作出相應(yīng)結(jié)論：若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = °,則 f(x)是偶函數(shù)；若 f( x) = f(x)或偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱. 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于

13、原點對稱； 確定f( x)與f(x)的關(guān)系；f( x) + f(x) = ° ,貝U f(x)是奇函數(shù).注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)若對稱，(1)再根據(jù)定義判定；(2)由f(-x) ±f(x)=°或f(x) /f(-x)= ± 1來判定；利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定9、函數(shù)的解析表達式(1) 函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域(2) 求函數(shù)的解析式的主要方法有：湊配法待定系數(shù)法換元法消參法1

14、°.函數(shù)最大(小)值(定義見課本 p36頁) 禾U用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,最小值f(b);例題：1求下列函數(shù)的定義域：是要求出b上單調(diào)遞減,x2 2x 15x 332設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為3若函數(shù)f (xf(x)4.函數(shù)值：在區(qū)間b, c上單調(diào)遞減則函數(shù)在區(qū)間b, c上單調(diào)遞增則函數(shù)x 1 2 y 1(x 1)2【°, 1，則函數(shù)f(x)的定義域為_1)的定義域為2，3，則函數(shù)f(2x 1)的

15、定義域是y=f(x)在 x=b 處有y=f(x)在 x=b 處有x 2(x x2( 1 2x(x1)x 2)2)，若f(x) 3，則5求下列函數(shù)的值域:2 y X 2x 3 (xR)2x 3 x 1,2 y x2 4x 56已知函數(shù)f (x 1) x? 4x，求函數(shù)f(x), f(2x °的解析式7. 已知函數(shù) f(X> 滿足 2f(x) f(x) 3x 4 則 f(X)=8設(shè)f（X是R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x °,)時,f (x) x(1 仮),則當(dāng) x (,0)時 f(x) =f（X）在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y X2 2X 3 y x2 2x 3

16、y x2 6 x 1310.判斷函數(shù)y x 1的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.11.設(shè)函數(shù)f（x）1f()f(x)x1 x22-1 x2判斷它的奇偶性并且求證:第章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)幕的運算n1 根式的概念：一般地，如果 x a ,那么x叫做a的n次方根，其中n冷，且n N *.負數(shù)沒有偶次方根；0的J任何次方根都是 0,記作：00on ： n當(dāng)n是奇數(shù)時，aa，當(dāng)1 n是偶數(shù)時，nan |aa|a(a(a0)0)2分數(shù)指數(shù)幕正數(shù)的分數(shù)指數(shù)幕的意義,規(guī)定m11*ma nmm (a0,im,n N ,n 1)a nVam (a0, m, n*N,n 1)na下n.am0的正分數(shù)指數(shù)

17、幕等于 0, 0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義3. 實數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)(1)rra ar s a(a0,r,sR)；(2)r s(a )rs a(a0,r,sR) (3)r(ab)r s a a(a0,r,sR).（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y a （a °且a 1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量, 函數(shù)的定義域為 R.注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1.2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>1°<a<1!1 '定義域R定義域R值域y> °值域y> °在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函

18、數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點（°, 1）函數(shù)圖象都過定點（°, 1）注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1 ）在a，b上，f（x） ax（a °且 a 1）值域是f（a）,f（b）或f（b）,f（a）；（2）若X °，則f（x） 1； f（x）取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x R ；（3）對于指數(shù)函數(shù)f（x） aX（a °且a 1），總有f（1） a ；二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1.對數(shù)的概念：一般地，如果ax N （a °，a 1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作：x logaN （ a 底數(shù)，N 真數(shù)，logaN 對數(shù)式） 說明

19、：O注意底數(shù)的限制a °，且aiog N ax N log a N x ； 注意對數(shù)的書寫格式.兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)：以1°為底的對數(shù)lgN ；指數(shù)式與對數(shù)式的互化冪值真數(shù)ab = n loga N = b底數(shù)指數(shù)對數(shù)（二）對數(shù)的運算性質(zhì)如果a 0，且a 1 , M 0 , N 0，那么: loga (M N) loga M + log a N ；MlOgaN lo9a M n n loga M (n R)注意：換底公式log c blog a b log c a （ a 0，且 a 1 ； c 0，且 c 1 ； b 0）1logb a利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論loga

20、m bn logabloga b(1) m ； ( 2)（二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y log a x( a 0 且 a1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中函數(shù)的定義域是（0, + R）注意：O 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如:. Xy log 5 -5都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).x是自變量,y 2log2 x對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：（a 0，且a 1）.2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):a>10<a<1L-»-11 ,.01101'-1 L- 一定義域x >0定義域x>0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點（1

21、, 0）函數(shù)圖象都過定點（1, 0）（三）幕函數(shù)1、幕函數(shù)定義：一般地，形如y X （a R）的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中為常數(shù).2、幕函數(shù)性質(zhì)歸納.（1）所有的幕函數(shù)在（0, + a）都有定義并且圖象都過點（1, 1）;（2）0時，幕函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間【°，）上是增函數(shù).特別地，當(dāng) 1時，幕函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 01時，幕函數(shù)的圖象上凸;(3)°時，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間（°，）上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時，圖象在X軸上方無限地逼近X軸正半軸. 例題：a>0, a" 0，函數(shù)y=ax與y=loga（-x）的圖象只能是(C)1.已知(D)log 3 22