高等數(shù)學(xué)備課資料：第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 04 第四節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、第四節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分布圖示 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1 例2 例3 例4 例5 對數(shù)求導(dǎo)法 例6 例7 例8 例9 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例10 例11 例12 例13 極坐標(biāo)表示的曲線的切線 例14 例15 相關(guān)變化率 例16 例17 例18 例19 例20 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 2- 4 返回內(nèi)容要點 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)假設(shè)由方程所確定的函數(shù)為，則把它代回方程中，得到恒等式利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在上式兩邊同時對自變量求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù)，這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法. 二、對數(shù)求導(dǎo)法：形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù). 直接使用前面介紹的求導(dǎo)法則不能求出冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于這類函數(shù)，可以先在函數(shù)兩邊取對數(shù)

2、，然后在等式兩邊同時對自變量求導(dǎo)，最后解出所求導(dǎo)數(shù). 我們把這種方法稱為對數(shù)求導(dǎo)法. 三、參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)，具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù), 則變量y與x構(gòu)成復(fù)合函數(shù)關(guān)系 且 四、極坐標(biāo)表示的曲線的切線設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為.利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 ，可寫出其參數(shù)方程為，其中參數(shù)為極角. 按參數(shù)方程的求導(dǎo)法則，可得到曲線的切線斜率為 . 五、相關(guān)變化率： 設(shè)及都是可導(dǎo)函數(shù), 如果變量x與y 之間存在某種關(guān)系, 則它們的變化率與之間也存在一定關(guān)系,這樣兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率. 相關(guān)變化率問題就是研究這兩個變化率之間的關(guān)系，以便從其中一個變化率求出另一個變化率.例題選講隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3、例1(E01) 求由下列方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 在題設(shè)方程兩邊同時對自變量求導(dǎo)，得整理得 解得例2 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 方程兩邊對求導(dǎo),解得 由原方程知所以例3 (E02) 求由方程所確定的函數(shù)在點處的切線方程.解 在題設(shè)方程兩邊同時對自變量求導(dǎo)，得解得在點處，于是，在點處的切線方程為，即例4 設(shè) 求在點處的值.解 方程兩邊對求導(dǎo)得代入得將方程(1)兩邊再對求導(dǎo)得 代入得 例5 (E03) 求由下列方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). 解 (代入)對數(shù)求導(dǎo)法例6 (E04) 設(shè) 求 .解 等式兩邊取對數(shù)得兩邊對求導(dǎo)得例7 (E05) 設(shè)，求 .解 在題設(shè)等式兩邊取對數(shù) 等式兩邊對求導(dǎo)

4、，得解得例8 (E06) 設(shè), 求 .解 等式兩邊取對數(shù)得上式兩邊對求導(dǎo)得例9 (E07) 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例10 (E08) 求由參數(shù)方程 所表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 例11 (E09) 求由擺線的參數(shù)方程所表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解 例12 求方程 表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解 例13 如果不計空氣的阻力，則拋射體的運(yùn)動軌跡（圖示見系統(tǒng)）的參數(shù)方程為其中分別是拋射體初速度的水平、鉛直分量，g是重力加速度, t是飛行時間. 求時刻t拋射體的運(yùn)動速度.解 因為速度的水平分量和鉛直分量分別為所以拋射體的運(yùn)動速度的大小為而速度的方向就是軌道的切線方向. 若是切線與軸正向的夾角，則

5、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有或例14 (E10) 求心形線在處的切線方程.解 將極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程，得于是 ，又當(dāng)時, 所以曲線上對應(yīng)于參數(shù)的點處的切線方程為即例15 (E11) 求心形線的和.解 如圖(圖示見系統(tǒng))，由得于是相關(guān)變化率例16 一汽車從離開觀察員500米處離地面沿直上升, 其速率為140米/秒. 當(dāng)氣球高度為500米時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? (圖示見系統(tǒng))解 設(shè)氣球上升秒后，其高度為觀察員視線的仰角為則上式兩邊對求導(dǎo)得 米/秒，當(dāng)米時， (弧/分)極坐標(biāo)表示的曲線的切線例17 一長為5米的梯子斜靠在墻上. 如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑離墻壁，試求梯子下端離墻3米

6、時，梯子上端向下滑落的速率. (圖示見系統(tǒng))解 如圖,表示梯子下端離墻的距離,表示梯子上端到地面的距離，這里都是時間的函數(shù).于是 兩邊對求導(dǎo)，得 即注意到以及代入得 (米/秒)，即梯子上端向下滑落的速率為(米/秒).例18 河水以的體流量流入水庫中, 水庫形狀是長為4000米, 頂角為的水槽, 問水深20米時, 水面每小時上升幾米?解 如圖(圖示見系統(tǒng)), 上式兩邊對求導(dǎo)得米/小時,當(dāng)米時, 米/小時（水面上升之速率）.例19(E12) 正在追逐一輛超速行駛的汽車的巡警車由正北向正南駛向一個垂直的十字路口，超速汽車已經(jīng)拐過路口向正東方向駛?cè)?，?dāng)它離路口東向1.2千米時，巡警車離路口北向1.6千

7、米，此時警察用雷達(dá)確定兩車間的距離正以40千米/小時的速率增長（示意圖見右）.若此刻巡警車的車速為100千米/小時，試問此刻超速車輛的速度是多少？解 以路口為原點，設(shè)在t時刻超速汽車和巡警車離路口的距離分別為x km、y km，則兩車的直線距離s為km,易知x、y、s均為時間t的函數(shù)，且知分別表示超速汽車、巡警車在t時刻的瞬間速度，表示兩車在t時刻的相對速度，將提問中的時刻記為.現(xiàn)對=的兩邊對t進(jìn)行求導(dǎo)，得：=將時刻的數(shù)據(jù)，=2，（符號取負(fù)，是因為y值逐漸變?。?，代入上式，得=千米/小時故所求時刻超速車輛的速度為120千米/小時例20(E13) 現(xiàn)以18升/分鐘的速度往一圓錐形水箱注水，水箱尖點朝下，底半徑為0.5米，高為1米求注水高度為0.3米時水位上升的速度有多快（示意圖見下）。解所求問題可歸納為求，表示注水t分鐘后水箱內(nèi)水位高度，此時水表面為一半徑為h/2 米的圓，故我們可求得此時水箱內(nèi)水的體積，從水的注入體積的角度考慮也可得到t分鐘后往水箱注入了18t升的水，于是可得h和t的函數(shù)關(guān)系式：=18t化簡得，對等式的兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，得：，